北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形课件.pptx

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1、第三章圆 初中数学（北师大版）九年级 下册知识点一 圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆 n(n3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正 n 边形.(1)相关定义:名称 概念 图形中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(2)相关公式:名称 公式 图例内角正 n 边形的每个内角为=180-中心角正 n 边形的每个中心角为外角正 n 边形的每个外角为周长正 n 边形的

2、周长 ln=nan(an为边长)面积正 n 边形的面积 Sn=rnln(rn为边心距,ln为周长)温馨提示作出圆内接正多边形的半径和边心距,构造直角三角形,利用勾股定理求出边心距、边长等,再利用正多边形的相关公式可求出周长和面积.例1 已知正六边形的半径为 R,求正六边形的边长、边心距和面积.解析 如图3-8-1,正六边形在 O 内,连接 OA,OB,过点 O 作 OM AB 于点 M,设边心距为 r.在Rt AOM 中,正六边形的中心角为60,AOM=30,OA=2 AM,AB=2 AM,图3-8-1 AB=OA=R.在Rt OAM 中,由勾股定理,得 r=R.S正六边形=6 S AOB=6

3、 AB OM=3 R R=R2.故正六边形的边长为 R,边心距为 R,面积为 R2.规律总结 在解决有关正六边形和正方形的计算问题时,我们往往作相邻的两条半径,使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形,然后与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等联系综合求解.知识点二 圆内接正多边形的画法要作半径为 R 的正 n 边形,只要把半径为 R 的圆 n 等分,然后顺次连接各等分点即可.注意(1)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,但边数很大时,容易有较大的误差.(2)尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,它不能将圆任意等分,只限于一些特殊的正多边形,如正四边形、正八边形、正

4、十六边形、正六边形、正十二边形、正三角形等.等分圆周法可以画任意正多边形.例2 用尺规画半径为2cm 的正十二边形.分析 先作互相垂直的直径,然后分别以这两条直径的四个端点为圆心,2cm 长为半径画弧,即可得 O 的12 个等分点,依次连接各点得到正十二边形.解析 如图3-8-2 所示,作法:(1)画半径为2cm 的 O,作直径 AB CD.(2)分别以 A、B、C、D 为圆心,2cm 长为半径画弧,交 O 的各点和 A、B、C、D 即为 O 的12 个等分点.(3)顺次连接各等分点,得到正十二边形 AKLDEFBGHCIJ.则十二边形 AKLDEFBGHCIJ 即为所求作的正十二边形.图3-

5、8-2解题关键 熟记常用的正多边形的作图方法是解决本题的关键.题型一 正多边形的相关计算例1(2018 河南驻马店确山期末)如图3-8-3,边长为4 的正六边形 ABCDEF的中心与坐标原点 O 重合,AF x 轴,将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次,每次旋转60,当 n=100 时,顶点 A 的坐标为()图3-8-3A.(-2,2)B.(-2,-2)C.(2,-2)D.(2,2)解析 如图3-8-4,连接 OA,BOH=90,AOB=60,AOH=30,OA=4,AH=2,OH=2.六边形 ABCDEF 是正六边形,正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转6 次回

6、到原位置,100 6=164,当n=100 时,顶点 A 的坐标为(-2,-2).故选B.图3-8-4答案B方法归纳 本题为图形与坐标问题,在正多边形中,要充分利用正多边形边与角的特殊性质解题,如:正 n 边形的中心角为.题型二 正多边形的实际应用例2 如图3-8-5,有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积.图3-8-5分析 正多边形的半径即为正多边形的外接圆的半径,求地基的周长与面积,可通过构造直角三角形求出正多边形的边长与边心距.解析 如图3-8-6,连接 OB,OC,过点 O 作 OP BC 于 P.由于六边形 ABCDEF 是正六边形,所以它的中心角等于=60

7、,且 OB=OC,所以 OBC 是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径,所以地基的周长 l=6 4=24(m),在Rt OPC 中,OC=4m,PC=2m,根据勾股定理,可得 OP=2m,所以地基的面积 S=l OP=24 2=24(m2).图3-8-6点拨 正多边形的周长等于边长乘边数,正多边形的面积等于周长与边心距的积的一半.知识点一 圆内接正多边形1.下列给出五个命题:正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆;各边相等的圆外切多边形是正多边形;各内角相等的圆内接多边形是正多边形;正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形;正 n 边形的中心角 n=,且与每一个外角相等.其中正确的

8、命题有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个答案A 正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆,圆心是正多边形的中心,故 正确;各边相等的圆外切多边形的各内角不一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故 错误;圆内接矩形的各内角相等,但不是正多边形,故 错误;边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心对称图形,故 错误;正 n 边形的中心角 n=,且与每一个外角相等,故 正确.故正确的是,共有2 个.故选A.2.(2015 辽宁铁岭中考)如图3-8-1,点 O 是正五边形 ABCDE 的中心,则 BAO的度数为.图3-8-1

9、答案 54 解析 五边形 ABCDE 是正五边形,BAE=108.又 点 O是正五边形 ABCDE 的中心,BAO=EAO=54.3.(2019 山东青岛中考)如图3-8-2,五边形 ABCDE 是 O 的内接正五边形,AF是 O 的直径,则 BDF 的度数是.图3-8-2答案 54 解析 如图,连接 AD,AF 是 O 的直径,ADF=90,五边形 ABCDE 是 O 的内接正五边形,ABC=C=108,ABD=72,F=ABD=72,F AD=18,CDF=DAF=18,BDF=36+18=54.知识点二 圆内接正多边形的画法4.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分,然后连

10、接五等分点(如图3-8-3).五角星的每一个角的度数为()图3-8-3A.30 B.35 C.36 D.37 答案C 五等分点将圆分成5 等份,每一段弧的度数为=72,所以五角星的每一个角的度数为=36.5.如图3-8-4,已知 O,求作 O 的内接正八边形.图3-8-4解析 作图如下:作法:(1)作 O 的任意一条直径 AC;(2)作 AC 的垂直平分线 BD,交 O 于 B,D 两点;(3)连接 AD,作 AD 的垂直平分线交 于点 M;(4)用同样的方法分别作出,的中点 E,F,G;(5)依次连接 O 上各点,即得所求作的 O 的内接正八边形 AEBFCGDM.1.正六边形的边心距与边长

11、之比为()A.3 B.2C.1 2 D.2答案B 如图,设正六边形 ABCDEF 的边长为2 a,O 为正六边形的中心,连接 OA、OB,作 OM AB 于 M,OAB 是等边三角形,OA=OB=AB=2 a,AM=BM=a.在Rt OAM 中,由勾股定理可得 OM=a,则正六边形的边心距与边长之比为 OM AB=a 2 a=2,故选B.2.如图,在正八边形 ABCDEFGH 中,四边形 BCFG 的面积为20cm2,则正八边形的面积为 cm2.答案40解析 如图,连接 AD、HE,分别交 BG、CF 于点 O、P、M、N,则 ABO,CDP,EFN,HGM 均为全等的等腰直角三角形,四边形B

12、CPO、四边形 GFNM 为全等的矩形.设正八边形的边长为 acm,则 OA=OB=acm,则 AD=(a+a)cm.所以 S矩形 BCFG=S矩形 ADEH=a(a+a)=20cm2,(S ABO+S CDP+S EFN+S HGM)+S矩形 BCPO+S矩形 GFNM=a2+2 a a=a2+a2=20cm2,故正八边形的面积为20+20=40(cm2).3.如图,将正六边形放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点 A 的坐标为(-1,0),则点 C 的坐标为.答案解析 如图,连接 OB,OC,易证四边形 ABCO 是菱形,又 A(-1,0),OC=OA=BC=AB=1.设 BC 与

13、 y 轴的交点为 H,O 是正六边形的中心,BH=CH=.在Rt OCH 中,OH=.点 C 的坐标是.4.正八边形的中心角的度数为,每个内角的度数为,每个外角的度数为.答案 45;135;45 解析 正八边形的中心角的度数为360 8=45.正八边形每个外角的度数为360 8=45,每个内角的度数为180-45=135.5.观察圆内接正五边形 ABCDE(如图),解答下列问题:(1)以 AB 为底,且顶角为36 的等腰三角形有多少个?以 AB 为腰,且顶角为36 的等腰三角形有多少个?将它们表示出来;(2)以 AB 为底,且底角为36 的等腰三角形有多少个?以 AB 为腰,且底角为36 的等

14、腰三角形有多少个?将它们表示出来.解析(1)以 AB 为底,且顶角为36 的等腰三角形只有1 个,即 DAB;以 AB 为腰,且顶角为36 的等腰三角形有2 个,即 ABG,ABJ.(2)以 AB 为底,且底角为36 的等腰三角形只有1 个,即 F AB;以 AB 为腰,且底角为36 的等腰三角形有2 个,即 ABE,ABC.6.画一个半径为1cm 的正五边形,再作出这个五边形的各条对角线,画出一个五角星.解析 画法:(1)以 O 为圆心,1cm 长为半径画圆;(2)以 O 点为顶点,OA 为一边作 AOB=72,再依次作 BOC=COD=DOE=EOA=72,分别与圆交于点 B、C、D、E;

15、(3)分别连接 AB、BC、CD、DE、EA,则正五边形 ABCDE 就是所要画的正五边形,如图;(4)分别连接 AC、AD、BD、BE、CE,得五角星,如图.图 图 7.如图,OAB 为正三角形,以 O 为圆心,OA 长为半径作 O,直径 FC AB,AO、BO 的延长线分别交 O 于点 D、E,求证:六边形 ABCDEF 是正六边形.证明 OAB 为正三角形,AOB=OAB=OBA=60,OB=AB=OA,点 B 在 O 上.FC AB,FOA=OAB=COD=60,COB=OBA=EOF=60.而 DOE=AOB=60,AOB=COB=COD=EOD=EOF=FOA=60,=,即点 A、

16、B、C、D、E、F 六等分 O.六边形 ABCDEF 是 O 的内接正六边形,即六边形 ABCDEF 是正六边形.8.已知 O 和 O 上一点 A.(1)作 O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH;(2)在(1)所作的图中,如果点 E 在 上,求证:DE 是 O 的内接正十二边形的一边.解析(1)作图如下:作法:作直径 AC;作直径 BD AC,依次连接 AB、BC、CD、DA,则四边形 ABCD 为 O 的内接正方形;分别以点 A、C 为圆心,OA 长为半径画弧,交 O 于点 E、H、F、G,顺次连接 AE、EF、FC、CG、GH、HA,则六边形 AEFCGH 为 O 的内

17、接正六边形.(2)证明:连接 OE,DE.AOD=90,AOE=60,EOD=AOD-AOE=90-60=30.360 12=30,DE 是 O 的内接正十二边形的一边.1.(2018 福建三明一模)如图3-8-5,在正八边形 ABCDEFGH 中,连接 AC,AE,则 的值是()图3-8-5A.1 B.C.2 D.答案B 如图,连接 AG、GE、EC,由题意知四边形 ACEG 为正方形,故=.故选B.2.(2019 江苏扬州中考)如图3-8-6,AC 是 O 的内接正六边形的一边,点 B 在 上,且 BC 是 O 的内接正十边形的一边,若 AB 是 O 的内接正 n 边形的一边,则 n=.图

18、3-8-6答案 15解析 如图,连接 BO,AC 是 O 的内接正六边形的一边,AOC=360 6=60,BC 是 O 的内接正十边形的一边,BOC=360 10=36,AOB=AOC-BOC=60-36=24,n=360 24=15.故答案为15.3.如图3-8-7,正八边形 ABCDEFGH 的半径为2,则它的面积为.图3-8-7答案8解析 如图,连接 OA,OC,OB,AC,设 OB 与 AC 相交于点 P,根据题意可知 AOC=90,OB AC,OA=OC=OB=2,AC=2,AP=PC=,正八边形的面积为8 2=8.如图,已知正三角形 ABC 的边长为2 a.(1)求它的内切圆与外接

19、圆组成的圆环的面积;(2)根据计算结果,要求圆环的面积,只需测量出哪一条弦的长度就可以算出圆环的面积?(3)已知正 n 边形的边长为2 a,请直接写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.解析(1)连接 OD,OB.由 BC=2 a 知 BD=a,又易知 OBD=30,OD=a,OB=a,S圆环=OB2-OD2=-=a2.(2)由 S圆环=OB2-OD2=(OB2-OD2)=BD2可知,要求圆环的面积,只需测量出弦 BC(或 AB 或 AC)的长度,即正三角形的边长即可.(3)S圆环=a2.一、选择题1.(2019 江苏扬州一模,8,)O 是一个正 n 边形的外接圆,若 O 的半径与这个正 n

20、边形的边长相等,则 n 的值为()A.3 B.4 C.6 D.8答案C O 的半径与这个正 n 边形的边长相等,这个正 n 边形的中心角为60,=60,n=6,故选C.2.(2019 浙江宁波模拟,8,)如图3-8-8,O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆,P 是弧 EF 上一点,则 BPD 的度数是()图3-8-8A.30 B.60 C.55 D.75 答案B 如图,连接 OB,OD,六边形 ABCDEF 是正六边形,BOD=2=120,BPD=BOD=60,故选B.3.(2019 四川成都金牛模拟,9,)如图3-8-9,边长为2 的正方形 ABCD 内接于 O,则阴影部分的面积为()图3

21、-8-9A.+1 B.-1 C.+1 D.-1答案B 正方形的边长为2,圆的半径为,阴影部分的面积为=-1,故选B.4.(2019 河北保定定兴一模,9,)如图3-8-10,将边长为5 的正六边形ABCDEF 沿直线 MN 折叠,则图中阴影部分的周长为()图3-8-10A.20 B.24 C.30 D.35答案C 阴影部分的周长等于正六边形 ABCDEF 的周长,即5 6=30,故选C.5.(2019 上海静安二模,4,)如图3-8-11,在同一平面内,将边长相等的正方形、正五边形的一边重合,那么 1 的大小是()图3-8-11A.8 B.15 C.18 D.28 答案C 正五边形的内角的度数

22、是(5-2)180=108,又 正方形的内角是90,1=108-90=18.故选C.6.(2019 河北保定定兴一模,15,)如图3-8-12,用四根长为5cm 的铁丝,首尾相接围成一个正方形(接点不固定),要将它的四边按图中的方式向外等距离移动 acm,同时添加另外四根长为5cm 的铁丝(虚线部分)得到一个新的正八边形,则 a 的值为()图3-8-12A.4cm B.5cm C.5cm D.cm答案D 如图,由题意可知,ABC 是等腰直角三角形,AB=5cm,AC=BC=acm,则 a2+a2=52,解得 a=或 a=-(不合题意,舍去),故选D.二、填空题7.(2019 陕西中考模拟,19

23、,)如图3-8-13,正六边形 ABCDEF 内接于 O,O 的直径是6,则正六边形的周长是.图3-8-13答案 18解析 正六边形 ABCDEF 内接于 O,O 的直径是6,O 的半径为3,正六边形 ABCDEF 的边长为3,正六边形 ABCDEF 的周长是3 6=18.8.(2019 湖南株洲石峰模拟,19,)如图3-8-14,正六边形 ABCDEF 外接圆的半径为4,则其内切圆的半径是.图3-8-14答案 2解析 作 OG AF 于 G,连接 OA、OF,如图所示,则 OG 为正六边形内切圆的半径,则 OAF 是等边三角形,OA=AF=4,AG=AF=2,OG=2.9.(2019 陕西宝

24、鸡岐山二模,19,)正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是.答案 互补解析 设正多边形的边数为 n,则正多边形的中心角为,正多边形的一个外角等于,所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角,而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补,所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补.三、解答题10.(2019 浙江嘉兴海宁一模,19,)如图3-8-15,已知点 O 是正六边形ABCDEF 的对称中心,G,H 分别是 AF,BC 上的点,且 AG=BH.(1)求 F AB 的度数;(2)求证:OG=OH.图3-8-15解析(1)六边形 ABCDEF 是正六边形,F AB=120.(

25、2)证明:如图,连接 OA、OB,OA=OB,OAB=OBA,F AB=CBA,OAG=OBH,在 AOG 和 BOH 中,AOG BOH(SAS),OG=OH.1.(2019 河北保定一模,9,)如图,在半径为6 的 O 中,正方形 AGDH 与正六边形 ABCDEF 都内接于 O,则图中阴影部分的面积为()A.27-9 B.54-18C.18 D.54答案B 设 EF 交 AH 于 M,交 HD 于 N,连接 OF、OE,如图所示,根据题意得 EFO 是等边三角形,HMN 是等腰直角三角形,EF=OF=6,EFO 的高为 OFsin60=6=3,MN=2(6-3)=12-6,FM=(6-1

26、2+6)=3-3,阴影部分的面积=4 S AFM=4(3-3)3=54-18.故选B.2.(2019 上海虹口二模,5,)正六边形的半径与边心距之比为()A.1 B.1 C.2 D.2 答案D 正六边形的半径为 R,边心距 r=R,R r=1=2,故选D.3.(2019 天津南开二模,10,)如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成的,若圆的半径为2,则图中阴影部分的面积为()A.B.3 C.6 D.4答案D 如图,“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成的,ABC 与 ADE 是等边三角形,圆的半径为2,AH=3,BC=AB=2,AE=,AF=1,图中阴影部分的面积=S ABC+3 S

27、 ADE=2 3+1 3=4.故选D.4.(2019 江西上饶广丰一模,5,)如图,正六边形的中心为原点 O,点 A 的坐标为(0,4),顶点 E(-1,),顶点 B(1,),设直线 AE 与 y 轴的夹角 EAO 为,现将这个正六边形绕中心 O 旋转,当 取最大角时,它的正切值为()A.B.1 C.D.答案C 如图所示,连接 EO,AM,正六边形是中心对称图形,绕中心 O 旋转时,点 E 与 B 重合时,的角度不变,点 E 与 F、M 重合时,的角度不变,点 E 与 G、H 重合时,的角度不变,此时角度最小.AN=4-,EN=1,OM=OE=2,tan EAN=,tan MAO=,当 OE

28、AE 时,角是最大的,OE=2,OA=4,=30,tan=.当 取最大角时,它的正切值为.故选C.5.(2019 江苏南京二模,14,)如图,正六边形的面积为6 a,则图中阴影部分的面积为.答案 2 a解析 如图,连接 AD,BE,CF 交于点 O.六边形 ABCDEF 是正六边形,CF AB DE,S ABF=S AOB=S正六边形 ABCDEF,S DEF=S EOD=S正六边形 ABCDEF,S阴影=S正六边形 ABCDEF=2 a.6.(2019 江苏南通海门二模,17,)如图,将边长为2m 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),

29、则所得扇形 F AB(阴影部分)的面积为.答案 8m2解析 正六边形 ABCDEF 的边长为2m,AB=BC=CD=DE=EF=F A=2m,的长=2 6-2-2=8(m),扇形 F AB(阴影部分)的面积=22=8(m2).7.(2019 江西新余一模,19,)如图,在正五边形 ABCDE 中,CA 与 DB 相交于点 F,若 AB=1,求 BF 的长.解析 在正五边形 ABCDE 中,ABC=DCB=108,BC=BA=CD,BAC=BCA=CDB=CBD=36,ABF=72,AFB=CBD+ACB=72,AFB=ABF,FCB=FBC,AF=AB=1,FB=CF,设 FB=FC=x,BC

30、F=BCA,CBF=CAB,BCF ACB,CB2=CF CA,x(x+1)=1,x2+x-1=0,x=或 x=(不合题意,舍去),BF=.一、选择题1.(2019 四川成都中考,9,)如图3-8-16,正五边形 ABCDE 内接于 O,P为 上的一点(点 P 不与点 D 重合),则 CPD 的度数为()图3-8-16A.30 B.36 C.60 D.72 答案B 如图,连接 OC,OD.五边形 ABCDE 是正五边形,COD=72,CPD=COD=36,故选B.2.(2019 江苏宿迁中考,7,)如图3-8-17,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆,与正六边形的外接圆

31、围成的6 个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是()图3-8-17A.6-B.6-2 C.6+D.6+2答案A 6 个月牙形的面积之和=3 12-=6-.故选A.3.(2019 浙江衢州中考,9,)如图3-8-18,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2 的正六边形,则原来的纸条宽为()图3-8-18A.1 B.C.D.2答案C 边长为2 的正六边形由6 个边长为2 的等边三角形组成,其中等边三角形的高为原来的纸条宽度,所以原来的纸条宽度=2=.故选C.4.(2019 四川自贡中考,11,)图3-8-19 中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成

32、一个圆形桌面(可近似看做正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近于()图3-8-19A.B.C.D.答案C 如图,连接 AC,设正方形的边长为 a,四边形 ABCD 是正方形,B=90,AC 为圆的直径,AC=AB=a,则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为=,故选C.5.(2019 广西河池中考,10,)如图3-8-20,在正六边形 ABCDEF 中,AC=2,则它的边长是()图3-8-20A.1 B.C.D.2答案D 如图,过点 B 作 BG AC 于点 G.在正六边形 ABCDEF 中,每个内角为(6-2)180 6=120,ABC=120,BAC=BCA=30

33、,AG=AC=,GB=1,AB=2,即正六边形的边长为2.故选D.二、填空题6.(2019 陕西中考,17,)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为.答案6解析 如图所示,AD、BE、CF 为正六边形最长的三条对角线,由正六边形的性质可知,AOB,COD 为两个边长相等的等边三角形,AD=2 AB=6,故答案为6.7.(2019 广西柳州中考,16,)在半径为5 的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为.答案 5解析 如图所示,连接 OB,OC,过 O 作 OE BC,设这个正方形纸片的边长为 a,OE BC,OE=BE=,OE2+BE2=OB2,+=52,

34、a=5.三、解答题8.(2018 江苏无锡中考,21,)如图3-8-21,已知五边形 ABCDE 是正五边形,连接 AC、AD.证明:ACD=ADC.图3-8-21证明 五边形 ABCDE 是正五边形,AB=AE=BC=ED,B=E,在 ABC 和 AED 中,ABC AED(SAS),AC=AD,ACD=ADC.1.(2019 宁夏中考,8,)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为2,分别以点 A,D 为圆心,以 AB,DC 为半径作扇形 ABF,扇形 DCE,则图中阴影部分的面积是()A.6-B.6-C.12-D.12-答案B 正六边形 ABCDEF 的边长为2,正六边形 ABCDEF 的

35、面积是 6=6 2=6,F AB=EDC=120,阴影部分的面积是6-2=6-,故选B.2.(2019 四川雅安中考,11,)如图,已知 O 的内接六边形 ABCDEF 的边心距 OM=2,则该圆的内接正三角形 ACE 的面积为()A.2 B.4 C.6 D.4答案D 如图所示,连接 OC、OB,过 O 作 ON CE 于 N.六边形 ABCDEF 是正六边形,COB=60,OC=OB,COB 是等边三角形,OCM=60,OM=OCsin OCM,OC=.OCN=30,ON=OC=,CN=2,CE=2 CN=4,该圆的内接正三角形 ACE 的面积=3 4=4.故选D.3.(2015 天津中考,

36、17,)如图,在正六边形 ABCDEF 中,连接对角线 AC,CE,DF,EA,FB,DB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为 H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有 个.答案8解析 等边三角形有 AML、BHM、CHI、DIJ、EKJ、FLK、ACE、BDF,共8 个.4.(2019 海南中考,14,)如图,O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D,则劣弧 BD 所对的圆心角 BOD 的大小为 度.答案 144解析 五边形 ABCDE 是正五边形,E=A=108.AB、DE 与 O 相切,OBA=ODE=90,BOD=(5-2)180-90-108-

37、108-90=144.5.(2019 四川南充中考,12,)如图,以正方形 ABCD 的 AB 边向外作正六边形 ABEFGH,连接 DH,则 ADH=度.答案 15解析 四边形 ABCD 是正方形,AB=AD,BAD=90,在正六边形 ABEFGH 中,AB=AH,BAH=120,AH=AD,HAD=360-90-120=150,ADH=AHD=(180-150)=15.6.(2019 贵州铜仁中考,24(1),)如图,正六边形 ABCDEF 内接于 O,BE是 O 的直径,连接 BF,延长 BA,过 F 作 FG BA,垂足为 G.求证:FG 是 O 的切线.证明 如图,连接 OF,AO,

38、AB=AF=EF,=,ABF=AFB=EBF=30,OB=OF,OBF=BFO=30,ABF=OFB,AB OF,FG BG,OF FG,FG 是 O 的切线.1.(2019 河北秦皇岛海港模拟)已知正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 的边长均为1,把正方形放在正六边形外边,使 OK 边与 AB 边重合,如图3-8-22 所示,按下列步骤操作.将正方形在正六边形外绕点 B 顺时针旋转,使 KN 边与BC 边重合,完成第一次旋转;再绕点 C 顺时针旋转,使 NM 边与 CD 边重合,完成第二次旋转;在这样连续6 次旋转的过程中,点 M 在图中直角坐标系中的纵坐标可能是()图3-8-22A

39、.B.-2.2 C.2.3 D.-2.3答案A 如图.正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 的边长均为1,第一次旋转后点 M1的纵坐标为,第二次、第三次旋转后点 M2(M3)的纵坐标为-,第四次旋转后点 M4的纵坐标为-,第五次旋转后点 M5的纵坐标为+,第六次旋转后点 M6的纵坐标为.故选A.2.阅读材料并解答问题:与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆,与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆,与正 n 边形各边都相切的圆叫做正 n 边形的内切圆.设正 n(n3)边形的面积为 S正 n 边形,其内切圆的半径为 r,试探索正n 边形的面积.(1)如图3-8-23,当 n=3

40、时,设 AB 切 O 于点 C,连接 OC,OA,OB,则 OC AB.OA=OB,AOC=AOB,AB=2 AC.在Rt AOC 中,AOC=60,OC=r,AC=rtan60,AB=2 rtan60,S OAB=r2 rtan60=r2tan60,S正三角形=3 S OAB=3 r2tan60.(2)如图3-8-23,当 n=4 时,仿照(1)中的方法和过程可求得 S正四边形=.(3)如图3-8-23,当 n=5 时,仿照(1)中的方法和过程可求得 S正五边形=.(4)如图3-8-23,根据以上探索过程,请直接写出 S正 n 边形的大小.图3-8-23解析(2)4 r2tan45.设 AB

41、 切 O 于点 C,连接 OC,OA,OB,则 OC AB,OC=r.OA=OB,AOC=AOB=45,AC=rtan45,AB=2 AC=2 rtan45,S OAB=r2 rtan45=r2tan45,S正四边形=4 S OAB=4 r2tan45.(3)5 r2tan36.设 AB 切 O 于点 C,连接 OC,OA,OB,则 OC AB,OC=r.OA=OB,AOC=36,AC=rtan36,AB=2 AC=2 rtan36,S OAB=r2 rtan36=r2tan36,S正五边形=5 S OAB=5 r2tan36.(4)S正 n 边形=nr2tan.详解:设 AB 切 O 于点

42、C,连接 OC,OA,OB,则 OC AB,OC=r,OA=OB,AOC=,AC=rtan,AB=2 AC=2 rtan,S OAB=r2 rtan=r2tan,S正 n 边形=nS OAB=nr2tan.1.(2019 四川绵阳游仙模拟)如图1,将一个正六边形的各边延长,构成一个正六角星 AFBDCE,它的面积为1;取 ABC 和 DEF 各边的中点,连接成正六角星 A1F1B1D1C1E1,如图2 中阴影部分;取 A1B1C1和 D1E1F1各边的中点,连接成正六角星 A2F2B2D2C2E2,如图3 中阴影部分;如此下去,则正六角星 A4F4B4D4C4E4的面积为()图1图2图3A.B

43、.C.D.答案D A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是 ABC 和 DEF 各边的中点,正六角星 AFBDCE 正六角星 A1F1B1D1C1E1且相似比为2 1,正六角星 AFBDCE 的面积为1,正六角星 A1F1B1D1C1E1的面积为,同理可得,第二个正六角星的面积为=,第三个正六角星的面积为=,第四个正六角星的面积为=.故选D.2.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”时,进行如下讨论:甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;乙同学:我发现边数是6 时,它也不一定是正多边形,如图,ABC 是正三角形,=,可证明六边形 ADBECF 的各内角相等,但

44、它未必是正六边形;丙同学:我能证明边数是5 时,它是正多边形,我想边数是7 时,它可能也是正多边形.(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;(2)请你证明各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图)是正七边形(不必写已知,求证);(3)根据以上探索过程提出你的猜想(不必证明).解析(1)由题图 知 AFC 对,=,而 DAF 对的=+=+=,AFC=DAF.同理可证其余各角都等于 AFC.故乙同学构造的六边形各内角相等.(2)A 对,B 对,A=B,=,=,同理可证得,=.各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG 是正七边形.(3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形.当边数是偶数时(或当边数是4,6,8,10,时),各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.