2021-2022学年南师江宁高一下数学期中试卷（含答案）.pdf

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1、第 1页（共 15页）2021-2022 学学年年江江苏苏省省南南京京师师大大附附中中江江宁宁分分校校高高一一（下下）期期中中数数学学试试卷卷一一、单单项项选选择择题题：本本大大题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的，请请把把答答案案填填涂涂在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上1（5 分）已知1zi，则(1)z z 的模是()A10B10C2D22（5 分）用二分法研究函数3()31f xxx的零点时，第一次计算，得(0)0f，(0.5)0f，第二次应计算1()f x，则

2、1x等于()A1B1C0.25D0.753（5 分）在ABC中，若sin2cossinABC，则该三角形的形状一定是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形4（5 分）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了 8 组投篮，得分分别为 10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组数据的 75 百分位数为()A8B9C8.5D9.55（5 分）在平面直角坐标系xOy中，点(1,2)A 、(2,3)B、(2,1)C 以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为()A4 2B2 10C2 13D2 156（5 分）

3、若tan2，则sin(1sin2)(sincos)A25B25C65D657（5 分）有 5 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 6”，则()A甲与丙相互独立B丙与丁相互独立C甲与丁相互独立D乙与丙相互独立第 2页（共 15页）8（5 分）古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响图 1 是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗在正八边形ABCDEFGH中，若(,)ACxA

4、ByAH x yR ，则(xy)A12 2B12C22D3二二、多多项项选选择择题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求，请请把把答答案案填填涂涂在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上全全部部选选对对得得 5 分分，部部分分选选对对得得 2分分，不不选选或或有有选选错错的的得得 0 分分9（5 分）有一组样本数据1x，2x，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，ny，其中(1iiyxc i，2，)n，c为非零常数，则()A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本

5、中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同10（5 分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是()A若a bb c，则acB若向量(2,1)a，(3,1)b ，则向量a在向量b上的投影向量为12bC非零向量a和b满足|abab，则a与ab的夹角为60D点(1,3)A，(4,1)B，与向量AB 同方向的单位向量为34(,)5511（5 分）下列命题中正确的是()A在复数范围内解方程2220 xx的根为1i，则4(1)4i 第 3页（共 15页）B若1tan7，1tan3，且，(0,)，则24C在ABC中，5 2a，10c，30A，则105B D在平行四边形ABC

6、D中，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i，2i，则点D对应的复数为35i12（5 分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12 6nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 3nmile货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则下列说法正确的是()AA处与D处之间的距离是24nmileB灯塔C与D处之间的距离是8 3nmileC灯塔C在D处的西偏南60DD在灯塔B的北偏西30三三、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上13（5 分）已知向量(1,)

7、a，(,4)b，若a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是14（5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若,36Cc，且该三角形有两解，则a的取值范围为15（5 分）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为2sin18m，若24mn，则21227cosm n.（用数字作答）16（5 分）设函数431,0()log,0 xxf xx x，若关于x的函数2()()(2)()3g xfxaf x恰好有六个零点，则实数a的取值范围是四四、解解答答题题（共共 6 小小题题，满满分分 70 分分）17（

8、10 分）在ABC中，5BC，3AC，sin2sinCA（1）求AB的值；（2）求sin(2)4A的值第 4页（共 15页）18（12 分）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc，已知a与2bc垂直（1）求tan()的值；（2）若2，02，且3cos5，求cos的值19（12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知()()()ac acb bc（1）求角A的大小；（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答若3b，4c，点D是BC边上的一点，且_求线段AD的长AD是ABC的高；AD是ABC的中线；AD是ABC的角平分

9、线20（12 分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年 5 月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取 50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第 1 组40，50)，第 2 组50，60)，第 3 组60，70)，第 4 组70，80)，第 5组80，90)，第 6 组90，100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第 65 百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于 90 分时为优秀等级，若从第 5 组和第 6 组

10、两组学生中，随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人中至少 1 人成绩优秀的概率21（12 分）某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了 500 户进行问卷调查，所得数据第 5页（共 15页）如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立（1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；（2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取 2 户，求至少有 2 户选择种植农作物B的概率；（3）经调研，农作物A的亩产量为 800 斤、900 斤、1000

11、斤的概率分别为15，25，25，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率村庄农作物甲村乙村A250150B25035022（12 分）已知函数()cosf xx（1）若，为锐角，5()5f，4tan3，求cos2及tan()的值；（2）函数()(2)3g xfx，若对任意x都有2()(2)()2gxa g xa恒成立，求实数a的最大值；（3）已知3()()()2fff，(0,)，求及的值第 6页（共 15页）2021-2022 学学年年江江苏苏省省南南京京师师大大附附中中江江宁宁分分校校高高一一（下下）期期中中数数学学试试卷卷参参考考答

12、答案案与与试试题题解解析析一一、单单项项选选择择题题：本本大大题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的，请请把把答答案案填填涂涂在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上1【解答】解：1zi，1zi，(1)(1)(11)(1)(2)3z ziiiii，(1)z z的模为223(1)10 故选：A2【解答】解：因为(0)0f，(0.5)0f，所以，()f x在(0,0.5)内存在零点，根据二分法第二次应该计算1()f x，其中100.50.252x故选：C3【解答】解：因为sin2

13、cossinsin()sincossincosABCBCBCCB，所以sincossincos0BCCB，即sin()0BC，所以BC，所以三角形为等腰三角形故选：A4【解答】解：因为数据 10，8，a，8，7，9，6，8 的平均数为 8，则有8 8(10887968)8a ，将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，因为875%6为整数，所以这组数据的 75 百分位数为898.52故选：C5【解答】解：(3,5)AB ，(1,1)AC ，则(2,6)ABAC，(4,4)ABAC，第 7页（共 15页）所以|2 10ABAC，|4 2ABAC，故较长的对角线长为2 10

14、故选：B6【解答】解：222222sin(1sin2)sin(sincos)sinsin costantan6sin(sincos)sincossincossincostan15，故选：C7【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为A，B，C，D，则有P（A）P（B）15，P（C）425，P（D）15，对于A，P（A）P（C）144525125，()0P AC，()P ACP（A）P（C），A不正确；对于B，P（C）P（D）414255125，()0P CD，()P CDP（C）P（D），B不正确；对于C，P（A）P（D）1115525，1()25P AD，()P ADP（A）P（D），甲与丁相互

15、独立，C正确；对于D，P（B）P（C）144525125，1()25P BC，()P BCP（B）P（C），D不正确故选：C8【解答】解：正八边形的每一个内角为1(82)1801358，如图，作AMHC，BNHC，则AMH，BCN为等腰直角三角形，22MHCNAB，(21)HCAB，(21)ACAHHCAHAB ，(,)ACxAByAH x yR ，第 8页（共 15页）21x，1y，则22xy故选：C二二、多多项项选选择择题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求，请请把

16、把答答案案填填涂涂在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上全全部部选选对对得得 5 分分，部部分分选选对对得得 2分分，不不选选或或有有选选错错的的得得 0 分分9【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，标准差()()()iiiD yD xcD x，两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，(1iiyxc i，2，)n，c为非零常数，x的极差为maxminxx，y的极差为()()maxminmaxminxcxcxx，两组样本数据的样本极差相同，故D正确故选：CD10【解答】解：A选项：当0b 时，左式成立，此时ac不

17、一定成立，故A选项错误；B选项：615a b ，5a，10b，设,a b向量夹角为，52cos2510，则向量夹角为34，故a在b上的投影为310cos42a，故投影向量为12b，故B选项正确；C选项：将已知平方可得：2222aa bba，由此可得：212a bb，设,a b向量夹角为，则1cos2，即3，设a与ab的夹角为，则222()cos2aabaa baabaaa bb，将212a bb代入可得：3cos2，即6，故C选项错误；第 9页（共 15页）D选项：(3,4)AB ，故设与AB 同向的向量为(3,4),0m，由已知有1m，故229161，解得：15，故与AB 同向的向量为34(

18、,)55，故D选项正确故选：BD11【解答】解：对A，在复数范围内解方程2220 xx可化为22(1)1xi ，1xi ，1xi，又4222(1)(1)(1)44iiii，4222(1)(1)(1)44iiii，A正确；对B，13tantan736，13tantan336，(0,)6，(0,)6，2(0,)2，又2122tan33tan211419tan，13tantan274tan(2)1131tantan2174，且2(0,)2，24，B正确；对C，由正弦定理得110sin22sin25 2cACa，又ca，CA，且180AC，45C或135，又30A，105B或15，C错误；对D，在复平

19、面内(1,3)A，(0,1)B，(2,1)C，设D为(,)x y，又四边形ABCD为平行四边形，ACABAD，(1，2)(1，4)(1x，3)y，12x，27y，3x，5y，(3,5)D，点D对应的复数为35i，D正确故选：ABD第 10页（共 15页）12【解答】解：在ABD中，由已知得60ADB，75DAB，则45B，12 6AB，由正弦定理得212 6sin224sin32ABBADADB，所以A处与D处之间的距离为24nmile，故A正确；在ADC中，由余弦定理得2222CDADACAD ACcos30，又8 3AC，解得8 3CD 所以灯塔C与D处之间的距离为8 3 n mile，故

20、B正确，8 3ACCD，30CDACAD，灯塔C在D处的西偏南60，故C正确；灯塔B在D的南偏东60，D在灯塔B的北偏西60，故D错误；故选：ABC三三、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上13【解答】解：向量(1,)a，(,4)b，a与b的夹角为锐角，2404，0且2，的取值范围为(0，2)(2，)，故答案为：(0，2)(2，)第 11页（共 15页）14【解答】解：因为该三角形有两解，所以sinaCca，即sin36aa，解得36a，所以a的取值范围为(3,6)故答案为：(3,6)

21、15【解答】解：因为24mn，且2sin18m，所以2244sin 184cos 18n ，所以2cos18n，则21227cos5412sin182cos182sin362cos ，故答案为：1216【解答】解：作出函数()f x的大致图象如下图所示，令()f xt，则2()(2)()30fxaf x可化为2(2)30tat，依题意，要使函数()g x恰好有六个零点，则方程2(2)30tat在(1，2内有两个不同的实数根，22(2)12021221(2)302(2)23 0aaaa，解得32 322a，实数a的取值范围为3(2 32,2故答案为：3(2 32,2四四、解解答答题题（共共 6

22、小小题题，满满分分 70 分分）17【解答】解：（1）由正弦定理及sin2sinCA，知22 5ABBC第 12页（共 15页）（2）由余弦定理知，22220952 5cos2522 53ABACBCAAB AC，因为(0,)A，所以25sin15Acos A，所以52 54sin22sincos2555AAA，23cos212sin5AA，所以22437 2sin(2)sin2 coscos2 sin(sin2cos2)()444225510AAAAA18【解答】解：（1）根据题意，若a与2bc垂直，则(2)20abca ba c，即2a ba c，即4cossin4sincos2(cosc

23、os4sinsin)，变形可得sin()2cos()，则有tan()2；（2）根据题意，若2，02，则0，若tan()2，则2 5sin()5，5cos()5，02，且3cos5，则4sin5，故3 58 55coscos()cos()cossin()sin25255 19【解答】解：（1）在ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且()()()ac acb bc，可得222acbbc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc 0A，23A（2）选AD是ABC的高，3b，4c，23A，22212cos916234()372abcbcA ，37a，ABC的面积11sin22SbcAa

24、AD，6 11137AD 选AD是ABC的中线，第 13页（共 15页）AD是ABC的中线，1()2ADABAC，2221|(|2)4ADABACAB AC ，3b，4c，23A，22211113|(2cos)91623 3()4424ADbcb cA ，13|2AD 选AD是ABC的角平分线，3b，4c，23A，111sinsinsin22222AAbcAb ADc AD，1313133434222222ADAD ，127AD 20【解答】解：（1）本次考试成绩的平均数为450.1550.26650.2750.3850.08950.0666.8（2）因 为 前 3 组 频 率 之 和 为0.

25、10.260.20.56，前 4 组 频 率 之 和 为0.10.260.20.30.86，所以第 65 百分位数在第 4 组中，设为x，则0.56(70)0.030.65x，解得73x 第 65 百分位数是 73（3）第五组与第六组学生总人数为(0.080.06)507，其中第五组有 4 人，记为a、b、c、d，第六组有 3 人，记为A、B、C，从中随机抽取 2 人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有 21 种，其中至少 1 人成绩优秀的情况有 15 种，所抽取的 2 人中至少 1 人成绩优

26、秀的概率为15521721【解答】解：（1）记“甲村选择种植农作物A”为事件A，“乙村选择种植农作物A”为事件B，第 14页（共 15页）则P（A）25015002，P（B）150350010；（2）因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为12，12，乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为310，710随机抽取的 4 户中有 0 户选择种植农作物B的概率为：111339221010400P，有 1 户选择种植农作物B的概率为：21133113732222101022101020P，记“至少有 2 户选择种植农作物B”为事件C，则P（C）123311400PP；（3

27、）记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D，则P（D）212128()555552522【解答】解：（1）4tan3，22222222161179cos2cossin1612519cossintancossintan，为锐角，即,(0,)2，2(0,)，(0,)224sin21225cos，sin224tan2cos27，()cosf xx，5()cos()5f，22 5sin()1()5cos，sin()tan()2cos()，242tan()tan227tan()tan(2)241tan()tan211127 综上，7cos225，2tan()11（2）()(2)3cos23g

28、xfxx，对任意x都有2()(2)()2gxa g xa恒成立，第 15页（共 15页）2(cos23)(2)(cos23)2xaxa恒成立，即2(cos24)(cos23)2(cos23)2xaxx恒成立，设cos24xt，则 5t，3，22(1)2(1)21atttt，则1a tt设1ytt，由对勾函数的性质可知，函数y在区间 5，3上为增函数，1126555ytt ，265a，故a的最大值为265（3）3()()()2fff，3coscoscos()2，22223111coscoscos()(sincos)(sincos)coscossinsin22222222111(sin2sinsinsin)(cos2coscoscos)22222111(sinsin)(coscos)222，2211(sinsin)(coscos)2(coscos)1022即2211(sinsin)(coscos1)022，sinsin0且coscos10，当时，1coscos2，(0,)，3；当时，coscos 与coscos10 相矛盾，不符合题意综上所述，3声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/16 12:01:10；用户：jsdfck；邮箱：；学号：12727709