新人教A版-高中数学-选修2-1-第二章2.3.1_双曲线及其标准方程课件.ppt

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1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程学习有目标1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。了解双曲线的第二定义。2.能根据条件利用定义或待定系数法确定双曲线的标准方程。3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.请同学们回忆一下以前的知识椭圆的定义？椭圆的标准方程？椭圆的简单几何性质？椭圆知识的考查方式？温故知新温故知新椭圆的定义椭圆的标准方程温故知新椭圆的简单几何性质温故知新椭圆知识的考查方式温故知新两种题型：给方程题和求方程题给方程题：较大分母是a,较小分母是b,焦点所在轴与含a项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐

2、标、离心率等。求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？问题导入新课阅读教材P5255，回答下列问题。双曲线的定义、图形、标准方程、应用。实验探究小组合作1取一条拉链；2如图把它固定在板上的两点F1、F2；3 拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？实验探究小组合作1取一条拉链；2如图把它固定在板上的两点F1、F2；3 拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？观察 观察AB AB两图探究双曲线的定义 两图探究双曲线的定义 如图

3、如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2a F|=2a 如图 如图(B)(B)，|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F|=2 F|=2a a由 由 可得：可得：|MF1|-|MF2|=2a（差的绝对值）差的绝对值）上面两条曲线合起来叫做双曲线 上面两条曲线合起来叫做双曲线根据以上分析，根据以上分析，试给双曲线下一 试给双曲线下一个完整的定义？个完整的定义？实验探究|MF1|-|MF2|=2a（差的绝对值）差的绝对值）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线的

4、几何定义提炼升华平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线的几何定义oF2F1M两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距|MF1|-|MF2|=2a(2a 2c)找一找生活中的实例 双曲线的历史起源和现实应用2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一

5、边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线1。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。找一找生活中的实例 双曲线的历史起源和现实应用双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等找一找生活中的实例 双曲线的历史起源和现实应用 由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。

6、认真记忆平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。oF2F1M|MF1|-|MF2|=2a(2a 2c)注：初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，叫做等轴双曲线，以其渐近线为坐标系建立方程，得到的函数解析式就是深入挖掘|MFMF11|-|MF|-|MF22|=2a|=2a表示双曲线的哪一支？表示双曲线的哪一支？|MF|MF22|-|MF|-|MF11|=2|=2aa表示双曲线的哪一支？表示双曲线的哪一支？右支左支深入挖掘两条射线F1P、F2Q。F2F1PMQM无轨迹。线段F1F2的垂直平分线。|MF1|=|MF2|F1F2MoF2F

7、1M（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？标准方程的产生1、建系设点。设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数=2a2、双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a 即(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+2a_标准方程的产生化简可得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)叫做双曲线的标准方程得：得：它所它所表示的双曲线的焦点在表示的双曲线的焦点在 x x 轴上，轴上，焦点是焦点是FF11(-c,0),F(-c,0),F22(c,0)(c,0)，这里，这里cc22=aa22+

8、b+b22 ca，c2 a2令(c2-a2)=b2(b0)动手练一练请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？发现了什么？和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！强化记忆双曲线的两个标准方程双曲线的焦点在 双曲线的焦点在 x x 轴上，焦点是 轴上，焦点是F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2双曲线的焦点在 双曲线的焦点在 y y 轴上，焦点是 轴上，焦点是F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c)(0,c)，c c2 2=a=a2 2+b+b2

9、2双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2统一记忆助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。对比记忆定 义 方 程 焦 点a,b,c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2，c为斜边ab0，a2=b2+c2，a为斜边|MF1|MF2|=2a,02a|F1F2|椭 圆双曲线F（0，c）F（0，c）动手练一练热身练习1求出下列双曲线的aa22、bb22，并写出焦点坐标。，并写出焦点坐标。.动手练一练热身练习1 求出下列双曲线的aa22、

10、bb22，并写出焦点坐标。，并写出焦点坐标。.a a2 2 16 16 b b2 2 9 9，焦点，焦点F（5，0）a a2 2 16 16 b b2 2 9 9，焦点，焦点F（0，5）方法提炼非标准方程标准化后再提取相关数据非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）11、方程右边不为 方程右边不为1 1：两边同除以该数使右边为：两边同除以该数使右边为1 1（如练习（如练习1 1、3 3、5 5）22、方程左边不标准 方程左边不标准（1 1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（）位置不标准：被减数与减数位置互换，（MN MN型写为 型写为N

11、+M N+M型）型）（2 2）系数不标准：没有分母（分母为）系数不标准：没有分母（分母为1 1）或分母为分数形式不恰当整理）或分母为分数形式不恰当整理动手练一练例题1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.动手练一练例题1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在 解：因为双曲线的焦点在 x x 轴上，所以设它的标准方程为：轴上，所以设它的标准方程为：2 2a a=6,=6,2c=10 2c=10 a a=3

12、,c=5=3,c=5 b b2 2=5=52 2-3 32 2=16=16所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：动手练一练拓展探究1动手练一练拓展探究1方法提炼求双曲线方程的注意事项2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现。动手练一练例题2已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.动手练一练例题2已知A,B两地相距800 m,在A地

13、听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.动手练一练例题2解:如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.设它的标准方程为：设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即 2a=680，a=340.又所以 2c=800,c=400,动手练一练例题2解:xyoPB A认真想一想双曲线方程的生活应用提升1.若

14、在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?解:爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.动手练一练例题3如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.动手练一练例题3如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.解:方程 方程 表

15、示焦点在 表示焦点在y y轴的双曲线时，轴的双曲线时，则 则m m的取值范围 的取值范围_._.思考：动手练一练拓展探究2已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程动手练一练拓展探究2已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程方法提炼重要的事情再说一遍2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意

16、相应自变量x的取值会发生变化动手练一练强化练习已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且求顶点A的轨迹方程。动手练一练强化练习已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且求顶点A的轨迹方程。又因c=5，a=3，则b=4解：在ABC 中，|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支则顶点A 的轨迹方程为易错点 点拨 1、与椭圆相关知识混淆，误认为一定有ab或仍然用a2=b2+c2来求相关值。2、忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。3、该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。课堂练习快速处理习题

17、1、a=4，b=3,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是.7或234、如果方程 表示双曲线，则m的取值范围是 _2、焦点为（0,-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 准方程是 知识迁移 深化认知课堂练习快速处理习题A内切 B外切C外切或内切 D无公共点或相交BC课堂练习快速处理习题7已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2a，则当a3和5时，P点的轨迹为()A双曲线和一直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线课堂练习快速处理习题8.若方程(k2

18、+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。解：由双曲线的标准方程可知(k+1)0且(k2+k-2)-1且(k-1)(k+2)0课堂练习快速处理习题课堂练习尝试学一学双曲线第二定义 平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的点的轨迹叫双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。课堂练习尝试学一学双曲线第二定义 一起来回忆小结：1双曲线的定义2双曲线的标准方程3利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题学完本节该知道1、双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。2、双曲线的标准方程和应用3、两种考查方式：给方程题和求方程题