代数变形工具总结.pdf

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1、常见的常见的不等式不等式 均值不等式均值不等式 记()cyc1nnA aan=，()1cycnnnG aa=，则()()nnA aG a 等号当且仅当 a1=a2=!=an时取得 嵌入不等式嵌入不等式 若A、B、C为ABC的内角，,xyzR，则 2222cos2cos2cosxyzxyCyzAzxB+幂平均幂平均 Simon 不等式不等式 记()1cyc1pppnnMaan=，()()0nnMaG a=，则 当，则11cyccyccycpqpqnnnna bab cyccyccycpqpqnnnna bab，等号当且仅当 a1b1=a2b2=!=anbn时取得 排序不等式排序不等式 对排列 a

2、1a2!an和 b1b2!bn，记排列和为cycnna b，则 当两个排列同序时排列和最大，逆序时排列和最小 切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 不等式不等式 对排列 a1a2!an，b1b2!bn，()()nnA aA b()nnA ab 等号当且仅当 a1a2!an=b1b2!bn时取得 推论：设排列 a1a2!an升序，b1b2!bn降序，那么()()nnnnA aaAbA b 闵可夫斯基闵可夫斯基Minkowski不等式不等式 若1p，则()()()pnnpnpnMxyMxMy+若01p，则()()cyc0rxxyxz 3332222223xyzxyzx yy zz xxyyzzx+

3、()()()394xyzxyzxyzxyyzzx+()()()xyzxyzzxyyzx+米尔黑德米尔黑德 Muirhead 不等式不等式 若111212123123+=+，其中1230，1230 则331212symsymx y zx y z 阿贝尔阿贝尔 Abel 恒等式恒等式 11nniiiiiiabab=其中 ai:a1 a2,a2 a3,!,an bi:b1,b1+b2,!,b1+b2+!+bn 拉格朗日拉格朗日 Lagrange 恒等式恒等式()22221111nnnniiiiijjiiiiijnabababa b=abt=+，0t 轮轮 换换 式式 计计 算算 ()()22222a

4、bcabcabbcca+=+()()()3333222222336abcabcabbccaa bb cc aabc+=+()()()()()abcabbccaab bc caabc+=+()()222333222222abcabcabcabbccaa bb cc a+=+()()()()()2222222ab bccaabbccaa bb cc aabc+=+abc acmnbcn=+=+，其中,0m n 三角消元三角消元 221ab+=cosa=，sinb=1ab+=2cosa=，2sinb=2221abc+=sincossincoscosabc=221ab=sectanab=1ab=tan

5、cotab=三角换元三角换元 1abbcca+=tan2Aa=，tan2Bb=，tan2Cc=，其中ABC+=轮轮 换换式式 分分解解 ()()()22222abcabcabbcca+=+()()()()()33333abcabcab bcca+=+()()3332223abcabcabcabcabbcca+=+()()()()()()2222224442 a bb cc aabcabcabcbcacab+=+()()()()()()55552225abcabcab bccaabcabbcca+=+abcabc+=tanaA=，tanbB=，tancC=，其中ABC+=22221abcabc+

6、=cosaA=，cosbB=，coscC=，其中ABC+=齐次换元齐次换元 1abc=xay=，ybz=，zcx=或2xayz=，2ybzx=，2zcxy=1abc=xay=，ybz=，zcx=1abc+=xaxyz=+，ybxyz=+，zcxyz=+均值换元均值换元 1ab+=12at=+，12bt=三边换元三边换元,a b c是三角形的三边 ayz=+，bzx=+，cxy=+，其中,0 xyz 常见的三角恒等式常见的三角恒等式 正弦定理正弦定理 2sinsinsinabcRABC=余弦定理余弦定理 2222cosabcbcA=+，2222cosbcacaB=+，2222coscababC=

7、+射影定理射影定理 coscosabCcB=+，coscosbcAaC=+，coscoscbAaB=+正切定理正切定理 tan2tan2ABabABab+=，tan2tan2BCbcBCbc+=，tan2tan2CAcaCAca+=半角公式半角公式()()sin2pbpcAbc=，()cos2p paAbc=，()()()tan2pbpcAp pa=模尔外德公式模尔外德公式 cos2sin2ABabCc+=，sin2sin2ABabCc=面积公式面积公式()2211sinsinsin2sinsinsin242sinABCabcBCSabCRABCaRBC=+()()()222222444222

8、prp papbpca bb cc aabc=+()()2222tantantansinsinsin2224 cotcotcotABCabcpRrABCABC+=+=+常用长度公式常用长度公式 外接圆半径4abcRS=，内切圆半径srp=，高2aSha=，中线2221222ambca=+，角平分线()22cos2ap pa bcbcAtbcbc=+三角和角公式三角和角公式()sinsincoscoscos sincoscoscos sinsinsinsinABCABCABCABCABC+=+()coscoscoscoscossinsinsincossinsinsincosABCABCABCAB

9、CABC+=三角恒等式三角恒等式 sinsinsin4coscoscos222ABCABC+=，sin2sin2sin24sinsinsinABCABC+=，222sinsinsin22coscoscosABCABC+=+coscoscos14sinsinsin222ABCABC+=+，cos2cos2cos214coscoscosABCABC+=，222coscoscos1 2coscoscosABCABC+=tantantantantantanABCABC+=，tantantantantantan1222222ABBCCA+=，cotcotcotcotcotcot222222ABCABC+

10、=4sinsinsincoscoscos1222rABCABCR=+，4coscoscossinsinsin222pABCABCR=+，tantantan222rABCp=立体几何立体几何空间位置关系的证明思路空间位置关系的证明思路 线线关系线线关系 线面关系线面关系 面面关系面面关系 平平行行 中点的常见来源中点的常见来源 三线合一 三等分点与中点的互相转化 平行四边形对角线互相平分 中心投影法：选择恰当的点光源，找到线段在平面上的影子 平行投影法：选择恰当的光线方向，找到线段在平面上的影子 面面平行是两个线面平行的集中体现面面平行可以分散为无数个线面平行 垂垂直直 垂直的垂直的常见常见来源来源 三线合一 菱形的对角线互相垂直 勾股定理的逆定理弦图中的垂直 正投影法：选择恰当的投影面，将异面直线的垂直（与光的垂直）转化为共面直线的垂直（与影的垂直）线面垂直是两个线线垂直的集中体现线面垂直可以分散为无数个线线垂直 面面垂直是平面上的线线垂直（线与棱的垂直）和线面垂直之间的快速通道