2023年《平面向量数量积的坐标表示》复习精品讲义与课后作业.pdf

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1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示复习教案 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)4.能 用 向 量 方 法 证 明 两 角 差 的 余 弦 公式(重点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.【自主预习】1平面向量数量积的坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为

2、.数量积 ab x1x2 y1y2 向量垂直 a b x1x2 y1y2 0 2.向量模的公式 设 a(x1，y1)，则|a|x21 y21.3两点间的距离公式 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2 x12 y2 y12.4向量的夹角公式 设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 夹角为，则 cos ab|a|b|x1x2 y1y2x21 y21x22 y22.思考：已知向量 a(x，y)，你知道与 a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与 a 垂直的单位向量的坐标又是什么？提示 设与 a 共线的单位向量为 a0，则 a01|a|ax|a|，y|a|xx2 y

3、2，yx2 y2，其中正号、负号分别表示与 a 同向和反向 易知 b(y，x)和 a(x，y)垂直，所以与 a 垂直的单位向量 b0的坐标为 yx2 y2，xx2 y2，其中正、负号表示不同的方向 1若向量 a(x,2)，b(1,3)，ab 3，则 x 等于()A 3 B 3 C.53 D 53 A ab x 6 3，x 3，故选 A.2已知 a(2，1)，b(2,3)，则 ab _，|a b|_.1 2 5 ab22(1)3 1，a b(4,2)，|a b|42 222 5.3已知向量 a(1,3)，b(2，m)，若 a b，则 m _.23 因为 a b，所以 ab1(2)3m 0，解得

4、m 23.4已知 a(3,4)，b(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _ 6365 因为 ab35412 63，|a|32 42 5，|b|52 122 13，所以 a 与 b 夹角的余弦值为ab|a|b|635136365.【合作探究】平面向量数量积的坐标运算【例 1】(1)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 2，点 E为 BC的中点，点 F 在边 CD上，若 AB AF 2，则 AE BF 的值是 _(2)已知 a 与 b 同向，b(1,2)，ab 10.求 a 的坐标；若 c(2，1)，求 a(bc)及(ab)c.思路探究(1)(2)先由 a b 设点 a 坐标，再由

5、ab 10 求.依据运算顺序和数量积的坐标公式求值(1)2 以 A为坐标原点，AB为 x 轴、AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(2，0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)可设 F(x,2)，因为 ABAF(2，0)(x,2)2x 2，所以 x 1，所以 AEBF(2，1)(1 2，2)2.(2)解 设 a b(，2)(0)，则有 ab 4 10，2，a(2,4)bc1221 0，ab 10，a(bc)0 a 0，(ab)c 10(2，1)(20，10)数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用

6、坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解 1向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2 a b)a()A 1 B 0 C 1 D 2 C a(1，1)，b(1,2)，(2 a b)a(1,0)(1，1)1.2在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2,1)，则 AD AC()A 5 B 4 C 3 D 2 A 由 AC AB AD(1，2)(2,1)(3，1)，得 ADAC(2,1)(3，1)5.向量模的坐标表示【例

7、2】(1)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则|2a b|等于()A 4 B 5 C 3 5 D 4 5(2)若向量 a 的始点为 A(2,4)，终点为 B(2,1)，求：向量 a 的模；与 a 平行的单位向量的坐标；与 a 垂直的单位向量的坐标 思路探究 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解(1)D 由 a b 得 y 4 0，y 4，b(2，4)，2 a b(4,8)，|2 a b|4 5.故选 D.(2)解 a AB(2,1)(2,4)(4，3)，|a|42 32 5.与 a 平行的单位向量是a|a|15(4，3)，即坐标为45，35或45，35.设与

8、a 垂直的单位向量为 e(m，n)，则 ae 4m 3n 0，mn34.又|e|1，m 2 n2 1.解得 m 35，n45或 m 35，n45，e35，45或 e35，45.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2 a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若 a(x，y)，则 aa a2|a|2 x2 y2，于是有|a|x2 y2.3已知平面向量 a(3,5)，b(2,1)(1)求 a 2b 及其模的大小；(2)若 c a(ab)b，求|c|.解(1)a 2b(3,5)2(2,1)(7,3)，|a 2b|72 32 58.(2)ab(3,

9、5)(2,1)3(2)51 1，c a(ab)b(3,5)(2,1)(1,6)，|c|1 62 37.向量的夹角与垂直问题 探究问题 1设 a，b 都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是 a 与 b 的夹角，那么 cos 如何用坐标表示？提示 cos a b|a|b|x1x2 y1y2x 21 y 21 x 22 y 22.2 已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(a b)，则实数 x 等于多少？提示 由已知得 a b(1 x,4)a(a b)，a(a b)0.a(1,2)，1 x 8 0，x 9.【例 3】(1)已知向量 a(2,1)，b(1，k)，且 a 与 b

10、 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是()A(2，)B.2，1212，C(，2)D(2,2)(2)已知在 ABC 中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD 为 BC边上的高，求|AD|与点 D的坐标 思路探究(1)可利用 a，b 的夹角为锐角 ab0，a b求解(2)设出点 D的坐标，利用 BD与 BC共线，AD BC列方程组求解点 D的坐标(1)B 当 a 与 b 共线时，2k 1 0，k12，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab0 且 a，b 不同向由 ab 2 k0得 k 2，且 k 12，即实数 k 的取值范围是 2，12 12

11、，选 B.(2)解 设点 D的坐标为(x，y)，则 AD(x 2，y 1)，BC(6，3)，BD(x 3，y 2)点 D在直线 BC上，即 BD 与 BC 共线，存在实数，使 BD BC，即(x 3，y 2)(6，3)，x 3 6，y 2 3，x 3 2(y 2)，即 x 2y 1 0.又 AD BC，AD BC 0，即(x 2，y1)(6，3)0，6(x 2)3(y 1)0，即 2x y 3 0.由可得 x 1，y 1，即 D点坐标为(1,1)，AD(1,2)，|AD|1 2 22 5，综上，|AD|5，D(1,1)1将本例(1)中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”，“锐角”改为“钝

12、角”，求实数 k 的取值范围 解 当 a 与 b 共线时，2k 1 0，k12，此时 a 与 b 方向相反，夹角为 180，所以要使 a 与 b 的夹角为钝角，则有 ab 0，且 a 与 b 不反向 由 ab 2 k 0 得 k 2.由 a 与 b 不反向得 k12，所以 k 的取值范围是，1212，2.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“4”，求 k 的值 解 cos4ab|a|b|2 k5 1 k2，即222 k5 1 k2，整理得 3k2 8k 3 0，解得 k13或 3.1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积 利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求

13、模利用|a|x2 y2计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式 cos x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及 cos 求 的值 2涉及非零向量 a，b 垂直问题时，一般借助 ab ab x1x2 y1y2 0来解决 1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径 准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程 同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具 2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提

14、高利用向量工具解决数学问题的能力 3 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b x1y2 x2y1 0，a b x1x2 y1y2 0.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.【课堂达标训练】1判断正误 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)a b x1x2 y1y2 0.()(2)ab 0 a 与 b 的夹角为钝角()(3)若 ab0，则 a 与 b 不垂直()(4

15、)|AB|表示 A，B两点之间的距离()答案(1)(2)(3)(4)2已知 a(3，1)，b(1，2)，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 B ab31(1)(2)5，|a|32 12 10，|b|12 22 5，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|510 522.又 0，4.3设 a(2,4)，b(1,1)，若 b(a m b)，则实数 m _.3 a m b(2 m,4 m)，b(a m b)，(2 m)1(4 m)1 0，得 m 3.4已知平面向量 a(1，x)，b(2 x 3，x)，x R.(1)若 a b，求 x 的值；(2)若 a b，求|a

16、 b|.解(1)若 a b，则 ab(1，x)(2 x 3，x)1(2 x 3)x(x)0，即 x2 2x 3 0，解得 x 1 或 x 3.(2)若 a b，则 1(x)x(2 x 3)0，即 x(2 x 4)0，解得 x 0 或 x 2.当 x 0 时，a(1,0)，b(3,0)，a b(2,0)，|a b|2.当 x 2 时，a(1，2)，b(1,2)，a b(2，4)，|a b|4 16 2 5.综上，|a b|2 或 2 5.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课后作业 合格基础练 一、选择题 1已知向量 a(1,2)，b(3，4)，则 a 在 b 上的投影为()A.5 B 5 C

17、1 D 1 D 向量 a(1,2)，b(3，4)，则 a 在 b 上的投影为：ab|b|3 851，故选 D.2已知平面向量 a(1，m)，b(2,5)，c(m,0)，且(a c)(a b)，则 m()A 3 10 B 3 10 C3 10 D 3 10 C a(1，m)，b(2,5)，c(m,0)，a c(1 m，m)，a b(1，m 5)，(a c)(a b)，1 m m(m 5)m 2 6m 1 0，解得：m 3 10.3 a(4,3)，b(5,6)，则 3|a|2 4ab 等于()A 23 B 57 C 63 D 83 D 因为|a|2(4)2 32 25，ab(4)536 2，所以

18、3|a|2 4ab 3254(2)83.4 设向量 a 与 b 的夹角为，a(2,1)，a 3b(5,4)，则 sin 等于()A.1010 B.13 C.3 1010 D.45 A 设 b(x，y)，则 a 3b(2 3x,1 3y)(5,4)，所以 2 3x 5，1 3y 4，解得 x 1，y 1，即 b(1,1)，所以 cos ab|a|b|310，所以 sin 1 cos2 1010.5 已知向量 a(1，1)，b(1,2)，向量 c 满足(c b)a，(c a)b，则 c 等于()A(2,1)B(1,0)C.32，12 D(0，1)A 设向量 c(x，y)，则 c b(x 1，y 2

19、)，c a(x 1，y 1)，因为(c b)a，所以(c b)a x 1(y 2)x y 1 0，因为(c a)b，所以x 11y 12，即 2x y 3 0.由 x y 1 0，2x y 3 0，解得 x 2，y 1，所以 c(2,1)二、填空题 6 已知向量 a(1，x)，b(x 2，x)，若|a b|a b|，则 x _.1 或 2 已知向量 a(1，x)，b(x 2，x)，因为|a b|a b|，两边平方得到 ab 0，根据向量的坐标运算公式得 x2 x 2 0，解得 x 1或 2.7 已知 a(1,2)，b(3,2)，若 ka b 与 a 3b 垂直，则 k 的值为 _ 19 ka

20、b k(1,2)(3,2)(k 3,2 k 2)，a 3b(1,2)3(3,2)(10，4)又 ka b 与 a 3b 垂直，故(ka b)(a 3b)0，即(k3)10(2 k2)(4)0，得 k 19.8如图，在 24 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 a，b，则向量 a b，a b 的夹角余弦值是 _ 4 6565 不妨设每个小正方形的边长为 1，建立如图所示的平面直角坐标系，则 a(2，1)，b(3,2)，所以 a b(5,1)，a b(1，3)，所以(a b)(a b)5 3 8，|a b|26，|a b|10，所以向量 a b，a b 的夹角余弦值为 826 104 6565

21、.三、解答题 9已知向量 a，b 满足|a|5，b(1，3)，且(2 a b)b.(1)求向量 a 的坐标；(2)求向量 a 与 b 的夹角 解(1)设 a(x，y)，因为|a|5，则 x2 y2 5，又因为 b(1，3)，且(2 a b)b，2a b 2(x，y)(1，3)(2 x 1,2 y 3)，所以(2 x 1,2 y3)(1，3)2x 1(2 y3)(3)0，即 x 3y 5 0，由解得 x 1，y 2或 x 2，y 1，所以 a(1,2)或 a(2,1)(2)设向量 a 与 b 的夹角为，所以 cos ab|a|b|1，2 1，31 221 3222或 cos ab|a|b|2，1

22、 1，31 221 3222，因为 0，所以向量 a 与 b 的夹角 34.10在 ABC中，AB(2,3)，AC(1，k)，若 ABC是直角三角形，求 k的值 解 AB(2,3)，AC(1，k)，BC AC AB(1，k 3)若 A 90，则 AB AC213 k 0，k23；若 B 90，则 AB BC2(1)3(k 3)0，k113；若 C 90，则 AC BC1(1)k(k 3)0，k3 132.综上，k 的值为 23或 113或 3 132.等级过关练 1已知 a(1，1)，b(，1)，a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范 围是()A 1 B 1 C 1 D 1 或 1 1 D 由

23、题意可得：ab 1 0，解得：1，且 a 与 b 的夹角不能为180，即1 11，1，据此可得 的取值范围是 1 或 1 1.2已知在直角梯形 ABCD 中，AD BC，ADC 90，AD 2，BC 1，P 是腰 DC上的动点，则|PA 3PB|的最小值为()A 3 B 5 C 7 D 8 B 如图，以 D为原点，DA，DC分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，设 DC a，DP x，则 A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0 x a)，则 PA 3PB(2，x)3(1，a x)(5,3 a 4x)，所以|PA 3PB|25 3a 4x 25.3如图所示，已知

24、点 A(1,1)，单位圆上半部分上的点 B 满足 OAOB 0，则向量 OB的坐标为 _ 22，22 根据题意可设 B(cos，sin)(0)，OA(1,1)，OB(cos，sin)由 OA OB 0 得 sin cos 0，tan 1，所以 34，cos34 22，sin34 22，所以 OB 22，22.4已知向量 OA(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上存在一点 P 使 APBP有最小值，则点 P 的坐标是 _(3,0)设点 P 的坐标是(x,0)，则 AP(x 2，2)，BP(x 4，1)，所以 APBP(x 2)(x 4)2 x2 6x 10(x 3)2 1，当 x 3 时，AP

25、BP取得最小值，故点 P 的坐标为(3,0)5已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：AB AD；(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值 解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，AB(1,1)，AD(3,3)，又 ABAD1(3)13 0，AB AD，即 AB AD.(2)AB AD，四边形 ABCD 为矩形，AB DC.设 C点坐标为(x，y)，则 AB(1,1)，DC(x 1，y 4)，x 1 1，y 4 1，得 x 0，y 5.C点坐标为(0,5)由于 AC(2,4)，BD(4,2)，所以 AC BD 8 8 16 0，|AC|2 5，|BD|2 5.设 AC 与 BD 夹角为，则 cos AC BD|AC|BD|1620 45 0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 45.