2023年《复变函数》考试试卷(最新版)与超详细解析答案各种全面汇总归纳.pdf

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1、复变函数考试试题与答案各种总结 复变函数考试试题(一)一、判断题(20 分):1、若 f(z)在 z0的某个邻域内可导,则函数 f(z)在 z0解析、()2、有界整函数必在整个复平面为常数、()3、若 nz收敛,则 Renz与 Imnz都收敛、()4、若 f(z)在区域 D内解析,且0)(z f,则C z f)(常数)、()5、若函数 f(z)在 z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、()6、若 z0就是)(z f的 m阶零点,则 z0就是 1/)(z f的 m阶极点、()7、若)(lim0z fz z 存在且有限,则 z0就是函数 f(z)的可去奇点、()8、若函数 f(z)在

2、就是区域 D内的单叶函数,则)(0)(D z z f、()9、若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C0)(Cdz z f、()10、若函数 f(z)在区域 D内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D内恒等于常数、()二、填空题(20 分)1、1|00)(z znz zdz_、(n为自然数)2、z z2 2cos sin _、3、函数z sin的周期为 _、4、设11)(2zz f,则)(z f的孤立奇点有 _、5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _、6、若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是 _、7、若 nnz lim,则 nz z znn.lim 2 1

3、_、8、)0,(Renzzes_,其中 n 为自然数、9、zz sin的孤立奇点为_、复变函数考试试题与答案各种总结 10、若0z就是)(z f的极点,则_)(lim0z fz z、三、计算题(40 分):1、设)2)(1(1)(z zz f,求)(z f在 1|0:z z D内的罗朗展式、2、.cos11|zdzz 3、设 Cdzz f 1 7 3)(2,其中 3|:|z z C,试求).1(i f 4、求复数11zzw的实部与虚部、四、证明题、(20 分)1、函数)(z f在区域D内解析、证明:如果|)(|z f在D内为常数,那么它在D内为常数、2、试证:()(1)f z z z 在割去线

4、段0 Re 1 z 的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re 1 z 上岸取正值的那支在1 z 的值、复变函数考试试题(一)参考答案 一 判断题 1.2.6.10.二.填空题 1、2 10 1i nn;2、1;3、2k,()k z;4、z i;5、1 6、整函数;7、;8、1(1)!n;9、0;10、三.计算题、1、解 因为0 1,z 所以0 1 z 1 1 1()(1)(2)12(1)2f zzz z z 0 01()2 2n nn nzz、2、解 因为 复变函数考试试题与答案各种总结 2 2 212Re()lim lim 1cos sinz z zzs f zz z,2 2

5、212Re()lim lim 1cos sinz z zzs f zz z、所以22 212(Re()Re()0coszz zdz i s f z s f zz、3、解 令2()3 7 1,则它在z平面解析,由柯西公式有在3 z 内,()()2()cf z dz i zz、所以1(1)2()2(13 6)2(6 13)z if i i z i i i、4、解 令z a bi,则 2 2 2 2 2 21 2 2(1)2(1)21 1 11 1(1)(1)(1)z a bi a bwz z a b a b a b、故 2 21 2(1)Re()11(1)z az a b,2 21 2Im()1(

6、1)z bz a b、四、证明题、1、证明 设在D内()f z C、令22 2 2(),()f z u iv f z u v c 则、两边分别对,x y求偏导数,得 0(1)0(2)x xy yuu vvuu vv 因为函数在D内解析,所以,x y y xu v u v、代入(2)则上述方程组变为 00 x xx xuu vvvu uv、消去xu得,2 2()0 xu v v、1)若2 20 u v,则()0 f z 为常数、2)若0 xv,由方程(1)(2)及.C R 方程有0,xu 0yu,0yv、所以1 2,u c v c、(1 2,c c为常数)、所以1 2()f z c ic 为常数

7、、复变函数考试试题与答案各种总结 2、证明()(1)f z z z 的支点为0,1 z、于就是割去线段0 Re 1 z 的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周,故能分出两个单值解析分支、由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1 z 时,只有z的幅角增加、所以()(1)f z z z 的幅角共增加2、由已知所取分支在支割线上岸取正值,于就是可认为该分支在上岸之幅角为 0,因而此分支在1 z 的幅角为2,故 2(1)2 2if e i、复变函数考试试题(二)一.判断题、(20 分)1、若函数),(),()(y x iv y x u z f 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,

8、y)都在 D 内连续、()2、cos z 与 sin z 在复平面内有界、()3、若函数 f(z)在 z0解析,则 f(z)在 z0连续、()4、有界整函数必为常数、()5、如 z0就是函数 f(z)的本性奇点,则)(lim0z fz z 一定不存在、()6、若函数 f(z)在 z0可导,则 f(z)在 z0解析、()7、若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 0)(Cdz z f、()8、若数列 nz 收敛,则 Renz 与 Imnz 都收敛、()9、若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析、()10、存在一个在零点解析的函数 f(z)使 0)1

9、1(nf 且,.2,1,21)21(nn nf、()二、填空题、(20 分)1、设i z,则_ _,arg _,|z z z 2、设C iy x z y x i xy x z f),sin(1()2()(2 2 2,则)(lim1z fi z_、3、1|00)(z znz zdz_、(n为自然数)4、幂级数0nnnz的收敛半径为 _、5、若 z0就是 f(z)的 m阶零点且 m0,则 z0就是)(z f 的 _零点、复变函数考试试题与答案各种总结 6、函数 ez的周期为 _、7、方程 0 8 3 23 5 z z z 在单位圆内的零点个数为 _、8、设211)(zz f,则)(z f 的孤立奇

10、点有 _、9、函数|)(z z f 的不解析点之集为 _、10、_)1,1(Res4zz、三、计算题、(40 分)1、求函数)2 sin(3z的幂级数展开式、2、在复平面上取上半虚轴作割线、试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z 处的值、3、计算积分:iiz z I d|,积分路径为(1)单位圆(1|z)的右半圆、4、求 dzzzz22)2(sin、四、证明题、(20 分)1、设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、试用儒歇定理证明代数基本定理、复变函数考试试题(二

11、)参考答案 一.判断题、1.6.10.、二、填空题 1、1,2,i;2、3(1 sin 2)i;3、2 10 1i nn;4、1;5、1 m、6、2k i,()k z、7、0;8、i;9、R;10、0、三、计算题 复变函数考试试题与答案各种总结 1、解 3 2 1 2 1 6 330 0(1)(2)(1)2sin(2)(2 1)!(2 1)!n n n n nn nz zzn n、2、解 令iz re、则22(),(0,1)kif z z re k、又因为在正实轴去正实值,所以0 k、所以 4()if i e、3、单位圆的右半圆周为iz e,2 2、所以 2 22 22ii iiz dz de

12、 e i、4、解 dzzzz22)2(sin2)(sin 2zz i2cos 2zz i=0、四、证明题、1、证明(必要性)令1 2()f z c ic,则1 2()f z c ic、(1 2,c c为实常数)、令1 2(,),(,)u x y c v x y c、则0 x y y xu v u v、即,u v满足.C R,且,x y y xu v u v连续,故()f z在D内解析、(充分性)令()f z u iv,则()f z u iv,因为()f z与()f z在D内解析,所以,x y y xu v u v,且(),()x y y y x xu v v u v v、比较等式两边得 0 x

13、 y y xu v u v、从而在D内,u v均为常数,故()f z在D内为常数、2、即要证“任一 n 次方程 10 1 1 00(0)n nn na z a z a z a a 有且只有 n个根”、证明 令10 1 1()0n nn nf z a z a z a z a,取10max,1na aRa,当z在:C z R 上时,有 1 11 1 1 0()()n n nn n nz a R a R a a a R a R、()f z、由儒歇定理知在圆 z R 内,方程10 1 10n nn na z a z a z a 与 00na z 有相 同个数的根、而 00na z 在 z R 内有一个

14、 n 重根 0 z、因此n次方程在z R 内有n 个根、复变函数考试试题(三)一、判断题、(20 分)、复变函数考试试题与答案各种总结 1、cos z 与 sin z 的周期均为k 2、()2、若 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件,则 f(z)在 z0解析、()3、若函数 f(z)在 z0处解析,则 f(z)在 z0连续、()4、若数列 nz 收敛,则 Renz 与 Imnz 都收敛、()5、若函数 f(z)就是区域 D 内解析且在 D内的某个圆内恒为常数,则数 f(z)在区 域 D 内 为 常 数、()6、若函数 f(z)在 z0解析,则 f(z)在 z0的某个邻域内可导、()7、如果函

15、数 f(z)在 1|:|z z D 上解析,且)1|(|1|)(|z z f,则)1|(|1|)(|z z f、()8、若函数 f(z)在 z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、()9、若 z0就 是)(z f 的 m 阶 零 点,则 z0就 是 1/)(z f 的 m 阶 极 点、()10、若0z就 是)(z f的 可 去 奇 点,则0),(Res0 z z f、()二、填空题、(20 分)1、设11)(2zz f,则 f(z)的定义域为 _、2、函数 e z的周期为 _、3、若nnninnz)11(12,则 nznlim _、4、z z2 2cos sin _、5、1|00)

16、(z znz zdz_、(n为自然数)6、幂级数 0 nnnx 的收敛半径为 _、7、设11)(2zz f,则 f(z)的孤立奇点有 _、8、设1 ze,则_ z、9、若0z就是)(z f的极点,则_)(lim0z fz z、复变函数考试试题与答案各种总结 10、_)0,(Res nzze、三、计算题、(40 分)1、将函数12()zf z z e 在圆环域0 z 内展为 Laurent 级数、2、试求幂级数nnnznn!的收敛半径、3、算下列积分:Czz zz e)9(d2 2,其中C就是1|z、4、求0 2 8 22 6 9 z z z z在|z|1 内根的个数、四、证明题、(20 分)1

17、、函数)(z f在区域D内解析、证明:如果|)(|z f在D内为常数,那么它在D内为常数、2、设)(z f就是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R及M,使得当R z|时 nz M z f|)(|,证明)(z f就是一个至多 n 次的多项式或一常数。复变函数考试试题(三)参考答案 一.判断题 1.6.10.、二、填空题、1、,z z i z C 且;2、2()k i k z;3、1 ei;4、1;5、2 10 1i nn;6、1;7、i;8、(2 1)z k i;9、;10、1(1)!n、三、计算题、1、解 1 22 2201 1(1)2!nznzz e zz z n、2、解

18、 11!(1)1 1lim lim lim()lim(1)(1)!nn nnnn n n nnc n n nec n n n n、所以收敛半径为e、复变函数考试试题与答案各种总结 3、解 令 2 2()(9)zef zz z,则 2001Re()9 9zzzes f zz、故原式022 Re()9zii s f z、4、解 令 9 6 2()2 2 f z z z z,()8 z z、则在:C 1 z 上()()f z z 与均解析,且()6()8 f z z,故由儒歇定理有(,)(,)1 N f C N f C、即在 1 z 内,方程只有一个根、四、证明题、1、证明 证明 设在D内()f z

19、 C、令22 2 2(),()f z u iv f z u v c 则、两边分别对,x y求偏导数,得 0(1)0(2)x xy yuu vvuu vv 因为函数在D内解析,所以,x y y xu v u v、代入(2)则上述方程组变为 00 x xx xuu vvvu uv、消去xu得,2 2()0 xu v v、1)2 20 u v,则()0 f z 为常数、2)若0 xv,由方程(1)(2)及.C R 方程有0,xu 0yu,0yv、所以1 2,u c v c、(1 2,c c为常数)、所以1 2()f z c ic 为常数、2、证明 取 r R,则对一切正整数 k n 时,()1!()

20、!(0)2nkk kz rk f z k Mrf dzz r、于就是由r的任意性知对一切k n 均有()(0)0kf、故0()nn nkf z c z,即()f z就是一个至多n次多项式或常数、复变函数考试试题(四)一、判断题(24 分)1.若函数()f z在0z解析,则()f z在0z的某个领域内可导、()2.若函数()f z在0z处解析,则()f z在0z满足 Cauchy-Riemann 条件、()3.如果0z就是()f z的可去奇点,则0lim()z zf z一定存在且等于零、()复变函数考试试题与答案各种总结 4.若函数()f z就是区域D内的单叶函数,则()0()f z z D、(

21、)5.若函数()f z就是区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数、()6.若函数()f z在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数、()7.若0z就是()f z的m阶零点,则0z就是1()f z的m阶极点、()二、填空题(20 分)1.若1 1sin(1)1nnz in n,则limnz _、2.设2()1zf zz,则()f z的定义域为 _、3.函数ze的周期为 _、4.2 2sin cos z z _、5.幂级数220nnn z的收敛半径为 _、6.若0z就是()f z的m阶零点且1 m,则0z就是()f z的 _零点、7.若函数()f z在整个复平面处处解

22、析,则称它就是 _、8.函数()f z z 的不解析点之集为 _、9.方程8 33 3 8 0 z z z 在单位圆内的零点个数为 _、10.Re(,0)znesz_、三、计算题(30 分)1、求2 21 12 2i i、2、设23 7 1()Cf z dz,其中:3 C z z,试求(1)f i、3、设2()zef zz,求Re(),0)s f z、复变函数考试试题与答案各种总结 4、求函数(1)(1)zz z 在1 2 z 内的罗朗展式、5、求复数11zwz的实部与虚部、6、利用留数定理计算积分:20cosdxa x,(1)a、四、证明题(20 分)1、方程7 6 3 324 9 6 1

23、0 z z z z 在单位圆内的根的个数为 7、2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y 在区域D内解析,()f z等于常数,则()f z在D恒等于常数、3、若0z就是()f z的m阶零点,则0z就是1()f z的m阶极点、五、计算题(10 分)求一个单叶函数,去将z平面上的上半单位圆盘:1,Im 0 z z z 保形映射为w平面的单位圆盘:1 w w 复变函数考试试题(四)参考答案 一、判断题:1、2、3、4、5、6、7、8、二、填空题:1、ei 2、1 z 3、2 i 4、1 5、1 6、1 m 阶 7、整函数 8、9、0 10、1(1)!n 三、计算题:1、解:2 21

24、 1()()0.2 2i ii i 2、解:1 2 3,i 1()()2Cff z di z 23 7 1.Cdz 因此 2()2(3 7 1)f i 故2()2(3 7 1)f z i z z 1(1)2(6 7)2(13 6)2(6 13)if i i z i i i、复变函数考试试题与答案各种总结 3、解:02 2 21 1 1!,2nznzenz z z z 因此Re(),0)1.s f z 4、解:1 2 1 11(1)(2)1 2(1)12zzz z z zzz 由于1 2 z,从而11,12zz、因此在1 2 z 内 有 10 0 01 1 1()()()().(1)(2)2 2

25、n n n nn n nz z zz z z z z 5.解:设z x iy,则2 22 21 1(1)21 1(1)z x iy x y yiwz z iy x y、2 22 2 2 21 2Re,Im.(1)(1)x y yw wx y x y 6、解:设iz e,则1 1,cos()2dzd ziz z,220 1 12 21cos 2 12z zd dz idza iz z aza zz 1 a,故奇点为201 z a a 022 2 01 24()4cos2 1 1Rez zdf zaa as、四、证明题:1、证明:设7 6 3 2()24,()9 6 1,f z z g z z z

26、 z 则在1 z 上,()24,()9 6 1 1 17,f z g z 即有()()f z g z、根据儒歇定理知在1 z 内()f z与()()f z g z 在单位圆内有相同个数的零点,而在1 z 内()f z的零点个数为 7,故7 6 3 224 9 6 1 0 z z z z 在单位圆内的根的个数为 7、2、证明:设2 2()f z u v c,则 复变函数考试试题与答案各种总结 2 2 0,2 2 0.x xy yu u v vu u v v 已知()f z在区域D内解析,从而有,x y y xu v u v 将此代入上上述两式得 0,0.x yy xuu vuuu vu 因此有

27、0,0,x yu u 于就是有0,0 x yv v、即有 1 2 1 2,()u c v c f z c ic 故()f z在区域D恒为常数、3、证明:由于0z就是()f z的m阶零点,从而可设 0()()()mf z z z g z,其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0 g z,于就是 01 1 1()()()mf z z z g z 由0()0 g z 可知存在0z的某邻域1D,在1D内恒有()0 g z,因此1()g z在内1D解析,故0z为1()f z的m阶极点、五、计算题 解:根据线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点i 应该变到0 w 关于圆周的对称点w,故可设z iw

28、kz i 复变函数考试试题(五)一、判断题(20 分)1、若函数()f z在0z解析,则()f z在0z连续、()2、若函数()f z在0z满足 Cauchy-Riemann 条件,则()f z在0z处解析、()3、如果0z就是()f z的本性奇点,则0lim()z zf z一定不存在、()4、若函数()f z就是区域D内解析,并且()0()f z z D,则()f z就是区域D的单叶函复变函数考试试题与答案各种总结 数、()5、若函数()f z就是区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数、()6、若函数()f z就是单连通区域D内的每一点均可导,则它在D内有任意阶导数、()7、若函数()f

29、 z在区域D内解析且()0 f z,则()f z在D内恒为常数、()1.存在一个在零点解析的函数()f z使1()01fn且1 1(),1,2,2 2f nn n、()2.如果函数()f z在:1 D z z 上解析,且()1(1)f z z,则()1(1)f z z、()3.sin z就是一个有界函数、()二、填空题(20 分)1、若2 1(1)1nnnz in n,则limnz _、2、设()ln f z z,则()f z的定义域为 _、3、函数sin z的周期为 _、4、若limnnz,则1 2 lim nnz z zn _、5、幂级数50nnnz的收敛半径为 _、6、函数21()1f

30、zz的幂级数展开式为 _、7、若C就是单位圆周,n就是自然数,则01()nCdzz z_、8、函数()f z z 的不解析点之集为 _、9、方程5 3 215 4 8 0 z z z 在单位圆内的零点个数为 _、10、若21()1f zz,则()f z的孤立奇点有 _、三、计算题(30 分)1、求11 31sin2(1)(4)zz zdze zdzi z z 2、设23 7 1()Cf z dz,其中:3 C z z,试求(1)f i、3、设2()1zef zz,求Re(),)s f z、复变函数考试试题与答案各种总结 4、求函数210(1)(2)zz z 在2 z 内的罗朗展式、5、求复数1

31、1zwz的实部与虚部、四、证明题(20 分)1、方程7 6 315 5 6 1 0 z z z 在单位圆内的根的个数为 7、2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y 在区域D内连续,则二元函数(,)u x y与(,)v x y都在D内连续、1、若0z就是()f z的m阶零点,则0z就是1()f z的m阶极点、一、计算题(10 分)求一个单叶函数,去将z平面上的区域4:0 arg5z z 保形映射为w平面的单位圆盘:1 w w、复变函数考试试题(五)参考答案 一、判断题:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题:1、1 ei 2、0 z，3、2 4、5、1 6、2k

32、=0()kiz 7、0,12,1ni n 8、9、5 10、1 z 三、计算题:1、解:由于1sinze z在1 z 解析,所以11sin 0zze zdz 而3 311 1 1(4)2(1)(4)2(1)3z zdzdz zi z z i z 因此11 31 1sin2(1)(4)3zz zdze zdzi z z、2、解:1 2 3,i 1()()2Cff z di z 复变函数考试试题与答案各种总结 23 7 1.Cdz 因此 2()2(3 7 1)f i 故2()2(3 7 1)f z i z z 1(1)2(6 7)2(13 6)2(6 13)if i i z i i i、3、解:2

33、1 1()()1 2 1 1z ze ef zz z z 1Re(),1),Re(),1),2 2e es f z s f z 因此 1 1Re(),)().2 2 2e e e es f z 4、解:2 2 2210 11 11 12 11 1 11 12 11 2(1)(2)1 21 1z z zz z z z z zz z 由于2 z,从而21 21,1z z 因此在2 z 内有 2(1)12 2 20 0 010 11 1 11 12 2 1()()()2(11 12)11(1)(2)n n n n nn n nz zz zz z z z z z z 5.解:设z x iy,则2 22

34、 21 1(1)21 1(1)z x iy x y yiwz z iy x y、2 22 2 2 21 2Re,Im.(1)(1)x y yw wx y x y 6.解:设ixz e,则ixdz ie dx izdx 1 1sin()2x zi z 22 20 012 sin 2 2 sindx dxx x 2 21 11 1 22 4 1 4 1z ziz dzdziz z iz z iz 复变函数考试试题与答案各种总结 在1 z 内214 1 z iz 只有(3 2)z i 一个一级极点 Re(),(3 2)2 3is f z i 因此 2022 sin2 3 3dx iix、四、证明:1

35、、证明:设7 6 5 3()15,()5 6 1,f z z g z z z z 则在1 z 上,()15,()13,f z g z 即有()()f z g z、根据儒歇定理知在1 z 内()f z与()()f z g z 在单位圆内有相同个数的零点,而在1 z 内()f z的零点个数为 7,故7 6 5 315 5 6 1 0 z z z z 在单位圆内的根的个数为 7 2、证明:因为()(,)(,)f z u x y iv x y,在D内连续,所以0 0(,)x y D,0,0.当0 0,x x y y 时有 0 0 0 0 0 0(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y

36、 u x y u x y i v x y v x y 12 220 0 0 0(,)(,)(,)(,),u x y u x y v x y v x y 从而有0 0(,)(,),u x y u x y 0 0(,)(,).v x y v x y 即与在连续,由0 0(,)x y D 的任意性知(,)u x y与(,)v x y都在D内连续 3、证明:由于0z就是()f z的m阶零点,从而可设 0()()()mf z z z g z,其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0 g z,于就是 01 1 1()()()mf z z z g z 由0()0 g z 可知存在0z的某邻域1D,在1D

37、内恒有()0 g z,因此1()g z在内1D解析,故0z复变函数考试试题与答案各种总结 为1()f z的m阶极点、五、解:1、设54z,则将区域4:0 arg 5z z 保形映射为区域:0 arg z 2、设iiw ei,则w将上半平面保形变换为单位圆1 w、因此所求的单叶函数为 复变函数考试试题(六)一、判断题(40 分):1、若函数()f z在0z解析,则()f z在0z的某个邻域内可导、()2、如果0z就是()f z的本性奇点,则0lim()z zf z一定不存在、()3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y 在D内连续,则(,)u x y与(,)v x y都在D内连

38、续、()4、cos z与sin z在复平面内有界、()5、若0z就是()f z的m阶零点,则0z就是1/()f z的m阶极点、()6、若()f z在0z处满足柯西-黎曼条件,则()f z在0z解析、()7、若0lim()z zf z存在且有限,则0z就是函数的可去奇点、()8、若()f z在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有()0Cf x dz、()9、若函数()f z就是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数、()10、若函数()f z在区域D内解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数、()二、填空题(20 分):1、函数ze的周期为 _、2、幂级数0n

39、nnz的与函数为 _、3、设21()1f zz,则()f z的定义域为 _、4、0nnnz的收敛半径为 _、复变函数考试试题与答案各种总结 5、Re(,0)znesz=_、三、计算题(40 分):1、2.(9)()zzdzz z i 2、求2Re(,).1izes iz 3、1 1.2 2n ni i 4、设2 2(,)ln().u x y x y 求(,)v x y,使得()(,)(,)f z u x y iv x y 为解析函数,且满足(1)ln 2 f i。其中z D(D为复平面内的区域)、5、求45 1 0 z z,在1 z 内根的个数.复变函数考试试题(六)参考答案 一、判断题(40

40、 分):1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题(20 分):1、2 i 2、2(1)zz 3、z i 4、1 5、1(1)!n 三、计算题(40 分)1、解:2()9zf zz在2 z 上解析,由cauchy积分公式,有 222 229(9)()z zzzdz dzz z i z i 229 5z iziz 2、解:设2()1izef zz,有2Re(,)2 2ie is f i ei 3、解:1 1(cos sin)(cos sin)4 4 4 42 2n nn ni ii i cos sin cos sin 2cos4 4 4 4 4n n n n ni i 4、解:2 22

41、 u xx x y,2 22 u yy x y 复变函数考试试题与答案各种总结(,)(0,0)(,)x yy xv x y u dx u dy c(,)2 2 2 2(0,0)2 2x yy xdx dy cx y x y 2 202yxdy cx y 2arctanycx(1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2 f i u iv i c 故2c,(,)2arctan2yv x yx 5、解:令()5 f x z,4()1 g z z 则()f x,()g z在1 z 内均解析,且当1 z 时 4 4()5 1 1()f z z z g z 由Rouche定理知45 1

42、0 z z 根的个数与5 0 z 根的个数相同、故45 1 0 z z 在1 z 内仅有一个根、复变函数考试试题(七)一、判断题。(正确者在括号内打,错误者在括号内打,每题 2 分)1.设复数1 1 1z x iy 及2 2 2z x iy,若1 2x x 或1 2y y,则称1z与2z就是相等的复数。()2.函数()Re f z z 在复平面上处处可微。()3.2 2sin cos 1 z z 且sin 1,cos 1 z z。()4.设函数()f z就是有界区域D内的非常数的解析函数,且在闭域D D D 上连续,则存在0 M,使得对任意的z D,有()f z M。()5.若函数()f z就

43、是非常的整函数,则()f z必就是有界函数。()二、填空题。(每题 2 分)1.2 3 4 5 6i i i i i _。2.设0 z x iy,且arg,arctan2 2yzx,当0,0 x y 时,arg arctanyx _。3.若已知2 2 2 21 1()(1)(1)f z x iyx y x y,则其关于变量z的表达式为 _。复变函数考试试题与答案各种总结 4.n z以z _为支点。5.若ln2z i,则z _。6.1 zdzz_。7.级数2 4 61 z z z 的收敛半径为 _。8.cos nz在z n(n为正整数)内零点的个数为 _。9.若z a 为函数()f z的一个本质

44、奇点,且在点a的充分小的邻域内不为零,则z a 就是1()f z的 _奇点。10.设a为函数()f z的n阶极点,则()Re()z af zsf z_。三、计算题(50 分)1.设区域D就是沿正实轴割开的z平面,求函数5 w z 在D内满足条件5 1 1 的单值连续解析分支在1 z i 处之值。(10 分)2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶),并求它们留数。(15 分)(1)2n()1L zf zz的各解析分支在1 z 各有怎样的孤立奇点,并求这些点的留数(10 分)(2)求10Reznzesz。(5 分)3.计算下列积分。(15 分)(1)72 3 22(1)(2)z

45、zdzz z(8 分),(2)22 2 2(0)()x dxax a(7 分)。4.叙述儒歇定理并讨论方程66 10 0 z z 在1 z 内根的个数。(10 分)四、证明题(20 分)1.讨论函数()zf z e 在复平面上的解析性。(10 分)2.证明:21()2!n z nnCz e d zi n n。复变函数考试试题与答案各种总结 此处C就是围绕原点的一条简单曲线。(10 分)复变函数考试试题(七)参考答案 一、判断题、1、2、3、4、5、二、填空题、1、1 2、()3、1()f z zz 4、0,5、i 6、2 7、1 8、221n 9、本性 10、三、计算题、1、解:arg 215

46、5z kikw z e 0,1,2,3,4 k 由5 1 1 得25 1kie 从而有2 k 41 1410 5 10253 3 1(1)2 2(cos sin)4 44iw i e i i 2、解:(1)2()1Lnzf zz的各解析分支为2ln 2()1kz kf zz,(0,1,)k、1 z 为0()f z的可去奇点,为()kf z的一阶极点(0,1,)k。0Re(),1)0 s f z Re(),1).ks f z k i(1,2,)k(2)1 10 001 1Re Re!z nn nz zne zs sz z n n 3、计算下列积分 解:(1)72 3 232 21()1 2(1)

47、(2)(1)(1)zf zz zzz z 1Re(,)1 s f C 2()2 Re(,)2zf z dz i s f i(2)设2 22 2 2 2 2()()()()z zf zz a z ai z ai 令22()()zzz ai,32()()aizzz ai 复变函数考试试题与答案各种总结 则23()2()1Re(,)1!(2)4ai ais f ai iai a Im 0()2 Re(,)2zf z dz i s f aia 22 2 2()2x dxx a a 4、儒歇定理:设c就是一条围线,()f z及()z 满足条件:(1)它们在c的内部均解析,且连续到c;(2)在c上,()(

48、)f z z 则f与f 在c的内部有同样多零点,即()10 f z 6()6 g z z z 有()()f z g z 由儒歇定理知66 10 0 z z 在1 z 没有根。四、证明题 1 证明:、设z x iy 有()(cos sin)z xf z e e y i y(,)cos,(,)sinx xu x y e y v x y e y cos,sin,sin,cosx x x xu u v ve y e y e y e yx y x y 易知(,)u x y,(,)v x y在任意点都不满足C R 条件,故f在复平面上处处不解析。2、证明:于高阶导数公式得()0 1!()2 1zz nn ee di n 即1!2 1znn ez di n 故11!2 1n zz edn i n 从而2:11!2!1n n zCz z edn i n n