2022-2023学年九年级上学期数学同步精讲精练（北师大版）1.2矩形的性质及判定.pdf

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1、1.2矩 形 的 性 质 及 判 定 分 层 训 练 提 分 要 义【基 础 题】1.下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形 B.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形 C.平 行 四 边 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角 D.矩 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 平 分 2.若 矩 形 对 角 线 相 交 所 成 钝 角 为 120。，短 边 长 3.6 c m,则 对 角 线 的 长 为（）.A.3.6 cm B.7.2 cm C.1.8 cm D.14.4 cm3.矩 形 邻 边 之 比 3：4,对 角 线

2、 长 为 10c机，则 周 长 为（）.A.14 cm B.28 cm C.20 cm D.22 cm4.如 图，矩 形 ABCD的 顶 点 A、C 分 别 在 直 线 a、b 上，且 Z 1=60,则 N 2 的 度 数 为)5.矩 形 一 个 角 的 平 分 线 分 矩 形 一 边 为 1c祖 和 3a”两 部 分，则 它 的 面 积 为（）A.3 cm2 B.4 cm2 C.12cm2 D.4 c/”?或 12 c7756.如 图，矩 形 ABCG（ABVBC）与 矩 形 CDEF全 等，点 B、C、D 在 同 一 条 直 线 上，NAPE的 顶 点 P 在 线 段 BD上 移 动，使

3、NAPE为 直 角 的 点 P 的 个 数 是（）P C 一 0A.0 B.1 C.2 D.37.把 一 张 长 方 形 的 纸 片 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠,EM、FM为 折 痕，折 叠 后 的 C 点 落 在 B M 或 B M 的 延 长 线 上，那 么/EMF的 度 数 是（）D.1008.如 图，四 边 形 ABCD 中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90,BE_LAD 于 点 E,且 四 边 形 ABCD的 面 积 为 8,则 B E=()D.25/39.如 图，在 AABC 中，ZACB=90,C D 1 A B,垂 足 为 D,点 E 是 AB 的 中 点，CD

4、=DE=a,则 A B 的 长 为()a C.3a。.争 110.如 图，点 O 是 矩 形 A B C D 的 对 角 线 A C 的 中 点，O M AB交 A D 于 点 M,若 OM=3,BC于 点 E、F,连 结 CE,则 CE的 长 对 角 线 AC重 合，点 B 落 在 点 F 处，折 痕 为 AE,且 EF=3,则 AB的 长 为.A E D2R F C12.如 图 所 示,c m,则 矩 形 对 角 线 AC长 为 一 A DX13.B c矩 形 ABCD的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 0,ZA0D=120,AB=cm如 图，矩 形 纸 片 ABCD中，已 知 AD=

5、8,折 叠 纸 片 使 AB边 与14.如 图，矩 形 ABCD中，AB=3,BC=4,P 是 边 AD上 的 动 点,PEJ_AC于 点 E,PFJ_BD于 点 F,则 PE+PF的 值 为 一.A P0 15.在 矩 形 A8CD 中，A8=6,AD=3,E 是 A8 边 上 一 点，AE=2,F 是 直 线 CD上 一 动 点，将 AAEF沿 直 线 EF折 叠，点 A 的 对 应 点 为 点 4,当 点 E、4、C 三 点 D 工 _ 9在 一 条 直 线 上 时，OF的 长 度 为.A E16.已 知：如 图，在 BCD中，AE1BC,CF1.AD,E,F 分 别 为 垂 足.(1)

6、求 证：B E 空 ACDF；(2)求 证：四 边 形 AECF是 矩 形.17.如 图，矩 形 ABCD中，AB=8,A D=6,点。是 对 角 线 B。的 中 点，过 点。的 直 线 分 别 交 AB、CD边 于 点 E、F.(1)求 证：四 边 形 DEBF是 平 行 四 边 形；(2)当 OE=DF时，求 EF的 长.D F C【综 合 题】18.如 图 在 矩 形 ABCD中,AB=3,BC=4,M,N在 对 角 线 AC上，且 AM=CN,E,F分 别 是 AD,BC的 中 点.求 证:ZABM丝 CDN;(2)点 G 是 对 角 线 AC上 的 点,/EGF=90,求 A G 的

7、 长.19.如 图 1,矩 形 A8CD中，点 E 为 4 3 边 上 的 动 点(不 与 A,B 重 合)，把 沿 DE翻 折，点 A 的 对 应 点 为 4，延 长 E 4 交 直 线 DC于 点 F,再 把 NBEF折 叠，使 点 B 的 对 应 点 Bi落 在 EF上，折 痕 EH交 直 线 BC于 点 H.(1)求 证：AiDEs/i&EH；(2)如 图 2,直 线 M N 是 矩 形 ABCD的 对 称 轴，若 点 4 恰 好 落 在 直 线 上，试 判 断 口 下 的 形 状，并 说 明 理 由；(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，点 G 为 A D E F 内 一 点,且

8、 NDGF=150。，试 探 究 DG,EG,FG的 数 量 关 系.平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，矩 形 ABCD的 边 A8=4,8c=6.若 不 改 变 矩 形 ABCD的 形 状 和 大 小，当 矩 形 顶 点 A 在 x 轴 的 正 半 轴 上 左 右 移 动 时，矩 形 的 另 一 个 顶 点。始 终 在 y 轴 的 正 半 轴 上 随 之 上 下 移 动.(1)当/OAD=30时，求 点 C 的 坐 标；(2)设 A D 的 中 点 为 连 接。M、M C,当 四 边 形 O M C D 的 面 积 为 2 L 时，求 的 长；2(3)当 点 4 移 动 到 某 一 位

9、置 时，点 C 到 点。的 距 离 有 最 大 值，请 直 接 写 出 最 大 值，并 求 此 时 cosZOAD的 值.1.2矩 形 的 性 质 及 判 定 分 层 训 练 提 分 要 义【基 础 题】1.下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形 B.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形 C.平 行 四 边 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角 D.矩 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 平 分【答 案】D；【解 析】：对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形，不 正 确；：对 角 线 互 相 垂 直

10、的 四 边 形 不 一 定 是 菱 形，B 不 正 确：.平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分，菱 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角，.c不 正 确：矩 形 的 对 角 线 互 相 平 分 且 相 等，D 正 确；2.若 矩 形 对 角 线 相 交 所 成 钝 角 为 120。，短 边 长 3.6cvn,则 对 角 线 的 长 为（）.A.3.6 cm B.7.2 cm C.1.8 cm D.14.4 cm【答 案】B；【解 析】直 角 三 角 形 中，30。所 对 的 边 等 于 斜 边 的 一 半.3.矩 形 邻 边 之 比 3：4,对 角 线 长 为 lOcvn,

11、则 周 长 为（）.A.14 cm B.28 cm C.20 cm I）.22 cm【答 案】B；【解 析】由 勾 股 定 理，可 算 得 邻 边 长 为 6 c m 和 8 c m,则 周 长 为 28 cm.4如 图，矩 形 ABCD的 顶 点 A、C 分 别 在 直 线 a、b 上，且 Z 1=60,则 N 2 的 度 数 为（）B.45 C.60 D.75【答 案】C.【解 析】过 点 I）作 DE a,四 边 形 ABCD是 矩 形，A ZBAD=ZADC=90,/.Z3=90-Zl=90-60=30,Va/b,，DE a b,二 N 4=N 3 二 30,Z2=Z5,AZ2=90-

12、30=60.故 选 C.的 面 积 为（）2 2A.3 cm B.4 cm矩 形 一 个 角 的 平 分 线 分 矩 形 一 边 为 1 0 7 2和 3 c相 两 部 分，则 它 C.12cin2 D.44:22或 12。2【答 案】D；【解 析】矩 形 的 短 边 可 能 是 1,也 可 能 是 3,所 以 面 积 为 4 X 1 或 4X3.6.如 图，矩 形 ABCG（ABVBC）与 矩 形 CDEF全 等，点 B、C、D 在 同 一 条 直 线 上，N A P E 的 顶 点 P 在 线 段 B D上 移 动，使 N A P E 为 直 角 的 点 P 的 个 数 是（）【答 案】C

13、：B.1 C.2 D.3【解 析】当 BP=AB或 BP=BC时,N A P E是 直 角.7.把 一 张 长 方 形 的 纸 片 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠,EM、F M为 折 痕，折 叠 后 的 C 点 落 在 B，M 或 B M 的 延 长 线 上，那 么/E M F 的 度 数 是（A.85 B.90 D.100【答 案】B；【解 析】Z E M F=Z E M B,+NFMB=-ZBMC;+-ZCMC*=-X180=90.2 2 28.如 图，四 边 形 ABCD 中，AB=BC,Z A B C=ZCDA=90,BE_LAD 于 点 E,且 四 边 形 ABCD的 面 积

14、 为 8,则 B E=()B.3 c.2V 2D.273【答 案】c；【解 析】过 点 C 做 BE垂 线，垂 足 为 F,易 证 ABAE丝 CBF,所 以 BF=AE,BE=CF,所 以 总 面 积=AEXBE+CFXEF=AEXBE+BEX(BE-AE)=BE2=8,BE=2垃.9.如 图，在 AABC 中，ZACB=90,CD AB,垂 足 为 D,点 E 是 ABC.3aD.争 B-2A/2a【答 案】B【考 点】直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线【解 析】【解 答】解：VCD1AB,CD=DE=a,CE=y/2 a,.在 AABC 中，NACB=90。，点 E 是 A B

15、的 中 点,AB=2CE=2 y/2 a,故 选 B.【分 析】根 据 勾 股 定 理 得 到 CE=V2 a,根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 10.如 图，点 O 是 矩 形 ABCD 的 对 角 线 A C 的 中 点，OM AB交 A D 于 点 M,若 OM=3,【考 点】矩 形 的 性 质【解 析】【解 答】解：二 四 边 形 ABCD 是 矩 形,ZD=90,：0 是 矩 形 ABCD 的 对 角 线 A C 的 中 点，OM AB,；.0M是 A A D C 的 中 位 线，0M=3,；.DC=6,VAD=BC=10,AC=JAD2+CD2=2 V

16、 3 4，B0=AC=y/34,故 选 D.【分 析】已 知 O M 是 A A D C 的 中 位 线，再 结 合 已 知 条 件 则 D C 的 长 可 求 出，所 以 利 用 勾 股 定 理 可 求 出 A C 的 长，由 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 的 性 质 则 B O 的 长 即 可 求 出.【中 档 题】11.如 图，矩 形 ABCD中，AB=2,BC=3,对 角 线 AC的 垂 直 平 分 线 分 别 交 AD,BC于 点 E、F,连 结 CE,则 CE的 长.【解 析】设 AE=CE=x,DE=3-x,x2=（3-x）+22.x=.612.如 图 所 示，矩 形

17、ABCD的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 0,/A0D=120。，AB=4C，则 矩 形 对【解 析】由 矩 形 的 性 质 可 知 AAOB是 等 边 三 角 形，二 AC=2A0=2AB=8cnz.14.如 图，矩 形 纸 片 ABCD中，已 知 AD=8,折 叠 纸 片 使 AB边 与 对 角 线 AC重 合，点 B 落 在 点 F 处，折 痕 为 AE,且 EF=3,则 AB的 长 为.【答 案】6；【解 析】设 AB=AF=X,BE=EF=3,EC=5,则 CF=4,%2+82=(+4)2,解 得 x=6.14.如 图，矩 形 ABCD中，AB=3,BC=4,P 是 边 AD上

18、 的 动 点，PEJ_AC于 点 E,PF_LBD于 点 F,则 PE+PF的 值 为.3x4【解 析】BD=5,利 用 面 积 法，PE+PF=ZAOD中 0D边 上 的 高=.515.在 矩 形 A8CD中，AB=6,AD=3,E 是 A8边 上 一 点，AE=2,F 是 直 线 CD上 一 动 点，将 AEF沿 直 线 EF折 叠，点 A 的 对 应 点 为 点 A,当 点 E、4、C 三 点 在 一 条 直 线 上 时，DF的 长【解 析】在 旋 转 过 程 中 A 有 两 次 和 E,C 在 一 条 直 线 上，第 一 次 在 EC线 段 上，第 二 次 在 CE线 段 的 延 长

19、线 上，利 用 平 行 的 性 质 证 出 CF=CE,即 可 求 解；如 图 1：将 AAEF沿 直 线 EF折 叠，点 A 的 对 应 点 为 点 A,A ZAEFZEAF,AEAE,：AB/CD,：.4AEF=/CFE,：.CFCE,：AB=6,AD=3,AE=2,；.CF=CE=6-DF,AE=2,8E=4,BC=3,：.EC=5,：.6-DF=5,DF=1；如 图 2：由 折 叠 NFE4=/FEA,:AB CD、ZCFE=NCEF,：.CFCE,：.CF=5,：.DF=11；故 答 案 为 1或 11;图 1 16.已 知：如 图，在 勿 8CD中，AEBC,CFAD,E,F分 别

20、 为 垂 足.(1)求 证：A8Eg/CDF；(2)求 证：四 边 形 AECF是 矩 形.【解 析】(1)证 明：四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，：.Z B=Z D,AB=CD,AD/BC,：AE1.BC,C F 1 A D,，NAEB=Z A E C=/C F D=NAFC=90,/B二 ND在 A8E 和 CDF 中，Z A E B=Z C F D，AB=CD:./XABEg ACDF(AAS)；(2)证 明：.AD/BC,：.ZE A F=ZA E B=90a,；./E A F=/A E C=/A F C=9 0,，四 边 形 AECF是 矩 形.17.如 图，矩 形 AB

21、CD中，AB=8,A D=6,点。是 对 角 线 8。的 中 点，过 点。的 直 线 分 别 交 AB.CD边 于 点、F.(1)求 证：四 边 形 DEBF是 平 行 四 边 形；【解 析】根 据 矩 形 的 性 质 得 到 AB C D,由 平 行 线 的 性 质 得 到 N D F 0=N 8 E。，根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 O F=B E,于 是 得 到 四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形；推 出 四 边 形 8EDF是 菱 形，得 至 lDE=BE,EF1.BD,O E=O F,设 A E=x,则 D E=8E=8-x 根 据 勾 股 定 理 即 可 得

22、 到 结 论.(1)证 明：.四 边 形 A8CD是 矩 形，：.AB/CD,：.Z D F O ZBEO,又 因 为 N D 0 F=/8 0 E,OD=OB,:.D O 0/B O E(ASA),，DF=BE,又 因 为 DF/BE,.四 边 形 8EDF是 平 行 四 边 形；(2)解：O E=D F,四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形 四 边 形 8E0F 是 菱 形，；.DE=8E,EF1BD,OE=OF,设 A E=x,则 D E=8 E=8-x在 R 3/W E中，根 据 勾 股 定 理，有 AE2+A D 2=D 2.X2+62=(8-x)2,解 之 得：x=l,4：.

23、D E=8-,4 4在 R 3 A 8 D中，根 据 勾 股 定 理，有/182+4。2=8。2,S D=V62+82=10,：.0 D=B D=5,2在 RtADOE中，根 据 勾 股 定 理，有 DE?-。2=。5,：.E F=2 O E=.2【综 合 题】1 8.如 图 在 矩 形 A BCD中,AB=3,B C=4,M,N在 对 角 线 A C上，且 AM=CN,E,F分 别 是 AD,BC的 中 点,求 证:ABM丝 CDN;(2)点 G 是 对 角 线 A C上 的 点,N E G F=9 0,求 A G的 长.【答 案】见 解 析。【解 析】在 矩 形 A B C D中,A B

24、CD,所 以 N B A M=N D C N,又 因 为 AB=CD,AM=CN,所 以 aA B M 丝 CDN(SAS);(2)以 EF 为 直 径 作 圆，交 AC 于 点 G i,连 接 EGI,FGI,EG2,FG2,则 NEGI F=NEG2F=9O,1 3因 为 EF=AB=3,所 以 G iH=G 2 H=_ E F=,2 2在 RtAABC 中,A C=lA B2+B C2=5,所 以 A H=-A C=-Z2 2所 以 AGI=1ZAG2=4.1 9.如 图 1,矩 形 ABC。中，点 E 为 八 8 边 上 的 动 点（不 与 4,B重 合）,把 ADE沿 DE翻 折，点

25、 A 的 对 应 点 为 4，延 长 E 4 交 直 线 D C 于 点 F,再 把/BEF折 叠，使 点 B 的 对 应 点 Bi落 在 EF上，折 痕 EH交 直 线 BC于 点 H.（1）求 证：AAiDfABiEH；（2）如 图 2,直 线 M N 是 矩 形 ABCD的 对 称 轴，若 点 4 恰 好 落 在 直 线 上，试 判 断 aDEF的 形 状，并 说 明 理 由；（3）如 图 3,在（2）的 条 件 下，点 G 为 A D E F 内 一 点，且 NDGF=150。，试 探 究。G,EG,【答 案】（1）见 解 析；（2）蛇 下 是 等 边 三 角 形，理 由 见 解 析；

26、（3）DG2+GF2=GE2.【解 析】解：（1）证 明：由 折 叠 的 性 质 可 知：NDAE=/D4E=90,NEBH=NEBiH=90,ZAED=ZAiED,NBEH=/BiEH,./D E 4+N H E 8 I=90.又 Y NHEBi+/EHBi=90”,：.ZDEAi=ZEHB!，：.AA1DES/B1EH；(2)结 论：ADEF是 等 边 三 角 形；理 由 如 下：直 线 M N 是 矩 形 ABCD的 对 称 轴，.点 点 是 EF的 中 点,即 4E=4F,.4DE(SAS),；.DE=DF,/FD4=NED4i，又；A D E g A A M，/ADF=90.A ZA

27、DE=ZEDAi=ZFDA1=30,；./EDF=60,DEF是 等 边 三 角 形；(3)DG,EG,FG 的 数 量 关 系 是 DG2+GF2=GE2,理 由 如 下：由(2)可 知 ADEF是 等 边 三 角 形；将 a O G E 逆 时 针 旋 转 60到 位 置，如 解 图(1),.*.GF=GE,DG=DG,NGDG=60,DGG，是 等 边 二 角 形，：.GG=DG,NDGG=60。,：ZDGF=150,/G G F=90,A GG2+GF2=GF2,:.DG2+GF2=GE2,B C=6.若 如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，矩 形 A8CD的 边 AB

28、=4,不 改 变 矩 形 A8CD的 形 状 和 大 小，当 矩 形 顶 点 A 在 x 轴 的 正 半 轴 上 左 右 移 动 时，矩 形 的 另 一 个 顶 点 D始 终 在 y 轴 的 正 半 轴 上 随 之 上 下 移 动.(1)当 NOAD=3 0 时，求 点 C的 坐 标；(2)设 A。的 中 点 为 M,连 接 OM、M C,当 四 边 形 OMCD的 面 积 为 2 L 时，求 OA的 长;2(3)当 点 A 移 动 到 某 一 位 置 时,点 C到 点。的 距 离 有 最 大 值，请 直 接 写 出 最 大 值，并 求 此 时 cosNOAD的 值.(2)04=3-72：(3

29、)当。、M,C三 点 在 同 一 宜 线 时，0 C有 最 大 值 8,8 S/0 A D=.5【解 析】解：（1）如 图 1，过 点 C作 CE_Ly轴 于 点 E,图 1;矩 形 A8CD 中，CDLAD,：.ZCDE+ZADO=90,又；NCMD+NADO=90,：.ZCDE=ZOAD=30,.在 RtZCE。中，CE=CD=2,DE=y 2 2=243在 RtZkOAD 中，NOAD=30,；.0 D=L D=3,2.点 C的 坐 标 为（2,3+2A/3）：（2）为 A D的 中 点，D M=3r 5Z DCM=6,又 S四 边 形 OMCD=&，2SAODM=-，25AOWD=9，

30、设 O 4=x、O D=y,则 x2+y2=36,；*y=9,A x2+y2=2 x y,即 x=y,将 x=y 代 入 X2+/=3 6 得 x2=18,解 得 x=3、历（负 值 舍 去），.,Q=3 亚；（3）0 C的 最 大 值 为 8,01 A*X如 图 2,M 为 A D的 中 点，图 2OM3 CM=c D 2+D M 2=5，：.0C 0M+C M=8,当 0、M,C三 点 在 同 一 直 线 时，0C有 最 大 值 8,连 接。C,则 此 时 0 C 与 A D的 交 点 为 M,过 点。作。N J_A D,垂 足 为 N,；/C D M=N O N M=9 0,N C M D=/0 M N,:A C M D S OMN,.CD _ DM _ CM nn 4 _ 3 _ 5ON MN OM ON MN 3解 得 M N=2,ON=12.,5 5：.AN=AM-M N=35在 RtZiOAN中，8=后 再 而=塔，cos Z O A D=-=-.OA 5