2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第4讲 整式方程和分式方程(含详解).pdf

《2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第4讲 整式方程和分式方程(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第4讲 整式方程和分式方程(含详解).pdf（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 4 讲 整 式 方 程 和 分 式 方 程 模 块 一：整 式 方 程 知 识 精 讲 1、如 果 一 元 次 方 程 的 一 边 只 有 含 未 知 数 的 一 项 和 非 零 的 常 数 项，另 一 边 是 零，那 么 这 样 的 方 程 就 叫 做 二 项 方 程，关 于“的 一 元 次 二 项 方 程 的 一 般 形 式 为：ax+b=0(a w 0,6 w 0,是 正 整 数).f 为 奇 数 时，方 程 有 且 只 有 一 个 实 数 根；为 偶 数 时，若 而 0,方 程 有 两 个 实 数 根，且 这 两 个 根 互 为 相 反 数；若 必 0,那 么 方 程 没 有 实

2、数 根.2.一 般 地，只 含 有 偶 数 次 项 的 一 元 四 次 方 程，叫 做 双 二 次 方 程.关 于 x 的 双 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为 or4+加+c=0(。H 0,b O,c#0).3.了 解 关 于 x 的 双 二 次 方 程 ox4+凉+c=0 b w O,。工()，可 以 用 新 未 知 数 y 代 替 方 程 中 的 同 时 用 y 2代 替 丁,将 这 个 方 程 转 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程.2+外+。=0这 种 解 方 程 的 方 法 是 换 元 法.4.整 式 方 程 和 分 式 方 程 统 称 为 有 理 方 程.例 题

3、 解 析 例 1.下 列 关 于 x 的 方 程 中，为 一 元 整 式 方 程 的 是()3 2A.3 x-4 y=3 B.x2-4 C.1).2x2-3 x-5=0 x x-2例 2.判 断 下 列 关 于 x 的 方 程，哪 些 是 一 元 整 式 方 程，并 指 出 这 些 整 式 方 程 分 别 是 一 元 几 次方 程?2x2+a3x-7=0；+4 f-5 一 x=O(a+0)；x+一=3(/0);a+b x-1%+1=-2(x 工 0)；x 加 2!+3加-5=0；%5+-2x-7=O01).x-2 2 b-例 3(松 江 2018期 中 6)二 项 方 程，V-1 6=0 的

4、实 数 根 是 2例 4(崇 明 2018期 中 12)关 于 x 的 方 程 x+x=l的 解 是.例 5(杨 浦 2019期 中 11)关 于 x 的 方 程：2 f+日 一 1=0 是 二 项 方 程，k=.例 6(静 安 2018期 末 10)如 果 关 于 x 的 方 程 楼=2 有 实 数 解,那 么 b 的 取 值 范 围 是.例 7.(1)若 关 于 x 的 方 程 ar+6=2x的 解 为 2,则。=；(2)若 方 程 2寸 一 日-5=0 的 一 个 根 是 1,则=.例 8.若 关 于 x 的 二 项 方 程 2/+?=0 没 有 实 数 根，则 加 的 取 值 范 围

5、是()A.?0；D.m 0；例 9.关 于 x 的 方 程 如 J 4 x-l=0 实 数 根 的 情 况 是()A.1个 B.2 个 C.1个 或 2 个 D.不 确 定 例 10.如 果 机.为 常 数，关 于 x 的 方 程 2(匕+2)-3=2二 细，无 论 k 为 何 值，方 程 的 解 总 是 L 贝!I炉,n=.2例 11.解 下 列 方 程：(1)4x4=16x2；(2)X4+X2-2=0；(3)(2x2-3x+1)2=22x2-33x+1；(4)(x2-x-l)v+2=1.例 12.解 下 列 方 程:(1)a(ar-l)=4x 2；(2)2(%2)3a=x+1.例 13.解

6、 下 列 方 程：(1)(x2-2)2-x2=0；(2)x(x+l)(x+2)(x+3)=35；(3)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0.例 14.关 于 x 的 方 程 znr+4=3 x-，分 别 求 勿、为 何 值 时，原 方 程:(1)有 唯 一 解；(2)有 无 数 多 解；(3)无 解.例 15.解 下 列 方 程:,1 b x2 x2+a.八、(1)=-(a b 0)；a b(2)abx2(a4+b4)x+ab3=0(a b*0).例 1 6.已 知。是 正 整 数，且 使 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程?+2（2 a-l）尤+4（-3）=0至 少 有

7、一 个 整 数 根，求 a 的 值.模 块 二：分 式 方 程 知 识 精 讲 分 母 中 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 分 式 方 程.解 分 式 方 程 的 基 本 思 想 是 转 化 为 整 式 方 程 求 解,转 化 的 基 本 方 法 是 去 分 母、换 元，但 也 要 灵 活 运 用，注 意 方 程 的 特 点 进 行 有 效 的 变 形.变 形 时 可 能 会 扩 大（或 缩 小）未 知 数 的 取 值 范 围，故 必 须 验 根.例 题 解 析 例 1.（静 安 2019期 末 1）下 列 方 程 中，是 分 式 方 程 的 为（)r-i/2 2A.-=y/2;B.-=1

8、；C.-1=0；D.-7=1.2 X X yjxx+y x-y,1 1例 2.（浦 东 一 署 2018期 中 4）用 换 元 法 解 方 程 组/时，如 设 F=，:=乙 4 3.x+y x-y-=7x-y x+y则 将 原 方 程 组 可 化 为 关 于 和 O的 整 式 方 程 组（）3+6y=44 w-3 v=73+6u=44v-3 w=7C.3w 4-6v=44w 4-3v=73v+6w=44v-3w=7例 3.（金 山 2018期 中 13）分 式 xL 和*3-x的 值 相 等，那 么 x=_.x 3 3 xx2 1例 4.（静 安 2。19期 末 1。）方 程 7 7 r百 的

9、 根 是-.X 3例 5.（黄 浦 2018期 中 10）方 程=2-的 增 根 是.x-3 3-xI k例 6.（嘉 定 2019期 末 12）如 果 x=2 是 关 于 x 的 方 程 一=f+l 的 增 根，那 么 实 数 x-2 x-4k 的 值 为.例 7.（金 山 2018期 中 10）用 换 元 法 解 分 式 方 x 程 2二*3x=1时，如 果 设 x=2=y,那 x x-2 x么 原 方 程 可 化 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是.v2 _ 1 1例 8.（浦 东 四 署 2018期 中 12）用 换 元 法 解 方 程-z+2=0,并 设 y=-X X-1 X那

10、么 原 方 程 可 化 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是.Y _ 1 O y-Y 1例 9.（松 江 2019期 中 15）用 换 元 法 解 方 程 与+上 二=3时，如 果 设 1-=y 时，则 X X 1 X原 方 程 可 以 化 成 关 于 y 的 整 式 方 程 是.1例 1 0.（青 浦 2018期 末 12）已 知 方 程 上 3 jY=l,如 果 设 二 X二 丁，那 么 原 方 程 3x x2+l x2+l-可 以 变 形 为 关 于 y 的 整 式 方 程 为.4-1 Y X例 1 1.（闵 行 2018期 末 10）已 知 方 程-5一=2,如 果 设=丁，那 么

11、原 方 程 3x x2+x2+l-可 以 变 形 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是.例 1 2.（静 安 2019期 末 11）已 知 方 程/二 一 手 上 二=2,如 果 设 若 二 L=y,那 么 原 方 x+1 3 x-l%2+1程 可 以 变 形 成 关 于 y 的 方 程 为.例 1 3.（松 江 2018 期 中 19）解 方 程：WX2-3=X2+2（/M 1）例 1 4.（静 安 2018期 末 21）解 方 程：-一 二,-2xx+3+2 x 3例 15.（崇 明 2018 期 中 21）生 二=1.X 1 X7 r 1例 1 6.（浦 东 2018期 末 19）解

12、方 程：.=+2.厂 一 5元-6 x+1例 1 7.（松 江 2018期 中 22）解 方 程：（一 一 一 2（二 一 一 3=0.+U 2 x+J例 18.解 下 列 分 式 方 程:(1)x+2 X2-4-1-x 2 3 k 5x 2x+1 1X2-1-3 X13 x-3例 19.解 下 列 分 式 方 程:5 1-1-x+y x-y3 1x+y x-y5 _ j_ 3x y 42 2 1 l=一 x y 2=7例 20.若 方 程-二 L _ i有 增 根,求 6 的 值.x-2 x x x-2例 21.解 方 程：1x1-=X X例 22.解 方 程:(1)L+Lx+5 x+81

13、1-+-x+6 x+1,八 x-2 x+2 2(x+3)(2)-+-=-x+2 x2 x3例 23.解 下 列 方 程:-1-F,H-=-x(x-l)x(尤+1)(x+9)(尤+10)12(3)例 24.已 知 关 于”的 方 程+黄 T 有 增 根 求 的 值.例 25当.取 什 么 整 数 时，关 于 x 的 方 程 号+一+京 品=。只 有 一 个 实 数 根，并 求 此 实 数 根.例 26.解 已 知 关 于 x 的 方 程（/一 i）（上 了 一（2。+7）上+1=0 x-1 x-1（1）求。的 取 值 范 围，使 得 方 程 有 实 数 根；（2）求 a 的 取 值 范 围，使

14、得 方 程 恰 有 一 个 实 数 根；（3）若 原 方 程 的 两 个 相 异 的 实 数 根 为 不，刍，且 黄 7+告 7=，求”的 值 随 堂 检 测 1.在 方 程：-%=4,x2+130%-1400=0,-+l=-x,x 2 x 3 2 口 一 旦=1中，是 分 式 方 程 的 有()x x+4A.和 B.和 C.和 D.和 2.下 列 方 程 中，有 实 数 根 的 是（）A.d x+2=0 B.x4-l=0 x C.xM+4=0 D.=一 x-x-3.下 列 方 程 中，不 是 二 项 方 程 的 为（A.x5=1；B.x6=x)C.3X3+-=0 D.X4+16=094 若

15、分 式 生 的 值 为。，则、的 值 等 于-（2）若 分 式 包 无 意 义，当=-?一=0时，贝 l j m=.x 1 3m 2x 2m x5.（1）用 换 元 法 解 方 程 7-/+2 X=I时，如 设 y=U 则 将 原 方 程 化 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是；（2）若 关 于 X 的 方 程 二 一=1-/L 无 解，则 机=.x 3 x 36.解 下 列 方 程:(1)(X+2)3+8=0；(2)5(5-2x)4=10.7.解 下 列 方 程：(1)一 4幺 一 4太+16=0；(3)2X4-9X34-14X2-9X+2=0.(2)(6X+7)4-(6X+7)2-72

16、=0；8.解 下 列 方 程:(1)cix+b2=bx+a2(a b)；(2)(m 3)y2+4y=0.9.解 下 列 分 式 方 程:号-江 号(2)y 1 2 y2 4-4=1;ZQX 1 1 x-6(3)-+1=-：-;2+x 2 x 3x 12z.x2-3x+2 2x2-14A:+12 3x2-3(4)-+-=.x+x 6 x 36 x+1 Ox+91。.当 a为 何 值 时 方 程 三|=2-六 有 增 根.11.解 下 列 分 式 方 程:(1)x+-=a+x-（a 为 已 知 数）;(2)2x-y+5-x-y!+?=0 x-y+x+y-5(3)x+1 x+6 x+2 x+5+x+

17、2 x+7 x+3 x+612.若 关 于 x 的 方 程 2-吃 二%=i+!_ 无 实 数 根，求 机 的 值;X X-x x-113.已 知 关 于 x 的 二 次 方 程(公-8 2+15)x2-2(13-3A)x+8=0 的 两 个 根 都 是 整 数，求 实 数 k【难 度】第 4 讲 整 式 方 程 和 分 式 方 程 模 块 一：整 式 方 程 知 识 精 讲 2、如 果 一 元 次 方 程 的 一 边 只 有 含 未 知 数 的 一 项 和 非 零 的 常 数 项，另 一 边 是 零，那 么 这 样 的 方 程 就 叫 做 二 项 方 程，关 于“的 一 元 次 二 项 方

18、程 的 一 般 形 式 为：ax+b=0(a w 0,6 w 0,是 正 整 数).f 为 奇 数 时，方 程 有 且 只 有 一 个 实 数 根；为 偶 数 时，若 而 0,方 程 有 两 个 实 数 根，且 这 两 个 根 互 为 相 反 数；若 必 0,那 么 方 程 没 有 实 数 根.2.一 般 地，只 含 有 偶 数 次 项 的 一 元 四 次 方 程，叫 做 双 二 次 方 程.关 于 x 的 双 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为 or4+加+c=0(。H0,bO,c#0).3.了 解 关 于 x 的 双 二 次 方 程 ox4+凉+c=0 bO,c x(),可 以 用 新

19、 未 知 数 y 代 替 方 程 中 的 同 时 用 y2代 替 丁,将 这 个 方 程 转 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程.殴,+外+c=0这 种 解 方 程 的 方 法 是 换 元 法.4.整 式 方 程 和 分 式 方 程 统 称 为 有 理 方 程.例 题 解 析 例 1.下 列 关 于 x 的 方 程 中，为 一 元 整 式 方 程 的 是()3 2A.3x-4y=3 B.x2-4 C.I).2x2-3 x-5=0 x x-2【难 度】【答 案】D【解 析】含 有 一 个 未 知 数，且 各 项 均 为 整 式 的 方 程，称 为 一 元 整 式 方 程.【总 结】考

20、 察 一 元 整 式 方 程 的 概 念.例 2.判 断 下 列 关 于 x 的 方 程，哪 些 是 一 元 整 式 方 程，并 指 出 这 些 整 式 方 程 分 别 是 一 元 几 次 方 程？0 2x2+a3x-7=0；V 2 X3+4X2 一 x=O（a+ftO）;x+=3（x30）；a+b x-X?+1-=-2（xx0）；加 2-+3R-5=0；x5+-2x-7=0S*l）.x x-2 2 h-l【难 度】【答 案】、都 是 整 式 方 程；是 一 元 二 次 方 程；是 一 元 三 次 方 程；是 一 元 五 次 方 程.【解 析】“元”表 示 未 知 数 的 个 数，“次”表 示

21、 未 知 数 的 最 高 次 数，各 项 都 是 整 式 的 方 程 是 整 式 方 程；【总 结】考 察 一 元 整 式 方 程 的 概 念.例 3（松 江 2018期 中 6）二 项 方 程,炉 6=0 的 实 数 根 是 2-【答 案】=2；【解 析】由 二 项 方 程 16=0 得 V=3 2,所 以=夜=2.2例 4（崇 明 2018期 中 12）关 于 x 的 方 程/x+x=l的 解 是.【答 案】x=；a2+l【解 析】由/x+x=l得（。2+1）=1,因 为 Y+i#。，故=_.a+例 5（杨 浦 2019期 中 11）关 于 x 的 方 程：2/+乙 一 1=0 是 二 项

22、 方 程，k=.【答 案】0；【解 析】如 果 关 于 X 的 方 程 2x2+依 1=0 是 二 项 方 程，那 么 女=().例 6(静 安 2018期 末 10)如 果 关 于 x 的 方 程 桢=2 有 实 数 解，那 么 6的 取 值 范 围 是【答 案】60；7 7【解 答】解：根 据 题 意 得 6W0，x2=-,当 0时，方 程 有 实 数 解，所 以 60.b b例 7.(1)若 关 于 x 的 方 程 0r+6=2x的 解 为 2,贝 ija=；(2)若 方 程-履-5=0 的 一 个 根 是-1,则 氏=.【难 度】【答 案】(1)a=-(2)k=3【解 析】(1)把 x

23、=2代 入 tzr+6=2x,得：2a+6=4,-把 x=-l代 入 2 d-齿-5=0,得：2+A:-5=0,:.k=3.【总 结】考 察 对 方 程 的 解 的 概 念 的 理 解 及 应 用.例 8.若 关 于 x 的 二 项 方 程 2/+机=0没 有 实 数 根，则 机 的 取 值 范 围 是()A./0：B.m0；D.m0；【难 度】【答 案】D【解 析】因 为 2 d=-m,所 以/=一 _1机，若 方 程 没 有 实 数 根，则/().2【总 结】考 察 二 项 偶 次 方 程 有 解 的 情 况.例 9.关 于 x 的 方 程 以 2-4-1=0实 数 根 的 情 况 是()

24、A.1个 B.2 个 C.1个 或 2 个 D.不 确 定【难 度】【答 案】D【解 析】当 机=（）时，方 程 化 为 4x+l=0,x=-L 只 有 一 个 解；当 加 工 0 时，方 程 为 一 元 二 4次 方 程，A=16+I 0 即 机 2-16且 加#0 时，方 程 有 两 个 实 数 根，A=16+/”（）,即 机-16时，方 程 没 有 实 数 根；综 上 所 述，方 程 实 数 根 的 情 况 不 能 确 定.【总 结】考 察 对 含 字 母 系 数 的 一 元 整 式 方 程 根 的 分 类 讨 论.例 10.如 果 m.为 常 数，关 于 x 的 方 程 2（履+2）-

25、3=甘 二，无 论 为 何 值，方 程 的 解 总 是 工，则 尸，n=.2【难 度】【答 案】m=2,n=.16【解 析】将 方 程 整 理 得：（4攵 一 l）x=6如 2 8，把 工 二；4弋 入 得：g（4A-l）=6-k 一 8，整 理 得：（2-?*=蓑-8，若 左 为 任 意 实 数，则 m=2,13=一 16【总 结】考 察 含 字 母 的 系 数 的 整 式 方 程 解 的 讨 论 及 综 合 应 用.例 11.解 下 列 方 程：(1)4/=16/；(3)(2x2-3x+1)2=22x2-33x+1；【难 度】【答 案】(1)司=%=0,Xy=-2,=2；3 3(3)%,=

26、0,Xj=,x3=3,x4=：(2)X4+X2-2=0；(4)(x2-x-l)x+2=l.(2)%=1,x2=1；(4)%,=2,x=2,=1,x4=0【解 析】解：（1）由 4/=1 6 d,得：/一 4/=0,即*2（X+2）（X 2）=0.解 得 原 方 程 的 解 为：X|=马=0,毛=-2，匕=2；(2)由 犬+/一 2=0,得：(d+z X/DnO,g|J(x2+2)(x+l)(x-l)=0,解 得 原 方 程 的 解 为：办=-1，刍=1;（3）由（2W-3x+l）2=2 2/-33x+l,得：（2x2-3x）2+2（2x2-3x）+l=11（2x2-3x）+1,即（2x2-3X

27、）2-9（2X2-3X）=0.分 解 因 式,得:x（2x-3）（x-3）（2x+3）=0,解 得 原 方 程 的 解 为：X|=0,x2=,毛=3,x4=；（4）因 为，-x-l）2=l,所 以 分 以 下 情 况 讨 论：当 x+2=（）时，解 得：x,=2；当 x,x1=1 时，解 得：x2=2,毛=1；当 2 x 1=1 时，解 得：x4=0,x5=1,当 Y x 1=1时，x+2 应 为 偶 数，r.x=l舍 去，故 原 方 程 的 解 为：x,=-2,X2=2,鼻=-1,x4=0.【总 结】本 题 主 要 考 察 一 元 高 次 方 程 的 解 法，第（4）问 注 意 要 从 多

28、个 角 度 进 行 分 类 讨 论.例 12.解 下 列 方 程：（1）a（ar-1）=4x2；（2）/（尤 一 2）3a=x+l.【难 度】【答 案】（1）当。工 及 时，x=-,当。=2 时，x 为 一 切 实 数，当。=-2 时，方 程 无 tz+2解;（2）当 4=一 1时，X 为 一 切 实 数，当。=1时，方 程 无 解,当 awl 时，(a l)x=(2a+1),x=十.a-【解 析】解：(1)由(or-l)=4 x-2,得：(a1-4x=a-2,故 当 万 一 4 工。时，即 w 2,九=一；当/一 4=0 时，。+2(1)a=2：0 x=0，x 为 一 切 实 数；(2)a=

29、-2：0 x=-4,方 程 无 解；综 上 所 述：当。2 时，工=。+2；当。=2 时，x 为 一 切 实 数；当。二 一 2,方 程 无 解;(2)由/(工-2)-3。=工+1,得：(672-1)X-(22+36Z+1)=O,即(+l)(一 l)x=(a+1)(2Q+1),当。=一 1时，0 x=0,x 为 一 切 实 数；当=1时，0 x=6,方 程 无 解;当 Q W 1 时，(tz-l)x=(2a+l),x=.a-【总 结】考 察 含 字 母 系 数 的 整 式 方 程 的 求 解，注 意 进 行 分 类 讨 论.例 13.解 下 列 方 程：(1)(X2-2)2-X2=0；(2)x

30、(x+l)(x+2)(x+3)=35；(3)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+l=0.【难 度】【答 案】(1)%=-2,赴=1,九 3=2,巧=一 1；-3-J292-5+75-5+75,X)-2 2【解 析】解：(1)由(f 2)2f=o,得：y+x_2)(f 一 工 一 2)二 0,即(x+2)(%-1)(%-2)(1+1)=0,故 原 方 程 的 解 为：N=2,x2=1,x3=2,x4=-1；(2)由 矣+1)&+2)(%+3)=3 5,得：(X2+3X-5)(X2+3X+7)=0,.,.x2+3 x-5=0 或 J+3X+7=0,当 犬+3工 一 5=0,13上”二 3苔%

31、当 d+3 x+7=0,A0,方 程 无 解.2-2所 以 原 方 程 的 解 为：5=-3+咽,3一 屈;2 2(3)由(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+l=0,得：(工+l)(x+4)(x+2)(x+3)+l=0,即(x2+5%+4)(工 2+5%+6)+1=0,所 以(d+5 x+5)2=0,即 f+5 x+5=0，解 得 原 方 程 的 解 为：西=且，9=占 叵.F 2-2【总 结】考 察 整 式 方 程 的 解 法，注 意 因 式 分 解 的 准 确 运 用.例 14.关 于 尢 的 方 程 必+4=3工-，分 别 求 勿、为 何 值 时，原 方 程：(1)有 唯 一 解；

32、(2)有 无 数 多 解；(3)无 解.【难 度】【答 案】(1)加 工 3,为 任 意 实 数，有 唯 解；(2)机=3,n=4 f 有 无 数 多 解；(3)m=3,4,方 程 无 解.【解 析】解：m r+4=3 x-，整 理 得：(3)x=4+，当 3-2 时 即 小 3,为 任 意 实 数，x=言,即 有 唯 一 解;(2)当 3-2=0,4+=0时，即 m=3,=-4,0 x=0,x 为 一 切 实 数，即 有 无 数 多 解；(3)当 3机=0,4+。0时，即 m=3,工-4,()X=4+，2,方 程 无 解.【总 结】考 察 整 式 方 程 含 字 母 系 数 的 方 程 求

33、解 的 分 类 讨 论.例 15.解 下 列 方 程：(1)=-(a b 0)；a b(2)abx2(a4+b4)x+a3b3=0(W0).【难 度】J_ 右 3 3【答 案】(1)x=y/h-a；(2)x=,x-y=.a b【解 析】(1)因 为=所 以 加 法 2=以 2+6,a b即 加+加=/?2-a2,则(a+Z?)/=(+6)e _),因 为。0,所 以 原 方 程 的 解 为：无=/二：(2)因 为。瓜 2 _(4+力 4)x+%3=0(二 0),所 以(以-。3)(笈-。3)=0,则 a r-。=0 或 次 一=0,.0.ax=b3&hx=a3 a w O,人 wO,原 方 程

34、 的 解 为：X,=-,x2=.a-b【总 结】考 察 含 字 母 系 数 的 方 程 的 分 类 讨 论，注 意 考 虑 未 知 数 系 数 是 否 为 零.例 16.已 知。是 正 整 数，且 使 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ar2+2(2a-l)x+4(-3)=0至 少 有 一个 整 数 根，求”的 值.【难 度】【答 案】a 的 值 为 1,3,6,10.【解 析】（1）将 原 方 程 变 形 为（x+2）Z=2（x+6）,显 然 x+2*0,即 x w 2.2（x+6）,.,r 1 2（x+6）a=-,:“是 正 整 数，:.a l 1,（x+2）（x+2）-.-.X

35、2+2X-80,BP（X+4）（X-2）0,:.-4X 2.方 程 至 少 有 一 个 整 数 根，.当 x 可 取 T,一 3,-1,0,1,2 时，14故 对 应 的。的 值 为 1,6,10,3,1,9:a 是 正 整 数，二。的 值 为 1,3,6,10.【总 结】考 察 在 一 元 二 次 方 程 中，如 果 参 数 是 一 次 的，可 以 先 对 这 个 参 数 求 解，题 目 比 较 典 型，难 度 较 大.模 块 二：分 式 方 程 知 识 精 讲 分 母 中 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 分 式 方 程.解 分 式 方 程 的 基 本 思 想 是 转 化 为 整 式 方

36、 程 求 解,转 化 的 基 本 方 法 是 去 分 母、换 元，但 也 要 灵 活 运 用，注 意 方 程 的 特 点 进 行 有 效 的 变 形.变 形 时 可 能 会 扩 大（或 缩 小）未 知 数 的 取 值 范 围，故 必 须 验 根.例 题 解 析 例 1.（静 安 2019期 末 1）下 列 方 程 中，是 分 式 方 程 的 为（）_1 L JJc-J?八 2,A.-=正；B.-=1；C.-1=0：D.f=1.2 x x Vx【答 案】C；【解 析】A、分 母 中 不 含 未 知 数，故 A 不 是 分 式 方 程；B、虽 分 母 中 含 未 知 数，4 是 无 理 式而 不

37、是 有 理 式，故 B 不 是 分 式 方 程；C、分 母 中 含 未 知 数 的 有 理 方 程，因 此 C 是 分 式 方 程;D、左 边 是 无 理 式，故 D 不 是 分 式 方 程；因 此 答 案 选 C.y x-y 1 1例 2.（浦 东 一 署 2018期 中 4）用 换 元 法 解 方 程 组/时，如 设=，=v,4 3 _ x+y x-y-=7x-y x+y则 将 原 方 程 组 可 化 为 关 于 和 的 整 式 方 程 组（）3 4-6v=44u-3v=73+6u=44v-3w=73w+6v=44w+3v=73v+6u=44v-3w=7【答 案】B【解 析】解：用 换 元

38、 法 解 方 程 组.3 6-+-x+y x-y4 3=4时，如 设 x+y x-y则 将 原 方 程 组 x-y x+y可 化 为 关 于 u 和 v 的 整 式 方 程 组 为 3+6丫=4,故 选：B.4v-3w=7例 3.（金 山 2018期 中 13）分 式/一 和*的 值 相 等，那 么 x=_.x 3 3-x【答 案】x=O或 一 3；V-4 X【解 析】依 题 得：.转 化 为 整 式 方 程 得：X2+3X=0,解 得 x=O或-3.经%-3 3-x检 验 x=O或 一 3 都 是 原 方 程 的 根，故 x=O或 3.x2 1例 4.（静 安 2019期 末 10）方 程-

39、=;的 根 是 _.X+l X+1【答 案】=1;【解 析】解：去 分 母，得 V=1,所 以 X=l,经 检 验=1是 增 根，故 原 方 程 的 解 是 X=1.Y 3例 5.（黄 浦 2018期 中 10）方 程-=2-的 增 根 是 _.x-3 3-x【答 案】x=3【解 析】解：两 边 都 乘 以 x-3,得：x=2（x-3）+3,解 得：x=3,检 验：当 x=3时，x-3=0,所 以 x=3是 原 分 式 方 程 的 增 根，故 答 案 为：x=3.例 6.（嘉 定 2019期 末 12）如 果 x=2 是 关 于 x 的 方 程 一!一=一+1的 增 根，那 么 实 数 x-2

40、 X2-4k 的 值 为.【答 案】4；【解 析】去 分 母 得%+2=%+/-4,将 x=2 代 入 得 女=4.例 7.（金 山 2018期 中 10）用 换 元 法 解 分 式 方 程*=1时，如 果 设 匚=丁，那 x x-2 x么 原 方 程 可 化 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是.答 案 y2-y-3=O；【解 析】因 为=Y 2=y,则 分 式 方 程 x0 2-3*x=1可 化 为：y-3=l,转 化 为 整 式 方 程 x x x-2 y为：y2-y-3=0.例 8.（浦 东 四 署 2018期 中 12）用 换 元 法 解 方 程-=+2=0,并 设 y=一，X X

41、*-1 X那 么 原 方 程 可 化 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是.【答 案】/+2 y-3=0；r2.1 7【解 析】因 为 y=一，所 以 原 方 程 可 化 为 y-+2=0,得 y2+2y 3=0.x y例 9.（松 江 2019期 中 15）用 换 元 法 解 方 程 二+之 二=3时，如 果 设 1-=时，则 x x-1 X原 方 程 可 以 化 成 关 于 y 的 整 式 方 程 是【答 案】y2-3y+2=0【解 析】解：土 x J 1+上 2 r-=3,x=1=y,.y+2=3,去 分 母 得：y2-3 y+2=0.故 答 x x-1 x y案 为：y2-3y+2=

42、0.例 1 0.（青 浦 2018期 末 12）己 知 方 程 三 1 J=l,如 果 设=丁，那 么 原 方 程 3x x2+l x2+l可 以 变 形 为 关 于/的 整 式 方 程 为.【答 案】3/+3 y-l=O；【解 析】解：方 程）-4=1,因 为=y,所 以;-y=i,两 边 都 乘 以 3%得 3x x2+l x2+1 3y3 y 2+3 y-l=0.故 答 案 为：3/+3-l=O.+1 x r例 1 1.（闵 行 2018期 末 10）已 知 方 程-=2,如 果 设 那 么 原 方 程 3x x2+x2+l可 以 变 形 为 关 于 y 的 整 式 方 程 是【答 案】

43、3 y2+6 y-l=O：【解 析】解：设 一 A-=y，原 方 程 变 形 为：y=2,化 为 整 式 方 程 为：3 y?+6 y 1=0.x+1 3y3 x 1 3工 2+3 Q r-1例 1 2.（静 安 2019期 末 11）已 知 方 程=二-7=2,如 果 设 与=y,那 么 原 方 x+1 3 x-l x2+程 可 以 变 形 成 关 于 y 的 方 程 为.【答 案】r-2 y-3=0；【解 析】由 自 二 1=门 原 方 程 可 化 为：丫 _3=2,所 以 y 2-2 y-3=0.r+1 y例 1 3.（松 江 2018期 中 19）解 方 程：机/3=/+2（加 工 1

44、）【答 案】当 加 1时，所 以 x=画 巨；7 1【解 析】解：移 项，得：加/一/=2+3,化 简 得：（?-1）/=5,.相 工 1.犬=_1_./n-1当?一 1 0 时，=1 0 时，x2=0.m m 所 以&=5（加-1）,X 口 Z=_ j 5（D.故 当 1时，所 以 x=土 画 画.1-2x例 1 4.（静 安 2018期 末 21）解 方 程：-1=-.x+3 X2+2X-3【答 案】X=2,x=-1；1-2x【解 答】解：原 方 程 化 为-1=-,方 程 两 边 都 乘 以（户 3）（x-1）得：x-x+3 x+2x-31-（广 3）（x-1）=-2x,Z-x-2=0,

45、解 得：x=2 或-1,检 验：当 x2 时，（片 3）（x-1）W 0,所 以 x=2 是 原 方 程 的 解，当 _=-1时，（A+3）（x-1）#0,所 以 x=-1是 原 方 程 的 解，所 以 原 方 程 的 解 为：x=2,x-2=-1.例 15.（崇 明 2018 期 中 21）2。-D=i.x-1 X【答 案】=2,=：；解 析 解：方 程 两 边 同 乘 以 x（x-1）,得/一 2（X 1）2=X（x-1）,整 理 得：2 1-5x-2=0,解 此 方 程 得：N=2，z=g，经 检 验：西=2,都 是 原 方 程 的 根；所 以 原 方 程 的 根 是 1 Y芯=2,为=

46、一.（也 可 用 换 元 法 求 解，设 一 一 二 y）2 x-17%1例 1 6.（浦 东 2018期 末 19）解 方 程：-=+2.x 5x 6 x+1【答 案】产 9；【解 析】解：去 分 母 得：7产 6+2（6）（户 1）,整 理 得：/-8-9=0,解 得：为=9,x2=1,经 检 验 尸 9 是 分 式 方 程 的 解，产 T 是 增 根，则 原 方 程 的 解 为 尸 9.例 17.（松 江 2018期 中 22）解 方 程：一 一 2 一 一 一 3=0.2 x+lJ 2x+iJI 3【答 案】x=!如=一 三；3 5【解 析】解：设 一 一=y,则 原 方 程 变 形

47、为 y2_2y-3=0.解 之 得 y=-1,%=3,2x+l=-lC-=3,解 得 x=乙 或=二，经 检 验：尤=上 或=3 都 是 原 方 2x+l 2x+l 3 5 3 51 3程 的 解.所 以 原 方 程 的 解 是 x=-或=-巳.3 5例 18.解 下 列 分 式 方 程：(1)J-=；(2)L_L=_J_x 2 3x 5x 2 x 1 3x 3x 3【难 度】【答 案】(1)X=0,x2=-12：(2)无 解.【解 析】（1）由 土+x 2x2-43%2 5x 2=1,得:x+2 4x-2(3x+l)(x-2)BP(x+2)(3x+l)+x2-4=3x2-5x-2,解 得:x

48、1=0,%2=12,经 检 验：=0,w=T 2 是 原 方 程 的 解,所 以 原 方 程 的 解 为 石=0,X2=-12；由 碧 丁 匕 得:直 击 如 与 即 3x（xl）=x,解 得：x=l,经 检 珀：x=l为 原 方 程 的 增 根,所 以 原 方 程 无 解.【总 结】考 察 分 式 方 程 的 解 法，注 意 要 检 验.例 19.解 下 列 分 式 方 程:5-十 f3.x+y-=75 _1_ 3x y 42 2 1 I=X y 2【难 度】3x=【答 案】（1）4x=6y=12【解 析】设 一=a,一=b，则|+?=7,解 得：=1x+y x y 3a b=b=2-=1K

49、+y=23x=4经 检 必：:是 原 方 程 组 的 解，.原 方 程 的 解 为:设 工=a,L=人，则.%y(2),35 a-b=一 4，解 得：.2a+2b=-21a=6b=12x 6 J x=6L _ L，1y=i2 12经 检 验：=6 是 原 方 程 组 的 解,b=i2所 以 原 方 程 的 解 为：x=6.b=i2【总 结】考 察 利 用 换 元 法 解 分 式 方 程 组，注 意 进 行 检 验.例 20.若 方 程 之 上 左+_ 1=且 _ 1有 增 根，求。的 值.x-2 x x x-2【难 度】【答 案】/?=i或 人=一 2/1 1.【解 析】4 3一-+L 2 L

50、 _ I,去 分 母 得 2/-(1+2方+1-从=0,X2-2X x x-2.方 程 有 增 根，(1)把 增 根 x=O代 入 整 式 方 程 得：1-廿=o,.匕=土 1；(2)把 增 根 x=2代 入 整 式 方 程，得：+4。一 7=0,.2=-2711.综 上 所 述，匕=1或 6=-25/11.【总 结】考 察 已 知 增 根，如 何 求 解 分 式 方 程 中 的 字 母.先 将 分 式 方 程 化 成 整 式 方 程，再 代 入 增 根 求 得 字 母 的 值.例 21.解 方 程：国 3=型 X X【难 度】【答 案】x=4.【解 析】当 x 0时，X-=3,去 分 母，得