定积分的几何应用(新)ppt课件.ppt

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1、火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.5 定积分在几何中的应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.第一步分割：将区间a,b任意分为n 个子区间xi-1,xi(i=1,2,n)，其中x0=a，xn=b.一、定积分的微元法火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上

2、湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去第三步求和：曲边梯形面积A第四步取极限：n，=maxxi 0，第二步取近似：在子区间xi-1,xi 上，任取一点xi，作小曲边梯形面积Ai 的近似值，Ai f(xi)xi.(i=1,2,n)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去如果把第二步中的xi 用x替代，中的被积分式f(x)dx具有类同的形式，第二步取近似时其形式f(xi)xi，与第四步积分xi 用dx 替代，那么它就是第四步积分中的被积分式，第一步选取积分变量，例如选取x，并确定其范围，例如xa,b，在其上任取一个子区间记作x,x+dx.第二

3、步取所求量I 在子区间x,x+dx上的部分量I 的近似值I f(x)dx，第三步取定积分基于此，我们把上述四步简化为三步：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去几点说明：(1)取近似值时，得到的是形如f(x)dx 的近似值，并且要求 I-f(x)dx 是dx 的高阶无穷小量，关于后一个要求在实际问题中常常能满足.(2)满足(1)的要求后，f(x)dx 是所求量I 的微分，所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即dI=f(x)dx，dI 称为量I的微元.上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.xa O xx+dxy=f(

4、x)y火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去计算由区间a,b上的两条连续曲线以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间a,b，在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相应的面积可以用x点处的函数值二、平面图形的面积ayx b Oxy=f(x)x+dxy=g(x)为高火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去所以，所求平面图形的面积A为以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素火灾袭来时要迅速疏散

5、逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去类似地可得，由区间c,d上的两条连续曲线与，（当）以及两直线与所围成的平面图形的面积为xoycdyy+dy火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例1计算由曲线及直线所围成的平面图形的面积。解：作出所围成的平面图形取x为积分变量，其变化区间为0，1。于是，平面图形的面积火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例2求出抛物线y2=2x 与直线y=x 4所围成的平面图形的面积.

6、解作草图，如图，求抛物线与直线的交点，即解方程组得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去于是如果选择x 为积分变量，那么它的表达式就比上式复杂.如果选择y 作积分变量，y-2,4，xyAB(8,4)(2,-2)-24yy=x-4y2=2xy+dy任取一个子区间y,y+dy-2,4，则在y,y+dy上的面积微元是火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例3求y=sinx，

7、y=cosx，解由上述公式知所围成的平面图形的面积.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去也可以先作出该平面图形的草图，如图，就不必用公式了.则直接可得y=cosxxOy=sinx1y火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例4求椭圆x=a cost，y=b sint 的面积，其中a 0，b 0.解因为图形关于x 轴、y 轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，把x=a cost，y=b sint 代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换(满足积

8、分变量t).由定积分的换元公式得即xyO火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。计算由区间a、b上的连续曲线、两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。三、旋转体的体积火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相应的

9、薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底面半径，以dx为高的扁圆柱体的体积近似代替，从而得到体积元素所以，所求旋转体的体积火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去类似地可得，由区间c,d上的连续曲线,两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5求由椭圆解利用图形的对称性,只需考虑第一象限内(一)绕x轴：选取积分变量为x0,a，所围图形分别绕x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.任

10、取一个子区间x,x+dx0,a，的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求体积为该体积的2倍。火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去在子区间x,x+dx上旋转体的微元为：于是dV1=py2dx，yxOx x+dx火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(二)绕y轴：选积分变量y0,b，任取子区间y,y+dy0,b.在子区间y,y+dy上体积的微元为则yxO y+dyyxx火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹

11、上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例6求y=x2与y2=x 所围图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.解选积分变量x 0,1(两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，任取子区间x,x+dx0,1，其上的体积的微元为xx+dx(1,1)y2=x2yx O 体积微元的求法 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去1.曲线与直线所成的图形的面积为（）2.将第一象限内由x轴和曲线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积等于()思考题DC火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去习题5-51（1）（3）45作业题