2021届广东省汕头市高考一模数学试卷 答案.pdf

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1、数学试题参考答案及评分标准第 1 页 共 18 页20212021年汕头市普通高考第一次模拟考试年汕头市普通高考第一次模拟考试数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数一、一、单项单项选择题：本题共选择

2、题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分题号12345678答案CCBDAAAC二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选分，有选错的得错的得 0 0 分分题号9101112答案ACABACDBD第 11 题：若()f x在0,2有且仅有 4 个零点，则由0,2x得：,244令4tx，sinyt图象如上图所示（1）4254解得：151988故：C 正确（2）由图容易得到：()f x在0,2有且仅有 2 个极

3、小值点，故：A 正确（3）20,15x2,44 154x数学试题参考答案及评分标准第 2 页 共 18 页由（1）知：1519882192154604，故()f x在20,15不单调，故 B 错（4）对于 D 选项，()yf x图象关于4x对称,()44214kkZk 又()f x在5,18 36单调52361812T12的最大值为 9，故 D 正确第 12 题：由ln(),0 xf xxx得：21ln(=xfxx）令()0fx 得，xe当x变化时，(),()fxf x变化如下表：x(0,)ee(,)e()fx+0()f x单调递增极大值1e单调递减故，ln(),0 xf xxx如图所示：y=

4、m数学试题参考答案及评分标准第 3 页 共 18 页A.1132ln2(2)ln2,(3)ln32ff66113232113232(3)(2)ff，故 A 错B.,ee且()f x在(0,)e单调递增fef，lnlneelnlneelne，故：B 正确C.()f xm有两个不相等的零点12,x x 12()=f xf xm不妨设120 xex要证：212x xe，即要证：212exx222,exeex()f x在0,e单调递增，只需证：212()ef xfx即：222()ef xfx只需证：222()0ef xfx令2()(),()eg xf xfxex，则2211()(ln1)g xxex当

5、xe时，2211ln1,xex()0g x()g x在,e 单调递增2xe2()()0,g xg e即：222()0ef xfx这与矛盾，故 C 错D.设25xyk，且,x y均为正数，则25lnlnlog,logln2ln5kkxkyk252ln,5lnln2ln5xkyk1152ln2ln5ln2,ln525且10101111532225(25)ln2ln502525ln2ln525xy，故 D 正确三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分137数学试题参考答案及评分标准第 4 页 共 18 页1422.8,38（14 题第一空题第一

6、空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分）15多个答案多个答案(符合要求就可以符合要求就可以)如:1222xy14222xy16322xy122222axay，)0(1222mmxmy16952【解法 1】设dOH,SH为ABSR t的外接圆半径，由图得，222OSSHOH设外接球半径为 R,则221Rd（1）又因为二面角CABS-的大小为60，则60CHS30CHO,在CHO中，22230cos2RCHdCHd，（2）CH为等边ABC的高，则3CH由（1）（2）得，32d，913122 dR,95242RS【解法 2】设 H,E 为分别为ABSR t和等边ABC的外接圆圆心,分别过 H,E

7、作各自平面的垂线相交于点 O,O 为球心又因为二面角CABS-的大小为60，则60CHS30CHO,CH为等边ABC的高，则3CH33232CHCE3331CHEH,因为30CHO，所以31EO在OECR t中，913222CEEOR,95242RS四四、解答题：共解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.17.(本小题满分本小题满分 1010 分分)解：（1）选条件选条件，方法一：方法一：由mSnn23得数学试题参考答案及评分标准第 5 页 共 18 页当2n时，mSnn23111 分11132323nnnnnnSSa2 分又当1

8、n时，mSa2311，因为数列 na是等比数列，3 分所以123 m，即21m4 分所以数列 na的通项公式为13nna，Nn5 分方法二：方法二：当1n时，mSa23111 分当2n时，3)23()23(12122mmSSa当3n时，9)23()23(23233mmSSa2 分1,3123aaaq3 分所以211231mma，4 分所以13nna5 分选条件选条件，方法一：方法一：由maSnn121，得当2n时，maSnn2111 分两式相减得nnnaaa21211，即nnaa312 分因为数列 na是等比数列，且11a3 分所以数列 na的通项公式为13nna，Nn4 分又当1n时，maa

9、2121，即21m5 分方法二：方法二：数学试题参考答案及评分标准第 6 页 共 18 页当1n时，maSa211211 分当2n时，23231223),21()21(aamamaSSa2 分所以1,3123aaaq3 分所以211231mma，4 分所以13nna5 分(2)由（1）可知，13nna，即13133)1)(1(111nnnnnnnaaab6 分131131211nnnb7 分则12111111111311=2441031312312(31)nnnnnnnTbbb10 分18.18.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解法一：（1）在ABC中，因为5,2,45bcB由余弦定理

10、2222bacaccosB，1 分得2252222aa 解得3a或1a （舍）2 分所以3BC.3 分三角形ABC的面积23222321sin21BacSABC5 分（2）在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得52sin45sinC,解得5sin5C,6 分在ABC中，因为25cb，所以C为锐角.7 分故22 5cos1 sin5CC8 分数学试题参考答案及评分标准第 7 页 共 18 页因为54cosADB，(ADB为锐角)所以5325161cos1sin2ADBADB9 分)sin(sinCADBDAC，CADBCADBsincoscossin32 5452 5555525.10

11、分因为由图可知DAC为锐角，则25511sin1cos2DACDAC11 分所以112cossintanDACDACDAC12 分解法二：（1）同解法一（2）在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得52sin45sinC,解得5sin5C,6 分在ABC中，因为25cb，所以C为锐角.7 分故21tanC8 分因为54cosADB，(ADB为锐角)所以43tanADB9 分ADCADB，43tanADC10 分CADCCADCCADCCADCDACtantan1tantantantantan故11 分112214312143 12 分所以112cossintanDACDACDAC解法三：

12、（1）过点A作出高交 BD 于 FABF为等腰直角三角形，,2AB,1 BFAF1 分数学试题参考答案及评分标准第 8 页 共 18 页同理AFC为直角三角形，25,1FCACAF2 分故3FCBFBC3 分三角形ABC的面积2321AFBCSABC5 分(2)AFD为直角三角形,且54cos,1ADBAF所以5325161cos1sin2ADBADB7 分34cos,35sinADBADDFADBAFAD，32CD，ADCsin539 分在ADC中由正弦定理得,ADCACDACCDsinsin,故2552sinDAC10 分因为由图可知DAC为锐角，则25511sin1cos2DACDAC1

13、1 分所以112cossintanDACDACDAC12 分数学试题参考答案及评分标准第 9 页 共 18 页19.19.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解：（1）证明：连结1BO，在圆柱中1OO中，EFCDQ，EFBC，2 分且CDBCCI，,CD BC 平面ABCD，EF平面ABCD，4 分（少条件扣一分）又1BO平面ABCD，EF1BO，5 分Q在BEFV中，1O为EF中点BEBF6 分数学试题参考答案及评分标准第 10 页 共 18 页2）法一：（向量法）解：分别以EF在Oe所在平面内的投影、AB、1OO为坐标轴建立空间直角坐标系（如图所示），则(0A，1，0)，(0B，1，0

14、)，(1E，0，)a，(1F，0，)a（7 分）(1,1,)AEa uuu r，(1,1,)BEa uuu r，(1,1,)BFauuu r设平面BEF的法向量分别是11(nxur，1y，1)z则由10nBEur uuu r及10BFn ur uuu r，得11111100 xyazxyaz，取11z，得1(0,1)naur8 分设直线AE与平面BEF所成角为，由226sincos,321AE naaaa uuu r r，化简得：222)(1)0aa（解得2a，(1)a（9 分）设平面ABE的法向量分别是22(nxuu r，2y，2)z则由20nABuu r uuu r及20nAEuu r u

15、uu r，得22222020yxyz，取21z，得2(2,0,1)n uu r10 分1cosnur，213n uu r11 分设二面角ABEF的平面角为，则121coscos,3n n ur uu r，由图像可知，为锐角，所求二面角ABEF的平面角的余弦值为1312 分2）法二：（传统法）11,BEFABCDAAHBOAHBEFEH连AO ,面面过 作面连，则 AEH为AE与面BEF的所成角。（7分）数学试题参考答案及评分标准第 11 页 共 18 页211122,1,11221,8221ABO AOBOaaaaAH AHa 在由等积法（分）222226sin3(1)(2)2)(1)0,12

16、AHaAEHAEaaaaaa 化简（9分）2,ABBEAEBEMAMHABEF取的中点连AM,HM，则AMBE,HMBE,为二面角的平面角。（10分）22833,333AMHMAMAH（11分）1cos31123HMHMAAMABEF二面角平面角的余弦值为（分）20.20.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解：（1）根据所提供的数据，可得22列联表：合格品次品合计甲8020100乙955100合计175252002 分设0:H产品的合格率与技术升级无关.由22()()()()()n adbcKab cdac bd，可得22200(80 595 20)7210.37.879175 25 1

17、00 1007K 4 分20()0.005P Kk故有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关5 分（2）解法一：甲生产线抽检的产品中有 35 件A等级，45 件B等级，20 件C等级，6 分对于甲生产线，单件产品利润X的取值可能为20m，20，20，7 分X的分布列如下：数学试题参考答案及评分标准第 12 页 共 18 页X20m2020P72092015则1()(20)202022027097205E Xmm，8 分乙生产线抽检的产品中有 65 件A等级，30 件B等级，5 件C等级；9 分对于乙生产线，单位产品利润Y的取值可能为20m，20，20，10 分Y的分布列如下：Y20m2

18、020P1320310120则1313()(20202082010312200E Ymm），11 分依题意136()()826122002027mE YE Xmm，60m，所以，A等级产品的出产单价为 60 元.12 分（2）解法二：甲生产线抽检的产品中有 35 件A等级，45 件B等级，20 件C等级，6 分乙生产线抽检的产品中有 65 件A等级，30 件B等级，5 件C等级；7 分因为用样本的频率估计概率所以对于甲生产线，单件产品的利润35+4540100202100207mxm甲9 分对于乙生产线，单件产品的利润65+30401002013810020mxm乙11 分依题意1368726

19、12222000mxxmm 乙甲，60m，所以，A等级产品的出产单价为 60 元.12 分21.21.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解：(1)1()(0)xfxxx.1 分当01x时，()0,()fxf x单调递减；数学试题参考答案及评分标准第 13 页 共 18 页当1x 时，()0,()fxf x单调递增；.2 分由()0f x 得，1a.3 分当1a 时，()0,(1)0,()20,aaaf eff eea所以1(,1)axe使得1()0,f x2(1,)axe使得2()0,f x综上：(1,)a.5 分(2)由(1)可知，1201,xx 要证12423axx即证1111211

20、4(ln)24ln242333xxxxaxxx.6 分构造函数4ln2(),(01),3xxg xx则4()03xg xx所以()g x在(0,1)单调递减，()(1)1.g xg故有21,x 114ln213xx.7 分因为()f x在(1,)上单调递增，所以只需证1124ln2()()3xxf xf即证1114ln2()()3xxf xf构造函数4ln2()()(),(01),3xxh xf xfx2114()34ln2xxh xxxxx.9 分下面证()0h x在(0,1)x时恒成立即证(5)(1)ln042xxxx构造函数(5)(1)()ln,(01)42xxxxxx数学试题参考答案及

21、评分标准第 14 页 共 18 页32(1)()0(21)xxxx在(0,1)x时恒成立.10 分因此()x在(0,1)上单调递增，从而()(1)0,x()0h x在(0,1)x时恒成立()h x在(0,1)x时单调递增()(1)0h xh成立，即1114ln2()()3xxf xf12423axx成立.12 分22.22.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解：（1）方法一：在x轴负半轴上取点Q，使得Q、M关于原点对称，连接PQ，4PQPMQM.1 分所以动点P的轨迹是以Q、M为焦点的椭圆（左右顶点除外）3,0M，3,0Q 24,3ac，.3 分故2221bac动点P的轨迹方程是：221

22、4xy（0y）.4 分方法二：设点(,)P x y依题意4MPONOPOMOPOM ，2222(x-3)(x+3)42 3yy，.2 分所以动点P的轨迹为椭圆（左右顶点除外）24,3ac，.3 分故2221bac数学试题参考答案及评分标准第 15 页 共 18 页动点P的轨迹方程是：2214xy（0y）.4 分（2）1当1l垂直于x轴时，AB的中点(3,0)E，直线2l为x轴，显然与椭圆2214xy（0y）无交点，故不合题意.5 分2当1l不垂直于x轴时，不妨设直线1l的方程为(3),(0)yk xk，1122(,),(,)A x yB x y由22(3)44yk xxy得，2222(41)8

23、 31240kxk xk容易知道：0 由韦达定理得：221212228 3124,4141kkxxx xkk.6 分31212228 32 3()2 32 34141kkyyk xxkkkk2224 33,41 41kkEkk，12ll1-k以代替k得，224 33,44kFkk直线EF的斜率为：222222335441,(1)4(1)4 34 3441EFkkkkkkkkkkk.7 分直线EF的方程为：2222354 3()(1)414(1)41kkkyxkkkk，由椭圆的对称性可知，若存在这样的定点必在x轴上.令0y,则2222354 3()414(1)41kkkxkkk222216 34

24、 34 3(41)4 35(41)5(41)5kkxkk 直线EF恒过定点4 305，.8 分当1k 时，4 334 33,5555EF，显然直线EF恒过定点4 305，数学试题参考答案及评分标准第 16 页 共 18 页综上所述：直线EF恒过定点4 305，.9 分法二：直线EF的方程为：222354 3()144(1)4kkyxkkkk，2222222222222254 33()+4(1)4454 34(1)3=4(1)454520 34 3(1)4(1)5(4)516 34 34(1)5(4)54 3)4(1)5kkyxkkkkkkxkkkkkkxkkkkxkkkxk(直线EF恒过定点4

25、 305，.8 分当1k 时，4 334 33,5555EF，显然直线EF恒过定点4 305，综上所述：直线EF恒过定点4 305，.9 分由知：221212228 3124,4141kkxxx xkk221212422222221()41921241441414(1)41ABkxxx xkkkkkkk.10 分同理可得：224(1)4kCDk数学试题参考答案及评分标准第 17 页 共 18 页四边形ACBD的面积2228112414kSAB CDkk.11 分令21,tk则1t 222228888=99(43)(3)49933434ttStttttttt1t 303t 当332t，即1k 时

26、，23325344ttmin3225S故：四边形ACBD面积最小值为3225.12 分方法三（2）设直线1l的方程为：myx3，由题意0m，则直线2l的方程为：ymx13，直线1l、2l均过椭圆的焦点（椭圆内一点），1l、2l与椭圆必有交点。设),(),(2211yxByxA由0132)4(4432222myymyxmyx,0,438,432221221mxxmmyy6 分),43,434(22mmmE以m1代替m得：),143,1434(222mmmmF直线EF的斜率是：)1()1(452mmmkEF，7 分直线EF的方程是：)434()1(4543222mxmmmmy，令534)4(531634,022mmxy，直线EF恒过定点0,5348 分，当1m时，直线EF恒过定点0,534。综上，直线EF恒过定点0,534。9 分数学试题参考答案及评分标准第 18 页 共 18 页（3）2532)2144()1(8)14)(4()1(8|2110,14)1(4,4)1(42222222222222mmmmmmCDABSmmCDmmAB分当且仅当12m取等号。.12 分.