2023届高三第一次学业质量评价数学（T8联考）.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）广东实验中学 东北育才中学 石家庄二中 华中师大一附中 西南大学附中 南京师大附中 湖南师大附中 福州一中 2023 届高三第一次学业质量评价（T8 联考）数学试题 命题学校：华中师范大学第一附属中学 命题人：王文莹 徐光明 审题人：张丹 胡文博考试时间：2022 年 12 月 16 日上午 8：0010：00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回

2、答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足,则 A.B.C.D.2.若集合,则 A.B.C.或 D.3.已知是数列的前项和,则“”是“是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某同学掷骰子 5 次,分别记录每次骰子出现的点数,根据 5 次的统计结果,可以

3、判断一定没有出现点数 6 的是 A.中位数是 3,众数是 2 B.平均数是 3,中位数是 2 C.方差是,平均数是 2 D.平均数是 3,众数是 2 5.已知,则 z21ii|13i|+=-zz=z1 i+11i22+11i22-11i22-+3|24,|log1=xMxNxx=MN|23x x|02xRnS nan0na nS2.41sincos62paa+-=sin 26pa+= 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A.B.C.D.6.已知圆台上底面半径为 1

4、,下底面半径为 3,球与圆台的两个底面和侧面均相切,则该圆台的侧面积与球的表面积之比为 A.B.C.D.7.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若为奇函数,为偶函数,则 A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 8.已知椭圆,直线 过坐标原点并交椭圆于两点在第一象限),点是轴正半轴上一点,其横坐标是点横坐标的 2 倍,直线交椭圆于点,若直线恰好是以为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.在正方体中,分

5、别是面,面,面的中心,则下列结论正确的是 A.B.平面 C.平面 D.与所成的角是 12-1234-34136433131243()f x()fxR()(1)=+-g xfxx()fx()g x(2023)=f2222:1(0)+=xyCababl,P Q(PAxPQABBPPQ122233631111-ABCDABC D,M N P1AB11B D1DA1/NPDC/MNACP1DCMNPPM1BC 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）10.将函数的图像向左平移

6、个单位得到函数的图像,若的图像与的图像关于轴对称,则下列说法正确的有 A.B.C.的对称轴过的对称中心 D.,使得 11.设数列的前项和为,且,若,则下列结论正确的有 A.B.当时,取得最小值 C.当时,的最小值为 7 D.当时,取得最小值 12.已知函数及其导函数的定义域均为,若1,则下列结论正确的是 A.B.C.方程有两个解 D.在区间上单调递增 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.()sin(2)|2pjj=+a4=nnS0nSn5=nnnSa()f x()fxRsin()(),(0)e-=xxxfxf xf(1)ef22ppxaxxa2222:1(0,0)-=x

7、yCabab1F2,F O2F=byxaP16p=FPOPQDOPQDOPQS2 3=lnnanS nan1+nSa11=ana22122loglog-=+nnnbaa2(1)-nnbDABCABCabcabccos()-A C3cos2+=BABC2=bBCDDABD3 32sinCAD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）胜制,约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛中必决出胜负,每一局若甲班先答题,则甲获胜的概率为,若乙班先答题,则甲获胜的概率为,每一局输的一方

8、在接下来的一局中先答题,第一局由乙班先答题.(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;(2)若规定每一局比赛中胜者得 2 分,负者得 0 分,记为比赛结束时甲班的总得分,求随机变量的分布列和数学期望.20.(本小题满分 12 分)如图(1),菱形中,动点分别在边上(不含端点),且,沿将向上折起得到,使得平面平面,如图(2)所示.(1)当为何值时,;(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面和平面夹角的大小.21.(本小题满分 12 分)已知抛物线的准线与轴的交点为,直线过抛物线的焦点且与交于两点,的面积的最小值为 4.2312XXABCD120=ABC,E F,AD AB(01)l

9、l=C ypx pxHCFC,A BDHAB 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）(1)求抛物线的方程;(2)若过点的动直线 交于两点,试问抛物线上是否存在定点,使得对任意的直线,都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,则说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知函数,其中,函数在上的零点为,函数(1)证明:;函数有两个零点;(2)设的两个零点为,证明:.(参考数据:)C17,14QlC,M NCElEMENE3()ee=-+xf xxa36315e-xxaxax

10、 xg xxxa xxx034x()g x()g x()1212,-xxxxxx23e2.72,e7.39,e20.09,ln20.69,ln31.1数学试题参考答案第页共页 届高三第一次学业质量评价(T 联考)数学试题参考答案及多维细目表题号 答案C B A C B D C DA B D A C A B DA C D【答案】C【解析】由zi zi i可得(i)z,zi i,故选C【答案】B【解析】Mx|x,Nx|x,故MNx x,故选B【答案】A【解析】若an,则SnSn,Sn是递增数列,“an”是“Sn是递增数列”的充分条件;若Sn是递增数列,则SnSn,an(n),但 是a的 符 号 不

11、 确 定,“an”不 是“Sn是递增数列”的必要条件,故选A【答案】C【解析】选项A:有可能出现点数,例如,;选项B:有可能出现点数,例如,;选项C:不可 能出现点数,(),如果出现点数,则方差大于或等于,不可能是;选项D:有可能出现点数,例如,故选C【答案】B【解析】s i n()c o ss i nc o s s i n(),s i n()s i n()c o s()s i n(),故选B【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为r,下底面半径R,母线长为l,球的半径为R,球与圆台的两个底面和侧面均相切,lrR,R,圆 台 的 侧 面 积 与 球 的 表 面 积 之 比 为S侧S表(rR)l

12、R(),故选D【答案】C【解析】g(x)为偶函数,g(x)g(x),即fx()xfx()x,两边同时对x求导得f x()f x(),即f(x)f(x),令x,则f(),f(x)为奇函数,f(x)f(x),又f(x)f(x),即f(x)f(x),联立f(x)f(x)得f(x)f(x),即f(x)f(x),f()f()f(),故选C【答案】D【解析】依题意,设P(x,y),Q(x,y),B(x,y),A(x,),直线P Q、Q B Q A()、B P的斜率分别为k,k,k,则k y()x x()yxk,kk,kk,xayb,xayb,两 式 相 减 得xxayyb,(yy)(xx)(yy)(xx)

13、ba,即kkba,ba,ba,ecaba,椭圆的离心率e,故选D【答案】A B D【解 析】连 接AC,AD,则NP是ACD的 中 位 线,NPD C,故选项A正确;连 接BD,BA,则MNAD,MN平面A C D,即MN平面A C P,故选项B正确;连接BD,BA,AD,则平面MNP即为平面BAD,显然DC不垂直平面BAD,故选项C错误;PMB D,D B C即为PM与B C所成的角,D B C ,故选项D正确故选A B D【答案】A C【解析】方法一:将f(x)s i n(x)的图像向数学试题参考答案第页共页左 平 移个 单 位 得 到g(x)s i n(x)s i n(x)的图像,g(x

14、)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,g()f(),即c o s s i n,经检验,满足题意,故选项A正确,选项B不正确;设f(x)的周期为T,g(x)的图像是f(x)的图像向左平移T个得到,g(x)的对称轴过f(x)的对称中心,故选项C正确;当m,时,f(m)的 值 域 为,当n,时,g(n)的值域为,故选项D不正确故选A C 方法二:由题意可得g(x)s i n(x)s i n(x),g(x)的 图 像 与f(x)的 图 像 关 于y轴 对称,g(x)f(x),即s i n(x)s i n(x),xxk,kZ,解得k,kZ,故选项A正确,选项B不正确;f(x)s i n(x),令xk,k

15、Z,得f(x)的对称中心为(k,),kZ,g(x)s i n(x),令xk,kZ,得g(x)的对称轴为xk,kZ,g(x)的对称轴过f(x)的对称中心,故选项C正确;选项D的判断同上【答案】A B D【解 析】由n Snn()Snn()nn()n,nN()得SnnSnnnn,nN(),SS,SS,SnnSnnn,累加得SnnSnn(),解得Snn n n,nN(),当n时,S 满足上式,Snn n,当n时,anSnSnnn,a,故选项A正确;当n时,annn 单调递增,又aS,aSS,an 单调递增,且aaaaaa,当n时,Sn 单调递减,当n时,Sn 单调递增,且SS,当n时,Sn取得最小值

16、,故选项B正确;又S ,S ,当Sn时,n的最小值为,故选项C错误;当n,时,Snan;当n,时,Snan;当n时,Snan,当n,时,考虑Snan的最小值,又当n,时,an恒为正且单调递减,Sn恒为负且单调递增,Snan单调递增,当n时,Snan取得最小值,故选项D正确,故选A B D【答案】A C D【解析】由题意得f(x)exx s i nxex,设F(x)f(x)ex,则F(x)x s i nxex,易得当x 时,F(x),当x 时,F(x),函数F(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,F()F(),即f()ef()e,f()e,选项A正确;f()f()s i ne,f()f(

17、),选项B错误;设h(x)f(x)f(x)x s i nxex,则h(x)(x s i nxex)c o sxx s i nxex,数学试题参考答案第页共页设r(x)c o sxx s i nx,则当x时,r(x)(x)(s i nxc o sx)();当x 时,s i nxx,且 c o sx,r(x);当x时,r(x)s i nx c o sx s i n(x),当x(,)时,r(x),r(x)单调递增,当x(,)时,r(x),r(x)单调递减,又r(),r(),x(,),使得r(x),即当x(,x)时,r(x),当x(x,)时,r(x);综上:当x(,x)时,r(x),即h(x),h(x

18、)单调递增;当x(x,)时,r(x),即h(x),h(x)单调递减,h(),当x时,h(x)h(),当x时,易证x s i nx,h(x),且当x时,h(x),又x(,),h()ee e,方程h(x)e有两个解,即方程f(x)f(x)e有两个解,选项C正确;由F(x)f(x)ex可得f(x)exF(x),f(x)exF(x)F(x),令u(x)F(x)F(x),则u(x)F(x)F(x)x s i nxexx s i nxexx s i nxex c o sx(x s i nx)exr(x)ex,由以上分析可知,当x(,)时,r(x),即u(x),u(x)单调递增,u(x)u()F()F(),

19、f(x),f(x)在区间(,)上单调递增,选项D正确故选A C D【答案】【解析】(x)(x)(x)x(x),展开式中x的系数为CC【答案】【解析】方法一:作向量O Aa,A Bb,则O Bab,由题意O AO B,且A BO B,O A B,a,b的夹角为方 法 二:由bab平 方 得baabb(),(ab)a,aba,代入ba abb()得ba,c o sa,babab,a,b的夹角为【答案】l n,l n)【解析】令f(x)l nxx,则f(x)l nxx,当x(,e)时,f(x),f(x)单调递增;当x(e,)时,f(x),f(x)单调递减,且当x(,)时,f(x),当x(,)时,f(

20、x),方法一:原不等式等价于x,l nxxa,或x,l nxxa,有且只有一个整数解,f()af(),即实数a的取值范围为l n,l n)方法二:原不等式等价于(l nxx)al nxx,若a,则l nxxa或l nxx,l nxx显然没有整数解,要满足l nxxa有且只有一个整数解,又f()l nl nf()f(),则f()af(),可得l nal n;若a,则l nxx或l nxxa,l nxx有无数多个整数解,l nxxa没有整数解;若a,不等式显然有无穷多个整数解,综上,实数a的取值范围为l n,l n)【答案】;xy【解析】方法一:设P O F,则有t a nba,又数学试题参考答案

21、第页共页FP垂直于渐近线ybax,|O P|a,|P F|b,s i nbc,c o sac,在O FP中,由 正 弦 定 理:as i n()cs i n ,abcacc,a ba,ab,ab,ecaaba,方法 二:依 题 意 可 得P(ac,a bc),Fc,(),Fc,(),P F(acc)(a bc)ac,又P Oa,O Fc,在O P F中,O FP FP OP OP Fc o s FP O ac,即c aca aac,化简得c a,eca,xayb 如图,过P点 的 切 线P Q与 双 曲 线 切 于 点M(x,y),设P(x,y),Q(x,y),又P,Q均在双曲线的渐近线上,故

22、设P(x,bax),Q(x,bax),又t a nba,s i n t a n t a nba(ba)a bab,SP O QO PO Qs i n x(bax)x(bax)a babbaxx,过M点的切线P Q:xxayyb,即ybxxyaby,代入bxay,化简得(aybx)xabxxab,又bxayab,abx abxxab,即x xxa,xxa,SP O Qbaxxa bbb,b,b,a,故双曲线的方程为xy 【解 析】()由 题 意 得 l nal nal na,aaa,又Sna是等比数列,Sa()(Sa)Sa(),a,aa,a()aa(),a a,又an,故a,又l nan是等差数

23、列,故an为等比数列,首项a,公比qaa,an的通项公式为an n分()an n,bn l o gan l o gan l o gn l o gn n n n,令Cn()nbn,则CnCnbnbn(bnbn)(bnbn)(bnbn)(nN),记Cn的前n项和为Tn,T(CC)(CC)(bbb)(),数列()nbn的前 项和为 分 【解析】()由ABC,ACB,c o sB c o s(AC),c o s(AC)c o s(AC),s i nAs i nC,又a,b,c成等比数列,故ba c,s i nB s i nAs i nC,s i nB,方法一:c o sB,又c o sBacba c数

24、学试题参考答案第页共页aca ca ca ca ca c,当且仅当ac时,等号成立,c o sB,ac,又 B,ABC分方法二:若B,则c o sB,代入c o s(AC)c o sB,则c o s(AC),A,C,AC若B,则c o sB,代入c o s(AC)c o sB,则c o s(AC)(舍),综上ABC分()b,|A B|,SA B D|A B|B D|s i n ,即|B D|,|B D|,|C D|,由余弦定理:在A C D中,|AD|A C|C D|A C|C D|c o sD C A(),又 由 正 弦 定 理:|AD|s i n|C D|s i nC AD,s i nC

25、AD,s i nC AD 分【解析】记Ai(i,)表示“第i局甲获胜”,()设A表示“比赛一共进行了四局并且甲班最终获胜”,则事件A包括三种情况:AAAA,AAAA,AAAA,这三种情况互斥,且A,A,A,A相互独立,P(A)P(AAAAAAAAAAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)分()由题意,X的所有可能取值有,P(X)P(AAA),P(X)P(AAAAAAAAAAAA),P(X)P(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA);P(X)P(X)P(X)P(X);分X的分布列为:XP E(X)分【解 析】()菱 形A B C D中,A B C ,故A ,A

26、BAD,A B D是 等 边 三角形,又E FD B,E FB D,P E F也是等边三角形,平面P E F平面B C D E F,取E F的中点O,则P OE F,且P O平面B C D E F,连接D O,由B FP D,而P OB F,D OP O,B F平面P O D,B FO D,延长D O交A B于点N,则DNA B,又A OB D,O为A B D的重心,又O点在E F上,E FB D,E FD B,即分()方法一:由()连接C O,设A B D边长为a,则|P O|a,|C O|()a,P O平面B C D E F,直线P C与平面B C D E F所成角为P C O,t a n

27、 P C O|P O|C O|,解得,E F是A B D的中位线,数学试题参考答案第页共页在棱锥P B C D E F中,设O C与B D相交于M点,连接PM,又设平面P E F平面P B D于直线l,则l过点P,E FB D,E F平面P B D,E F平面P B D,又平面P E F平面P B D于直线l,E Fl,同理lB D,由上可知P OE F,C OE F,E F平面P OM,l平面P OM,O PM就是平面P E F和平面P B D所成二面角的平面角,又P OOM,且P OOM,O PM,即平面P E F与平面P B D的夹角为 分方法二:以O为坐标 原 点,以O F,O C,O

28、 P为x轴,y轴,z轴建立 空 间直角坐标系(如图所 示),设 菱 形A B C D边 长 为,则P(,),E(,),F(,),B(,),D(,),C(,),P O平面B D E F,P C O即为P C与平面B C D E F所成的角,t a n P C OP OO C,解得,O C平面P E F,O C(,)即为平面P E C的法向量设平面P B D的法向量为nx,y,z(),则nB D,nP B,即x,xyz,取n,(),则c o sO C,nO CnO Cn,O C,n ,平面P E F与平面P B D的夹角为 分【解析】()由题意,A B斜率不为零,设A B:x yp代入y p x(

29、p),y p yp,设Ax,y(),Bx,y(),则yyp,yyp,SHA Bp|yy|p(yy)yypppp,当时,SHA B取最小值p,p,p,抛物线C的方程为:yx分()假 设 存 在E x,y(),设Mx,y(),N x,y(),由题意,MN斜率不为零,设MN的方程为xt(y)代入yx,可得yt yt,yyt,yyt,yyxxyyxx,(yy)(yy),y(yy)yyy,yt yt,即t(y)y,y,y,解得y,故存在定点E(,)满足题意 分【解析】()f(x)ex,当x时,ex,f(x),f(x)在(,)单调递增,ae,f()eaee e(e),f()eaeee ,f(x)存在唯一的

30、零点x,且x分当xx时,g(x)xaxaex,g(x)xaexexxaex,x,a,ex,xa,g(x),g(x)在(,x)单调递增,x,g(x)g()aaee e e ,又g()aaeea(e)e(e)(e)e ee e,g(x)在,x有唯一的零点,(注:取g()数学试题参考答案第页共页也可以);当xx时,g(x)l nxx a l nxxa l n l n ,g(x)在(x,)单调递减,g()l na l n(e)l n e ,g(e)(e)a(e)(e)(e)e ,g(x)在(x,)有唯一的零点,综上,函数g(x)有两个零点分()由()可知g(x)g(x),其中xxx,由g(x)得xaxaex,即xa(ex)xex,由g(x)得l nxa(x)xl nx,设h(x)l nxa(x)xl nx,则h(x)h(ex),xxx,exe,xxe,而xe时,h(x)xa l nxeaee,h(x)在(e,)单调递减,xex,要证exxexxexx,即证exexxxexx,即证exexexxxx,即证exxexxxx,设xxt,则即证etett,设h(t)etett,t,则h(t)etet,当t时,h(t)单调递增,h(t)h(),即证 分