2023年一元二次方程含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、 第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在 6 9 分左右。知识点 1：一元二次方程及其解法 例 1：方程0 2 32 x x的解是（）A11 x，22 x B11 x，22 x C11 x，22 x D11 x，22 x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x 1）(x 2)=0,所以 x 1=0 或 x=0，解得 x=，x=故此题选 例 2：若2

2、2 0 x x，则22 22 3()1 3x xx x 的值等于（）A2 33 B33 C3 D3或33 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知 x2 x=2,所以原式=33 23 1 23 2 22，选 A.练习：1.关于 x 的一元二次方程 2x2 3x a2+1=0 的一个根为 2，则 a 的值是（）A 1 B 3 C 3 D 3 2.如果1 是一元二次方程23 0 x bx 的一个根，求它的另一根 3.用配方法解一元二次方程：x2 2x 2=0 答案：1.D.2.解：1 Q是23 0 x bx 的一个根，2(1)(1)3 0 b 解方程得2 b 原方程为22 3 0 x x 分解因式，

3、得(1)(3)0 x x 11 x，23 x.3.移项，得 x2 2x=2 配方 x2 2x+12=2+12，（x 1）2=3.由此可得 x 1=3，x1=1+3，x2=13.最新考题 1.（2009 威海）若关于x的一元二次方程2(3)0 x k x k 的一个根是2，则另一个根是 _ 2.（2009 年山西省）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程：3.（2009 山西省太原市）用配方法解方程22 5 0 x x 时，原方程应变形为（）A 21 6 x B 21 6 x C 22 9 x D 22 9 x 答案：1.1；2.答案不唯一，如21 x 3.B 知识点 2：一元二次方程的根与系

4、数的关系 例 1：如果2 1,x x是方程0 1 22 x x的两个根，那么2 1x x 的值为：（A）1（B）2（C）2 1（D）2 1 思路点拨：本题考查一元二次方程02 c bx ax的根与系数关系即韦达定理，两根之和是ab，两根之积是ac，易求出两根之和是 2。答案：B 例 2：设一元二次方程27 3 0 x x 的两个实数根分别为1x和2x，则1 2x x，x1、x2 思 路 点 拨：本 体 考 查 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系，x1、x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0(a0)的两根，则 x1、+x2=ab，x1、x2=ac.要特别注意的是方程

5、必须有实数根才能用这一结论，即=b2 4ac0.答案：7，3 练习：1.已知关于x的一元二次方程2 2(2 1)0 x m x m 有两个实数根1x和2x（1）求实数m的取值范围；（2）当2 21 20 x x 时，求m的值（友 情 提 示：若1x，2x是 一 元 二 次 方 程20(0)ax bx c a 两 根，则 有1 2bx xa，1 2cx xa）2.当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 02142 m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？答案：1.解：（1）由题意有2 2(2 1)4 0 m m，解得14m 即实数m的取值范围是14m（2）由2 21 20 x

6、 x 得1 2 1 2()()0 x x x x 若1 20 x x，即(2 1)0 m，解得12m 1 12 4 Q，12m 不合题意，舍去 若1 20 x x，即1 2x x 0，由（1）知14m 故当2 21 20 x x 时，14m 2.解：由题意，=(4)2 4(m21)=0 即 16 4m+2=0，m=29 当 m=29时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=2 最新考题 1.（2009 年兰州）阅读材料：设一元二次方程 ax 2+bx+c 0(a0)的两根为 x1，x2，则两根与方程系数之 间有如下关系：x1+x2ba，x1 x2ca.根据该材料填空：已知 x1、x2是方程 x2

7、+6x+3 0 的两实数根，则21xx+12xx的值为 2.（2009 年崇左）一元二次方程23 0 x mx 的一个根为1，则另一个根为 答案：1.10 2.3 知识点 3：一元二次方程的应用 例 1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（）A 55(1+x)2=35 B 35(1+x)2=55 C 55(1 x)2=35 D 35(1 x)2=55 思路点拨：列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：1

8、、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析；2、用字母表示问题中的一个未知数；3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式；4、寻找等量关系，列出方程.因为增长率问题是“加”；下降率问题是“减”，所以本题正确的是 55(1 x)2=35.所以本题选 C.练习：1.某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是()A、256)x 1(2892 B、289)x 1(2562 C、256)x 2 1(289 D、289)x 2 1(256 2.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房

9、子是学校 2005 年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是 5786 万元，2007 年校舍改造的投入资金是 8058.9 万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 答案：1.A 2.25786(1)8058.9 x 最新考题：1.（2009 山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200 元 降 到 了 2500 元 设 平 均 每 月 降 价 的 百 分 率 为x，根 据 题 意 列 出 的 方 程是 2.（2009 年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之

10、和的最小值是 cm2 3(2009 年本溪)由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为 答案：1.200 21 2500 x；2.252或12.5；3.216(1)9 x 过关检测 一、选择题 1一元二次方程 3x 2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（）A 3，5 B 3，5 C 3，0 D 5，0 2下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（）A 3（x+1）2=2（x+1）B21 1x x 2=0 C ax 2+bx+c=0 D

11、x2+2x=x 2 1 3下列方程中，两根是 2 和 3 的方程是（）A x2 5x+6=0 B x2 5x 6=0 C x2+5x 6=0 D x2+5x+6=0 4若分式292 6xx的值为零，则 x 的值为（）A 3 B 3 或 3 C 0 D 3 5若 a+b+c=0，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根是（）A 1 B 1 C 0 D无法判断 6方程 2x（x 1）=x 1 的解是（）A x1=12，x2=1 B x1=12，x2=1 C x1=12，x2=1 D x1=12，x2=1 7一元二次方程 x2 x+2=0 的根的情况是（）A有两个相等的实数根

12、B有两个不相等的实数根 C无实数根 D无法确定 8某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件 100 元降至 81 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为 x，可列方程（）A 100（1 x）2=81 B 81（1+x）2=100 C 100（1+x）=81 2 D 2 100（1 x）=8 9 已知一个三角形的两边长是方程 x2 8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（）A y8 B 3y5 c 2y8 D无法确定 10如果 x2+x 1=0，那么代数式 x3+2x 2 7 的值是（）A 6 B 8 C 6 D 8 二、填空题（每题 2 分，共 20 分）1一元

13、二次方程（x+1）（x+3）=9 的一般形式是 _ 2请写出一个根为 1，另一根满足 1x1 的一元二次方程 _ 3方程（x+1）2=3 的解是 _ 4配方 x2+3x+（_）=（x+_）2 5已知 m 是方程 x2 x 2=0 的一个根，则代数式 m2 m 的值是 _ 6当 x=_时，代数式 3x 2 6x 的值等于 12 7某超市经销一种成本为 40 元/kg 的水产品，市场调查发现，按 50 元/kg 销售，一个月能售出 500kg，销售单位每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，设销

14、售单价为 x 元，则 x 应满足的方程是 _ 8要给一幅长 30cm，宽 25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为 xcm，则依据题意列出的方程是 _ 9一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速滚动 5m 后小球停下来，如果小球滚动到 3m 时约用了 xs，则列一元二次方程是 _ 10 如果 x、y 是两个实数（xy1）且 3x 2 2005x+2=0，2y2 2005y+3=0，则22x xy y的值等于 _ 三、解答题（1 题 6 分，2、3、4 每题 4 分，共 18 分）1解方程：（每题 3 分，共 6 分

15、）（1）（x 5）2=2（x 5）（2）x2 4x 5=0 2已知方程 2（m+1）x2+4mx+3m 2=2 有一根为 1，求 m 的值 3解方程 x2+x+1=22x x.4已知 a，b 是方程 x2+x 1=0 的两根，求 a2+2a+1b的值 四、综合应用题（每题 7 分，共 42 分）1为响应国家“退耕还林”的号召，改变我区水地流失的状况，2002 年我区退耕还林1 万亩，计划到 2004 年总退耕还林共 5 亩，请你计算这两年平均每年退耕还林的增长率（精确到 0。01）2小芳调查某县城商品房 2003 年销售均价（即销售平均价）为 1400 元/m2，2005年销售均价为 1694

16、 元/m2，同时调查某城市 2003 年销售均价为 2400 元/m2，2005 年销售均价为 3000 元/m2，那么，某县城或某城市的商品房的销售价大幅提高，并估计 2006 年商品房的销售均价各为多少（保留 4 个有效数字）3将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案 2（如图 2）花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 22 12甲中的小路的宽和图 22 13乙中扇形的半径；若不能符合条件，请说

17、明理由 (1)(2)4一辆汽车以 30m/s 的速度行驶，司机发现前面路面有人影，紧急刹车后汽车又滑行30m 后停车，（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到 20m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?5关于 x 的方程 kx 2+（k+1）x+4k=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 6任意给写一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，且它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍?（完成下列空格）（1）当已知矩形 A

18、 的边长分别为 4 和 3 时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别为 x 和 y，由题意，得1424x yxy 方程两边同除以 y 化简，得：x2 14x+24=0=196 960 x1=_，x2=_ 满足要求的矩形 B 存在（2）如果已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b，请你仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形 B 已知关于 x 的方程 4x 2 8nx 3n=2 和 x2（n+3）x 2n2+2=0，问是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?若存在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由 答案 一、1 B 2 A 3 A 4 D 5

19、A 6 A 7 C 8 A 9 C 10 C 二、1 x2+4x 6=0 2 x2 x=0 3 x=3 1 4（32）2 32 5 2 6 15 7（x 40）500 10（x 50）=800（0500 10（x 50）4010000）8 x（30+2x）2+25x 2=14 30 25 951022x x=3 1040109 三、1（1）（x 5）（x 5 2）=0 x1=5，x2=7（2）（x 5）（x+1）=0 x1=5，x2=1 a2+2a+1b=a2+a+a+1b=1+1 abb=1+0b=1 四、1设平均增长率为 x，则 1+（1+x）+（1+x）2=5，1+1+x+1+2x+x

20、2=5，x2+3x 2=0，x=3 172 56%2某县城：设提高幅度为 x，则 1400（1+x）2=1694，解得：x=10%，某城市：设提高幅度为 y，则 2400（1+y）2=3000，解得：y=11.8%，某城市提高幅度度大 2006 年，某县城 1863.4（元/m2），某城市：3354（元/m2）3都能（1）设小路宽为 x，则 18x+16x x2=23 18 15，x2 34x+180=0，b2 4ac=（34）2 4 180=436，x=34 4362，x6.6，（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2=23 18 15，r257.32，r7.6 4（1）平均速度=30 02

21、=15（m/s），所用时间3015=2（s）（2）30 02=15（m/s）（3）设所用时间为 x，平均速度30(30 15)2x=30152x（30152x）x=20，整理，得：3x2 12x+8=0，x=12 4 360.85（s）x1=2 22()22a b a b=（a+b）+2 2a b，x2=a+b2 2a b，满足要求的矩形 B 存在 五、存在设两方程为、，1=（8n+3）2+230，则 n 为任意实数，第一个方程都有实根 设第一个方程的两根为、，则+=2n，=3 24n，（）2=4n2+3n+2 由第二个方程得：x（2n+2）x+（n 1）=0，解得：x1=2n+2，x2=1 n 若 x1为整数，则 4n2+3n+2=2n+2，故 n1=0，n2=14，当 n=0 时，x1=2 是整数；当 n=14时，x1=+32（舍），若 x 为整数，则 4n2+3n+2=1 n，故 n3=n3=12，当 n1=12时，x2=32（舍），综上可知，当 n=0 时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根