2022年全国高中数学竞赛奥赛模拟试题一（含答案解析）.pdf

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1、清 北 学 堂 2022年 8 月 全 国 高 中 数 学 竞 赛 模 拟 试 题 考 试 时 间：8 0分 钟 满 分：120分 一、填 空 题：本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 8 分，满 分 6 4分.210g4 2022 x 2 0 2 2 4 264 2022=2.已 知 定 义 在 脓 上 的 奇 函 数 f(x)满 足 f(x+2)=/(%),且 当 x C 0,1)时,/(x)=2X-1.则/(晦 康)=-3.已 知 集 合：A=1,2,3,B=1,2,.,2 0 2 2,对 于 映 射 满 足 对 任 意 均 有 X+/(X)+x f(x)是 奇 数 的 概 率 为.4

2、.如 图，半 径 为 1 的 球 的 内 部 有 一 个 内 接 正 方 体，4,B,C,D 为 正 方 体 的 四 个 顶 点.则 该 球 的 球 心 到 四 面 体 4BCD各 面 的 距 离 中 的 最 小 值 为.5.设 了 为 抛 物 线 r：y=2 p x(p 0)的 焦 点，过 F 且 倾 斜 角 为 6 0 的 直 线 与 抛 物 线 广 交 于 A、B两 点(4在 第 四 象 限，B在 第 一 象 限)，0为 坐 标 原 点，过 点 A作 抛 物 线 厂 的 准 线 的 垂 线，垂 足 为 出 贝 喘=-6.已 知 复 数 Z i、Z2满 足：|Z1I=1,z2=I,|3zi

3、 2Z2=7.则|=.7.在 A/BC中，若|荏|=2,|前|=3,|近|=4,。为 A4BC的 内 心，且 而=4万+从 近，则 4+=.8.对 于 正 整 数 k,g(/c)表 示 的 最 大 奇 因 数(如 g(60)=1 5).则 g+g(2)+g(2022)除 以 1 0 0的 余 数 为.二、简 答 题：本 大 题 共 3 小 题，满 分 5 6分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.9.在 xOy平 面 中，过 x 轴 上 一 点 P作 两 条 直 线 A2B2,其 中 均 在 抛 物 线 r：y2=2px(p 0)上.设 A W，分 别 经

4、过 x轴 上 的 点 S,比 较 历 而 与|丽|的 大 小.10.定 义 数 列 a：=2,an+1=an2 an 4-1(n=1,2,证 明：1-2n?；2 0 2 2 v 工+工+H-1.2022“u a。2。202211.设 a,b,c为 互 不 相 同 的 非 零 实 数，满 足：方 程。炉+bx+c=0,匕 炉+c%+a=0,c%3+ax+b O 有 公 共 根，且 这 三 个 方 程 中 存 在 两 个 方 程 无 虚 根.求？+色+的 最 小 值.b c a加 试 试 题 考 试 时 间：170分 钟 满 分：180分 一、(本 题 满 分 4 0分)如 图，设 3 为 力 B

5、C的 外 接 圆，3 直 径 KL过 4 B的 中 点 M,K和 C在 AB的 异 侧.一 圆 过 L与“并 与 KC相 交 于 P,Q(Q在 KP上).LQ与。KMQ再 次 交 于 R.证 明:A.P,B,R四 点 共 圆.二、（本 题 满 分 40分）求 最 小 的 实 数 人 使 得 对 于 任 意 正 整 数 n以 及 正 实 数%,。2，,n-均 有 成 立.nwk=l2k+1-i2n+1=A1).i=i清 北 学 堂 2022年 8 月 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 模 拟 试 题 参 考 答 案 考 试 时 间：8 0分 钟 满 分：120分 一、填 空 题：本 大 题

6、 共 8 小 题，每 小 题 8 分，满 分 6 4分.2g4 2022 x 2022 乂 2g64 2022=答 案：2022.2.已 知 定 义 在 脓 上 的 奇 函 数 f(x)满 足+2)=/(x),且 当 x W 0,1)时,/(x)=2X-1.则/(晦 短)=-冬 安 _ 499口 案：-512,解 析：由 题 意，知/。)是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数.又 由 于 f(x)为 奇 函 数，且 在 芯 6 0,1)时，/(久)=2，-1.故 当 工(-1,0 时，f W=/(-x)=-(2-x-1)=1-2 r.由 于-1 1 log2 3 石)是 奇 数 的 概 率

7、 为 _.答 案：g.解 析：注 意 到，集 合 力-B的 映 射 共 有 20223个.由 于 x+f(x)+4(%)=(/(%)+l)(x+1)-1,为 了 使 结 果 为 奇 数,/、f(3)可 以 为 集 合 8 中 的 任 意 数.但/(2)的 取 值 只 能 是 集 合 B中 的 奇 数，从 而 得 到 满 足 要 求 的 映 射,共 有 1011 x 2022 x 2 0 2 2个，从 而 所 求 概 率 为 坦 合 等 丝=12022 24.如 图，半 径 为 1 的 球 的 内 部 有 一 个 内 接 正 方 体，4,B,C,D 为 正 方 体 的 四 个 顶 点.则 该 球

8、 的 球 心 到 四 面 体 ABCD各 面 的 距 离 中 的 最 小 值 为.答 案：提 因 为 正 方 体 内 接 于 半 径 为 1 的 球，所 以，正 方 体 的 棱 长 为 1.设。为 球 心.易 知，球 心。到 面 ABC、面 4 B 0、面 4C。的 距 离 相 等，且 均 为 苧.再 设 球 心。到 面 BCD的 距 离 为/I.则 由“四 面 体 4BCD=四 面 体 48CD+0 四 面 体 48CD+“四 面 体 4BCD“四 面 体 4BCDh=-.35.设 F 为 抛 物 线 r：y=2 p x(p 0)的 焦 点，过 F 且 倾 斜 角 为 6 0 的 直 线 与

9、 抛 物 线 交 于 力、B两 点(4在 第 四 象 限，B在 第 一 象 限)，。为 坐 标 原 点，过 点 A作 抛 物 线 r 的 准 线 的 垂 线，垂 足 为 喘=-答 案：3.6.已 知 复 数 Z 1、Z2满 足：Izil=1,=1,I3Z1 2Z2=7.则 包=_.ZZ答 案：1(-l V 3 i).解 析：由 题 意 得_ d _ 25ZiZi=1,Z2Z2=彳，(3z1 2z2)(3 方 2面)=49.故 9zi为+4Z22 6Q1 为+z2z)=49=ztz2+Z22 l=-7一 红.史+包=_Z2 4 zi 2解 得 红=*一 1 K i).Z2 57.在 A4BC中，

10、若|四|=2,|近|=3,|正|=4,。为 AABC的 内 心，且 而=4荏+配,贝!M+n _.答 案：解 析：延 长 A 0,与 对 边 BC交 于 点 D.根 据 三 角 形 角 平 分 线 定 理 知|而|荏|2同=扃 1 3国 一 国 一 二 _ 一 三|OD|一 网 1x4-4=而=|而=式 四+而)=式 湘+|阮)=|四+萍=4+=(8.对 于 正 整 数 k,g(k)表 示 的 最 大 奇 因 数(如 g(60)=1 5).则 g(l)+g(2)+.+g(2022)除 以 1 0 0的 余 数 为.答 案：解 析：注 意 到，当 k 为 奇 数 时，g(k)=k：当 k 为 偶

11、 数 时，g(k)=g(.则 g+g(2)+.+g(2022)=(9(1)+9(3)+-.+9(2021)+(g(2)+g(4)+.+g(2022)=(1+3+.+2021)+(g(l)+g(2)+.+g(1011)=10112+(g(l)+g(3)+.+g(1011)+(g(2)+g(4)+.+g(1010)=10112+5052+2522+1262+632+322+162+82+42 4-22+l2=60(m odl00)二、简 答 题：本 大 题 共 3 小 题，满 分 5 6分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.9.在 xOy平 面 中，过 x 轴

12、 上 一 点 P作 两 条 直 线 4%,A2B2,其 中 A I，B I，&，B2均 在 抛 物 线:y2=2px(p 0)上.设 A%，4 B i分 别 经 过 x轴 上 的 点 S,T,比 较 不 而 与|前 的 大 小 解 答：万 而 与|而 相 等，理 由 如 下.设 点 P的 坐 标 为(t,0),点 S的 坐 标 为(s,0),点 7的 坐 标 为(,0)若 t=0,则 赤 而;=|而=0,满 足 要 求.若 CHO,设 直 线 4/1：x=kxy+a,直 线 A2B2-x=k2y 4-a,%(%i,月),当(称 y2)A2Q3,、3)，B2Q4,y。联 立 抛 物 线 r：y2

13、=2px,得 y2 _ 2 p kiy _ 2pa=0,=(2 p k J 2+8pa 0(直 线 4 B i：x=k1y+a由 韦 达 定 理：yi+丫 2=2p/q,yry2=-2 p a.同 理，有 为+y4=2pk2 y3y4=-2pa.设 直 线 4 B 2：y=(纥 左)%+也 匕 也 1，4 为 号=(2 2)%+*冬，X4X1 X4X1 X3%2%3%2则：s=-=ra+0)t=_=(Q+0)y4-yi n-y i yz-yz yi-y31 2所 以，OS,OT=s t=az=OP.10.定 义 数 列 册:%=2,an+1=an2 an 4-1(n=1,2,证 明：1 一?+

14、2+烹-1-F.H-Q2022+.+(1 11 1。202211。2023-1)-郁 一 1-。2023-1=1-2023-1因 为 臼=2,取=3,。3=7,且 an+1-an=%2 _ 2%+1=(%-I)2 0,所 以，斯 为 单 调 递 增 的 正 整 数 数 列，且 对 每 一 个 正 整 数 九，均 有 即 3 2.因 此，+-+.4-nn(n 6 Z+).从 而。2023 2 0 2 22022,则 工+=1当 n N 3 时,。2 02022因 此，原 不 等 式 得 证.11.设 a,b,c为 互 不 相 同 的 非 零 实 数，满 足：方 程 以 3+bx+c=0,b d+

15、ex+a=0,c r3+ax+b=0 有 公 共 根，且 这 三 个 方 程 中 存 在 两 个 方 程 无 虚 根.求+2+2的 最 小 值.解 答：设%o表 示 方 程。炉+加；+c=0,ax3+bx+c=0,ax3+hx 4-c=0 的 公 共 根，则 有(a+b+c)(x()3+X Q+1)=0.若 03+%o+1=0,则 有+c=ax03=a(x0+1)=(b a)x0=(a c)同 理 得,(c-b)xQ=(6-a).由 于 a,A c互 不 相 同 且%0。0,则(b-a)2=(a-c)(c-b)矛 盾.(b-a)2=+(a-c)2+(c f)2=02则 a+b+c=0.此 时=

16、1 为 公 共 根.由 Q%3+bx+c=0,ax3+bx+c=0,ax3+bx+c=0,a+b+c=0 且 1 为 公 共 根,ax2+ax c=0则 b%3+加；a=0此 三 个 方 程 中 存 在 两 个 无 虚 根(A N O).-(1 5分)ex3+ex b=04=Q 2+4ac=M+4矶 a h)0,c=-a b V 0,A2=/+4ba 0A=c2 4-4cb 0=c-4b设。=一 班(t N 4),则(a,b,c)=(C-l)b,b,(一 班)ljlig+*+=t-l _ l-L-,且 该 式 子 在 t 2 4 时 单 调 增.b c a t t-1所 以 最 小 值 在 4

17、 取 最 小 值 为 尊 加 试 试 题考 试 时 间：170分 钟 满 分：180分 一、（本 题 满 分 4 0分）如 图，设 3 为 A4BC的 外 接 圆，3 直 径 KL过 AB的 中 点 M,K和 C在 4B的 异 侧.一 圆 过 L与 M并 与 KC相 交 于 P,Q（Q在 KP上）.LQ与。KMQ再 次 交 于 R.证 明：A,P,B,R四 点 共 圆.根 据 题 意，可 以 得 出 4LAK=41MF=ZJ1 M Z,=90。所 以，LA2=LB2=LM-LK=LQ-LR,KA2=KB2=K M-KL=KQ-KP所 以，乙 ARL=Z.LAQ,乙 BRL=乙 LBQ,NAPK

18、=乙 KAQ/B P K=乙 KBQ,因 为，4 B,L,K四 点 共 圆，ALAK+Z.LBK=180所 以，/.ARB+Z.APB=LLAQ+/.LBQ+KAQ+KBQ=/.LAK+LBK=1 8 0,即 A P,B,R四 点 共 圆，证 毕.二、（本 题 满 分 4 0分）求 最 小 的 实 数；I,使 得 对 于 任 意 正 整 数 n以 及 正 实 数 为,a?，,an,均 有 Z2fc 4-1 U 1-V 4）k=Q+。2+*+Q/c k=lQk成 立.解 答：A=4.近 似 取 等：取 以=k,左 式=2$毅=2 屋+击），右 式=盛/故；1=4 为 最 小 值-1 0分 下 面

19、 证 明;I=4 可 行.我 们 加 强 归 纳 证 明：yn 如 里 4 Yn-.-20 分 k=l a+a 2+”.+aA k=l 以 Q 1+Q 2+a”首 先，n=1 时，结 论 成 立；假 设 n时 成 立，考 虑 n+1 时.只 需 证 明：+_=-+.-30 分。1+。2+%+1 Q 1+Q 2+Q“+1 Qn+1。1+。2+a”由 柯 西 不 等 式，4 n2（-1-；-；-）（。1+。2+*+。n+1）之（几+2）2=（九+I）2+2n+3%+1+02+,+%上 式 成 立,原 木 等 式 得 证!-40分三、(本 题 满 分 5 0分)(1)证 明：存 在 无 穷 多 个

20、正 整 数 n,使 得 水+1|加.(2)证 明：存 在 无 穷 多 个 正 整 数 n,使 得 小+1 1 汨.解 答：(1)思 路：通 过 因 式 分 解，把 小+1 分 解 为 若 干 个 小 于 n的 数 的 乘 积，从 而 有*+1.令 n=2m2,则/+1=4m4+1=(2m2+2m+l)(2 m2-2m+1).-10 分 此 时 27n2-2m 4-1 n.-3 0分 目 前 并 不 好 处 理，在 确 定 九 之 后 并 不 容 易 寻 找 九 2+1 的 素 因 子 p.所 以 就 可 以 转 换 思 路：假 如 先 确 定 素 因 子 P，寻 找 几 p旦 口|足+1,是

21、不 是 容 易 呢？事 实 上，我 们 可 以 证 明：对 于 4 k+1 型 素 数 p,均 存 在 n V p且 p l+1.证 明：任 取 层+1 的 素 因 子 q,有 层=-l(modQ).故 1 三(层)然=(-1)号.知?为 偶 数，q必 为 4k+1 型 素 数.而 当 4为 4k+1 型 素 数 时，一 1 是 它 的 二 次 剩 余，故 存 在 n q,使 得 三-l(rnodq).因 这 样 的 p有 无 穷 多 个，知 符 合 条 件 的 n有 无 穷 多 个.-5 0分 四、(本 题 满 分 5 0分)已 知&,A2,.4 2 n为 集 合 1，2,n 的 所 有 子

22、 集.求 2W I A n 4+i 11 4 u Ai+i|(%2+i=4),的 最 大 可 能 值.解 答：最 大 值 为(，+?1-2)2 4-2.先 证 明 两 个 引 理.引 理 1 4、B为 任 意 两 个 不 同 的 有 限 集 合，则 2|4 n e i R u s l|川 2+国|2 _ 1,当 集 合 A、B为 包 含 关 系 且 元 素 个 数 差 为 1 时，上 式 等 号 成 立.引 理 1 的 证 明 设|A B|=x,B A=y,1 4 n B i=z.故 只 需 证：2z(x+y+z)J由 于 集 合 4、B不 同，于 是，显 然 成 立.而 当 集 合 4、B为

23、 包 含 关 系 且 元 素 个 数 差 为 1 时，上 式 等 号 成 立.-10分 引 理 2 设 1,2,n 的 全 部 子 集 为 为,出，&，则 存 在 公,4，的 一 个 排 列 B1，B2.B2n,使 得 当 i=1,2，,2n时,Bi、+1为 包 含 关 系,且 元 素 个 数 差 为 使 其 中，约 定 8 2+1=B 1.引 理 2 的 证 明 对 n 用 数 学 归 纳 法.当 n=2时，集 合 1,2的 四 个 子 集 排 列 为 0,1,1,2,2.假 设 对 n=k时，存 在 排 列 名，B，,82k满 足 要 求.则 当 n=k+l时，取 下 面 排 列 即 可：B1,B2，B2k,B2k U fc+1,2*-U/c+1,.,B U k+1.10 分 引 理 1、2 得 证.由 引 理 1知 2*1 4 n 4+1 114 U 4+1 1 总 着(I 4/+|4+I|2-I)=M 2-2 T=葭 1-七-2T=(n2+n-2)2-2,上 式 等 号 成 立 的 条 件 即 为 引 理 2 中 所 述 的 一 个 排 列.-50分