新人教版八年级全等三角形教案.pdf

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1、.课题：121全等三角形教学目标：1 了解全等形及全等三角形的的概念；2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。课前准备：全等三角形纸片【教学教程】一、创设情境，引入新课1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？

2、一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。2.学生动手操作3.在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。问题：如何在另一纸板再剪一个三角形DEF，使它与 ABC全等？.3.板书课题：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形“全等”用“”表示，读着“全等于”如图中的两个三角形全等，记作：ABC DEF 二、探究全等三角形中的对应元素1.问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？2学生讨论、交流、归纳得出：.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全

3、重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。全等三角形的性质1.观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 2.用几何语言表示全等三角形的性质.ABCDEO如图：?ABC?DEF ABDE，ACDF，BCEF（全等三角形对应边相等）AD，BE，CF（全等三角形对应角相等）探求全等三角形对应元素的找法1.动

4、画（几何画板）演示(1)图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?归纳：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻折、旋转的方法(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角归纳：从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题可见图形转换的奇妙2.动画（几何画板）演示图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.3.归纳：找对应元素的常用方法有两种：（1）从运动角度看 a翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素FBAC D E CBDA.ABC DEFABCDEO b旋转法：三

5、角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素 c平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素（2）根据位置元素来推理a.有公共边的，公共边是对应边；b.有公共角的，公共角是对应角；c.有对顶角的，对顶角是对应角；d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；三、课堂练习练习 1.ABD ACE，若B25,BD6，AD 4，你能得出ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么？练习 2.ABC FED 写出图中相等的线段，相等的角；图中线段除相等外，还有什么关系吗？请与同伴交流并写出来.四、课堂小结通过本节课学

6、习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。找对应元素的常用方法有三种：（一）从运动角度看1平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.2翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素3旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素（二）根据位置元素来推理1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角（三）根据经验来判断1.大边对应大边，大角对应大角2.公共边是对应边，公共角是对应角五、课堂作业必做题

7、：课本第 38 页 1、2、选做题：第 3 题六、板书设计 121 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例题四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移位置法：对应角对应边，对应边对应角经验：大边大边，大角大角公共边是对应边，公共角是对应角。【教学反思】.教学目标：1 了解全等形及全等三角形的的概念；2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，

8、对应角教学过程：观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形思考：.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEFABC和全等时，点 A和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作DEFABC把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重

9、合的角叫做对应角思考：如上图，13。1-1DEFABC，对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、.对应边、对应角oOBACDABCDABCDCABD（2）将ABC 沿直线 BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？BCADFE（3）如图，,ACDABEAB与 AC，AD与 AE是对应边，已知：30,43BA，求ADC 的大小。ABCDE小结：通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素这也是这节

10、课大家要重点掌握的作业：P41，2，3.112 三角形全等的判定(1).教学目标经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点三角形全等条件的探索过程一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?

11、组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳三、建立模型，探索发现出示探究 1，先任意画一个 ABC，再画一个 ABC，使ABC与ABC，满足上述条件中的一个或两个你画出的ABC 与ABC一定全等吗?让学生按照下面给出的条件作出三角形 (1)三角形的两个角分别是30、50 (2)三角形的两条边分别是4cm，6cm.(3)三角形的一个角为30，条边为3cm再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等出示探究 2，先任意画出一个 ABC，使 AB AB，BC BC，CA CA，把画好的 ABC 剪下，放到

12、ABC上，它们全等吗?让学生充分交流后，在教师的引导下作出ABC，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等四、应用新知，体验成功实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的鼓励学生举出生活中的实例给出例 l，如下图 ABC是一个钢架，ABAC，AD是连接点 A与 BC中点 D的支架，求证 ABD ACD ABCD让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程例 2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：以 A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点 C；分别以点 B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；画射线 AD.AD就是 BAC的

13、平分线你能说明该画确的理由吗?例 3 如图四边形 ABCD中，ABCD，AD BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试ABCD五、巩固练习教科书第 8 页的练习六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律七、布置作业1必做题：教科书第15 页习题 112 中的第 1、2 题2选做题：教科书第16 页第 9 题.11.2 三角形全等的判定(2)教学目标经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理通过对问题

14、的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等教学过程（师生活动）一、创设情境，引入课题多媒体出示探究 3：已知任意 ABC，画ABC，使 AB AB，AC AC，AA教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的ABC，剪下放在 ABC上，观察这两个三角形是否全等二、交流对话，探求新知根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).ABCDE补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边三、应用新知，体验成功出示例 2，如图，有池

15、塘，要测池塘两端A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A和 B的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD CA，连接 BC并延长到E，使 CECB连接 DE，那么量出 DE的长就是 A、B的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据 (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：要想证 AB DE，只需证 ABC DEC ABC与DEC全等的条件现有还需要)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决补充例题：1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,BAC=DAE 求证：ABD ACE 证明:BAC=DAE（已知）

16、BAC+CAD=DAE+CAD BAD=CAE 在ABD与ACE.ABCDEFM AB=AC（已知）BAD=CAE（已证）AD=AE（已知）ABD ACE（SAS)思考：求证：1.BD=CE 2.B=C 3.ADB=AEC 变式 1：已知：如图，AB AC,AD AE,AB=AC,AD=AE.求证：DAC EAB 1.BE=DC 2.B=C 3.D=E 4.BE CD 四、再次探究，释解疑惑出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个

17、三角形不一定全等教师演示：方法(一)教科书 98 页图 13.2-7方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论.五、巩固练习教科书第 99 页，练习(1)(2)六、小结提高1判定三角形全等的方法；2证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构七、布置作业1必做题：教科书第15 页，习题 112 第 3、4 题2选做题：教科书第16 页第 10 题3备选题：(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DEDF，EH FH，你能发现哪些结沦?并说明理由(2)如图，12，AB AD，AE AC，求证 BCDE 11.2 三角形全等的判定(3)

18、教学目标探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理.等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS”“SAS”师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新

19、知：一教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？1师：我们先来探究第一种情况(课件出示“探究5”)(1)探究 5 先任意画出一个 ABC，再画一个 ABC，使 AB AB，A A，B B(即使两角和它们的夹边对应相等)把画好的 ABC 剪下，放到 ABC.CDAABEDBEAOC上，它们全等吗?师：怎样画出 ABC?先自己独立思考，动手画一画。在画的过程中若遇到不能解决的问题可小组合作交流解决生：独立探究，试着画ABC，(有问题的，可以小组交流解决)(2)全班讨论交流师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步

20、)你是这样画的吗?师：把画好的 ABC 剪下，放到 ABC上，看看它们是否全等生：(剪ABC，与 ABC作比较)师：全等吗?生：全等师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现生 1：我发现生 2：生 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”至此，我们又增加了种判别三角形全等的方法特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”练习：已知：如图，AB=A C，A=A，B=C 求证：ABE ACD 例1.已知：点 D在 AB上，点 E在 AC上，BE和 CD.相交于点 O，AB=AC，B=C。求证：BD=CE 2探究 6 师：我们再看看下面的条件：在ABC

21、和DEF中，A D，B E，BCEF，ABC与 DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?ABCDEF师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明生独立思考，探究再小组合作完成师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组 1：小组 2：投影仪展示学生证明过程(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等这又反映了一个什么规律?生 l：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等生 2：在ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”那怎样更完整的表述这一规律?生

22、1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力例 2教材 101 页 1 题。师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了探究 7：(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师：想想，怎样来探究这个问题?生 1：生 2：引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明

23、师：这一规律我们可以怎样表达?生 1：生 2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等 (2)师：说得非常好现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?生：SSS SAS ASA AAS 小结提高师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?.巩固练习教科书第 13 页，练习 2布置作业1。必做题：教科书第15 页习题 11.2 第 6、11 题2如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么?.11.2 三角形全等的判定(4)教学目标探索并掌握两个直角三角形全等的条件

24、：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维提高应用数学的意识教学重点理解，掌握三角形全等的条件：HL 教学过程:提问：1、判定两个三角形全等方法有：，。创设情境：（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务

25、吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相.,ADBCBDACADBDBCAC求证：如图，例等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论。新课：已知线段 a、c(a c)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C=，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：作MCN=90;在射线 CM上截取线段 CB=a 以 B为圆心,C 为半径画弧，交射线CN于点 A;连接 AB.ABC就是所求作的三角形吗？剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的

26、两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法“HL”.练一练：1.如图，两根长度为12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ABC和DFE的大小有什么关系？解：ABC+DFE=90.理由如下：在 RtABC和 RtDEF中,则BC=EF,AC=DF.

27、Rt ABC RtDEF(HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等).又 DEF+DFE=90,ABC+DFE=90.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流作业：教科书第16 页 7、8。.113 角的平分线的性质.1131 角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法（二）能力训练要求 1应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理 2会用尺规作一个已知角的平分线（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神教学重点利用尺规作已知角的平分线教学难点角的平分线的作图方法的提炼教学方法讲练结合法教具准备多媒体课件（或投影）教学过程提出问题，创

28、设情境问题 1：三角形中有哪些重要线段.问题 2：你能作出这些线段吗？生甲 三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线 生乙 我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的 师 你补充得很好 数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习如果

29、老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？导入新课 生 我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB的两边 OA和 OB上分别取 OM=ON，MC OA，NCOB MC与 NC交于 C 点求证：MOC=NOC 通过证明 RtMOC RtNOC，即可证明 MOC=NOC，所以射线 OC 就是AOB的平分线.受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知 AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过 M、N作 MC OA，NC OB，MC?与 NC交于 C点，连接 OC，那么 OC就是 AOB的平分线了 师 他这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）师

30、这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理这种学以致用，?联想迁移的学习方法值得大家借鉴议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC 将点 A 放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线 AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理 生 1 要说明 AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB 生 2 CAD和CAB分别在 CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了 生 3 我们看看条件够不够ABADBCDCACAC所以 ABC

31、 ADC（SSS）.所以 CAD=CAB 即射线 AC就是 DAB的平分线 生 4 原来用三角形全等，就可以解决角相等线段相等的一些问题看来温故是可以知新的老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法自己动手做做看然后与同伴交流操作心得（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：AOB 求作：AOB的平分线作法：（1）以 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于 M、N（2）分别以 M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧两弧在 AOB部交于点 C（3）作射线 OC，

32、射线 OC即为所求（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，.提高学习数学的兴趣）议一议：1在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2第二步中所作的两弧交点一定在AOB的部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线 2若分别以 M、N 为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB?的部，也可能在 AOB的外部，而我们要找的是 AOB部的交点，?否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的

33、平分线了 3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的两个限制缺一不可 4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明练一练：任意画一角 AOB，作它的平分线随堂练习课本练习练后总结：平角AOB的平分线 OC与直线 AB垂直将 OC反向延长得到直线 CD，直线CD与 AB?也垂直.课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，?探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法课后作业课本 P22 习题 1131、2 1332 角的平分线的性质（二）教学目标（一）教学知识点角的平分线的性质（二）能力训练要求 1会叙述角的

34、平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”2能应用这两个性质解决一些简单的实际问题（三）情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣.教学重点角平分线的性质及其应用教学难点灵活应用两个性质解决问题教学方法探索、归纳的方法教具准备剪刀、折纸、投影片教学过程创设情境，引入新课 师 请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？生 我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条

35、折痕，而且这两条折痕是等长的 这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对 师 你的叙述太精彩了 这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论操作：1折出如图所示的折痕PD、PE.2你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的 生 同学乙的画法是正确的 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符

36、合要求 生甲 噢，对于，我知道了 师 同学甲，你再做一遍加深一下印象问题 1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？生 角平分线上的点到角的两边的距离相等问题 2：（出示投影片）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：.学生通过讨论作出下列概括：已知事项：OC平分 AOB，PDOA，PEOB，D、E为垂足由已知事项推出的事项：PD=PE 于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：生讨论

37、已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt PEO PDO（HL）于是可得PDE=POD 由已知推出的事项：点P 在AOB 的平分线上.师 这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？生 这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换 师 对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”下面请同学们思考一个问题思考：如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？1集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性

38、质可以解决这个问题？2比例尺为 1：20000 是什么意思？（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）讨论结果展示：1应该是用第二个性质?这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500 米处2在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm?表示实际距离 200m 的意思作图如下：.第一步：尺规作图法作出AOB的平分线 OP第二步：在射线 OP上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C 点就是集贸市场所建地了总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明

39、三角形全等的步骤，?使问题简单化所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利用性质解决问题 例 如图，ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P求证：点 P 到三边 AB、BC、CA的距离相等 师生共析 点 P 到 AB、BC、CA的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF 而 BM、CN分别是 B、C的平分线，?根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题证明：过点 P 作 PDAB，PEBC，PFAC，垂足为 D、E、F因为 BM是ABC的角平分线，点 P 在 BM上所以 PD=PE.同理 PE=PF所以 PD=PE=PF

40、即点 P 到三边 AB、BC、CA的距离相等随堂练习课本 P22 练习在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了 像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等课后作业：课本习题 1133、4、5 题小结与复习教学设计思想以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，然后回答出回顾与反思中的几个问题。最后通过一些配套练习巩

41、固所学的知识点。教学目标知识与技能总结出三角形全等的条件及性质；.能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。过程与方法以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。情感态度价值观体会数学与实际生活的联系。教学重点和难点重点是 三角形全等的条件、角的平分线的性质；能利用 中的知识点解题。难点是能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。教学方法小组讨论法以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的容。教学过程

42、设计一、知识结构.二、回顾与思考1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？3.学习本章容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？三、例题1.如图 131，AF=CE，DF=BE，DFBE，E、F 在 AC上。求证：DCF=BA

43、E。.解析因为 BAE和DCF分别在 BAE和DCF中，所以只需证明 DCF BAE。答案因为 DFBE，所以 DFA=BEC。所以 DFC=BEA（等角的补角相等）。因为 CE=AF，所以 CEFE=AF FE，即 CF=AE。在DCF和BAE中，DF=BEDFC=BEACF=AE所以 DCF BAE（SAS）。所以DCF=BAE（全等三角形的对应角相等）。方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。2.如图 133，RtABC中 AB=AC，BAC=90，1=2，CE BD，且交 BD的延长线于 E，则 BD与 2CE有何关系？说明理由。.解析解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到 1=

44、2，BECE。若将 CE和 BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE 即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。答案BD=2CE。理由如下：延长 CE交 BA的延长线与 F。在 BEF和BEC中，12BE=BEBEC=BEF所以 BEC BEF（ASA）。所以 CE=EF。所以 CF=2CE。因为BAC=90，所以 1+F=F+FCA。所以1=FCA。在BAD和CAF中，1ACFAB=ACBAC=CAF.所以 BAD CAF（ASA）。所以 BD=CF（全等三角形的对应边相等）。因为 CF=2CE，所以 BD=2CE。方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。3已知：如图 136

45、，AB CD，DE BF，AB CD 求证：AE CF解析要证 AE CF，只需证出 EF，因此只要证得 ABE CFD即可答案因为 DE=BF，所以 DE BD=BF BD，即 BE DF 因为 AB DC，所以ABD=CDB 所以ABE CDF 在ABE和CFD中AB=CDABE=CDFBE=DF所以ABE CFD（SAS）所以E=F，所以 AE CF.方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法4.如图 137，在 ABC中，AB=AC，BAC 90，D是 BC上一点，ECBC，ECBD，DF=FE，则 AF与 DE垂直吗?请说明理由解析若 AD AF，则可证

46、 ADF AEF，所以可得AFD AFE=90 因此应设法证明 AD AE。答案 AF DE成立，理由如下：因为 AB AC，BAC 90，所以 BACB=45 因为EC BC，所以ECD=90 所以 ECA 45所以 ECA B。在ABD和AEC中，AB=ACB=ECABD=EC所以ABD AEC（SAS）所以 AD=AE 在ADF和AEF中，AD=AEAF=AFDF=EF.所以 ADF AEF（SSS）所以AFD=AFE 90所以 AF DE 方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法5.在一次战役中，如图 138 所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与

47、我军阵地的距离在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离（1）你能解释其中的道理吗?（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证.解析这个战士其实是应用了全等三角形的条件“ASA”，如图 139，ABC ABC，则 BC BC答案（1）根据题意画出示意图 139由题意知，AA，BB=90，AB AB所以ABC ABC（ASA）所以 BC BC因此测出 BC的长即为 BC的长（2）在具体操作时，可用一纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。四、小结引导学生总结出本节的主要知识点。