《算法案例辗转相除法与更相减损术》（新人教A版必修3）公开课一等奖ppt课件.ppt

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1、算算 法法 案案 例例第一课时1.回顾算法的三种表示方法：回顾算法的三种表示方法：（1）、自然语言）、自然语言（2）、程序框图）、程序框图（3）、程序语言）、程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）复习引入复习引入2.思考：思考：小学学过的求两个数的最大公约数的方法？小学学过的求两个数的最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来除数连乘起来.例：求下面两个正整数的最大公约数：例：求下面两个正整数的最大公约数：（1）求）求25和和35

2、的最大公约数的最大公约数（2）求）求49和和63的最大公约数的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，所以，25和和35的最大公的最大公约数为约数为5所以，所以，49和和63的最大公的最大公约数为约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出例：如何算出8251和和6105的最大公约数？的最大公约数？新课讲解：新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为数，用较大的数除以较小的

3、数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。2、步骤、步骤（以求（以求8251和和6105的最大公约数的过程为例）的最大公约数的过程为例）第一步第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数商和余数8251=61051+2146结论：结论：8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约数，求的公约数，求8251和和6105的最大公约数

4、，只要的最大公约数，只要求出求出6105和和2146的公约数就可以了。的公约数就可以了。第二步第二步 对对6105和和2146重复第一步的做法重复第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和和1813的最大公约数。的最大公约数。完整的过程完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例：例：用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135的最大公约数的最大公约数225=1351+90135=901+4590=4

5、52显然显然37是是148和和37的最大的最大公约数，也就是公约数，也就是8251和和6105的最大公约数的最大公约数 显然显然45是是90和和45的最大公约数，的最大公约数，也就是也就是225和和135的最大公约数的最大公约数 思考思考1：从上面的两个例子中可：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数：除数变成被除数，余数变成除数变成除数S3：重复：重复S1，直到余数为，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。止的

6、步骤，这实际上是一个循环结构。m=n q r用程序框图表示出右边的过程用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0(1)(1)、算法步骤：、算法步骤：第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公约数等于的最大公约数等于m；否则转到第二步否则转到第二步.第五步：输出最

7、大公约数第五步：输出最大公约数m.(2)(2)、程序框图：、程序框图：开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束(3)(3)、程序：、程序：INPUT “m,n=”;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND二、更相减损术二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。相减损，求其等也，以等数约之。第一步：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若任意给定两个正整数；判断他们是否都

8、是偶数。若是，则用是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、九章算术中的更相减损术：1、背景介绍：、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：、定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和数，用

9、较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。数的最大公约数。例例:用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数.解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 714

10、1414147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 3、方法：、方法：1、用更相减损术求两个正数、用更相减损术求两个正数84与与72的最大公约数的最大公约数 练习：练习：思路分析：先约简，再求思路分析：先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数然后乘以两次约简的质因数4。2、求、求324、243、135这三个数的最大公约数。这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约

11、数的最大公约数即为所求。数的最大公约数即为所求。(1)、算法步骤、算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn);第二步：若第二步：若m,n都是偶数都是偶数,则不断用则不断用2约简约简,使它使它们不同时是偶数们不同时是偶数,约简后的了两个数仍记为约简后的了两个数仍记为m,n.第三步：第三步：d=m-n.第四步：判断第四步：判断dn是否成立是否成立.若是若是,则将则将n,d中较中较大者记为大者记为m,较小者记为较小者记为n,返回第三步返回第三步;否则否则,2k*d为所求的最大公约数为所求的最大公约数.INPUT m,nIF mn THEN a=m m=n n=aEND IFK

12、=0WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1WENDd=m-nWHILE dn IF dn THEN m=d ELSE m=n n=d END IF d=m-nWENDd=2 k*dPRINT dEND比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计

13、算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。差相等而得到。小结小结小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用谢谢您下载使用！附附赠 中高考状元学中高考状元学习方方法法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如

14、浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分

15、加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，

16、二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心