人教版高中数学 3.1.1《变化率与导数》课件 新人教A选修11.ppt

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1、3.1 变化率与导数2021/8/9 星期一1教学目标教学目标 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵 教学重点：教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵2021/8/9 星期一2变化率问题变化率问题问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率问题问题2 2 高台跳水运动中，运动员相对高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是于水面的高度是2021/8/9 星期一3引导：引导：1这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念引入气球平均膨胀率的概念当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r

2、(1)r(0)=0.62 r(0)=0.62 当空气容量从加时，半径增加了当空气容量从加时，半径增加了 r(r()r(r()=0.)=0.2021/8/9 星期一4探究活动探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率出函数的平均变化率2021/8/9 星期一5设某个变量设某个变量 f f 随随 x x 的变化而变化，的变化而变化，从从 x x 经过经过 x x，量量 f f 的改变量为的改变量为量量 f f 的平均变化率为的平均变化率为2021/8/9 星期一6平平均

3、均速速度度反反映映了了汽汽车车在在前前10秒秒内内的的快快慢慢程程度度，为为了了了了解解汽汽车车的的性性能能，还还需需要要知知道道汽汽车车在在某某一一时时刻刻的的速速度度瞬时速度瞬时速度2 瞬时速度瞬时速度 平均速度的概念平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为这段时间内汽车的平均速度为 2021/8/9 星期一7 已已知知物物体体作作变变速速直直线线运运动动，其其运运动动方方程程为为ss(t)(表表示示位位移移，t 表表示示时时间间)，求求物物体体在在 t0 时刻的速度时刻的速度 如如图图设设该该物物体体在在时时刻刻t0的的位位置置是是(t0)OA0，在在时时刻刻t0+D Dt 的的位位置置

4、是是s(t0+D Dt)OA1，则则从从 t0 到到 t0+D Dt 这这段段时时间间内内，物体的物体的 位移是位移是 在时间段在时间段(t0+D Dt)t0=D Dt 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:2021/8/9 星期一8 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平均速度时平均速度的极限即的

5、极限即2021/8/9 星期一9 例例 物体作自由落体运动，物体作自由落体运动，运动方程为：运动方程为：，其中位移，其中位移 单单 位位 是是 m，时时 间间 单单 位位 是是 s，g=9.8m/s2 求求：(1)物物 体体 在在 时时 间间 区区 间间 2，2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物物体体在在时时间间区区间间2，2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.2021/8/9 星期一10 (1)将将 D Dt=0.1代入上式，得代入上式，得 (2)将将 D Dt=0.01代入上式，得代入上式，得 平均速度平均速度 的极限为的极限为:(3)

6、当当当当时时间间间间隔隔D Dt 逐逐渐渐变变小小时时,平平均均速速度度 就就越越接接近近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速度v=19.6(m/s)即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于19.6(m/s).2021/8/9 星期一11 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+D Dt 这段时间内，当这段时间内，当 D Dt0 时平

7、均速度时平均速度的极限即的极限即瞬时速度瞬时速度高台跳水高台跳水2021/8/9 星期一12tt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.1000492021/8/9 星期一13高台跳水高台跳水2021/8/9 星期一14导数的概念导数的概念一般地，函数一般地，函数 y y=f f(x x)在点在点x x=x x0 0处的瞬时变化处的瞬时变化率是率是我们称它为函数我们称它为函数

8、y=f(x)在点在点x x=x x0 0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即2021/8/9 星期一15导数导数的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x x0 0 处处不不可导可导。设函数设函数 y y=f f(x x)在点在点 x x=x x0 0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x x 在在 x x0 0 处取得增量处取得增量 x x(点点 x x0 0+x x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，相应相应地函数地函数 y y 取得增量取得增量 y y=f f(x x0 0+x x)-f-f(x x0 0)，若，若y y与与x

9、 x之比当之比当 x x00的极限存在，则称函数的极限存在，则称函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处处可导可导 ，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处的处的导数，导数，记为记为 。即即2021/8/9 星期一16说说明：明：（1）函数）函数在点在点处处可可导导，是指，是指时时，有极限如果有极限如果不存在极限，就不存在极限，就说说函数在函数在处处不可不可导导，或，或说说无无导导数数点点是自是自变变量量x在在处处的改的改变变量，量，而，而是函数是函数值值的改的改变变量，可以是零量，可以是零（2）2021/8/9 星期一17由由

10、导导数的定数的定义义可知，求函数可知，求函数在在处处的的导导数的步数的步骤骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均）求平均变变化率化率:；（3）取极限，得）取极限，得导导数数:2021/8/9 星期一18例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。2021/8/9 星期一19例例:高台跳水运动中，高台跳水

11、运动中，秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位：），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢?2021/8/9 星期一20同理，同理，运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。2021/8/9 星期一21你能借助函数的图象说说平均变化率你能借助函数的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来2021/8/9 星期一22割线割线AB的的变化情况的的变化情况在在的

12、过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？2021/8/9 星期一233.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义Pxy0T2021/8/9 星期一24PxyoT的切线方程为的切线方程为即即2021/8/9 星期一25 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。

13、2021/8/9 星期一26 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替。大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可看来看，大致可看作作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此点某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲”（以简单（以简单的对象刻画复杂的对象）的对象刻画复杂的对象）2021/8/9 星期一27 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ，的几何意义的几何意义.2021/8/9 星期一28 (2)请描

14、述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？2021/8/9 星期一29 (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线

15、斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象2021/8/9 星期一30(2)曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度，大于大于上升上升递增递增上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速递减递减下降下降小于小于下降下降20

16、21/8/9 星期一31 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1)2021/8/9 星期一32 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率,就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率

17、.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象2021/8/9 星期一33 抽象概括抽象概括：是确定的数是确定的数是的函数是的函数 导函数的概念：导函数的概念：t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 2021/8/9 星期一34小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合）切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数)2.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象2021/8/9 星期一35