例谈整体思想在数学解题中的应用.docx

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1、例谈整体思想在数学解题中的应用 打开文本图片集 “整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念. 整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简洁相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到确定性的作用.整体思想在数学解题中特别重要，它使得我们在详细的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清晰地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉. 一、整体思想在函数零点问题中的应用 函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类探讨和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得特别烦琐，看不到问题的本质.假

2、如能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了. 例1 已知函数f（x）=x2+2ax+b在1，2上有两个零点，证明：0a+b2. 一般性解法：利用零点的分布问题加以探讨，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的学问.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不当心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出肯定的思维含量.假如我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境. 另解：设f（x）的两个零点为x1，x21，2，则f（x）=x2+2ax+b=（x-x1）（x-x2），由题意知：要求a+b的范围，故

3、可以先整体地将它表达出来，于是令x=，则+a+b=f（）= -x1 -x2，即a+b=x1- x2 -.由于x1，x21，2，即知x1- x2 -，所以0a+b2. 评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采纳“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁. 此题还可以作如下的变式：已知函数f（x）=x3+2ax+b在1，2上有三个零点，证明：0a+b.假如采纳一般性的解法，就会显得特别烦琐，让人“望而却步”，但假如采纳另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性. 利用上面的解题思想方法，我们可以很简单解2022年浙江省中学数学竞赛第19

4、题： 设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，bR，a0）在3，4上至少有一个零点，求a2+b2的最小值. 解： 由题意，设t为二次函数在3，4上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=a（t2-1）+2bt2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=a（t2-1）+2bt2（a2+b2）（t2-1）+4t2=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2（）2=.因为g（t）=t-2+，t3，4是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，bR，关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，

5、求a2+b2的最小值. 此题留给读者思索. 二、整体思想在函数极值问题中的应用 一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质探讨其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.假如能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效. 例2 maxx3+2x+t，x1= . 一般性解法：设f（x）=x3+2x+t，x1，再对f（x）求导，求出f（x）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取肯定值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类探讨，计算过程比较烦琐. 另解：留意到y=x

6、3+2x在x1上是奇函数，所以，y-3，3，于是，要求 maxx3+2x+t，x1，只要求maxy+t，y3即可，由肯定值的几何意义（如图1）即知：maxy+t，y3=t+3. 评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知maxx2-2x-t，0x3=2，则t= .同样，此高考题采纳整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不须要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念. 例3 已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），则 A.当k=1时，f（x）在x=1处取到微小值 B.当k=1时，f（x）在x=1处取到极大值 C.当k=2时，

7、f（x）在x=1处取到微小值 D.当k=2时，f（x）在x=1处取到极大值 一般性解法：学生往往毫不犹豫，先对f（x）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”. 另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2）所确定的. 评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过探讨发觉，这道试题有肯定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ek，bR，x=a

8、是f（x）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略. 另一背景即2022年浙江省中学数学竞赛第9题：设函数f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4，则函数y=f（x）的极大值点为（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=3 上述两个题目都可以采纳整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在探讨问题中的作用. 三、整体思想在函数导数问题中的应用 有关函数的导数问题，我们往往都是干脆对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点. 例4 已知a0，b

9、R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.（1）证明：当0x1时，函数f（x）的最大值为2a-b+a；f（x）+2a-b+a0.（2）略. 一般性解法：学生遇到此类函数问题，先对函数f（x）=4ax3-2bx-a+b求导，然后分类探讨求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致困难的计算. 另解：证明：由于f（x）=24ax0，故由函数的凹凸性知：f（x）max=maxf（0），f（1）=+=2a-b+a. 由题意，函数f（x）在0，1上与坐标轴围成的面积为：f（x）dx=0.设折线A-C-B对应的函数为g（x），由于函数f（x）在0，1上为凹函数，故x0，1时，g（x

10、）f（x）.于是，g（x）dxf（x）dx=0，即知g（x）在0，1上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（x）maxf（x）min.若不然，即f（x）maxSAOD，故g（x）在0，1上与坐标轴围成的面积： g（x）dx=SAOD-SDCE+SBBE-SCCE0+0=0，这与g（x）dxf（x）dx=0矛盾. 因此，由f（x）maxf（x）min，知f（x）+2a-b+af（x）min+f（x）maxf（x）min+f（x）min0. 评注：第题一般采纳导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的思想加以解决.事实上，依据高等数学的观点：导数是探讨函数局部性质的一个“

11、利器”，但要探讨整体的性质非借助于积分不行.所以，我们借助于积分的思想，能在整体上清晰地看到解决第题的关键：f（x）maxf（x）min，此题的本质显得特别直观、简洁，论证过程自然流畅、一挥而就.我们被这样精致的构思、奇异的解法、显明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和试题命制的意义所在. 杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大雄伟的气概，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在探讨数学问题时，应当首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细微环节迷失方向. 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页