定积分在几何上的应用课件.ppt

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1、第二节 定积分在几何上的应用一 平面图形的面积二 空间立体的体积三 平面曲线的弧长四 小结xyo曲边梯形的面积穿针法或微元素法曲边梯形的面积被积函数上-下、右-左一、平面图形的面积1 直角坐标系情形解 两曲线的交点，面积元素选 为积分变量解方程组注 被积函数为上-下，上为 下为解 两曲线的交点选 为积分变量注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解 椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积面积元素曲边扇形的面积 2.极坐标系情形解于是解利用对称性知解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积圆柱圆锥圆台二 空间立体的体积 旋转体就是由一

2、个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴1 旋转体的体积xyo旋转体的体积为变化范围解直线方程为过原点 及点解f x)()(2 2pp p+dxx f x x f dx x dV(2)(=-=证明：如图，体积元素利用公式，可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积取平面与圆柱体的交线为 轴，底面上过圆心、且垂直于 轴的直线为 轴解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积三 平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念定理 光滑曲线弧是可求长的.简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。就是弧长元素弧长由第三章的弧微分公式知2 直角坐标情形解x2,1y=因为(1dx x ds2)12+=从而弧长元素所以弧长为设曲线弧为弧长3 参数方程情形解的一拱的长度.所以曲线弧为弧长4 极坐标情形从例 13 求阿基米德螺线qa r=)0(a上相应于q0到p2的弧长.解1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.2 旋转体的体积直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3 弧长的公式绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周四 小结