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1、基础物理实验报告非线性电路中的混沌现象学号:37073112 姓名:蔡正阳 日期:2009年3月24日五:数据处理:1计算电感L本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律,当输入激励的频率时,RLC串联电路将达到谐振,L和C的电压反相,在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。测量得:f=32.8kHz;实验仪器标示:C=1.095nF由此可得:估算不确定度:估计u(C)=0.005nF,u(f)=0.1kHz则:即最终结果:2用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理:(1)原始数据:RVRVRV71200-122044.9-81753.4-421000-11.82036.2-
2、7.81727.5-3.812150-11.62027.2-7.61699.6-3.68430-11.42017.8-7.41669.4-3.46390-11.22007.9-7.21636.7-3.25100-111997.5-71601.2-34215-10.81986.7-6.81562.4-2.83564-10.61975.3-6.61519.7-2.63070-10.41963.4-6.41472.3-2.42680-10.21950.9-6.21420-2.22369-101937.6-61360.9-22115-9.81923.7-5.81295.1-1.82103.1-9.61
3、909-5.61281.8-1.62096.8-9.41893.4-5.41276.7-1.42090.2-9.21876.9-5.21270.1-1.22083.4-91859.5-51261.1-12076.3-8.81840.9-4.81247.8-0.82068.9-8.61821.2-4.61226-0.62061.2-8.41800.1-4.41148.9-0.42053.3-8.21777.6-4.21075-0.2VRR1(2)数据处理:根据可以得出流过电阻箱的电流,由回路KCL方程和KVL方程可知:由此可得对应的值。对非线性负阻R1,将实验测得的每个(I,U)实验点均标注在坐
4、标平面上,可得:图中可以发现,(0.0046336,-9.8)和(0.0013899,-1.8)两个实验点是折线的拐点。故我们在、这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程:经计算可得,三段线性回归的相关系数均非常接近1(r=0.99997),证明在区间内I-V线性符合得较好。应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U0区间的I-U曲线:3观察混沌现象:(1)一倍周期: 一倍周期Vc1-t(2)两倍周期: 两倍周期Vc1-t(3)四倍周期: 四倍周期Vc1-t(4)单吸引子: 单吸引子阵发混沌三倍周期Vc1-t(5)双吸引子:
5、 双吸引子Vc1-t4使用计算机数值模拟混沌现象:(1)源程序(Matlab代码):算法核心:四阶龙格库塔数值积分法文件1:chua.mfunction xx=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=;for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(
6、x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=xx x;end文件2:chua_initial.m:function x0=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=-0.03 0.6 -0.01;k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400k
7、O=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3:chua_map.m:functionx=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1)=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+
8、m1;endA=0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0;x=A*xx;x=x+-9*hx 0 O;文件4:chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);x0=chua_initial(x0,-100/7);xx=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (
9、V); (2)对于本实验,其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下:(Matlab代码)function discrete_chai dt=0.04; c1=1/9; c2=1; L=1/7; G=0.7; N=10000; a0=0.8;a1=0.1; MT=1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1; UVI=zeros(3,N); UVI(:,1)=0.1;0.1;0.1; for k=1:N-1; Bd=-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a12*UVI(1,k)2/3-1);0;0; UVI(:,k
10、+1)=MT*UVI(:,k)+Bd; end plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (V);经验证:该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高,但初始精度稍差。(2)数值仿真结果:改变G的值,当G=0.7时,数值仿真出现双吸引子:Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图:I-Uc1-U
11、c2图同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线: 改变G值,使G=0.35,数值仿真出现单吸引子:Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图:同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线:在结果中可以看到,计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数,充分显现出计算机仿真的优越性。六、选做实验:费根鲍姆常数的测量:以G作为系统参数,将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小,记录出现倍周期分岔时的参数值Gn,得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比:测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件
12、限制,费根鲍姆常数的近似值可取:实验测得:R1=8700;R2=11060;R3=11829。代入上述公式,可得:4.1728七、实验后思考题:1什么叫相图?为什么要用相图来研究混沌现象?本实验中的相图是怎么获得的?答:将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线,在非线性理论中这种曲线称为相图。在非线性理论中,我们会看到使用运动状态之间的关系,更有利于揭示事物的本质,它突出了电路系统运动的全局概念。在本实验中,示波器CH1端接Vc1电压,CH2端接Vc2电压,这样就能获得Vc1-Vc2相图。2什么叫倍周期分岔,表现在相图上有什么特点?答:系统在改变某些参数后,运动周
13、期变为原先的两倍,即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆,运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆,再在重叠处又跑到原来的椭圆上。3什么叫混沌?表现在相图上有什么特点?答:混沌大体包含以下一些主要内容:(1) 系统进行着貌似无归律的运动,但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的;(2) 具体结果敏感地依赖初始条件,从而其长期行为具有不可测性;(3) 这种不可预测性并非由外界噪声引起的;(4) 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征,这些特征与初始条件无关。混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的,但
14、这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡,不会重复已走过的路,但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走,类似“线圈”的轨道本身是有界的,显然其中有某些规律。4什么叫吸引子?什么是非奇异吸引子?什么是奇异吸引子?表现在相图上有什么特点?答:在系统条件一定下,无论个它什么样的初始条件,最终都将落入到各自的终态集上,这些终态集被称为“吸引子”。周期解的吸引子称为非奇异吸引子,非周期解的吸引子称为奇异吸引子。5什么是费根鲍姆常数?在本实验中如何测量它的近似值?答:对于某一系统,改变参量r,当r=r1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二,继续改变r,当当r=r2时周
15、期二失稳,同时出现周期四,如此继续下去。定义:常数被命名为费根鲍姆常数。测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制,费根鲍姆常数的近似值可取:6非线性电阻R的伏安特性如何测量?如何对实验数据进行分段拟合?实验中使用的是哪一段曲线?答:测量非线性电阻R时,把电感从电路中取出,这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。将电阻箱R0和有源非线性负阻并联,改变电阻箱R0的电阻值,用数字电压表测URO,获得有源非线性负阻在U0V时的伏安特性。分段时,先将实验点画在坐标平面上,确定拐点的位置,然后分组进行一元线性回归拟合。实验中使用的是U0V时的伏安特性曲线。八、实验感想:在本次实验中
16、,我初步了解了混沌的一些知识,并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在实验后,我通过查阅相关资料了解到,20多年来,混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点,它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一,大大拓宽了人们的视野,加深了人类对客观世界的认识。混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似,即都不可预测。但和随机运动不同的是,混沌运动在动力学上是确定的,它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性,无论多小的扰动在长时间以后,也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
17、混沌现象是自然界中的普遍现象,天气变化就是一个典型的混沌运动。而在人类的实际生活中,混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。在实验中我通过观察现象,加深了对RLC电路谐振的理解,并了解到这种原理在测量领域中的应用。同时,在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中,通过思考连线方法和测量方法,锻炼了实验的能力。参考资料:1杨晓松,李清都混沌系统与混沌电路北京:科学出版社,20072孙志忠数值分析第二版南京:东南大学出版社,20023冯久超,陈宏滨蔡氏电路的仿真研究华北航天工业学院学报Vol15 suppl,Jun 2005在结果中可以看到,计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的
18、相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数,充分显现出计算机仿真的优越性。 两倍周期 四倍周期 阵发混沌 三倍周期 单吸引子 双吸引子使用计算机数值模拟混沌现象:(1)源程序(Matlab代码):算法核心:四阶龙格库塔数值积分法文件1:chua.mfunction xx=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=;for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k
19、1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=xx x;end文件2:chua_initial.m:function x0=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=-0.03 0.6 -0.01;k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h
20、;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3:chua_map.m:functionx=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)=1hx=m1*x
21、x(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1)=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0;x=A*xx;x=x+-9*hx 0 O;文件4:chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);x0=chua_initial(x0,-100/7);xx=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,
22、1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (V); (2)对于本实验,其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下:(Matlab代码)function discrete_chai dt=0.04; c1=1/9; c2=1; L=1/7; G=0.7; N=10000; a0=0.8;a1=0.1; MT=1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1; UVI=zeros(3,N); UVI(:,1)=0.1;0.1;0.1; for k=1
23、:N-1; Bd=-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a12*UVI(1,k)2/3-1);0;0; UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd; end plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end); xlabel(Uc1 (V);ylabel(Uc2 (V); figure; plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel(I (V);ylabel(Uc1 (V);zlabel(Uc2 (V);经验证:该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高,但初始精度稍差。(2)数值仿真结果:改变G的值,当G=0.7时,数值仿真出现双吸引子:Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图:I-Uc1-Uc2图同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线: 改变G值,使G=0.35,数值仿真出现单吸引子:Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图:同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线:第36页
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