2023年高考数学总复习第八章立体几何初步第七节立体几何中的向量方法.pdf

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1、第七节 立体几何中的向量方法,最新考纲，1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2 .了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考向预测考情分析：本节内容以几何体为载体，重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，这仍会是高考的热点，多出现在解答题的第(2)问.学科素养：通过建立空间直角坐标系解决空间角及空间的探究性问题考查数学运算、数学建模、直观想象等核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1.异面直线所成角的求法设a，分 别 是 两 异 面 直 线/2的方向向量，则a与b的夹角为夕与/2所成的角为，范围(0,

2、71)求法CS/o?-|aa|bb|COS 0=COS P=_2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为，直线/与平面a所成的角为仰 两向量e与的夹角为乐 则有sin 9=|c o s 9=.3 .二面角的求法(1)如图，AB,是二面角a-/两个半平面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小为 9=.(2)如图，1，”2分别是二面角a 1/的两个半平面a,的法向量，则二面角的大小，满足 COS0=COS 1 2或一COS 1，112).4 .利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点 A(X1，Z 1),点 8(X2,丫2,Z2),则|A8|=|通|=J(X1-X 2

3、)2+(y i-y?+(z一 毋(2)点到平面的距离如图所示，已知A 8 为平面a 的一条斜线段，为平面a 的法向量，则 8 到平面a 的距离为|由 尸 噜 弱|n|二、必 明 1个常用结论直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：/是空间一直线，4,8 是直线/上任意两点，则称丽为直线/的方向向量，与融平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a,5 是平面a 内两不共线向量，为平面a 的法向量，则求法向量的方程组为P a=。，三、必练4 类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或 X”).(1)两直线的方向向量的

4、夹角就是两条直线所成的角.()(2)已知 a=(2,3,1)b=(2,0,4),c=(4,一6,2),则。c,a)(3)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45。.()(二)教材改编2选修2 1R18复习参考题Tio改编 在正方体ABCD-A由1G G 中,E 是 G 修的中点,则异面直线OE与 AC所成角的余弦值为()C仁 D.噜 选 修 2-LPU3习题T9改编 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为。的正方体ABCD-ABCD,A 9 的中点E 与 AB的中点F 的距离为.(三)易错易混C,aA B（不恰当建立空间直角坐标系）正三棱

5、柱（底面是正三角形的直棱柱M B C A IC i的底面边长为2,侧棱长为2 v L 则A G与侧面ABBA所成的角为.（四）走进高考5.2020.山东卷 日展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到劈面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点A 且 与 OA垂直的平面.在点A 处放置一个日唇，若唇面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬40。，则辱针与点A 处的水平面所成角为（）A.20 B.40 C.50 D.90详解答案、（05】丽_|e-n|一、而三、（AB,CD）1.答案：（1）X（2）V（3）X2.解析：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设 DA=1,A（l,0,0）,C（0,1,0）,E（0,I，1）,则近=（一1,1,0）,DE=（0,I，1）,设异面直线D E与 A C所成的角为0,则 cos9=|cos eo,J .ZCiAD=.套案-o5.解析：过球心。、点A以及容针的轴截面如图所示，其中CO为唇面，GF为唇针所在直线，EF为点A处的水平面，G FVCD,CD/OB,N A O B=4 0,/O A E=尸=9 0,所以Z G阳=N C 4 O=/4 O B=4 0 .答案：B