中华中学2020-2021学年高三上学期1月学情暨期末数学试题.pdf

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1、 第1页/共31页学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）南京市中华中学南京市中华中学2020-2021学年第一学期一月学情暨期末调研学年第一学期一月学情暨期末调研高三数学高三数学一一、单选题单选题1.若，则（）A.B.C.D.2.已知，若(为虚数单位)，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.3.三名学生分别从 5 门选修课中选修一门课程，不同的选法有（）A.125 种B.243 种C.60 种D.10 种4.已知，且，则（）A.0.3B.0.4C.0.85D.0.75.九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘

2、矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积(弦矢+矢矢)弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于 8 米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 128 平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（）A.B.C.D.6.已知，且，则（）A.B.C.36D.67.在中，点满足，则的长为（）A.B.C.D.68.定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数 的最大值为（）1,2,5,4A=|2,Bx xm mA=AB=1,25,24

3、,23,4abR()22abab i+-ia2a 1a 2a -1a2-21a-()24,XNs()20.3P X=(6)P X=12=601691201691191695916932xyt=112xy+=t=2 66ABC!9AC=60A=D2CDDB=!37AD=BC3 73 63 3R()f x()(2)fxf x-=1x()23,141 log,4xxf xx x-+5(0)6ffp=23yfxp=-xR77066fxfxpp+-=2fxp-0,mm1117,1212pp()2cos2g xx=f(x)12p223()2abx ab+ 第3页/共31页学科网（北京）股份有限公司 学习资

4、料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A.B.2C.D.112.“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作抱银貂的女人.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在昆虫记里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软

5、绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数当时，称为双曲余弦函数，记为类似的双曲正弦函数直线与和的图像分别交于点、下列结论正确的是（）A.B.C.随的增大而减小D.与的图像有完全相同的渐近线三三填空题：填空题：13.的展开式中含项的系数为_14.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列，如数列 1，3，6，10，前后两项之差得到新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列，这样的

6、数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第 20 项为_15.已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交2-3 32()2axaxeef xa-+=aa1=()2xxeef x-+=ch2xxeex-+=sh2xxeex-=xt=ch xsh xABsh()shchchshxyxyxy+=+ch()chchshshxyxyxy+=-ABtch xsh x()51 23()xx+-3x的2222:1(0,0)xyCabab-=FF:2230lkxyka-=C 第4页/共31页学

7、科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）于、两点若，则实数_16.已知直三棱柱，若点是上底面所在平面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为_四四解答题：解答题：17.现有三个条件，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答已知的内角所对的边分别是，若_（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求周长取最小值时的面积18.已知等差数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和19.为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取 100 件进行性能质量评估检

8、测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中AB7AFFB=!k111 ABCA BC-14ABBCAA=4 2AC=P111 A BC-PABC41pPsin()sin()sincABbBcaA+=+-tan2sinbaBA=(1cos)3 sinaBbA+=ABC!,A B CabcB2 5ac+=ABC!ABC!na()()()()*122312(1)nnaaaaaan nnN+=+na2nnannS 第5页/共31页学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）综合得分的范围减排器等级减排器利

9、润率一级品二级品三级品（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级分层抽样方法抽取 10 件，再从这 10 件产品中随机抽取 4件，求至少有 2 件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：若从乙型号减排器中随机抽取 3 件，求二级品数的分布列及数学期望；从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？20.如图，在四棱锥中，平面，且，（1）求证：；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为 45，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由21.已知函数，其中（1）求函数在处的切线方程；（2），求实数的取值范围22.已知离心率为椭圆经过点

10、（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条动直线与椭圆的另一交点分别为k85k a7585k(3,1)PCPxQP1k2kC 第6页/共31页学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）、(、皆异于点)若，求的面积最大值MNMNQ1213k k=QMN!S 第7页/共31页学科网（北京）股份有限公司 南京市中华中学南京市中华中学2020-2021学年第一学期一月学情暨期末调研学年第一学期一月学情暨期末调研高三数学高三数学一一、单选题单选题1.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题

11、意求出集合，再由交集定义计算【详解】由题意，所以故选：C2.已知，若(为虚数单位)，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意复数的虚部为零，实部大于 2，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以，即，解得或故选：B3.三名学生分别从 5 门选修课中选修一门课程，不同的选法有（）A.125 种B.243 种C.60 种D.10 种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：三名学生分别从 5 门选修课中选修一门课程，对于任意 1 名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种；故选：A4.已知，且，则（）1,2,5,4A=|2,Bx x

12、m mA=AB=1,25,24,23,4B2,4,8,10B=2,4AB=abR()22abab i+-ia2a 1a 2a -1a2-21a-220abab+-=22aa+1a 2a 3logxt=2logyt=11log 3,log 2ttxy=112xy+=log 3 log 2log 62ttt+=26t=6t=0t 6t=ABC!9AC=60A=D2CDDB=!37AD=BC3 73 63 3AD!,AB AC!ABBC2CDDB=! 第10页/共31页学科网（北京）股份有限公司 所以，设，则得，即，因为，故解得，即，所以故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量在几何中的应用，解题关

13、键是利用向量的线性运算表示出向量，然后平方抒发向量的模转化为数量积的运算，即利用数量积求线段长8.定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数 的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，进而可得答案.【详解】当时，单调递减，当时，单调递减，故在上单调递减，由，得的对称轴为，若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，即，即，1121()3333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+-=+!ABx=222133ADABAC=+!22441379cos609999xx=+2291260 xx+-=0 x 6

14、x=6AB=222212cos60692 6 93 72BCABACAB AC=+-=+-=R()f x()(2)fxf x-=1x()23,141 log,4xxf xx x-+=-,1xt t+()()21fxf xt-+t1-23-13-13,1xt t+()()21fxf xt-+,1xt t+()()1f xf x+t+-1xxt+!14x=-=-4x()f x()()41f xf=-()f x)1,+()(2)fxf x-=()f x1x=,1xt t+()()21fxf xt-+,1xt t+()()1f xf x+t+-1xxt+()()221 xxt-+()22110txt+

15、- 第11页/共31页学科网（北京）股份有限公司 故实数最大值为.故选：C.二二多选题：多选题：9.在平面直角坐标系 xOy中，过抛物线 x2=2y的焦点的直线 l与抛物线的两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（）A.y1y2=B.以 AB为直径的圆与直线相切C.OA+OB的最小值D.经过点 B与 x轴垂直的直线与直线 OA交点一定在定直线上【答案】BD【解析】【分析】设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可依次判断.【详解】由题可得焦点为，显然直线斜率存在，设直线方程为，联立方程，可得，则，则，故 A错误；根据抛物线的定义可得线段的中点到准线的距离为，所以以 AB为直径的圆与

16、直线相切，故 B正确；当直线 与轴平行时，故 C错误；直线的方程为，与的焦点坐标为，因为，所以，即经过点 B与 x轴垂直的直线与直线 OA交点一定在定直线()()()22211011321110ttttttt+-+-t的13-1212y=-2 210,2F12ykx=+2122ykxxy=+=2210 xky-=121 22,1xxk x x+=-2212121224xxy y=AB12y=-22AFBFAB+=12y=-lx52OAOB=52 2OAOB=5(0)6ffp=23yfxp=-xR77066fxfxpp+-=2fxp-0,mm1117,1212pp()2cos2g xx=f(x)

17、12p5(0)6ffp=5212fp=-j5(0)6ffp=5056212xpp+= 第13页/共31页学科网（北京）股份有限公司 又，解得，又因为，即，所以，又，则，所以，A.函数不是奇函数，故错误；B.，故正确；C.，由，则，若在上有两个极值点，则，解得，所以取值的范围是，故不正确；D.将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：根据函数的部分图象，求得函数的解析式，是求解本题的关键.11.若不等式对任意正数，恒成立，则实数的可能取值为（）A.B.2C.D.1【答案】AD【解析】【分析】不等式对任意正数，恒成立，可得，再利用基本不等式的性质即可得出【详解】解

18、：不等式对任意正数，恒成立，541264Tppp=-=,2Tp w=5212fp=-52sin26pj+=-()53262kkZppjp+=+|jp23jp=()22sin 23f xxp=+222sin 233fxxpp-=-()()77fxfx2sin 232sin 322sin22sin2066xxxxpppp+-=+-=-+=2sin 223y=fxxpp-=-0,xm2,2333xmppp-0,m352232mppp-11171212mppm1117,1212ppf(x)12p22sin 22sin 22cos21232yxxxppp=-+=+=223()2abx ab+abx2-3

19、 32223()2abx ab+ab2262()abmab+!223()2abx ab+ab2262()abxab+ 第14页/共31页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当时取等号，故满足条件的有 A，D；故选：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误12.“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作抱银貂的女人.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随

20、着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在昆虫记里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数当时，称为双曲余弦函数，记为类似的双曲正弦函数直线与和的图像分别交于点、下列结论正确的是（）A.B.C.随 的增大而减小D.与的图像有完全相同的渐近线【答案】AC【解析】【分析】由函数的定义

21、，代入化简可得 A 正确，B 不正确；由可得 C 正确；由函数的图象变化可得 D 不正确.!222()6632232()2()434abababababababab+=+=+!3ab= 第15页/共31页学科网（北京）股份有限公司【详解】，所以 A 正确；，所以B 不正确；，且随着变大，越来越小，所以 C 正确；，当时，是的等价无穷大，无渐近线，当时，是的等价无穷大，无渐近线，所以 D 不正确.故选：AC三三填空题：填空题：13.的展开式中含项的系数为_【答案】【解析】【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即可得解；【详解】解：因为，又展开式的通项为，所以含的项有，故含项

22、的系数为故答案为：14.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列，如数列 1，3，6，10，前后两项之差得到新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第 20 项为_()2+-+=x yx yeesh xy22222-+-+-+=+=ggggxxyyxxyyx yx yeeeeeeeeeeshx chychx

23、 shy()2+-+=x yx yeech xy22222-+-=-=ggggxxyyxxyyx yx yeeeeeeeeeechx chyshx shy0-=xchxshxexxe-shx+x 2xey=chx+x 2xey=()51 23()xx+-3x360-()()552323xxx-+()523x-3x()()()555(1 232323)xxxxx+=+-()523x-()()()5551552323rrrrrrrrTCxCx-+=-=-3x()332235231080 xCxx-=-()22333523720Cxx-=3x1080720360-+=-360- 第16页/共31页学

24、科网（北京）股份有限公司【答案】【解析】【分析】设此数列为，可得：，利用即可得出【详解】解：设此数列为，可得：，故答案为：15.已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点若，则实数_【答案】【解析】【分析】由直线方程过右焦点得的关系，设，直线方程与双曲线方程联立消去，应用韦达定理得出，由，得，这样结合起来可得值【详解】在中令得，所以，则，设，由，消去得，由得，所以，化简得，193na13a=211aa-=322aa-=11nnnaa-=-121321()()()nnnaaaaaaaa-=+-+-+-na13a=211aa-=322aa-=11nnnaa-=-121321(1)()()(

25、)3 12132nnnn naaaaaaaan-=+-+-+-=+-=+2020 1931932a=+=1932222:1(0,0)xyCabab-=FF:2230lkxyka-=CAB7AFFB=!k3,a b1122(,),(,)A x yB x yx1212,yyy y+7AFFB=!127yy=-k2230kxyka-=0y=32ax=32ac=222254abca=-=1122(,),(,)A x yB x y222212230 xyabkxyka-=-=x22222223504baba bayykk-+=2122223kabyya kb+=-2221222254()k a by y

26、ba k=-7AFFB=!127yy=-212222236kabyyya kb+=-=-222222()kabya kb=-2242222122222 22225774()4()k a bk a by yya kbba k=-=-=-2221235bka=3k= 第17页/共31页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得），已知条件又得，这样结合起来可求得值16.已知直三棱柱，若点是上底面所在平面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形

27、面积为_【答案】【解析】【分析】确定是等腰直角三角形，的中点分别是和的外心，由直棱柱性质得的外接球的球心在上，外接球面与平面的交线是圆，是以为圆心，为半径的圆，求出可得面积【详解】，则，设分别是的中点，则分别是和的外心，由直三棱柱的性质得平面，所以外接球的球心在上，如图，则，所以，的外接球面与平面的交线是圆，是以为圆心，为半径的圆，其面积为故答案为：31122(,),(,)x yxy1212,yyy y+127yy=-k111 ABCA BC-14ABBCAA=4 2AC=P111 A BC-PABC41pP4pABC!11,AC AC1,D DABC!111ABC-PABCO1DD111AB

28、C1D1D P1PD4,4 2ABBCAC=90ABC=1,D D11,AC AC1,D DABC!111ABC1DD ABC-PABC的O1DD24()41OApp=412OPOA=2222413(2 2)22ODOAAD=-=-=11135422ODDDODAAOD=-=-=-=222211415222PDOPOD=-=-=-PABC111ABC1D1D P224Spp= 第18页/共31页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结

29、论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上四四解答题：解答题：17.现有三个条件，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答已知的内角所对的边分别是，若_（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求周长取最小值时的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】若选：（1）利用诱导公式和正弦定理化简，再利用余弦定理即可求出角；（2）由（1）得到，再利用基本不等式求出的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积.若选：（1）利用正弦定理以及同角三角函数的基本关系化简求解即可；（2）由（1）得到，再利用基本不等式求出的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积.若选：

30、（1）利用正弦定理以及辅助角公式化简整理即可求出角；（2）由（1）得到，再利用基本不等式求出的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积.【详解】若选：（1），sin()sin()sincABbBcaA+=+-tan2sinbaBA=(1cos)3 sinaBbA+=ABC!,A B CabcB2 5ac+=ABC!ABC!3p5 33 5;4B()223bacac=+-b()223bacac=+-bB()223bacac=+-bsin()sin()sincABbBcaA+=+-sin()sinsinsincCbBcAaAp-=+- 第19页/共31页学科网（北京）股份有限公司，；

31、（2）由（1）知：，当且仅当时取等号；，又，则，又，所以，则周长的最小值为：；此时，所以面积为：.若选：（1）由，得，则，又，则，sinsinsinsincCbBcAaA=+-222cbaca=+-222acbac+-=2221cos22acbBac+-=0B!p5b ABC!2 553 5+=5acb=ABC!的15 3sin6024ac=tan2sinbaBA=2 sintanbAaB=sin2sincosAsinBAsinBB=0,0AB 第20页/共31页学科网（北京）股份有限公司 所以，即；（2）由（1）知：，当且仅当时取等号；，又，则，又，所以，则周长的最小值为：；此时，所以的面积

32、为：.若选：（1），1cos2B=3Bp=()22223bacacacac=+-=+-22acac+!5ac=()()()()2222231344bacacacacac=+-+-+=+2 5ac+=()()222112 5544bac+=0b 5b ABC!2 553 5+=5acb=ABC!15 3sin6024ac=(1cos)3 sinaBbA+=sin(1cos)3sinsinABAB+=0Ap1 cos3sin+=BB2sin16Bp-=1sin62Bp-= 第21页/共31页学科网（北京）股份有限公司 或，即或（舍）；（2）由（1）知：，当且仅当时取等号；，又，则，又，所以，则周长

33、的最小值为：；此时，所以的面积为：.【点睛】思路点睛：本题首先利用正弦定理，同角三角函数的基本关系，诱导公式，辅助角公式以及余弦定理进行化简求角；其次利用余弦定理，基本不等式，三角形面积公式求解.18.已知等差数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列的通项公式；（2）先由66Bpp-=566Bpp-=3Bp=Bp=()22223bacacacac=+-=+-22acac+!5ac=()()()()2222231344bacacacacac=+-+-+=+2 5ac+=()()222

34、112 5544bac+=0b 5b ABC!2 553 5+=5acb=ABC!15 3sin6024ac=na()()()()*122312(1)nnaaaaaan nnN+=+na2nnannS21nan=-2332nnnS+=- 第22页/共31页学科网（北京）股份有限公司（1）得到，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得，即，所以，解得，所以（2）由（1）得，所以，得：，所以【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出

35、“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 和不等于 两种情况求解.19.为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取 100 件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：nnna2n122-=nad()()121223412aaaaaa+=+=122348aaaa+=+=()()()1111428aadadad+=+=112ad=21nan=-nnna2n122-=1212321223212nnnnnS-=+231123212222213nnnnnS+-=+-211111121323222

36、22222nnnnnnS+-+=+-=-2332nnnS+=-nSnqSnnSqS- 第23页/共31页学科网（北京）股份有限公司 减排器等级及利润率如下表，其中综合得分的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件产品中随机抽取 4件，求至少有 2 件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：若从乙型号减排器中随机抽取 3 件，求二级品数的分布列及数学期望；从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？【答案】（1）；（2）二级品数的分布列见详解，；投资乙型号减排

37、器的平均利润率较大.【解析】【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为 0.6，根据分层抽样，计算 10 件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2 件一级品的概率；（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率1198ak85k a7585k25a7075k 2ax()Ex3742x()3=4E 第24页/共31页学科网（北京）股份有限公司，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取 3 件，则二级品数所有可能的取值为，且，由此能求出的分布列和数学期望.由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型

38、号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为，分层抽样的方法抽取 10 件，则抽取一级品为（件）则至少有 2 件一级品的概率，；（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取 3 件，则二级品数所有可能的取值为，且，所以，所以的分布列为012314120 x0,1,2,31(3,)4Bx!x0.08 5+0.04 5=0.610 0.66=2231464646410+3742C CC CCPC+=71014120 x

39、0,1,2,31(3,)4Bx!30033127(0)4464PCx=21133127(1)4464PCx=1223319(2)4464PCx=0333311(3)4464PCx= 第25页/共31页学科网（北京）股份有限公司 所以数学期望：；由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：；乙型号减排器的利润的平均值：；，又，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.【点睛】思路点睛：本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法求解随机变量的分布列及期望和利用函数思想解决实际问题解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.20.如图，在四棱锥中，平面，且，（1）求证：；（2）在线段上，是否

40、存在一点，使得二面角的大小为 45，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)根据平面得出,再梯形中利用勾股定理证明,进而得到平面即可.P276427649641642727913()0123646464644Ex=+=221=0.60.4 520.6Eaaaa+=+2222711137=5104201010Eaaaaa+=+2127171=1010107EEaaa a-=-1198a12EEa2()(21)xfxxxe=+-(0)1f=-(0)1f=-1yx+=-10 xy+=0 x=()1f xax-11-a0 x()1f

41、 xax-为()10f xax-+()()1g xf xax=-+()()g xfxa=-2()(21)xfxxxe=+-2()(21)xh xxxe=+-2()(41)0 xh xxxe=+()h x()fx(0,)+()(0)1fxf=-()(0)1g xga=-10a-1a -()0g x(0,)+()g x(0,)+()(0)0g xg=()10f xax-+1a -00 x 00()g x=00 xx()0g x()0g x()g xmin0()()g xg x= 第28页/共31页学科网（北京）股份有限公司 而，因此时，不成立综上【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查由不等

42、式恒成立求参数范围解题方法是构造新函数，求出，确定在上单调递增，根据的正负分类讨论后得出结论注意此题若用分离参数得，引入新函数后在现有知识体系下求不出新函数的最小值或取值范围，从而不能得出结论22.已知离心率为的椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条动直线与椭圆的另一交点分别为、(、皆异于点)若，求的面积最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由离心率计算出，再将点代入椭圆方程，求得椭圆的标准方程；（2）首先设出直线，与椭圆方程联立，求得点坐标，同理可得点的坐标，并表示直线的方程，利用表示，利用导数求面积的最大值.【详解】（1）由条件可知，

43、则，即，椭圆方程为，代入点，得，所以椭圆方程是；（2）设过点的直线的方程：，与椭圆方程联立，得，得，(0)0g=00 xx()(0)0g xg(3,1)PCPxQP1k2kCMNMNQ1213k k=QMN!S221124xy+=3223ab=()3,1PPMMNMN1kQMNS!63ca=2222221133bacaa-=-=223ab=222213xybb+=()3,1P24b=212a=221124xy+=()3,1PPM()131ykx=-+()()2222111111 3618271890kxkkxkk+-+-=211212718931 3Mkkxk-=+211219631 3Mkk

44、xk-=+ 第29页/共31页学科网（北京）股份有限公司 同理，因为，所以，,直线的方程为，整理为：，由题意可知点,点到直线的距离，设函数，函数是奇函数，所以直线考查时，函数的最大值，整理为，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以面积的最大值是.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，本题的难点是计算量偏大，关键是正确表示点的坐标.222229631 3Nkkxk-=+1213k k=211219631 3Nkkxk-+=+()211121361311 3Mkkykxk-+=-+=+()21121136113131 3NNkkyxkk-=-+=+13MNMNMNy

45、ykxx-=-MN221111221136196311 331 3kkkkyxkk-+-=-+12124301 3kxyk+=+()3,1Q-QMN121241 310kkd+=21211861101931 3MNkMNxxk-=+-=+()3112217224121 3QMNkkSMNdk-=+!()()32272241 3xxg xx-=+()g x0 x()()()()()()2223242216243172242 31 61 3xxxxxxgxx-+-+=+()()()23224 911 3xgxx-=+10,3x()0gx()g x13x()0g x()g x13x=()g x133g=QMN!3,M N