数学同步-专题5.2 函数的表示方法（重难点突破）.pdf

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1、 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571!#$%&#$%&()*+,-()*+,-&!#$%&#$%&(#)*+)*+知识点一 函数的表示方法 1!#$%&：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式 2!#()知识点二 函数的图象 1将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点所有这些点组成的集合(!)为(x，f(x)|xA，即(x，y)|yf(x)，xA，所有这些点组成的图形就是函数 yf(x)的

2、图象 2*+,-+./+(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数 yax2bx 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 c(a0)的图象是抛物线，开口方向由 a 值符号决定，a0，图象开口向上，a0 时，图象开口向下，对称轴为 xb2a.函数的图象是否可以关于 x 轴对称？0(1#$%&()*x+,-&./0123405/46789 x0&:;6,?&#ABCD01E,-./0-./0 重难点重难点题型题型突破突破一一 函数的表示法函数的表示法 例例1、（、

3、（1）（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）某人去上班，先跑步，后步行.如果 y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A B C D （2）、）、（2021江苏江苏高一专题练习高一专题练习）已知函数，用列表法表示如下：x 0 1 2 y 1 0 2 则（）A B0 C2 D3()yf x=2-1-2-1-(2)(2)ff f-+-=4-学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【变式训练变式训练1-1】、（2020江苏江苏无锡市大桥实验

4、学校高一期中）无锡市大桥实验学校高一期中）点在边长为 1 的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（）A B C D【变式训练变式训练1-2】、（2021浙江浙江浙江浙江高一期末）高一期末）如图，设有圆 O 和定点 C，当 从开始在平面上绕 O 匀速旋转（旋转角度不超过）时，它扫过圆内阴影部分面积 S 是时间 t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（）PABCDMCDPABCMPxAPMy()yf x=l0l90 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 A B C D 重难点重难点题型题型突破突破二二 函数图

5、象的作法及应用函数图象的作法及应用 例例2（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）画出下列函数的图象：（1）f(x)2x，x1，2，3；（2）f(x)x2 x2，1，0，1，2 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【变式训练 2-1】、（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）作出分段函数的图象 重难点重难点题型题型突破突破三三 函数解析式的求法函数解析式的求法 角度一角度一 用待定系数法求函数解析式用待定系数法求函数解析式 例例3（1）、）、（2020江苏江苏盐城中学高一期中）盐城中学高一期中）（多选题多选题）一次函数满足：，则可以是（）A B

6、 C D （2）、）、（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知 f(x)为二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)的解析式 【变式训练 3-1】、（2018江苏常州江苏常州高二期中（文）高二期中（文）若一次函数满足，则_ 12yxx=-+()f x()43f f xx=+()f x21x+1 2x-23x-23x-()f x()()4ff xx=+(1)f-=学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【变式训练3-2】、（2021江苏江苏高一专题练高一专题练习）已知为二次函数，求的解析式 角度二角度二 用换元法用换元法(配凑法配凑

7、法)求函数解析式求函数解析式 例例4（1）、）、（2020江苏省太湖高级中学高一月考）江苏省太湖高级中学高一月考）已知函数，若，则实数 a 的值为（）A5 B10 C11 D2 （2）、）、（2022浙江浙江高三专题练习高三专题练习）已知，则（）A B C D 【变式训练 4-1】、（2020江苏江苏苏州中学高二开学考试）苏州中学高二开学考试）已知，则函数的解析式为（）A B C D()f x()00f=()()22132fxf xxx+-=+()f x()2135fxx+=-()10f a=)(12fxx-=+)()(2230f xxxx=+)()(2231f xxxx=+-)()(2230

8、f xxxx=-+)()(2231f xxxx=-+-()12fxxx+=+()f x()()210f xxx=-()()211f xxx=-()()20f xxx=()()21f xxx=学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571【变式训练 4-2】、（2020江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知，则_.角度三角度三 用方程组法求函数解析式用方程组法求函数解析式 例例5、（2021浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）（多选题多选题）已知满足，则（）A

9、 B C D 【变式训练5-1】、（2020江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为_.例例6（2020广东广东华南师大附中南海实验高中高一期中）华南师大附中南海实验高中高一期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.（2）已知，求的解析式，2211()fxxxx-=+(2)f=()f x()2(-)21f xfxx-=-(3)3f=(3)3f=-()()2f xfx+-=()()-2f xfx+-=123()51f xfxx+=+()f x()()3129f xf xx+-=+()f x()11fxx+=+()f x 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨

10、询电话：18020133571【变式训练 6-1】、（2020四川省泸县第二中学高一月考）四川省泸县第二中学高一月考）（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知，求()f x()43f f xx=-()f x(1)1fxxx-=+()f x 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐!#$%&#$%&()*+,-()*+,-&!#$%&#$%&(#)*+)*+知识点一 函数的表示方法 1!#$%&：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式 2!#()知识点二 函数的图象 1将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(

11、x0，f(x0)当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点所有这些点组成的集合(!)为(x，f(x)|xA，即(x，y)|yf(x)，xA，所有这些点组成的图形就是函数 yf(x)的图象 2*+,-+./+(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数 yax2bx 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 c(a0)的图象是抛物线，开口方向由 a 值符号决定，a0，图象开口向上，a0 时，图象开口向下，对称轴为 xb2a.函数的图象是否可以关于 x 轴对称？0(1#$%&()

12、*x+,-&./0123405/46789 x0&:;6,?&#ABCD01E,-./0-./0 重难点重难点题型题型突破突破一一 函数的表示法函数的表示法 例例1、（、（1）（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）某人去上班，先跑步，后步行.如果 y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A B C D【答案】D【分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【详解】解：由题意可知：时所走的路程为 0，离单位的距离为最大值，排除 A、C，随

13、着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，所以适合的图象为 D；0 x=0 x=yxyx 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 故选：D（2）、）、（2021江苏江苏高一专题练习高一专题练习）已知函数，用列表法表示如下：x 0 1 2 y 1 0 2 则（）A B0 C2 D3【答案】D【分析】根据表格中自变量 x 和函数值 y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：，所以，所以 故选：D【变式训练变式训练1-1】、（2020江苏江苏无锡市大桥实验学校高一期中）无锡市大桥实验学校高一期中）点在边长为 1 的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过

14、的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（）A B()yf x=2-1-2-1-(2)(2)ff f-+-=4-(2)1f-=(2)(1)2f ff-=(2)(2)3ff+-=PABCDMCDPABCMPxAPMy()yf x=学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 C D【答案】【答案】A【分析】讨论 P 在 AB、BC、CM 时面积的解析式，并写出定义域，即可得解.【详解】当在上时，；当在上时，；当在上时，；对比选项，可得 A 正确.故选：A【变式训练变式训练1-2】、（2021浙江浙江浙江浙江高一期末）高一期末）如图，设有圆 O 和定点 C，当 从开始在平面上绕 O 匀速旋转（旋转角

15、度不超过）时，它扫过圆内阴影部分面积 S 是时间 t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（）B B APMyPAB122APMxSBC AP=!01xPBC314APMADMPCMABPxSSSS-=-=!12xPCM524APMxS-=!522xl0l90 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 C D【答案】C【分析】先分析直线 从初始位置转到经过点时阴影部分面积的变化情况，再分析 从过点的位置转至结束时阴影部分面积的变化情况，由此确定出大致图像.【详解】当直线 从初始位置转到经过点的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；从过点的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图

16、像越来越“平缓”，故选：C.重难点重难点题型题型突破突破二二 函数图象的作法及应用函数图象的作法及应用 例例2（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）画出下列函数的图象：（1）f(x)2x，x1，2，3；（2）f(x)x2 x2，1，0，1，2【答案】（1）图像见解析（2）图像见解析【分析】（1）列表、描点即可得图象；（2）列表、描点即可得图象；【详解】（1）列表：1 2 3 2 4 6 l0lClCl0lClCx()f x 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 描点：例 （2）列表：描点：【变式训练 2-1】、（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）作出分段函数的图象【答案】

17、答案见解析【分析】先化简函数解析式，再根据解析式画函数的图象即可【详解】解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即 作出图象如下：x2-1-012()f x4101412yxx=-+21,2123,2121,1xxyxxxxx-=-+=-学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 重难点重难点题型题型突破突破三三 函数解析式的求法函数解析式的求法 角度一角度一 用待定系数法求函数解析式用待定系数法求函数解析式 例例3（1）、）、（2020江苏江苏盐城中学高一期中）盐城中学高一期中）（多选题多选题）一次函数满足：，则可以是（）A B C D【答案】AD【分析】设，根据待定系数法求解即可.【详解】设，

18、所以，解得或，或，故选：AD（2）、）、（2021江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知 f(x)为二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)的解析式【答案】【分析】设，结合已知条件求得，由此求得.()f x()43f f xx=+()f x21x+1 2x-23x-23x-()f xaxb=+()f xaxb=+2()()()43f f xaf xba axbba xabbx=+=+=+=+243aabb=+=21ab=23ab=-=-()21f xx=+()23f xx=-()21f xxx=-+()2f xaxbxc=+,a b c()f x 学习资料分享/升学政策

19、解读/优质师资推荐【详解】设，所以.【变式训练 3-1】、（2018江苏常州江苏常州高二期中（文）高二期中（文）若一次函数满足，则_【答案】1【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.【详解】解：因为是一次函数，可设 则 所以，解得 所以 所以 故答案为 1.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.【变式训练3-2】、（2021江苏江苏高一专题练高一专题练习）已知为二次函数，求的解析式【答案】()()20f xaxbxc a=+()01fc=()21f xaxbx=+()()()()()221111122f xf xa xb xxxaxabx+

20、-=+-+=+=221,10aabab=-+=()21f xxx=-+()f x()()4ff xx=+(1)f-=()f x()1f-()f x()f xkxb=+()()()()24ff xf kxbk kxbbk xkbbx=+=+=+=+214kkbb=+=12kb=()2f xx=+()11f-=()f x()00f=()()22132fxf xxx+-=+()f x()21533f xxx=+学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【分析】设，由已知建立关系求出即可.【详解】解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以 角度二角度二 用换元法用换

21、元法(配凑法配凑法)求函数解析式求函数解析式 例例4（1）、）、（2020江苏省太湖高级中学高一月考）江苏省太湖高级中学高一月考）已知函数，若，则实数 a 的值为（）A5 B10 C11 D2【答案】C【分析】由换元法求得函数的解析式，代入即可得解.【详解】令，则，所以，即，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.（2）、）、（2022浙江浙江高三专题练习高三专题练习）已知，则（）A B()2f xaxbxc=+,a b c()f x()2f xaxbxc=+()00f=0c=()2f xaxbx=+()()()()()22212121

22、442fxaxbxaxab xab+=+=+()()22132fxf xxx+-=+()()223432axab xabxx+=+31a=43ab+=2ab+=13a=53b=()21533f xxx=+()2135fxx+=-()10f a=21tx=+12tx-=()()313135222ttf t-=-=-()31322xf x=-()3131022af a=-=11a=)(12fxx-=+)()(2230f xxxx=+)()(2231f xxxx=+-学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 C D【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令，则，据此可得：，所以的解析式为.

23、故选：B【变式训练 4-1】、（2020江苏江苏苏州中学高二开学考试）苏州中学高二开学考试）已知，则函数的解析式为（）A B C D【答案】B【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.【详解】，令，则，故选：B.【点睛】本题主要考查换元法求函数的解析式，遗忘函数定义域是易错点，属于基础题.)()(2230f xxxx=-+)()(2231f xxxx=-+-()11txt=-()21xt=+22()(1)223f tttt=+=+()f x()()223,1f xxxx=+-()12fxxx+=+()f x()()210f xxx=-()()211f xxx=-()()2

24、0f xxx=()()21f xxx=()()22111fxxxx=+=+-+1 1tx=+()()211f ttt=-()()211f xxx=-学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【变式训练 4-2】、（2020江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知，则_.【答案】6【分析】利用配凑的方法可求得函数的解析式，从而求得.【详解】由题意，故，故.故答案为：6【点睛】本题考查函数解析式的求解方法，考查分析能力，属于基础题.角度三角度三 用方程组法求函数解析式用方程组法求函数解析式 例例5、（2021浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）（多选题多选题）已知满足

25、，则（）A B C D【答案】AC【分析】由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可【详解】，化简得 两式相加得，解得 故，A 正确，B 错误；又，则，C 正确，D 错误；故选：AC【变式训练5-1】、（2020江苏江苏高一课时练习）高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为_.【答案】【分析】2211()fxxxx-=+(2)f=()f x(2)f211()2fxxxx-=-+()22f xx=+22226f=+=（）()f x()2(-)21f xfxx-=-(3)3f=(3)3f=-()()2f xfx+-=()()-2f xfx+-=()2()21f xfxx-=-()2()21f

26、xf xx-=-()f x()2()21f xfxx-=-!()2()21fxf xx-=-2()4()42fxf xx-=-()323f xx-=-()213f xx=+(3)3f=()213fxx-=-+()()2f xfx+-=123()51f xfxx+=+()351888f xxx=-+学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 以代替得出，与已知等式联立，解出函数 f(x)的解析式【详解】，35，得：16f(x)=10 x2，故答案为：例例6（2020广东广东华南师大附中南海实验高中高一期中）华南师大附中南海实验高中高一期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.（2）已知，求的

27、解析式，【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，带入已知条件，对应系数相等，求出即可；（2）换元法求函数的解析式.【详解】（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;（2）令，则，所以，即.【变式训练 6-1】、（2020四川省泸县第二中学高一月考）四川省泸县第二中学高一月考）（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知，求 1xx()13()521ffxxx+=+123()51f xfxx+=+()13()521ffxxx+=+6x()351888f xxx=-+()351888f xxx=-+()f x()()3129f xf xx+-=+()f x()11fxx+=

28、+()f x()3f xx=+()()2221f xxxx=-+()f xkxb=+13kb=()f x()f xkxb=+()()3129f xf xx+-=+()()3129k xbkxbx+-+=+23229kxkbx+=+22329kkb=+=13kb=()3f xx=+()11xt t+=()21xt=-()()()2211221f ttttt=-+=-+()()2221f xxxx=-+()f x()43f f xx=-()f x(1)1fxxx-=+()f x 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【答案】（1）或；（2）【分析】（1）设，代入已知条件可得的方程组，解方程组即可

29、得到答案（2）利用换元法求解求出解析式【详解】（1）设，则：；即；解得或；或；（2）令，则，；【点睛】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法、换元法、配凑法、列方程组法等，由条件的不同运用适当方法解题 21yx=-23yx=-+2()33(1)f xxxx=+-()()0f xkxb k=+kb，()()0f xkxb k=+()()43ff xk kxbbx=+=-243kkbb=+=-21kb=-23kb=-=21yx=-23yx=-+()11xt t-=-1xt=+()21xt=+()()2211 133f ttttt=+=+()()2331f xxxx=+-学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐