2023年高中三角函数常见题型与解法.pdf

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1、。-可编辑修改-三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanx cotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=22等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=22basin(+)，这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定，角的值由tan=ab确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将

2、三角函数化成tan2的有理式。2、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题

3、目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思维与常用方法。注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如22122)()(也要注意题目中所给的各角之间的关系。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。-可编辑修改-熟悉常数“1”的各种三角代换：6sin24tan0cos2sinseccostanseccossin12222等。注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2ta

4、n的代数式，把三角式转化为代数式但往往代数运算比较繁。熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin =tan cos，2cos2cos12，2tansincos1等。利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2sin2cos12，22cos2sinsin1，22cos2sinsin1等从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式；1cos可用升次公式；1sin可化为2cos1，再用升次公式；sincossin22baba（其中abtan）这一公式应用广泛，熟练掌握。4

5、、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y=sin x、y=cos x、y=tan x、y=cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。6、三角函数的奇偶性结论：函数y=sin(x)是奇函数kZk。函数y=sin(x)是偶函数Zkk2。函数y=cos(x )是奇函数Zkk2。函数y=cos(x)是偶函数Zkk。7、三角函数的单调性三、典型例题与方法题型一三角函数

6、的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。成弦切引入辅助角这里辅助角所在象限由的符号确定角的值由确定万能代换法巧用万能公式可将三角函数化成的有理合法分析法比较法代换法相消法数学归纳法证明三角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差异之间的内在联系合理转化选择恰当的公式促使差异的转化二注意。-可编辑修改-1、三角函数的六边形法则。2、几个常用关系式：（1），三式知一求二。（2）21sin1sin2。（3）当0,2x时，有sintanxxx。3、诱导公式（

7、奇变偶不变，符号看象限）。4、。5、熟记关系式sincoscos444xxx；cossin44xx。【例 1】记cos(80)k,那么tan100（）A、21kk B、21kk C、21kk D、21kk解：222sin801cos 801cos(80)1kooo,tan100tan80o2sin 801.cos80kkoo。故选 B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。【例 2】cos300（）A、32 B、-12 C、12 D、32解：1cos300cos 36060cos602评注：本小题主要考查诱导公式

8、、特殊三角函数值等三角函数知识。练习：1、sin585 的值为（）A、22 B、22 C、32 D、322、下列关系式中正确的是（）成弦切引入辅助角这里辅助角所在象限由的符号确定角的值由确定万能代换法巧用万能公式可将三角函数化成的有理合法分析法比较法代换法相消法数学归纳法证明三角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差异之间的内在联系合理转化选择恰当的公式促使差异的转化二注意。-可编辑修改-A、000sin11cos10sin168 B、000sin168sin11cos10C、000sin11sin168cos10D、000sin1

9、68cos10sin113、若4sin,tan05，则cos4、“2()6kkZ”是“1cos22”的（）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件5、cos2sin5,tan()若则A、12 B、2 C、12 D、2题型二化简求值这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。【例 3】已知为第三象限的角，3cos 25,则tan(2)4。解：为第三象限的角k2232k24k234k(ZK)又3cos250,函数 y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合

10、，则的最小值是（）A、23 B、43 C、32 D、3解：将y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后为4sin()233yx4sin()233x43=2k,即32k又0，k1故32k32，所以选 C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。【例 7】函数()(13 tan)cosf xxx的最小正周期为（）A、2 B、32 C、D、2【答案】A【解析】由()(13 tan)coscos3 sin2sin()6f xxxxxx可得最小正周期为2,【例 8】函数22cossin 2yxx的最小值是 _。【答案】12【解析】()

11、cos 2sin 212 sin(2)14f xxxx，所以最小值为：12【例 9】若函数()(13 tan)cosf xxx，02x，则()f x的最大值为（）A、1 B、2 C、31 D、32【答案】B【解析】因为()(13 tan)cosf xxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x是，函数取得最大值为2。故选 B。成弦切引入辅助角这里辅助角所在象限由的符号确定角的值由确定万能代换法巧用万能公式可将三角函数化成的有理合法分析法比较法代换法相消法数学归纳法证明三角不等式的方法比较法配方法反证法分析法利用函数的单调性利用进行所谓的差异分析寻找联系运用相关公式找出差异之间的内在联系合理转化选择恰当的公式促使差异的转化二注意