2023年高一数学寒假课程第10讲平面向量及其应用.pdf

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1、高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)1 高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高一数学寒假

2、课程第 10 讲-平面向量及其应用(word版可编辑修改)的全部内容。高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)1 第十讲 平面向量及其应用 一、知识梳理 1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。2.向量的表示:用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。用字母a、b(黑体,印刷用)等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；3.向量的长度：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作AB.4。几组特殊的向量：零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作 0 或0.单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量.平行向

3、量（即共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作ab.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若a与b相等，记作ab.相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量a的相反向量记为a。5.向量加法：规定：0aa，0aaaa ，即0ABBA；向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则：6。向量加法的运算律：交换律：abba ；结合律：abcabc 。7。向量减法:三角形法则即ab表示从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量.8.向量的数乘的定义：一般的，实数与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下：（1)aa；（2）当0 时，a与a方向相同，当0 时，a

4、与a，方向相反,当0 时,a0.实数与向量a相乘,叫做向量的数乘。9。向量数乘的运算律:（1)()()aa （结合律）；（2）()aaa （分配律)；（3)()abab （分配律）.10。向量共线定理:一般地，对于两个向量a（0a），b，如果有一个实数，使得(0)ba a，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a（0a）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba。们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义

5、既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)2 11.平面向量基本定理：如果1e,2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11e+22e.我们把不共线的向量1e，2e叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.12.向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得axiyi，则把（x，y)叫做向量的直角坐标，记作：a=（x，y).13.向量坐标运算：已知),(11y

6、xa，),(22yxb，1212(,)a bx x yy,1212(,)a bxx yy，),(11yxa。两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.14.共线向量坐标表示的一般性结论：设a11(,)x y，b22(,)xy（a0），如果ab,那么12210 x yx y；反过来，如果12210 x yx y，那么ab。结论(简单表示)：向量a与b共线0b01221yxyxba。15.向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则AOB（0180)叫做向量a和b的夹角。特别地,当=0时,a与b同向;当=18

7、0时，a与b反向；当=90时，则称向量a与b垂直，记作ab。16。平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|bcos叫做向量a和b的数量积，记作ab，即:ab=abcos.向量数量积的运算律：设向量a,b，c和实数,则向量的数量积满足下列运算律：（1）ab=ba；（交换律）；（2）（a）b=a(b）=（ab）=ab;（结合律）；（3）(a+b）c=ac+bc。（分配律).17.平面向量数量积的坐标表示:若两个向量为a=（x1,y1），b=(x2，y2），则ab=x1x2+y1y2。即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏

8、的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)3 二、方法归纳(1)以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想,转化为函数或方程方法求解;在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本章考题大多数是课本的

9、变式题，即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.三、课堂训练 例 1.设向量a（1,0),b错误!,则下列结论中正确的是 （）A。a|b B。ab错误!C。ab与b垂直 D.ab 答案：C 解析：A 项，|a1,b 错误!错误!，ab|；B项,ab1错误!0错误!错误!；C项，ab（1，0)错误!错误!，（ab）b错误!错误!错误!错误!0;D项，1错误!0错误!0,a不平行b。例 2.已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,22121eekbeea 若0ba，则k的值为 。答案：54 解析：由0a b 得:1212

10、12(2)()2(12)0eekeekk e e ，1212e e ,54k.例 3。ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB。若错误!a,错误!b，a1,|b2，则错误!（）A。错误!a错误!b B。错误!a错误!b C.错误!a错误!b D.错误!a错误!b 答案：B 解析：由角平分线的性质得错误!2错误!|，即有错误!错误!错误!错误!（错误!错误!)们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有

11、大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)4 错误!（ab）。从而错误!错误!b错误!（ab）错误!a错误!b.故选 B.例 4.已知向量a,b满足a|1，|b|2，a与b的夹角为 60，则|ab_.答案：3 解析：|ab|2ab错误!错误!错误!。例 5.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB 的夹角为120,OA与OC的夹角为30，且|OA|=|OB|=1，|OC|2 3，若OCOAOB （，R）,则+的值为 。答案:6 解析：过 C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平

12、行四边形，由BOC=90,AOC=30，|OC|2 3得平行四边形的边长为 2 和 4，故+=2+4=6.例 6.已知).1,2(),0,1(ba 求|3|ba;当 k 为何实数时,kab与ba3平行，平行时它们是同向还是反向？解析：ba3=(1，0）+3（2，1）=（7，3)，|3|ba=2237=58。kab=k(1,0）（2，1)=(k 2，1）。设 kab=（ba3），即(k 2，1）=（7，3)，3172k 3131k。故 k=31时，它们反向平行。A B C O 们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修

13、改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)5 例 7。已知,1|,2|baa与b的夹角为3，若向量bka2与ba垂直，求 k.解析：3cos|baba=2121=1.bka2与ba垂直，（bka2)(ba=0 2 k=5。例 8.已知平面向量，（0,）满足1，且与的夹角为 120，则|的取值范围是 _。答案：错误!解析:如图，数形结合知=错误!，错误!,|AB|1，C点在圆弧上运动

14、,ACB60,设ABC,由正弦定理知错误!错误!，|错误!sin 错误!，当90时取最大值。|错误!。例题 9.如图，在直角梯形 ABCD 中，,1,3ABAD ADDCAB，动点P在BCD内运动，(含边界），设,APABADR，则 的取值范围是 .答案:41,3 解析：建立xAy坐标系，则 0,1,3,0ADAB。,APx y3,ABAD.3xy，3xy .转化为线性规划问题.们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一

15、知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)6 在 C点，433xy 。在 B或 D点，13xy 。故41,3 例 10。设P是ABC内一点,满足 21,APxy AByAC x yR。则x的取值范围是 .答案:2,4 解析:如图.若点P在BC边上，且APxAByAC.则 1APABBPABuBCABu ACABu ABuAC 当点P在BC边上时,1xy。点P在三角形内时，0 xy1。从而有，211211xyyxyy0001 从而yx1 22 4。四、课后作业 1.已知向量a和b

16、的夹角为 1200,|a|=1|b|=3，|5ab|=。2.已知向量a（2，1)，b（1，m），c(1，2），若（ab）c,则m_。3.已知点O是，内的一点，0090BOC150AOB ABC,OAcOCbOBa设且,3,1,2cba试用.,cba表示和 4。求向量a=（1，2）在向量b=（2，2）方向上的投影.5.已知(2,4)a,(1,3)b，(6,5)c，2pabc,则以a，b为基底，求p。6.已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cab dba，试求c与d的夹角。7。已知ABC的顶点分别为 A(2，1），B（3，2），C(3，1），BC边上的高 AD，求AD及点们对文中内容进行

17、仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)7 D的坐标.8。已知向量(1,2)a，(2,3)b。若向量c满足()/cab，()cab,则c（）A.7 7(,)9 3 B.77(,)39 C.7 7(,)3 9 D.77(,)93 9。如图所示,正六边形 PABCDE 的边长为 b

18、，有五个力PDPCPBPA、PE作用于同一点 P，求五个力的合力。10。设e1，e2是两个不共线的向量,已知AB2e1k e 2,CBe13 e 2，CD2e1e 2，若A、B、D三点共线，求k的值。11.已知O为ABC所在平面内一点，且满足2222|CAOBBCOA2|OC 2|AB。求证:O点是ABC的垂心。12.已知ABC中,过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为1S，ABC的面积为2S，APpPB，AQqQC，则（)pqpq ，(）12SS的取值范围是 .们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可

19、编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)8 13。如图，在直角ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点,问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值。参考答案：1。解析：2222|5ab|=(5ab)=25a10a b+b，22125 110 1 3()3492 ，故|5ab|7.2.解析：a（2，1）,b（1，m），c（1，2）,ab（1，

20、m1），又（ab）c,2m10，m1.3.解析：以 O为原点,OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系.由 OA=2,0120 AOx，所以,31-A,120sin2,120cos200，即A，易求 3,0C1-0B，设 们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版

21、可编辑修改)9 .31-3-331-3,01-031-,OA21122121，即OCOB cba313。4。解析：设向量a与b的夹角，有 cos=baba=2222)2(221)2(221=1010 a在b方向上的投影=|acos=5(1010)=22 5.解析：令cab，则(6,5)(2,4)(1,3)。(6,5)(2,43)，26435 ,23217,23212171522pababab 。6。解析：由题意,1ab，且a与b的夹角为0120，所以，01cos1202a ba b，2cc c(2)(2)abab22447aa bb，7c，同理可得13d.而c d 2217(2)(3)7322

22、abbaa bba ，设为c与d的夹角,则。7.解析:设点 D的坐标为（x，y）,AD是边 BC上的高,AD BC,ADBC 又C、B、D三点共线，BCBD 又AD=(x2,y1），BC=（6,3），BD=（x3，y2)0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx 解方程组，得x=59,y=57 点 D的坐标为（59,57）,AD的坐标为(51,52）。8.解析：不妨设(,)Cm n，则1,2,(3,1)acmnab ,对于/cab，则有3(1)2(2)mn；又 cab，则有30mn,则有77,93mn 们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其

23、应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)10 9。解析:所求五个力的合力为PEPDPCPBPA，如图所示，以 PA、PE为边作平行四边形 PAOE，则PEPAPO，由正六边形的性质可知b|PA|PO|,且 O点在 PC上，以 PB、PD为边作平行四边形 PBFD，则PDPBPF,由正六边形的性质可知b3|PF|,且 F点在 PC的延长线上。由正六边形

24、的性质还可求得b2|PC|故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b6b3b2b,方向与PC的方向相同。10。解析：BDCDCB（2 e 1e2)（e 13e2）e14e2，A、B、D三点共线，存在实数,使ABBD,2 e 1ke2（e 14e2）于是可得42k，解得k8。11。证明：设OAa，OBb，OCc,则BCcb，CAac，ABba。OA2|BC2OB|2|CA|2|OC|2|AB2 a2（cb）2b2（ac）2c2（ba）2 即cbacba，故ABOC（ba）cbcac0.BCOA（cb）acaba0，ABOC，BCOA,点O是ABC的垂心.12。解析:设ABa,ACb，1APa，

25、2AQb,因为G是ABC的重心，们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表高一数学寒假课程第 10 讲-平面向量及其应用(word 版可编辑修改)11 故1()3AGab,又111()33PGAGAPab，21PQAQAPba,因为PG与PQ共线，所以PQPG，即11211()()033ab，又a与b不共线，所以111()3 及213

26、，消去，得12123 .（）121111(1)(1)321pq ,故1pqpq；（）12111()313，那么12|sin|sinSAPAQBACSABACBAC 2112211113931()24，当P与B重合时，11，当P位于AB中点时，112，故11,12,故12SS4 1,.9 2但因为P与B不能重合，故12SS4 1,).9 2 13。解析:,0.ABACAB AC,()()APAQ BPAPAB CQAQACBP CQAPABAQAC .0.,)(0,1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ 们对文中内容进行仔细校对但是难免会有疏漏的地方但是任然希望高一数学寒假课程第讲平面向量及其应用版可编辑动力本文可编辑可修改如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅最后祝您生活愉快业绩进步以为高一数学寒假课程第向量及其应用一知识梳理向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量向量的表示用有向线段表示用有向线段的长度表