2019年贵州省黔东南州高考数学一模试卷.pdf

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1、第 1 页（共 22 页）2019 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）Z（M）表示集合M 中整数元素的个数，设集合A x|1x8，B x|5 2x17，则 Z（AB）（）A 3B4C5D62（5 分）若 z 为纯虚数，且|z|2，则（）A BCD3（5 分）椭圆x2+1 的离心率为（）A BCD4（5 分）某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100 米仰泳比赛，现将他们最近集训的10 次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲乙丙丁平均数595759

2、57方差12121010根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A 甲B乙C丙D丁5（5 分）将函数f（x）cos（4x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（）A BC2D46（5 分）函数 f（x）x22x2x的图象大致为（）A B第 2 页（共 22 页）CD7（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+3 y 的最大值为（）A 2B8C16D208（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 2BC3D9（5 分）双曲线M 与双曲线N：1 有共同的渐近线，且M 经过抛物线y x24x 的顶点，则

3、M 的方程为（）A BCD10（5 分）已知 sin+3cos ，则 tan（+）（）A 2B2CD11（5 分）在空间直角坐标系O xyz 中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC 的外接球的表面积为6，则异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值为（）A BCD第 3 页（共 22 页）12（5 分）已知函数f（x）2x3（6a+3）x2+12ax+16a2（a0）只有一个零点x0，且 x00，则 a 的取值范围为（）A （，）B（，0）C（，）D（，0）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上

4、.13（5 分）函数 f（x）lg（x1）的值域为14（5 分）在 ABC 中，x+y，则 xy15（5 分）若（1 ax）（x1）3的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 24，则 a16（5 分）瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为 ABC 的欧拉三角形如图，A1B1C1是ABC的欧拉三角形（H 为ABC 的垂心）已知 AC 3，BC 2，tanACB2，若在 ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721B 题为必考题，每个试题考生都必

5、须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（12 分）已知等比数列的公比为2，且 a4+a3221（1）求 an 的通项公式；（2）若 a10，求数列的前 n 项和 Sn18（12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1底面 A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点 E，F 分别为 CA1与 AB 的中点（1）证明：EF 平面 BCC1B1（2）求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值第 4 页（共 22 页）19（12 分）某大型工厂有6 台大型机器在1 个月中，1 台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现

6、故障时需1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为已知 1 名工人每月只有维修2 台机器的能力（若有2 台机器同时出现故障，工厂只有1 名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10 万元的利润，否则将亏损 2 万元该工厂每月需支付给每名维修工人1 万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3 台大型机器出现故障，则至少需要2 名维修工人），则称工厂能正常运行若该厂只有1 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2 名维修工人（i）记该厂每月获利为X 万元，

7、求X 的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1 名维修工人？20（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：x26y 与直线 l：ykx+3 交于 M，N 两点（1）设 M，N 到 y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1d2为定值（2）y 轴上是否存在点P，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN？若存在，求以线段OP 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由21（12 分）已知函数 f（x）xlnx+ax3ax2，a R（1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间；（2）若函数 g（x）存在两个极值点x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的取值范围（

8、二）选考题:共 10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程第 5 页（共 22 页）22（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为 cos2 sin（1）求直线 l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2），求|PA|?|PB|选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）13 的解集；（2）若 f（x）的最小值为k，且1

9、（m0），证明：m+n16第 6 页（共 22 页）2019 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）Z（M）表示集合M 中整数元素的个数，设集合A x|1x8，B x|5 2x17，则 Z（AB）（）A 3B4C5D6【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出AB，从而得出Z（AB）【解答】解：；Z（A B）5故选：C【点评】考查描述法的定义，交集的运算，理解Z（M）的定义2（5 分）若 z 为纯虚数，且|z|2，则（）A BCD【分析】由题意可知

10、z 2i，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由题意可知z2i，则故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5 分）椭圆 x2+1 的离心率为（）A BCD【分析】直接利用椭圆方程，转化求解；离心率即可【解答】解：椭圆 x2+1 的 a2，b1 则：c，所以椭圆的离心率为第 7 页（共 22 页）故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查4（5 分）某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100 米仰泳比赛，现将他们最近集训的10 次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲乙丙丁平均数59575957方差121210

11、10根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A 甲B乙C丙D丁【分析】100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定【解答】解：100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定，故应选丁选手参加全省的比赛故选：D【点评】本题考查比赛选手的选择，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5 分）将函数f（x）cos（4x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（）A BC2D4【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，根据周期公式进行求解即可【解答】解：

12、将函数 f（x）cos（4x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，则 g（x）cos（4x）cos（2x），则 g（x）的周期T，故选：B第 8 页（共 22 页）【点评】本题主要考查三角的图象和性质，求出函数g（x）的解析式结合周期公式是解决本题的关键比较基础6（5 分）函数f（x）x22x2x的图象大致为（）A BCD【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的符号的一致性进行排除即可【解答】解：f（x）x22x2xf（x），则 f（x）是偶函数，排除C，f（3）980，排除 A，f（5）2532 70，排除 D，故选：B【点评】本题主要考查函数

13、图象的识别和判断，根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键7（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+3 y 的最大值为（）A 2B8C16D20【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解：解：作出x，y 满足约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得yx+z，平移直线yx 可知，当直线经过点A（2，6）时，直线的截距最小值，此时目标函数取最大值z2+3620，第 9 页（共 22 页）故选：D【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题8（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 2BC3D【分析】画出

14、三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：3 故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力第 10 页（共 22 页）9（5 分）双曲线M 与双曲线N：1 有共同的渐近线，且M 经过抛物线y x24x 的顶点，则 M 的方程为（）A BCD【分析】由题意可设 M：m（m0，m1），求得抛物线的顶点，代入双曲线M 方程，可得 m，即可得到所求双曲线方程【解答】解：双曲线 M 与双曲线 N：1 有共同的渐近线，可设 M：m（m0，m 1），由抛物线 y x2 4x 的顶点为（2，4），可得 m2，即有1故选：B

15、【点评】本题考查双曲线的方程，注意运用共渐近线方程的双曲线方程的设法，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5 分）已知sin+3cos ，则 tan（+）（）A 2B2CD【分析】把已知等式两边平方，再由弦化切求出tan，然后利用两角和的正切公式求解即可【解答】解：（sin+3cos）2sin2+6sin cos+9cos2 10（sin2+cos2），9sin2 6sin cos+cos2 0，则（3tan 1）20，即第 11 页（共 22 页）则 tan（+）故选：B【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切公式，是基础题11（5 分）在空间直角坐标系O xyz

16、中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC 的外接球的表面积为6，则异面直线OD 与 AB 所成角的余弦值为（）A BCD【分析】推导出 OA，OB，OC 两两垂直，（2，0，1），由此能求出异面直线OD与 AB 所成角的余弦值【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），四面体 OABC 的外接球的表面积为6，OA，OB，OC 两两垂直，6，解得 m22，（2，0，1），cos，异面直线OD 与 AB 所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，

17、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12（5 分）已知函数f（x）2x3（6a+3）x2+12ax+16a2（a0）只有一个零点x0，且 x00，则 a 的取值范围为（）A （，）B（，0）C（，）D（，0）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值，得到关于a 的不等式，解出即可【解答】解：f（x）6（x 1）（x2a），a0，第 12 页（共 22 页）当 x2a 或 x1 时，f（x）0，当 2ax1 时，f（x）0，故 f（x）的极小值是f（1）16a2+6a 1，x00，16a2+6a 10，a0，a，故选：A【点评】本题考

18、查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5 分）函数 f（x）lg（x1）的值域为R【分析】由 f（x）定义域知，真数大于0，借助对数的图象得值域为R【解答】解：函数 f（x）lg（x1）的定义域为 x|x 1，所以函数f（x）lg（x1）的真数恒大于0，由对数函数的图象知，值域为R故答案为R【点评】本题考察了对数函数图象性质，属于简单题14（5 分）在 ABC 中，x+y，则 xy4【分析】由平面向量的基本定理得：，即2（），即 x2，y2，即 xy4，得解，【解答】解：因

19、为，所以2（），所以 x2，y2，所以 xy4，故答案为：4【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属简单题15（5 分）若（1ax）（x1）3的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 24，则 a5【分析】把（x1）3按照二项式定理展开，根据（1ax）（x1）3的展开式中 x 的偶第 13 页（共 22 页）数次幂项的系数之和为24，求得 a 的值【解答】解：（1ax）（x1）3（1 ax）（x3 3x2+3x1）的展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为 31a（1+3）24，则 a5，故答案为：5【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16（5

20、分）瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC 的欧拉三角形 如图，A1B1C1是 ABC的欧拉三角形（H 为 ABC 的垂心）已知 AC 3，BC 2，tanACB2，若在 ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为【分析】由三角函数的余弦定理得：AB 3，由两直线垂直得：1，所以 y，从而 S，由几何概型中的面积型得：，得解【解答】解：因为tan ACB 2，所以 cos ACB，又因为 AC 3，BC 2，由余弦定理可得：AB 3，取 BC 的中点 O，则 OA BC，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系

21、，则 B（1，0），C（1，0），A（0，2），设 H（0，y），因为 BH AC，第 14 页（共 22 页）所以 1，所以 y，从而 S，故所求概率为：，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721B 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（12 分）已知等比数列的公比为 2，且 a4+a3221（1）求 an 的通项公式；（2）若 a10，求数列的前 n 项和 Sn【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系，求出

22、数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（1）等比数列的公比为2，则：（常数），故：，第 15 页（共 22 页）所以：anan11（常数），且 a4+a3221则：，解得：a12 或7，当 a12 时，an2+（n1）n+1 当 a17 时，an 7+（n1）n8（2）由于 a10，故：ann+1，则，所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题18（12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1底面 A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点

23、 E，F 分别为 CA1与 AB 的中点（1）证明：EF 平面 BCC1B1（2）求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值【分析】（1）建立空间坐标系，利用与平面 BCC1B1的法向量垂直可证；（2）找到和平面 AEF 的法向量，代入公式计算即可【解答】解：（1）证明：直三棱柱ABC A1B1C1中，ACAB，第 16 页（共 22 页）可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，AC AB4，AA16，点 E，F 分别为 CA1与 AB 的中点，取 B1C1中点 D，A1（0，0，0），D（2，2，0），E（2，0，3），F（0，2，6），在 RtA1B1C1中，A1DB1C1，A1D 平面 BC

24、C1B1，为平面 BCC1D1的一个法向量，而，4+4 0，又 EF?平面 BCC1B1，EF平面 BCC1B1；（2）易知 A（0，0，6），B1（0，4，0），设是平面 AEF 的一个法向量，则，取 x1，则 y0，z，即，设 B1F 与平面 AEF 所成角为，则 sin|cos|第 17 页（共 22 页），故 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值为【点评】此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等，难度适中19（12 分）某大型工厂有6 台大型机器在1 个月中，1 台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为已知 1

25、 名工人每月只有维修2 台机器的能力（若有2 台机器同时出现故障，工厂只有1 名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10 万元的利润，否则将亏损 2 万元该工厂每月需支付给每名维修工人1 万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3 台大型机器出现故障，则至少需要2 名维修工人），则称工厂能正常运行若该厂只有1 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2 名维修工人（i）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望

26、为决策依据试问该厂是否应再招聘1 名维修工人？【分析】（1）由该工厂只有1 名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障利用二项分布列的计算公式即可得出（2）X 的可能取值为34，46，58利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列【解答】解：（1）由该工厂只有1 名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现 2 台大型机器出现故障工厂每月能正常运行的概率+第 18 页（共 22 页）（2）（i）X 的可能取值为34，46，58P（X34），P（X46），P（X58）1，即 X 的分布列为：X344658P则 E（Y）34+46+58（ii）若该厂有3 名维修工人，

27、则该厂获利的数学期望为610357 万元57，该厂应再招聘1 名维修工人【点评】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：x26y 与直线 l：ykx+3 交于 M，N 两点（1）设 M，N 到 y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1d2为定值（2）y 轴上是否存在点P，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN？若存在，求以线段OP 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设点 M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，结合距离公式可证明题中结论

28、；（2）设 P（0，b）为符合题意的点，利用两点的斜率公式结合韦达定理计算直线PM 与直线 PN 的斜率之和为0，得出 b 的值，从而证明点P 的存在性【解答】解：（1）将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，消去 y 并整理得x26kx 180设点 M（x1，y1）、N（x2，y2），则 x1x2 18从而 d1d2|x1|?|x2|x1x2|18（定值）；（2）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM、PN 的斜第 19 页（共 22 页）率分别为k1、k2，从而当 b 3 时，有 k1+k20，则直线 PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补故 OPM OPN，所以

29、点 P（0，3）符合题意故以线段 OP 为直径的圆的方程为【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，解决本题的关键在于将题中角的关系转化为斜率关系，考查计算能力与转化能力，属于中等题21（12 分）已知函数f（x）xlnx+ax3ax2，a R（1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间；（2）若函数 g（x）存在两个极值点x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的取值范围【分析】（1）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出 a 的范围，得到t（a）g（x1）+g（x2）的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可

30、【解答】解：（1）当 a0 时，f（x）xlnx，f（x）lnx+1，令 f（x）0，解得：0 x，令 f（x）0，解得：x，故函数 f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）g（x）lnx+ax2ax（x0），g（x），由题意知：x1，x2是方程 g（x）0 的两个不相等的正实根，即 x1，x2是方程 ax2ax+1 0 的两个不相等的正实根，第 20 页（共 22 页）故，解得：a4，t（a）g（x1）+g（x2）aax1+lnx1+a ax2+lnx2a2x1x2a（x1+x2）+ln（x1x2）alna 1 是关于 a 的减函数，故 t（a）t（4）3ln4，故 g（x1）+g（x

31、2）的范围是（，3 ln4）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题（二）选考题:共 10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为 cos2 sin（1）求直线 l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2），求|PA|?|PB|【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐

32、标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为，（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x+y10曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin 转化内直角坐标方程为：yx2，第 21 页（共 22 页）（2）把直线 l 的参数方程为，（t 为参数），代入 y x2，得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数），所以：t1?t2 2，则：|PA|?|PB|t1?t2|2【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5

33、：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）13 的解集；（2）若 f（x）的最小值为k，且1（m0），证明：m+n16【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出 k 的值，根据基本不等式的性质求出m+n 的最小值即可【解答】解：（1）由 f（x）13，得|x1|+|x+2|13，则或或，解得：7x6，故不等式的解集是（7，6）；（2）证明：f（x）|x1|+|x+2|x1（x+2）|3，故 k3，+1（mn 0），故 m0，n0，m+n（m+n）（+）10+10+216，当且仅当，即 m4，n12 时取“”，故 m+n16【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题第 22 页（共 22 页）