2022年初升高衔接数学专题复习讲义（教师版）.pdf

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1、初 升 高 复 习（教 师 版）专 题 0 1数 与 式 的 运 算.3专 题 0 2分 解 因 式.11专 题 0 3元 二 次 方 程.18专 题 0 4二 次 函 数 y=a x2+b x+c的 图 象 和 性 质.23专 题 01数 与 式 的 运 算 嗨 感 擦 述 初 中 阶 段“从 分 数 到 分 式”，通 过 观 察、分 析、类 比，找 出 分 式 的 本 质 特 征，及 它 们 与 分 数 的 相 同 点 和 不 同 点，进 而 归 纳 得 出 分 式 的 概 念 及 运 算 性 质，我 们 已 经 运 用 的 这 些 思 想 方 法 是 高 中 继 续 学 习 的 法 宝.

2、二 次 根 式 是 在 学 习 了 平 方 根、立 方 根 等 内 容 的 基 础 上 进 行 的，是 对“实 数”、“整 式”等 内 容 的 延 伸 和 补 充，对 数 与 式 的 认 识 更 加 完 善.二 次 根 式 的 化 简 对 勾 股 定 理 的 应 用 是 很 好 的 补 充：二 次 根 式 的 概 念、性 质、化 简 与 运 算 是 高 中 学 习 解 三 角 形、一 元 二 次 方 程、数 列 和 二 次 函 数 的 基 础.二 次 根 式 是 初 中 阶 段 学 习 数 与 式 的 最 后 一 章，是 式 的 变 形 的 终 结 章.当 两 个 二 次 根 式 的 被 开

3、方 数 互 为 相 反 数 时，可 用“夹 逼”的 方 法 推 出，两 个 被 开 方 数 同 时 为 零.本 专 题 内 容 蕴 涵 了 许 多 重 要 的 数 学 思 想 方 法，如 类 比 的 思 想（指 数 幕 运 算 律 的 推 广）、逼 近 的 思 想（有 理 数 指 数 累 逼 近 无 理 数 指 数 基），掌 握 运 算 性 质，能 够 区 别 后 与（标 的 异 同.通 过 与 初 中 所 学 的 知 识 进 行 类 比，理 解 分 数 指 数 幕 的 概 念，进 而 学 习 指 数 事 的 性 质，掌 握 分 数 指 数 事 和 根 式 之 间 的 互 化，掌 握 分 数

4、指 数 基 的 运 算 性 质.*标 程 要 求 2,拥 毫 神 初 中 课 程 要 求 1、认 识 了 实 数 及 相 关 概 念，如 有 理 数、无 理 数；了 解 了 实 数 具 有 顺 序 性，知 道 字 母 表 示 数 的 基 本 代 数 思 想 2、初 中 会 比 较 简 单 实 数 的 大 小，初 步 接 触 作 差 法 3、理 解 了 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法，熟 悉 了 平 方 差、完 全 平 方 公 式，掌 握 了 不 超 过 三 步 的 数 的 混 合 运 算 4、掌 握 了 平 方 根、立 方 根 运 算；了 解 了 有 理 式 和 无 理 式 的 概 念

5、；了 解 了 整 数 指 数 累 的 含 义 高 中 课 程 要 求 1、高 中 必 修 一 中 常 用 数 集 都 用 了 符 号 表 示，同 时 为 数 系 的 扩 充 打 基 础，会 运 算 字 母 代 表 数 的 式 子 2、掌 握 用 作 差 法、作 商 法 来 比 较 实 数 大 小，体 会 变 形 过 程 中 的 技 巧 3、在 高 中 会 常 常 用 到 立 方 和、立 方 差、三 数 和 的 平 方 的 公 式，两 数 和、差 的 立 方 公 式.高 中 有 很 多 混 合 运 算 都 超 过 三 步 4、必 须 掌 握 分 子 分 母 有 理 化 的 技 巧、二 次 根 式

6、 的 性 质 根 式 的 大 小 比 较，会 把 整 数 指 数 器 的 运 算 及 其 性 质 推 广 到 分 数 指 数 事 高 中 必 备 知 识 点 1：绝 对 值绝 对 值 的 代 数 意 义：正 数 的 绝 对 值 是 它 的 本 身，负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数，零 的 绝 对 值 仍 是 零.即：a,a 0,|a|=0,a=0,-a,aQ.绝 对 值 的 几 何 意 义：一 个 数 的 绝 对 值，是 数 轴 上 表 示 它 的 点 到 原 点 的 距 离.两 个 数 的 差 的 绝 对 值 的 几 何 意 义：|。-母 表 示 在 数 轴 上，数。和 数 b

7、之 间 的 距 离.高 中 必 备 知 识 点 2：乘 法 公 式 我 们 在 初 中 已 经 学 习 过 了 下 列 一 些 乘 法 公 式：（1）平 方 差 公 式（。+份（。一 份=/一/；（2）完 全 平 方 公 式（。与 2=a2+2ab+b2.我 们 还 可 以 通 过 证 明 得 到 下 列 一 些 乘 法 公 式：立 方 和 公 式（。+份 征-M+/）=/+y；（2）立 方 差 公 式（。一/?）（/+仍+/）=苏 一 匕 3；（3）三 数 和 平 方 公 式（a+b+c）2=/+/+c 2+2（ab+bc+QC）；（4）两 数 和 立 方 公 式（a+与 3=/+3 a?+

8、3 a/+/；两 数 差 立 方 公 式（。-bf=a3-3a2b+Zab1-b高 中 必 备 知 识 点 3：二 次 根 式 一 般 地，形 如 祈（aO）的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式.根 号 下 含 有 字 母、且 不 能 够 开 得 尽 方 的 式 子 _ _/T称 为 无 理 式.例 如 勿+5分+力+力,证+及 等 是 无 理 式,而 拳 X+1,9+&+，等 是 有 理 式.1.分 母（子）有 理 化 把 分 母（子）中 的 根 号 化 去，叫 做 分 母（子）有 理 化.为 了 进 行 分 母（子）有 理 化，需 要 引 入 有 理 化 因 式 的 概 念.两 个 含

9、有 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘，如 果 它 们 的 积 不 含 有 二 次 根 式，我 们 就 说 这 两个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式，例 如 与，,3面 与 夜，#与#)-瓜,2 G-3近 与 2也+3亚,等 等.一 般 地，。右 与 4,ay/x+byy ax-by,。4+人 与。4 一 互 为 有 理 化 因 式.分 母 有 理 化 的 方 法 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化 去 分 母 中 的 根 号 的 过 程；而 分 子 有 理 化 则 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化 去 分

10、子 中 的 根 号 的 过 程 在 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 过 程 中，二 次 根 式 的 乘 法 可 参 照 多 项 式 乘 法 进 行，运 算 中 要 运 用 公 式 V n=V(a 0,/?0)；而 对 于 二 次 根 式 的 除 法，通 常 先 写 成 分 式 的 形 式，然 后 通 过 分 母 有 理 化 进 行 运 算；二 次 根 式 的 加 减 法 与 多 项 式 的 加 减 法 类 似，应 在 化 简 的 基 础 上 去 括 号 与 合 并 同 类 二 次 根 式.2.二 次 根 式 折 的 意 义 a=同=0,一,0.高 中 必 备 知 识 点 4：分 式 1

11、.分 式 的 意 义 A A A形 如 色.的 式 子，若 8 中 含 有 字 母，且 则 称 为 分 式.当 时，分 式 具 有 下 列 性 质：B B BA A x M)-B x M A _ A M _万 一 B+M 上 述 性 质 被 称 为 分 式 的 基 本 性 质.2.繁 分 式 a-m+72+像 _ 2 _,-这 样，分 子 或 分 母 中 又 含 有 分 式 的 分 式 叫 做 繁 分 式.c+d 2m+p嗓 的 剧 所 高 中 必 备 知 识 点 1:绝 对 值【典 型 彳 列 题】阅 读 下 列 材 料：我 们 知 道 国 的 几 何 意 义 是 在 数 轴 上 数 X对

12、应 的 点 与 原 点 的 距 离，即 国=标 一 0 1,也 就 是 说，忖 表 示 在 数 轴 上 数 X与 数。对 应 的 点 之 间 的 距 离；这 个 结 论 可 以 推 广 为 忖 一 表 示 在 数 轴 上 数 为 与 数 对 应 的 点 之 间 的 距 离；例 1解 方 程 I X 1=2.因 为 在 数 轴 上 到 原 点 的 距 离 为 2 的 点 对 应 的 数 为 2,所 以 方 程 I X 1=2的 解 为 x=&.例 2 解 不 等 式|x-1|2.在 数 轴 上 找 出|%1|=2的 解(如 图)，因 为 在 数 轴 上 到 1对 应 的 点 的 距 离 等 于

13、2的 点 对 应 的 数 为 一 1或 3,所 以 方 程|%1|=2的 解 为=1或 x=3,因 此 不 等 式 的 解 集 为 x 3.-2-1 0 1 2 3 4例 3 解 方 程|X 一 1|+|x+2|=5.由 绝 对 值 的 几 何 意 义 知，该 方 程 就 是 求 在 数 轴 上 到 1和 一 2 对 应 的 点 的 距 离 之 和 等 于 5 的 点 对 应 的 x 的 值.因 为 在 数 轴 上 1 和 一 2 对 应 的 点 的 距 离 为 3(如 图)，满 足 方 程 的 对 应 的 点 在 1 的 右 边 或 一 2 的 左 边.若 X对 应 的 点 在 1 的 右

14、边，可 得 X=2；若 X对 应 的 点 在 一 2 的 左 边，可 得 X=-3,因 此 方 程|x-l|+|x+2|=5的 解 是 x=2或=一 3.参 考 阅 读 材 料，解 答 下 列 问 题：方 程|x+2|=3的 解 为；解 不 等 式：|X-2|V 6；(3)解 不 等 式:|%-3|+|%+4|9；解 方 程：I X-2 1+1 X+21+1 X-51=1 5 _ r-1 4 r-T).0 1 2【答 案】X=1或 x=-5；-4 V x 8；X24或 左 一 5；(4)x=-?或 X=g.【解 析】由 已 知 可 得 x+2=3或 x+2=-3解 得 X=1或 x=-5.(2

15、)在 数 轴 上 找 出|X-2|=6 的 解.在 数 轴 上 到 2 对 应 的 点 的 距 离 等 于 6 的 点 对 应 的 数 为 一 4 或 8,.,方 程 I X 2|=6的 解 为 x=4 或 x=8,不 等 式|X-2|9的 解 集 为 小 4 或 心 一 5.在 数 轴 上 找 出|X-2|+|X+2|+|X-51=15的 解.由 绝 对 值 的 几 何 意 义 知，该 方 程 就 是 求 在 数 轴 上 到 2 和 一 2和 5 对 应 的 点 的 距 离 之 和 等 于 9 的 点 对 应 的 x 的 值.V 在 数 轴 上-2和 5 对 应 的 点 的 距 离 为 7,

16、.满 足 方 程 的 x 对 应 的 点 在-2的 左 边 或 5 的 右 边.若 x 对 应 的 点 在 5 的 右 边，可 得 元=型；若 工 对 应 的 点 在 一 2 的 左 边，可 得 工=-3，3 3、m 10.20.方 程|X-2|+|X+2|+|X-5|=15 的 解 是 x=-y 或=可.【变 式 训 I练】实 数 a、b在 数 轴 上 所 对 应 的 点 的 位 置 如 图 所 示：化 简 必+la-b l lb a l.ab解：由 数 轴 知：a 0,|a|b|,所 以 b-a0,a bVO 原 式=|a|(b a)-(b-a)=a b+a-b+a=a 2b【能 力 提

17、升】已 知 方 程 组 b：。二 的 解、y的 值 的 符 号 相 同.(1)求 a的 取 值 范 围；化 简:|2a+2|-2|a-3|.【解 析】1+y-5+a+得：5x=15-5 a,即 x=3-a,代 入 得：y=2+2a,(4x y=10 6a，根 据 题 意 得：xy=(3-a)(2+2a)0,解 得-la3；(2)V-l a 3,:.当-la3 时，|2a+2|-2|a-3|=2a+2-2(3-a)=2a+2-6+2a=4a-4.高 中 必 备 知 识 点 2：乘 法 公 式【典 型 例 题】,计 算/J-A T 化 简 物【答 案】(1)3(2)4ab-8b2【变 式 训 练】

18、计 算：(万 一 3.1 4)+(-4)2-(g)-2(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)【答 案】8(2)-6x+13【能 力 提 升】已 知 l(y=o,5x=b,求：(1)5Gx的 值；2、的 值；20、的 值.(结 果 用 含。、b 的 代 数 式 表 示)2【答 案】(l)abX2)：;(3)q-.b h高 中 必 备 知 识 点 3：二 次 根 式【典 型 例 题】计 算 下 面 各 题.(1)(V 6-2 7 1 5)X V 3-6A 岳+2岳-工 隔-4 V 2 2【答 案】(1)-6 7 5;(2)后 一 2五【变 式 训 练】小 颖 计 算 V B时，想 起 分 配 律

19、，于 是 她 按 分 配 律 完 成 了 下 列 计 算:解：原 式=她 的 解 法 正 确 吗？若 不 正 确，解：不 正 确，正 确 解 答 过 程 为【能 力 提 升】先 化 简，再 求 值：（空 心-1a+b a-飞 二 后 X&+厉 X 逐=3 6+5行 请 给 出 正 确 的 解 答 过 程.:原 式=岳:学=春=叵 巨 叵.V15 J5+J3 2）千 4二，其 中 a=&+J i，b=72-V3.-b a+b3高 中 必 备 知 识 点 4：分 式【典 型 例 题】先 化 简，再 求 值（匕 x+1 x+2 2 f十+Xx*,其 中 X满 足 x2+x i=o.x x-1 x2-

20、2x+i1 x【答 案】一,1.厂【变 式 训 练】八 4 x2-4xy+y2.化 筒：-:一.(4x2 y2)【答 案】2x+y【能 力 提 升】己 知：-a1=2,则 加 一。b 2a-2h+lah的 值 等 于 多 少？4【答 案】一；.3圾 点 需 秣 1.下 列 运 算 正 确 的 是（A）xy xA.-=-孙-y 犬 一 yC.3X3-5X3=-22.下 列 计 算 结 果 正 确 的 是（A）3 2 1A.-+-=-x 2 2 x x 2C.（一 孙）5*R）3=x2y2B.+币=MD.8x3-i-4x=2x3B.（x2）3=x5D.3x2y-5 x y2=-2xyY3.若 式

21、子 有 意 义，则 下 列 说 法 正 确 的 是（C）X+1A.x-l 且 x H（）B.x-l C.D.X H O4.计 算 且 L 的 结 果 是（A）。1 a 1a 1A.3 B.0 C.-D.-a-1 a-5.若|a|=4,|切=2,且 的 绝 对 值 与 相 反 数 相 等，则 a b 的 值 是（C）A.-2 B.-6 C.-2 或 一 6 D.2或 6a+b b+c 4+。6.设 有 理 数 a、b、c满 足 a c（a c v O）,且 同 同|4，则 元-百 一|+|七 一 5一|+|x+-y 的 最 小 A.-4,-2,0,2,4值 是（C）a-cA.-2a+b+2c 2

22、a+/?+cB.-C.-2 22a+b-cD.-2a h c abc7.如 果 a,b,。是 非 零 有 理 数，那 么 回+网+甲 网 的 所 有 可 能 的 值 为（DB.-4,-2,2,4C.0 D.-4,0,4专 题 0 2分 解 因 式 专 敢 嫁 述 因 式 分 解 是 代 数 式 的 一 种 重 要 恒 等 变 形，它 是 学 习 分 式 的 基 础，又 在 代 数 式 的 运 算、解 方 程、函 数 中 有 广 泛 的 应 用，通 过 本 专 题 的 学 习，不 仅 能 使 学 生 掌 握 因 式 分 解 的 概 念 和 原 理，而 且 又 为 继 续 学 习 因 式 分 解

23、做 好 了 充 分 的 准 备.因 此，它 起 到 了 初、高 中 承 上 启 下 的 作 用.分 组 分 解 法 在 初 中 数 学 中 的 应 用：分 式 的 约 分 与 通 分、解 一 元 二 次 方 程、分 式 方 程：在 高 中 数 学 中 的 应 用 更 加 广 泛：如 无 理 方 程、特 殊 的 高 次 方 程，解 一 元 二 次 不 等 式 及 三 角 函 数 式 的 恒 等 变 形，不 等 式 证 明，因 此，学 好 因 式 分 解 对 于 代 数 知 识 的 后 续 学 习，具 有 相 当 重 要 的 意 义，代 数 方 面 在 数 学 计 算、化 简、证 明 题 中 的

24、应 用 较 多，在 几 何 学 中 同 样 有 应 用.用 十 字 相 乘 法 分 解 因 式，首 先 分 解 二 次 项 系 数、常 数 项，然 后 交 叉 相 乘 再 相 加，看 是 否 为 一 次 项 系 数，还 要 注 意 避 免 出 现 以 下 两 种 错 误：一 是 没 有 认 真 地 验 证 交 叉 相 乘 的 两 个 积 的 和 是 否 等 于 一 次 项 系 数；二 是 由 十 字 相 乘 法 写 出 的 因 式 漏 写 字 母.因 式 分 解 的 主 要 方 法 有：十 字 相 乘 法、提 取 公 因 式 法、公 式 法、分 组 分 解 法，另 外 还 应 了 解 求 根

25、法 及 待 定 系 数 法.备 程 要 南 初 中 课 程 要 求 1、大 大 弱 化 了 十 字 相 乘 法 的 学 习.一 般 只 接 触 过 二 次 项 系 数 为 1 的 十 字 相 乘 法 2、初 中 重 点 学 习 了 提 取 公 因 式 法、公 式 法，针 对 ax,+bx+c(aW 0)的 因 式 分 解，只 学 习 了 二 次 项 系 数 为 1 的 因 式 分 解 高 中 课 程 要 求 1、有 大 量 二 次 项 系 数 不 为 1 的 十 字 相 乘 法，会 拆 分 多 项 式，用 十 字 相 乘 法 因 式 分 解 2、对 于 项 数 比 较 多 的 多 项 式，要

26、综 合 使 用 提 取 公 因 式 法、分 组 分 解 法、十 宇 相 乘 法、公 式 法 来 进 行 因 式 分 解，还 会 接 触 到 拆 项 法、添 项 法 等.针 对 ax+bx+c(aW O)的 因 式 分 解 要 用 公 式 法 或 十 字 相 乘 法 因 式 分 解高 中 必 备 知 识 点 1:十 字 相 乘 法 要 点 一、十 字 相 乘 法 利 用 十 字 交 叉 线 来 分 解 系 数，把 二 次 三 项 式 分 解 因 式 的 方 法 叫 做 十 字 相 乘 法.对 于 二 次 三 项 式 V+版+c,pq=c,、/、若 存 在，则 X+版+c=(x+p)(x+q).p

27、+q=6要 点 诠 释：(1)在 对/+b x+c 分 解 因 式 时，要 先 从 常 数 项 C 的 正、负 入 手，若 co,则.、q 同 号(若 cx+c=(i71x+cl)(o2x+c2).要 点 诠 释：(1)分 解 思 路 为“看 两 端，凑 中 间”(2)二 次 项 系 数(7一 般 都 化 为 正 数，如 果 是 负 数，则 提 出 负 号，分 解 括 号 里 面 的 二 次 三 项 式，最 后 结 果 不 要 忘 记 把 提 出 的 负 号 添 上.高 中 必 备 知 识 点 2：提 取 公 因 式 法 与 分 组 分 解 法 1.提 取 公 因 式 法：如 果 多 项 式

28、的 各 项 含 有 公 因 式，那 么 就 可 以 把 这 个 公 因 式 提 到 括 号 外 面，把 多 项 式 转 化 成 公 因 式 与 另 一 个 多 项 式 的 积 的 形，这 种 因 式 分 解 的 方 法 叫 做 提 公 因 式 法。2.符 号 语 言：ma+mb+me=ma+b+c)3.提 公 因 式 的 步 骤：(1)确 定 公 因 式(2)提 出 公 因 式 并 确 定 另 一 个 因 式(依 据 多 项 式 除 以 单 项 式)另 一 个 因 式 原 多 项 式 公 因 式 4.注 意 事 项：因 式 分 解 一 定 要 彻 底 高 中 必 备 知 识 点 3：关 于 x

29、 的 二 次 三 项 式 ax2+bx+c(a#0)的 因 式 分 解 若 关 于 x 的 方 程 or2+bx+c=O(WO)的 两 个 实 数 根 是 再、x2,则 二 次 三 项 式 分 2+x+c(。0)就 可 分 解 为 Q(X-X)(X-九 2).独 例 剧 所 高 中 必 备 知 识 点 1:十 字 相 乘 法【典 型 例 题】阅 读 与 思 考：将 式 子/6%+8分 解 因 式.法 一：整 式 乘 法 与 因 式 分 解 是 方 向 相 反 的 变 形.由 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)得(x+p)(x+q)=x2 4-(p 4-q)x+pq,；分 析：这 个

30、式 子 的 常 数 项 8=(2)x(4),一 次 项 系 数 一 6=(2)+(4),所 以/-6%+8=/+(-2)+(-4)%+(-2)X(-4).解：%2 6%+8=(%2)(%4).法 二：配 方 的 思 想.X2 6x+8=x2 6%+9 9+8=(%3)2 1=(%3+1)(%3 1)=(%2)(%4)请 仿 照 上 面 的 方 法，解 答 下 列 问 题：用 两 种 方 法 分 解 因 式：x2-10 x+21；(2)任 选 一 种 方 法 分 解 因 式:(%2-67 一 2(%2-6)-3.【答 案】(3)(x 7)；(x2-5)(A3)(x 3)【变 式 训 练】阅 读

31、材 料 题：在 因 式 分 解 中，有 一 类 形 如 x2+(m+n)x+mn的 多 项 式，其 常 数 项 是 两 个 因 数 的 积，而 它 的 一 次 项 系 数 恰 是 这 两 个 因 数 的 和，则 我 们 可 以 把 它 分 解 成 x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).例 如：X2+5X+6=X2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).运 用 上 述 方 法 分 解 因 式：(1)X2+6X+8；(2)x2-x-6；(3)x2-5xy+6y2；请 你 结 合 上 述 的 方 法，对 多 项 式 x3-2x2,3 x进 行 分 解 因 式.【答 案】(x+2)(x

32、+4),(x+2)(x-3)；(3)(x-2 y)(x-3 y)；x(x-3)(x+l).【能 力 提 升】由 多 项 式 的 乘 法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+a b,将 该 式 从 右 到 左 使 用，即 可 得 到 用 十 字 相 乘 法”进 行 因 式 分 解 的 公 式：x2+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b).实 例 分 解 因 式：X2+5 X+6=X2+(2+3)X+2 X3=(X+2)(X+3).尝 试 分 解 因 式：X2+6 X+8；应 用 请 用 上 述 方 法 解 方 程：X2 3x4=0.【答 案】(l)(x+2)(x+4)；x=4 或 x=

33、-l.高 中 必 备 知 识 点 2：提 取 公 因 式 法 与 分 组 分 解 法【典 型 例 题】阅 读 下 列 因 式 分 解 的 过 程，再 回 答 所 提 出 的 问 题：l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(l+x)l+x+x(x+l)J=(l+x)2(l+x)=(l+x)3 上 述 分 解 因 式 的 方 法 是,共 应 用 了 次.若 分 解 l+x+x(x+l)+x(x+l)2+.+x(x+l)2004,则 需 应 用 上 述 方 法 次，结 果 是(3)分 解 因 式:l+x+x(x+l)+x(x+l)2+-+x(x+l)n(n 为 正 整 数).【答 案】提 公 因 式

34、,两 次；(2)2004次，(x+1)2(阳 5；(3)(x+l)/i【变 式 训 练】因 式 分 解：(l)16a2-4b2(2)x3,2 x2+x(3)(a2-2b)2-(1-2b)2【答 案】(l)4(2a+b)(2o-b)；(2)x(x-l)2；(3)(a2-4b+l)(a+l)(a-1).【能 力 提 升】分 解 因 式：4ab-8b2+lOfa(2)2(n ni)2 m(m n)(3)15y(a b)2 3y(b a)(4)6(m n)3 12(n m)2(5)x2+3x4-1=0,求 2/01。+6%2009+2/。8的 值【答 案】(l)-2b(2a+4b-5)；(2)(n-m

35、)(2n-m)；(3)3y(a-b)5a-5b+l；(4)6(n-m)2(m-n-2)；(5)0高 中 必 备 知 识 点 3：关 于 x 的 二 次 三 项 式 ax2+bx+c(aW0)的 因 式 分 解【典 型 例 题】因 式 分 解：(x2+2x)2-7(x2+2x)-8,，2解：原 式=x2+2x 8)(x2+2x-A l)=(x 2)(%7-4)(x-Al)【变 式 训 练】分 解 因 式：(/一 X)2+(X 2 X)6.原 式 二(X2-X+3)(X2-X-2)=(X2-X+3X X+1)(X-2).【能 力 提 升】阅 读 材 料：对 于 多 项 式 x2+2ax+a2可 以

36、 直 接 用 公 式 法 分 解 为(x+a)2的 形 式.但 对 于 多 项 式 x2+2ax3/就 不 能 直 接 用 公 式 法 了，我 们 可 以 根 据 多 项 式 的 特 点，在 x2+2ax3/中 先 加 上 一 项。2,再 减 去，这 项，使 整 个 式 子 的 值 不 变.解 题 过 程 如 下：x2+2ax3a2=x2+2ax3a2+a2a2(一 步)=9+2耿+。2标 3 4(第 二 步)=(x+0 2-(2a汽 第 三 步)=(x+3a)(xa).(第 四 步)参 照 上 述 材 料，回 答 下 列 问 题：上 述 因 式 分 解 的 过 程，从 第 二 步 到 第 三

37、 步，用 到 了 哪 种 因 式 分 解 的 方 法()A.提 公 因 式 法 B.平 方 差 公 式 法 C.完 全 平 方 公 式 法 D.没 有 因 式 分 解 从 第 三 步 到 第 四 步 用 到 的 是 哪 种 因 式 分 解 的 方 法：;请 你 参 照 上 述 方 法 把 m26mn+8n2因 式 分 解.【答 案】G 平 方 差 公 式 法：(m-2 a(m-4 n).(3)m2-6 m n+8 n2=m2-6 m n+8 n2+n2-n2=m2-6 m n+9 n2-n2=(m 3n)2n2=(m 2n)(m-4n).圾 点 需 秣 1.对 于：2_4=(%2)2；一 V+

38、l=(x+l)(l x)；d+2 尤 一 4=(尤+2；1（y-X2-X+l=-X-1.其 中 因 式 分 解 正 确 的 是（D）4 U）A.B.2.代 数 式 4 m2 2因 式 分 解 为(A)A.(2 z)(2帆+”)C.(4 m n)(m+n)C.D.B.4(m)(？+)D.(m 2 n)(m+2zz)3.若 多 项 式 5/+171一 12可 因 式 分 解 为 0+。）（法+。），其 中。、b、。均 为 整 数，则。一 c 的 值 是（B)A.1 B.74.下 列 因 式 分 解 正 确 的 是(C)A.a(a-b)b(a-b)=(a-b)(a+b)C.a2+4/?+4/?2=(

39、+2 0 yC.11 D.13B.2一 9从 二(3份 2D.a2-ab+a=a(a-b)5.已 知 R/A B C中，Z C=90 若 BC=a,A C b,A 8=c,且 一 匕 一 如？=。，则 a:Z?:c=(B)A.1:2:石 B.2:1:石 c.l：2:5/3 D.2:1:66.下 列 多 项 式 中，在 实 数 范 围 不 能 分 解 因 式 的 是(A)A.x2+y2+2 x+2 j B.x2+y2+2 x y-2 c.x1-y2+x+A y.x1-y2+4 y-47.因 式 分 解:(l)18x+i-24x“；(2)x4-18x2y2+8 1/专 题 03 一 元 二 次 方

40、 程 专 敢 嫁 述 1.一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 的 推 导 是 在 求 根 公 式 的 基 础 上 进 行.它 深 化 了 两 根 的 和 与 积 同 系 数 之 间 的 关 系，是 我 们 今 后 继 续 研 究 一 元 二 次 方 程 根 的 情 况 的 主 要 工 具，必 须 熟 记，为 高 中 阶 段 的 使 用 打 下 基 础.2.一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 的 探 索 与 推 导，向 我 们 展 示 了 认 识 事 物 的 一 般 规 律，提 倡 积 极 思 维，勇 于 探 索，锻 炼 我 们 分 析、观 察、归 纳 的 能 力

41、 及 推 理 论 证 的 能 力.3.一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 的 关 系，中 考 考 查 的 频 率 较 高，高 考 也 常 与 儿 何、二 次 函 数 等 问 题 结 合 考 查，是 考 试 的 热 点，它 是 方 程 理 论 的 重 要 组 成 部 分.4.韦 达 定 理 的 原 定 理 的 功 能 是：若 已 知 一 元 二 次 方 程，则 可 写 出 该 方 程 的 两 根 之 和 的 值 及 两 根 之 积 的 值.而 其 逆 定 理 的 功 能 是：若 已 知 一 元 二 次 方 程 的 两 个 根，可 写 出 这 个 方 程.峰 程 要 求 初 中 课 程 要

42、 求 能 熟 练 利 用 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 去 判 断 根 的 个 数，简 单 地 介 绍 了 韦 达 定 理 高 中 课 程 要 求 熟 练 掌 握 求 根 公 式 求 根 和 对 含 参 数 判 别 式 的 处 理 能 力，会 灵 活 使 用 韦 达 定 理 解 决 各 种 问 题 高 中 必 备 知 识 点 1：根 的 判 别 式 我 们 知 道，对 于 一 元 二 次 方 程 加+&1+。=0(存 0),用 配 方 法 可 以 将 其 变 形 为/b b2-4ac A(X+丁)=，.2a 4Q因 为 川，所 以，4层 0.于 是(1)当 加 一 4勿 0 时，

43、方 程 的 右 端 是 一 个 正 数，因 此，原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根-b/b2-4acX,2=-;2ab(2)当 加 一 4“c=0 时，方 程 的 右 端 为 零，因 此，原 方 程 有 两 个 等 的 实 数 根 为=念=；2ab i(3)当 分 一 4a 0时，方 程 的 右 端 是 一 个 负 数，而 方 程 的 左 边(x+厂 一 定 大 于 或 等 于 零，因 此，原 方 2a程 没 有 实 数 根.由 此 可 知，一 元 二 次 方 程 or2+bx+c=0(aM)的 根 的 情 况 可 以 由 b24ac来 判 定，我 们 把 b24ac叫 做 一

44、 元 二 次 方 程 以+c=o(/)的 根 的 判 别 式，通 常 用 符 号“A”来 表 示.综 上 所 述，对 于 一 元 二 次 方 程 ax2+6x+c=03#0),有(1)当()时，方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根-bjh2-4acX,2=-：2a(2)当 A=0 时，方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根(3)当 A V O 时，方 程 没 有 实 数 根.高 中 必 备 知 识 点 2：根 与 系 数 的 关 系(韦 达 定 理)若 一 元 二 次 方 程 6/+/次+0=0(存 0)有 两 个 实 数 根-b+b1 4ac-b-y/h2-4ac1 2a 2a

45、则 有-b-i-yjb2-4ac-h-ylh2-4ac-2h bM M=-+-=-=;2a 2a 2a a-b+yjh2-4ac-h-A/Z?2-4ac h2-(h2-4ac)4ac cX.X2=-=-:-=-7=2a 2a 4a 4a a所 以，一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 之 间 存 在 下 列 关 系：b c如 果+的 两 根 分 别 是 Xl,X2,那 么 Xl+x2=-,X-X2=.这 一 关 系 也 被 称 为 韦 达 定 理.a a特 别 地，对 于 二 次 项 系 数 为 1 的 一 元 二 次 方 程 x2+px+q=O,若 X,无 2是 其 两 根，由 韦 达

46、 定 理 可 知 Xl+X2=P，XvX2=q,即=(X1+X2),q=x-X2,所 以，方 程 x2+px+q=O可 化 为 x2(xi+x2)x+xr%2=0,由 于 Xi,Xi是 一 元 二 次 方 程 x2+px+g=O的 两 根,所 以，Xl,X2 也 是 一 元 二 次 方 程 X?(Xi+x2)x+xrX2=0.嗔 例 制 折 高 中 必 备 知 识 点 1:根 的 判 别 式【典 型 例 题】关 于 x的 一 元 二 次 方 程%2-0-1)%+2m 1=0,其 根 的 判 别 式 为 1 6,求 m的 值.【解 析】由 题 意 得，=一(m I)?4(2m-1)=1 6,整

47、理 得，m2 10m 11=0,解 得：mx=11,7n2=-1.【变 式 训 练】已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 t n/-(m 4-2)x+2=0(1)若 方 程 的 一 个 根 为 3,求 m的 值 及 另 一 个 根；(2)若 该 方 程 根 的 判 别 式 的 值 等 于 1,求 血 的 值.【答 案】山=提 即 原 方 程 的 另 一 根 是 1：(2)m=1,m=3.【解 析】设 方 程 的 另 一 根 是 X 2.一 元 二 次 方 程 mx2-(m+2)x+2=0的 一 个 根 为 3,2.2.x=3是 原 方 程 的 解，9m-(m+2)x3+2=0,解 得 m

48、 y；又 由 韦 达 定 理，得 3xxz=2，3 3/.X2=l,即 原 方 程 的 另 一 根 是 1；(2)V A=(m+2)2-4 xm x2=l/.m=l,m=3.【能 力 提 升】方 程(x-5)(2x-1)=3的 根 的 判 别 式 b2-4ac=_.【解 析】先 把 方 程(x-5)(2x-1)=3化 为 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式，再 求 出 根 的 判 别 式 即 可.方 程(x-5)(2x-1)=3化 为 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为：2x2.l l x+2=o,故 A=b2-4ac=(-l l)2-4x2x2=105.高 中 必 备 知

49、 识 点 2：根 与 系 数 的 关 系(韦 达 定 理)【典 型 彳 列 题】如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程。x2+bx+c=0(aH0)有 两 个 实 数 根，且 其 中 一 个 根 为 另 一 个 根 的 2 倍，则 称 这 样 的 方 程 为 倍 根 方 程 请 问 一 元 二 次 方 程 x2-6x+8=0是 倍 根 方 程 吗？如 果 是，请 说 明 理 由.若 一 元 二 次 方 程 x2+bx+c=0是 倍 根 方 程，且 方 程 有 一 个 根 为 2,求 b、c 的 值.【解 析】该 方 程 是 倍 根 方 程,理 由 如 下:x2-6x+8=0,解 得 X

50、1=2,X2=4,/.X2=2X I,一 元 二 次 方 程 x2-6x+8=0是 倍 根 方 程；(2：方 程 x2+bx+c=0是 倍 根 方 程，且 方 程 有 一 个 根 为 2,方 程 的 另 一 个 根 是 1或 4,当 方 程 根 为 1,2 时，-b=l+2,解 得 b=-3,c=lx 2=2；当 方 程 根 为 2,4 时-b=2+4,解 得 b=-6,c=2x4=8.【变 式 训 练】求 方 程 x 2-2 x-2=0 的 根 XI，X 2(X1X2),并 求 X/+2X2的 值.【解 析】方 程 析-2 x-2=o 的 根 XI,X2,X 12-2x,-2=0,X 1+x