2023年《数值计算方法》试卷(最新版)集及标准超详细解析答案最全面精品资料.pdf

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1、数值计算方法试题集及答案资料 2 作者：日期：3 数值计算方法复习试题 一、填空题：1、4 1 01 4 10 1 4A，则 A 的 LU 分解为 A。答案：15 561 4 150 1 41 15 4 01 4 11A 3、1)3(,2)2(,1)1(f f f，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2 x x x x x x x L 4、近似值*0.231 x 关于真值229.0 x有(2)位有效数字；5、设)(x f可微,求方程)(x f x 的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nn nn nx f

2、x f xx x 6、对1)(3 x x x f,差商 3,2,1,0 f(1),4,3,2,1,0 f(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(12na b)；10、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15)；11、解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。12、为了使计算 3 2)1(6)1(41310 x xxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,)6 4(3(

3、10 xt t t t y，为了减少舍入误差，应将表达式 4 1999 2001 改写为 1999 20012。13、用二分法求方程0 1)(3 x x x f在区间 0,1 内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75。14、求解方程组 0 4 2.01 5 32 12 1x xx x的高斯塞德尔迭代格式为 20/3/)5 1()1(1)1(2)(2)1(1k kk kx xx x，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121。15、设46)2(,16)1(,0)0(f f f,则)(1x l)2()(1 x x x l，)(x f的二次牛顿插值多项

4、式为)1(7 16)(2 x x x x N。16、求积公式baknkkx f A x x f)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(1 2 n)次代数精度。21、如果用二分法求方程0 43 x x在区间 2,1 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知 3 1)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a xx xx S是三次样条函数，则 a=(3)，b=（3），c=（1）。23、)(,),(),(1 0 x l x l x ln是以整数点nx x x,1 0为节点的 Lagrange 插值基函数，则 nkkx l0)(1)，nkk j kx l x

5、0)(jx)，当2 n时)()3(204x l x xk knkk(32 4 x x)。24、25、区间 b a,上的三次样条插值函数)(x S在 b a,上具有直到 _2_阶的连续导数。26、改 变 函 数f x x x()1(x 1)的 形 式，使 计 算 结 果 较 精 确 x xx f 11。27、若用二分法求方程 0 x f在区间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。28、写 出 求 解 方 程 组 2 4.01 6.12 12 1x xx x的 Gauss-Seidel 迭 代 公 式 5,1,0,4.0 26.1 11112211 kx xx xk k

6、k k，迭代矩阵为 64.0 06.1 0，此迭代法是否收敛 收敛。31、设A 5 44 3,则A 9。32、设矩阵4 8 22 5 71 3 6A 的A LU，则U 4 8 20 1 610 02U。33、若43 2 1()f x x x，则差商2 4 8 16 32,f 3。34、线性方程组1 2 10 1 51 1 21 0 3x 的最小二乘解为 11。36、设矩阵3 2 12 0 41 3 5A 分解为A LU，则U 3 2 14 1003 3210 02。二、单项选择题：1、Jacobi 迭代法解方程组b x A的必要条件是（C）。A A 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C n

7、 i aii,2,1,0 D 1 A 2、设7 0 01 5 03 2 2A，则)(A 为(C)A 2 B 5 C 7 D 3 4、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是(B)。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值 6 C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是的有(B)位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是(C)误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程

8、组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A 控制舍入误差 B 减小方法误差 C防止计算时溢出 D 简化计算 9、用 1+3x近似表示31 x 所产生的误差是(D)误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 8 11、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A)。A 0 5 B 0 5 C 2 D-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A 3 B 4 C 5 D 2 13、(D)的 3 位有效数字是 0.236 102。(A)0.0023549

9、 103(B)2354.82 10 2(C)235.418(D)235.54 10 1 14、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是(B)。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标(B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D)y=x 与 y=(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组 1 3 40 9 21 4 33 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，第 1 次消元，选择主元为(A)。(A)4(B)3(C)4(D)9 16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿

10、插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，7(B)!1()()()()()1(nfx P x f x Rnn n(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(D)()!1()()()()(1)1(xnfx P x f x Rnnn n 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A),则它的解数列 xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0 0 0 0 x f x

11、 f x f x f x f x f x f x f 19、为求方程 x3 x2 1=0 在区间 1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx 迭代公式(B)21211:,11kkxxxx 迭代公式(C)3/1 212 3)1(:,1k kx x x x 迭代公式(D)11:,12212 3 k kkkx xxx x x 迭代公式 21、解方程组b Ax 的简单迭代格式g Bx xk k)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B 23、有下列数表 x 0

12、0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)-2-1.75-1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 25、取3 1 732.计算43 1()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)24 2 3()；(C)2164 2 3()；(D)4163 1()。27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix 1.5 2.5 3.5()if x-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。29、计算3的 Newton 迭代格式为()(A)132kkkxxx

13、；(B)132 2kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。8 30、用二分法求方程3 24 10 0 x x 在区间1 2,内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。32、设()il x是以0 1 9(,)kx k k L为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikkl k()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。35、已知方程32 5 0 x x 在2 x 附近有根，下列迭代格式中在02 x 不收敛的是()(A)312 5k kx x；(B)152kkxx；(C)315k k kx x x；(D)3

14、1 22 53 2kkkxxx。36、由下列数据 x0 1 2 3 4()f x1 2 4 3-5 确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)2 1 0()(m i y xi i，,用最小二乘法求 n 次拟合多项式)(x Pn时，)(x Pn的次数 n 可以任意取。()2、用 1-22x近似表示 cosx 产生舍入误差。()3、)()(2 1 0 12 0 x x x xx x x x 表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次

15、插值的结果。()5、矩阵 A=5 2 13 5 21 1 3具有严格对角占优。()四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 22 5 218 2 411 2 43 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 9)2 22(51)2 18(41)2 11(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x k)(1kx)(2kx)(3kx0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.

16、1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、已知 ix1 3 4 5)(ix f2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f的三次插值多项式)(3x P，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)5 3)(4 3)(1 3()5)(4)(1(6)5 1)(4 1)(3 1()5)(4)(3(2)(3 x x x x x xx L)4 5)(3 5)(1 5()4)(3)(1(4)5 4)(3 4)(1 4()5)(3)(1(5 x x x x x x 差商表为 ixiy 一阶均差 二阶均差 三阶

17、均差 1 2 3 6 2 4 5-1-1 5 4-1 0 4 1)4)(3)(1(41)3)(1()1(2 2)()(3 3 x x x x x x x N x P 10 5.5)2()2(3 P f 5、已知 ix-2-1 0 1 2)(ix f4 2 1 3 5 求)(x f的二次拟合曲线)(2x p，并求)0(f的近似值。答案：解：iixiy 2ix3ix4ixi iy xi iy x20-2 4 4-8 16-8 16 1-1 2 1-1 1-2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41

18、 正规方程组为 41 34 103 1015 10 52 012 0a aaa a 1411,103,7102 1 0 a a a 221411103710)(x x x p x x p711103)(2 103)0()0(2p f 6、已知x sin区间 0.4，0.8的函数表 ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891.0 sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xMx R 11 尽量小，即应使|)(|3x

19、尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 7.0,6.0,5.0 最好，实际计算结果 596274.0 63891.0sin，且 410 55032.0)7.0 63891.0)(6.0 9 63891.0)(5.0 63891.0(!31596274.0 63891.0sin 7、构造求解方程0 2 10 x ex的根的迭代格式,2,1,0),(1 n x xn n，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|n nx x。答案：解：令 0 10)1(,0 2)0(,2 10 e)(e f f x x fx.且0 10 e)(xx f)(，对 x，故0)(x f在(0,1)内有唯一实根

20、.将方程0)(x f变形为)e 2(101xx 则当)1,0(x时)e 2(101)(xx，110e10e|)(|xx 故迭代格式)e 2(1011nxnx 收敛。取5.00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 nx0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 nx0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 66 710 95 000 000.0|x x.所以008 525 090.0*x.12 8 利用矩阵的 LU 分解法解方程组 20 5 31

21、8 2 5 214 3 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x。答案：解：244 13 2 11 5 31 21LU A 令b y L得T)72,10,14(y，y x U得T)3,2,1(x.9 对方程组 8 4 10 25 4 1015 10 2 33 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x（1）试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由；（2）取 初 值T)0,0,0()0(x，利 用（1）中 建 立 的 迭 代 公 式 求 解，要 求3)()1(10|k kx x。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 15 10 2 38 4

22、10 25 4 103 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)15 2 3(101)8 4 2(101)5 4(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k kk k kk k kx x xx x xx x x 取T)0,0,0()0(x,经 7 步迭代可得：T)010 000.1,326 950 999.0,459 991 999.0()7(*x x.10、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi)16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上

23、数据。13 解：当 0 x1 时，)(x fex，则 e)(x f，且x xd e10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(11021)(f Rn.由)(12)()(23)(1 fna bf Rn，只要 42 2)(1102112e12e)e(n nRx n 即可，解得 30877.67 106e2n 所以 68 n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组 111241 1 23 4 51 1 1321xxx。解：11 1 1 24 1 1 112 3 4 511 1 1 212 3 4 54 1 1 12 1r r 58525105795151

24、3012 3 4 5579515130585251012 3 4 552513 21 31 2 r rr rr r 135135057951513012 3 4 51312 3r r 回代得 3,6,11 2 3 x x x。12、取节点1,5.0,02 1 0 x x x,求函数xx f e)(在区间 0,1 上的二次插值多项式)(2x P,并估计误差。14 解：)1 5.0)(0 5.0()1)(0()1 0)(5.0 0()1)(5.0()(5.0 02 x xex xe x P)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.0 1)(0 1()5.0)(0(1 5.01 x x e x x

25、 e x xx xe 又 1|)(|max,)(,)(1,0 3 x f M e x f e x fxx x 故截断误差|)1)(5.0(|!31|)(|)(|2 2 x x x x P e x Rx。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：3是0 3)(2 x x f的正根，x x f 2)(，牛顿迭代公式为 nnn nxxx x2321，即),2,1,0(2321 nxxxnnn 取 x0=1.7,列表如下：n1 2 3 nx1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项

26、式)(2x L及 f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)1 2)(1 2()1)(1(4)2 1)(1 1()2)(1(3)2 1)(1 1()2)(1(2)(2 x x x x x xx L)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32 x x x x x x 04167.0241)5.1()5.1(2 L f 18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 4 1 11 3 11 0 3321xxx=815，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel 迭代格式为：15)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1

27、(1)1(2)(3)1(1k k kk k kk kx x xx x xx x 系数矩阵4 1 11 3 11 0 3严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛.取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:k)(1kx)(2kx)(3kx1 1.667 0.889-2.195 2 2.398 0.867-2.383 3 2.461 0.359-2.526 20、（8 分）用最小二乘法求形如2bx a y 的经验公式拟合以下数据：ix 19 25 30 38 iy 19.0 32.3 49.0 73.3 解：,1 2x span 2 2 2 238 31 25 191 1 1 1TA

28、 3.73 0.49 3.32 0.19 Ty 解方程组 y A AC AT T 其中 3529603 33913391 4A AT 7.1799806.173y AT 解得：0501025.09255577.0C 所以 9255577.0 a，0501025.0 b 22、（15 分）方程0 13 x x在5.1 x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3 1 x x对应迭代格式311 n nx x；(2)xx11 对应迭代格式nnxx111；（3）13 x x对应迭代格式131 n nx x。判断迭代格式在5.10 x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1 x附近的根，精确到小数点后第三

29、位。解：（1）321(31)(）x x，1 18.0 5.1）（，故收敛；16（2）xxx11 21)(2，1 17.0 5.1）（，故收敛；（3）23)(x x，1 5.1 3 5.12）（，故发散。选择（1）：5.10 x，3572.11 x，3309.12 x，3259.13 x，3249.14 x，32476.15 x，32472.16 x 23、（8 分）已知方程组f AX，其中 4 11 4 33 4A，243024f（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi 迭代法：,3,2,1,0

30、)24(41)3 30(41)3 24(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kx xx x xx xk kk k kk k Gauss-Seidel 迭代法：,3,2,1,0)24(41)3 30(41)3 24(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kx xx x xx xk kk k kk k 0430430430430)(1U L D BJ，790569.0)410(85)(或JB 31、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：100 121 144 10 1

31、1 12 0.0476190 0.0434783-0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555 2583 x x f 17 00163.0 29 6 15 1008361144 115 121 115 100 115!3 25 fR 33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：27 6 234 5 324 2 43 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333

32、 12.6667 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875 Tx 0000.5,0000.3,0000.2 34、(8 分)求方程组 1251 12 13 121xx 的最小二乘解。b A x A AT T，20814 66 321xx，0000.23333.1x 若用 Householder 变换，则：52073.2 36603.1 052073.1 36603.0 061880.4 46410.3 73205.1,b

33、A 81650.0 0 082843.2 41421.1 061880.4 46410.3 73205.1 最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.37、（15 分）已知方程组Ax b，其中1 2 21 1 12 2 1A，123b，（1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；18（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式 11 2 312 1 313 1 21 2 22 0 1 23 2 2()()()()()()()()();,k k kk k kk k kx x

34、 xx x x kx x x L Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 11 2 31 12 1 31 1 13 1 21 2 22 0 1 23 2 2()()()()()()()()();,k k kk k kk k kx x xx x x kx x x L（2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 10 2 21 0 12 2 0()B D L U，1 2 30，0 1()B，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为 10 2 20 2 30 0 2()G D L U，1 2 30 2,，2 1()B，Gauss-Seidel 迭代法发散 40、(10 分

35、)已知下列函数表：x0 1 2 3()f x1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算1 5(.)f的近似值。解：（1）31 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 20 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x xL x 3 24 82 13 3x x x（2）均差表：0 11 32 93 27 2618 26 43 341 2 2 1 1 23()()()()N x x x x x x x 31 5 1 5 5(.)(.)f N