概率论与数理统计期末复习知识点课件.ppt

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1、 第一章 随机事件及其概率 基本概念1.随机试验；2.样本空间；3.随机事件 事件间的关系1.子事件：A B2.和事件：A B3.积事件:AB4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=6.互逆事件:AB=，且A B=S 事件的运算法则1.交换律：A B=B A,AB=BA 4.德.摩根律(对偶原则)：设事件Ai(i=1,2,n)则2.结合律：A(B C)=(A B)C;A(BC)=(AB)C 3.分配律：A(BC)=(A B)(A C);A(B C)=(AB)(AC)5.对必然事件的运算法则：A S=S,AS=A6.对不可能事件的运算法则：A=A,A=设E-随机试验

2、，S-样本空间.事件A P(A),称为事件A的概率,如果P()满足下列条件:1 非负性：非负性：对于每一个事件A，有 P(A)0；2 规范性规范性:对于必然事件S,有有P(S)=1；3 可列可加性可列可加性:设A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于 则 P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+概率公理化定义 概率性质(2)(有限可加性)若A1，A2，An 两两不相容，P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(1)P()=0(3)若A B，则有 P(B A)=P(B)P(A);(5)逆事件：P(A)=1 P(A)，(4)对于任一事件A，有P(A)1，一般有 P(B A)=P(B)

3、P(AB)(6)(加法公式)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)1.定义：设E是试验，S是E的样本空间，若(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型2.古典概型中事件A的概率的计算公式几个重要复杂事件概率计算公式1.条件概率2.乘法公式3.全概率公式4.贝叶斯公式 独立性11.事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)22.A1,A2,.,An两两相互独立 P(AiAj)

4、=P(Ai)P(Aj)，（1 i j n）33.A1,A2,.,An 相互独立（1）1i1i2.ikn,(kn),（2）独立的性质:1.设A和B是两个事件,且P(A)0.若A和B相互独立,则 P(B|A)=P(B).反之亦然.2.若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与B,A与B,A与B3.则A、B互斥与A、B相互独立不能 同时存在.4.若事件A和 独立,且 则事件A和 独立.第二章 随机变量及其分布 1.随机变量的引入 定义：设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.与普通实函数的区别：(1)它的定义域是样本空间S，而

5、S不一定是实数集;(2)它的取值是随机的，所取每一个可能值都有一定 的概率.随机变量的分类：离散型/非离散型(连续型)2.离散型随机变量及其概率分布 定义:取有限个或可数个值的随机变量;分布律：PX=xk=pk,k=1,2,其中 pk 满足：常见分布：1）(0-1)分布：PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p1)2)二项分布：X b(n,p)3)泊松分布：3.随机变量的分布函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=PX x-称为X的分布函数 对任意实数x1x2分布函数的性质(1)有界性(2)F(x)是单调不减的,即若(3)(4)F(x)是右连续的,即F(x+0)=F

6、(x)(1)离散型随机变量X的分布函数计算公式(2)连续型随机变量的分布函数的定义f(x)的性质 三种重要的连续型随机变量(一)均匀分布(二)指数分布(三)正态分布 标准正态分布:XN(0,1)x4 随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度方法：由随机变量X的概率密度 去求 随机变量Y=g(X)的概率密度(step1)求出Y的分布函数的表达式;(step2)由分布函数求导数，即可得到.第三章 二维随机变量及其分布1.二维随机变量设E一随机试验,样本空间S=e,X、Y是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变(向)量.2.二维随机向量(X,Y)

7、的分布函数性质：(1)F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数；(2)0 F(x,y)1,且 F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1,F(+,y)=FY(y),F(x,+)=FX(x)(3)F(x,y)关于 x 和 y右连续;(4)对于任意x1 x2,y1 y2,有 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.3.边缘分布4.随机变量独立性的定义 1.联合分布律：离散型的二维随机变量(X,Y)性质：YX 2.边缘分布律3.独立性4.分布函数 连续型的二维随机变量1.联合概率密度及性质2.边缘概率密度X 的边缘概率密度Y 的边缘概率密度

8、边缘分布函数3.独立性(3)若,且X与Y相互独立,则X+Y 仍服从正态分布,且且相互独立,则 推广:若(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.(2)若X与Y相互独立则(1)若则正态分布随机变量的一些常用性质(1)Z=X+Y 的分布 分布函数:概率密度:当X 和Y 相互独立:卷积公式两个随机变量的函数的分布(2)当X 和Y 相互独立时:M=max(X,Y)的分布函数N=min(X,Y)的分布函数第四章 随机变量的数字特征(一)数学期望(均值)(1-1)X:离散型.分布律:Y=g(X)（g 为连续函数）函数：(1-2)若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）(1-3)设(X,

9、Y)离散型随机变量.分布律为：则(2-1):连续型 概率密度为f(x).Y=g(X)（g 为连续函数）(2-2)函数：则(2-3)设(X,Y)是连续型随机变量,概率密度为 f(x,y).若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）(总结)数学期望(均值)(3)数学期望的性质:假设以下随机变量的数学期望均存在 1.E(C)=C,（C 是常数）2.E(CX)=CE(X),（C 是常数）3.E(XY)=E(X)E(Y),4.设X与Y 相互独立,则 E(XY)=E(X)E(Y)，反之不真。(二)方差1.若X离散型.2.若X连续型.概率密度为 f(x)(1)计算公式：3.均方差或标准差:假设下列方差均存在

10、1.D(C)=0,(C为常数)2.D(CX)=C2 D(X),(C为常数)3.设X与Y是两个随机变量，则有 特别，若X与Y相互独立:D(XY)=D(X)+D(Y)4.D(X)=0 PX=E(X)=1.(2)方差的性质5。若X服从指数分布,则 E(X)=,D(X)=.3。若X(),则 E(X)=,D(X)=.4。若X服从区间(a,b)均匀分布，则 E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.6。若XN(,2),则E(X)=,D(X)=2.2。若Xb(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-P).1。若X服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-P).(三)一些常见分

11、布的期望与方差切比雪夫不等式切比雪夫不等式:定理定理 设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2.则对任意的正数，有 上式称为切比雪夫(chebyshev)不等式注 此不等式给出了 在随机变量的分布未知的情况下,事件 的概率值的一种估计方法.(四)协方差 相关系数协方差:计算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)相关系数:X与Y不相关:XY=0协方差的性质：1。Cov(X,X)=D(X)2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)4。Cov(X1+X2,Y)=C

12、ov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)相关系数的性质：注:1)若随机变量X与Y相互独立,则X与Y一定不相关;反之不一定成立。2)对二维正态随机变量(X,Y):X与Y不相关 X与Y独立 3)二维正态分布只要知道X与Y的分布及相关系 数即可确定.设X,Y为随机变量,则1)X的k阶原点矩(k阶矩)：2)X和Y的k+l 阶混合矩：(五)矩 协方差矩阵3)X的k阶中心矩：4)X和Y的k+l 阶混合中心矩：几个常用的矩统计量样本均值样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩样本方差数理统计部分 设X1,X2,Xn是来自总体 N(0,1)的样

13、本,则 分布分布几个常用统计量的分布 设XN(0,1),Y 2(n),且X与Y独立,则 t 分布分布F分布设U 2(n1),V 2(n2),且U 与V独立,则0F(n1,n2)正态总体的样本均值与样本方差的分布 总体X均值为,方差为 2,X1,X2,Xn是来自X 的样本,结论结论11设X1,X2,Xn是来自正态总体XN(,2)的样本,则结论结论22点值估计区间估计假设检验参数估计统计推断正态总体方差正态总体均值总体未知参数的总体未知参数的点估计点估计 用样本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计矩估计法:最大似然估计法：利用利用最大似然原理的直观想法“概率最大的事件最可能出现”，把抽取的样本对应的

14、事件作为概率最大的事件，然后用此倒推未知参数的值.u似然函数:区间估计区间估计:为了估计总体X 的未知参数,通过样本寻求一个区间，并且给出此区间覆盖参数 真值的可信程度这就是总体未知参数的区间估计问题区间估计问题估计量的评选标准估计量的评选标准:无偏性（求期望）有效性（求方差）相合性（对n求极限）设总体X的分布函数F(x;),为未知参数,X1,X2,Xn是取自总体的样本.设 满足 0 1,则称随机区间 为的置信水平为1-的置信区间.是两个统计量.若置信区间:设总体设总体XN(XN(,22),X),X11,X,X22,X,Xnn是总体是总体XX的样本，的样本，1.均值的置信区间(a)2为已知时,

15、取枢轴量置信区间:或(b)2为未知时,取枢轴量2.方差2的置信区间取枢轴量原假设原假设 是被检验的假设是被检验的假设,通过检验可能被接通过检验可能被接受受,也可能被否定。也可能被否定。与与HH00对应的假设对应的假设,只有在原假设被否定后只有在原假设被否定后才可接受的假设。无充分理由是不能才可接受的假设。无充分理由是不能轻率接受的。轻率接受的。备择假设备择假设o 两类错误=P第一类错误=P拒绝H0|H0真=显著水平显著水平=P第二类错误=P接受H0|H0伪我们希望二者都小点，但是二者不可能同时最小，他们是一个跷跷板的两端，但也不满足=1-参数假设检验单总体N(,2)均值的检验(显著水平为)1.2 2 已知检验统计量:H0:=0,H1:0.拒绝域:-Z检验法检验统计量：2.22未知-t 检验法 H0:=0,H1:0.拒绝域:单总体N(,2)方差2的检验-2 检验法拒绝域:双边检验:取检验统计量:假设检验与区间估计的关系：1.所用的工具都一样，同样的随机变量（枢轴量，检验统计量）2.问题的提法不同，所用的原理不同，所以取向不同。即与拒绝域对立的接受域就是区间估计中的置信区间。3.学习的时候注意二者的联系与区别，对比着学习更轻松。