2023年上海高考数学满分复习攻略第04讲 函数最值与性质（解析版）.pdf

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1、第 0 4讲 函 数 最 值 与 性 质 题 剧-：利 川 函 数 单 调 性 求 最 值 或 值 域【号 点 1】函 数 的 最 值 题 型：根 据 函 数 最 值 求 参 数 题 型 三 函 数 不 等 式 恒 成 立 问 题 题 型 四：函 数 不 等;式 仃 解 问 题【考 点 2】函 数 的 周 期 性 函 数 最 值 与 性 质【考 点 3】函 数 的 图 像【考 点 4】函 数 的 对 称 性 考 点 5】函 数 基 本 性 质 综 合 应 用【考 点 6】函 数 新 定 义 A【考 点 梳 理】1.函 数 的 单 调 性(1)单 调 函 数 的 定 义 增 函 数 减 函 数

2、定 义 设 函 数 y=FCr)的 定 义 域 为 小 区 间,应 力，如 果 取 区 间 中 任 意 两 个 值 小，X2,改 变 量 Ax=X2为 0,则 当 A y=f(G H%)0 时,就 称 函 数 y=F(x)在 区 间 上 是 增 函 数 A y=F(*2)f(E)0 时，就 称 函 数 y=f(x)在 区 间 M 上 是 减 函 数 图 象 描 述.y=fM自 左 向 右 看 图 象 是 上 升 的；Ai)；A X2)自 左 向 右 看 图 象 是 下 降 的(2)如 果 一 个 函 数 在 某 个 区 间，上 是 增 函 数 或 是 减 函 数,就 说 这 个 函 数 在 这

3、 个 区 间 上 具 有 单 调 性，区 间 称 为 单 调 区 间.2.函 数 的 最 值前 提 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实 数 满 足 条 件(1)对 于 任 意 X d/,都 有 f(x)(2)存 在 使 得/(加=(3)对 于 任 意 x d/,都 有 f(x)法(4)存 在 加 6/,使 得 f(x0)=M结 论 M 为 最 大 值 必 为 最 小 值 3.函 数 的 奇 偶 性 奇 偶 性 定 义 图 象 特 点 奇 函 数 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 D,如 果 对。内 的 任 意 一 个 x,都 有 一 且 f(x)=/(x

4、),则 这 个 函 数 叫 做 奇 函 数 关 于 原 点 对 称 偶 函 数 设 函 数 y=g(x)的 定 义 域 为 D,如 果 对。内 的 任 意 一 个 x,都 有 一 且 g(x)=#(x),则 这 个 函 数 叫 做 偶 函 数 关 于 y 轴 对 称 4.函 数 的 周 期 性(1)周 期 函 数：对 于 函 数 三/(X),如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T,使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 任 何 值 时，都 有 如+7)=/(x),那 么 就 称 函 数 尸/(X)为 周 期 函 数，称 T为 这 个 函 数 的 周 期.(2)最 小 正 周 期：如 果 在

5、 周 期 函 数 f()的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 最 小 的 正 数,那 么 这 个 最 小 正 数 就 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期.7 1【解 题 方 法 和 技 巧】1.利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件：(1)“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数；(2)“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；(3)“三 相 等”是 利 用 基 本

6、不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.2.导 数 是 研 究 函 数 的 单 调 性、极 值(最 值)最 有 效 的 工 具，而 函 数 是 高 中 数 学 中 重 要 的 知 识 点，对 导 数 的 应 用 的 考 查 主 要 从 以 下 几 个 角 度 进 行：(1)考 查 导 数 的 几 何 意 义，往 往 与 解 析 几 何、微 积 分 相 联 系.(2)利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 区 间，判 断 单 调 性；己

7、知 单 调 性，求 参 数.(3)利 用 导 数 求 函 数 的 最 值(极 值)，解 决 生 活 中 的 优 化 问 题.(4)考 查 数 形 结 合 思 想 的 应 用.3.新 定 义 的 函 数 问 题 以 及 函 数 的 有 解 问 题，涉 及 到 求 函 数 的 值 域 问 题.求 函 数 最 值 和 值 域 的 常 用 方 法：(1)单 调 性 法：先 确 定 函 数 的 单 调 性，再 由 单 调 性 求 最 值；(2)图 象 法：先 作 出 函 数 的 图 象，再 观 察 其 最 高 点、最 低 点，求 出 最 值；(3)基 本 不 等 式 法：先 对 解 析 式 变 形，使

8、之 具 备“一 正 二 定 三 相 等”的 条 件 后 用 基 本 不 等 式 求 出 最 值；(4)导 数 法：先 求 导，然 后 求 出 在 给 定 区 间 上 的 极 值，最 后 结 合 端 点 值，求 出 最 值；(5)换 元 法：对 比 较 复 杂 的 函 数 可 通 过 换 元 转 化 为 熟 悉 的 函 数，再 用 相 应 的 方 法 求 最 值.【考 点 剖 析】考 点 1 函 数 的 最 值 题 型 一：利 用 函 数 单 调 性 求 最 值 或 值 域 一、解 答 题 1.(2022上 海 市 七 宝 中 学 模 拟 预 测)甲、乙 两 地 相 距 5千 米，汽 车 从 甲

9、 地 匀 速 地 驶 往 乙 地，速 度 不 得 超 过 c千 米/时.已 知 汽 车 每 小 时 运 输 成 本(以 元 为 单 位)由 可 变 部 分 和 固 定 部 分 组 成，可 变 部 分 与 速 度 v(千 米/时)的 平 方 成 正 比，比 例 系 数 为 匕，固 定 部 分 为“元.把 全 程 运 输 成 本(元)表 示 为 速 度 v(千 米/时)的 函 数；(2)为 了 使 全 程 运 输 成 本 最 小，汽 车 应 以 多 大 的 速 度 行 驶？【答 案】y=(bv2+a)(Ovc)(2)答 案 见 解 析【分 析】(1)首 先 确 定 全 程 运 输 时 间，根 据

10、可 变 成 本 和 固 定 成 本 可 得 解 析 式；(2)根 据 对 号 函 数 单 调 性 可 分 类 讨 论 得 到 结 论.(D由 题 意 知：每 小 时 可 变 部 分 的 成 本 为 加 2,全 程 运 输 时 间 为 上 时，V全 程 运 输 成 本 y=+a)(0 v c 时，y 在(o,c 上 单 调 递 减；则 当 丫=。时，y 取 得 最 小 值；当 小 c时,y 在。,机 上 单 调 递 减，在 氐 上 单 调 递 增；则 当 v=J|时，y 取 得 最 小 值；综 上 所 述：为 了 使 全 称 运 输 成 本 最 小，则 当 聆 时，应 以 速 度，行 驶；当 4

11、 4 c 时，应 以 速 度 器 行 驶.2.(2022上 海 黄 浦 模 拟 预 测)已 知 函 数 x)=x,g(x)=Ji石.(1)设 g(x)的 反 函 数 为 g-(x),F(x)=f(x)+g-(x),求 尸(x)的 最 值.函 数 G(x)满 足 G(x)=/(xg(x),求 证：当 0 x；时，G(x)4G【答 案】(1)最 大 值 1,无 最 小 值，(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)先 求 出 g(x)的 反 函 数 为 gT(x),然 后 得 到 网 x)解 析 式,再 求 最 值 即 可;(2)当 0 x g 时，得 到 G(x)和 的 表 达 式，然 后 比 较

12、 大 小.1_ V2 1一 比 2 gi(x)=2,xw0,+oo).F(x)=x+)/w0,+oo).因 为 尸(x)=-(x-l)2+l，且-0,所 以 当 了 2 0 时，尸(x)有 最 大 值 1,2 2此 时 x=l；尸(x)无 最 小 值.(2)证 明：G(X)=XJ 1-2 X,X(当 0 x sinx.设 g(x)=2sin，x-a 求 证：当 x 2 时，g(x)+2z恒 成 立；(3)若 a,/j(x)=|logrZ?x|,其 中 c 0 且 cwl,4(%,%)是 y=/(x)和 y=/z(x)图 像 的 一 个 公 共 点,城 片 1,求 证：y=x)和 y=/z(x)

13、的 图 像 必 存 在 异 于 点 A 的 另 一 个 公 共 点.【答 案】(l)f(x)1ns1+/?,0 Z?；(2)证 明 见 解 析；(3)证 明 见 解 析.【分 析】(1)根 据 勾 形 函 数 的 单 调 性 求 解；(2)不 等 式 变 形 为:(x-2)+3sin(x-2),结 合 已 知 分 类 讨 论 进 行 证 明；2 2x 21 b r(3)令 4=丁,结 合 已 知 可 证.(l)a=l时，/(x)=x+-,由 勾 形 函 数 的 性 质 知 xe(0,时,递 X。X减，xe 括,+8)时，/(x)递 增,所 以 O V E I 时，X=1 时，/(X)m m=l

14、+b，时，X=时，/3 而 0二 2 折 所 以=康 行；(2)证 明：要 证 不 等 式/(x)g(x)+2,即 证|(x-2)+导 s i n g*-2),x 2 6?0,Z?0,则 一(%2)0,2若 7(工 一 2)sin(%2)J,2 2 2 2所 以：(x-2)+g z s i n：(x-2),2 2尤 2若 彳(x 2)之 二,则 sin彳(x-2)4 1 s in E(x 2),2 2 2 2 2 2所 以;(x-2)+二 Nsin；(x-2),2 2x 2综 上，原 不 等 式 成 立.证 明：记 X|=7，则 力(办)=l g c d=k 1咆 如)|=|1幅 如)1n X

15、。x()因 为 a=Z/所 以+%(),所 以 砥,=1(矛 盾)D入 0所 以 玉 工 毛，命 题 得 证.4.(2020上 海 嘎 旦 附 中 模 拟 预 测)已 知 函 数/(司=5 2 一 卜，4+2司 一 b x,g(x)=-J l(x a)(a,4+R).当 反 0 时，若 x)在(,2 上 单 调 递 减，求。的 取 值 范 围;求 满 足 下 列 条 件 的 所 有 整 数 对(。：存 在 看,使 得%)是 x)的 最 大 值，g(x0)是 g(x)的 最 小 值;(3)对 满 足(2)中 的 条 件 的 整 数 对(。，已 知 定 义 域 为 D=x|x e R 且 xH 2

16、k,Z w Z 的 函 数 人 满 足：/z(x+2)=i(x),且 当 x e(2,0)时，/(x)=/(x),若 函 数 y=(x),nx的 零 点 的 个 数 为 4个，求 实 数？的 取 值 范 围.【答 案】0,IJ,(2)满 足 条 件 的 整 数 对(。力)是(-1,3)卜 10+4#U(1 4-8 G,6-4 A)【分 析】(1)当 6=0时，若/(x)在(-8,2上 单 调 递 减，则 此 区 间 必 是 函 数 定 义 上 单 调 递 减 区 间 的 子 集，由 此 可 以 求 出。的 取 值 范 围(2)研 究 两 个 函 数 的 最 值，由 于 g(x)=-J l-(x

17、-a)2 在 x=a时 取 至【J最 小 值,故 求 出/(x)=-2+2万 一 Z/x取 最 大 值 的 方,令 其 等 于(3)由 题 设 条 件，根 据 奇 函 数 的 性 质 求 出 力。)在 定 义 域 上 的 解 析 式，再 根 据 函 数 y=(x)-，n r的 零 点 的 个 数 为 4 个，即 可 得 到 关 于 m 的 等 式 求 出 机 的 值.(1)解：当 匕=0时，/(x)=ax2-4x,若 a=0,f(x)=T x,则 f(x)在(Y O,2上 单 调 递 减，成 立，0故 4 H 0,要 使 f(x)在 12,+e)上 单 调 递 增，必 须 满 4，解 之 得

18、04,1.42a即 实 数。的 取 值 范 围 是()；(2)解：若 a=0,/(x)=-2,4+2 b W r,可 得 了。)无 最 大 值，故”r 0,J(x)为 二 次 函 数，要 使/(x)有 最 大 值，必 须 满 足,2 八，即。0，1-石 釉 1+75,4+2h-b.O此 时，x=x=如 电 二 工 时，/(X)有 最 大 值.a又 g。)取 最 小 值 时，x=x0=a,依 题 意 有 曲 E U=a w Z,可 得。j-S-l)2，a丁 a 0 且，1 y/5b 1+/5,，0a2,5,结 合。为 整 数 得。=-1,此 时=-1 或 力=3.综 上 所 述，满 足 条 件

19、的 实 数 对 3 刀 是:(T D,(T 3).(3)解:当 整 数 对 是(TT),(-1,3).(x+2)=M(x),./*+4)=-。+2)=力(幻，是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数.又 当 X e(-2,0)时，Mx)=f(x)=-(x+1)2+1,，对 任 意 的 x e(-2,0)都 有(-2-x)=Mx)=-h(-x),所 以 对 任 意 的 x w(2,0)都 有 h(x)=-7i(x),对 于 任 意 的 x w。，都 存 在 A r e Z,使 得 x e(4 k-2,4&)U(4&,4k+2),贝 I 得 一 x e(Y&-2,-4&)U(T&,-4k+2),

20、x-4 k e(-2,0)U(0,2),4 A-x e(-2,0)U(0,2),y.h(x)=h(x-4k)=-h(4k-x)=-h(-x),即(-x)=-”(x),，(x)为 奇 函 数.考 虑 函 数 y=/x)的 图 象 与 函 数 的 图 象 的 交 点 个 数，因 为 这 两 个 函 数 均 为 奇 函 数，所 以 它 们 在 y 轴 右 侧 的 交 点 个 数 为 2,当 xe(4A-2,4Z),k&z,贝 I x-4&e(-2,0),h(x)=hx-4(l)=-(x-4 Z:+1)2+1 0,当 xe(4匕 必+2),k e Z,则 x-4 k-2 e(-2,0),.-.h(x)

21、=-H 9 x-4 k-2)=(x-4 k-r)2-l 0时，考 虑 这 两 个 函 数 在 y 轴 有 且 只 有 两 个 交 点；y=iwc则 y=-(工 一 3)2+1有 两 组 解，即 炉+9=(6-m)工+8=0(2工 4)有 两 解，m 0且,V=-。-7)2+1 无 解，即/+(1 4-/H)X+48=0(6 X 1 4-8 6，6 c x 8所 以 机 e(1 4-8 6,6-4 夜)，y=jwc当 机 0时，考 虑 这 两 个 函 数 在 y 轴 右 侧 有 且 只 有 两 个 交 点；y=(x-i)2-i有 一 组 解，0 x 2B P x2-(2+m)x=0(0 x 2)

22、有 一 解，/.-2/w 0,y=tnxa-y=(x-5尸 一 1 有 一 组 解,即/-(1 0+，)x+24=0(4 c x 6)有 解，m=-10+4逐,4 x 2一、填 空 题 1.(2021上 海 市 延 安 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数 x)=x,若 对 任 意 的 2 n x 2司 c2,y),都 存 在 唯 一 的 e(-s,2),满 足 X2)=/(x),则 实 数。的 取 值 范 围 是.【答 案】04【分 析】由 题 意 可 得 函 数/(X)在 2,+8)时 的 值 域 包 含 于 函 数/(X)在(-00,2)时 的 值 域，利 用 基 本 不 等

23、式 先 求 出 函 数 f(x)在 xd2,+oo)时 的 值 域，当 xG(-00,2)时，对 a 分 情 况 讨 论，分 别 利 用 函 数 的 单 调 性 求 出 值 域，从 而 求 出 a 的 取 值 范 围.【详 解】解：设 函 数 g(x)=F，x 2 2 的 值 域 为 A,函 数 力(耳=2卜 4,x 2 的 值 域 为 B,因 为 对 任 意 的 玉 e 2,+oo),都 存 在 唯 一 的 看-8,2),满 足/(%)=/(%,),则 A q B,且 B 中 若 有 元 素 与 A 中 元 素 对 应，则 只 有 一 个.当 与 e2,+oo)时，g(x)=x+4=欠+),

24、X X因 为 X+2 2,Q=4,当 且 仅 当 X=3,即 x=2时，等 号 成 立，X X X所 以 4=4,T8),当 W ro,2)时，/2(X)=2M,X 2 当 a 2 2 时，Mx)=2-,x 2,此 时 8=(2-2,一),.2-24，解 得 24a4,当 a 2 时,心)=，2a-x,xa2X-U,ax2此 时/?(x)在(f,。)上 是 减 函 数，取 值 范 围 是(1，+),网 力 在 a,2)上 是 增 函 数,取 值 范 围 是 1,22-),-.22-04,解 得 0 4 a 2，综 合 得 0Va4.故 答 案 为：0 4。4【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题

25、 即 有 恒 成 立 问 题，乂 有 存 在 性 问 题，最 后 可 转 化 为 函 数 值 域 之 间 的 包 含 关 系 问 题，最 终 转 化 为 最 值 问 题，体 现 了 转 化 与 化 归 的 思 想 2(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(=3*+二 最 小 值 为。贝 I _.3+1 3【答 案】y【分 析】本 题 首 先 可 通 过 函 数/(X)有 最 小 值 得 出 0 0,然 后 通 过 基 本 不 等 式 得 出/(x)2 2&-l,最 后 通 过 函 数/*)最 小 值 为 g 求 出。=与，通 过 检 验 即 可 得 出 结 果.【详 解】因

26、 为 函 数 x)=3+m 有 最 小 值，所 以”0,3+1因 为+所 以/(x)=3*+，一=3*+1+-l2j(3t+l)x-1=2-1,3，+1 3*+1 V/3，+1因 为 函 数/(幻=3、+3 最 小 值 为：，3+1 3所 以 2 6-1=；,解 得。吟，当 且 仅 当 x=T 时 取 等 号，满 足 题 意，故 答 案 为：号.【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足“一 正 二 定 三 相 等“：(1)“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数；(2)“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构

27、成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值：(3)“三 相 等 是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.3.(2020上 海 市 行 知 中 学 高 三 阶 段 练 习)设。，b w Z,若 对 任 意 的 x 4 0,都 有(以+2心 2+)4 0,则 a-b=.【答 案】3【解 析】根 据 题 意，设/。)=以+2

28、,g(x)=V+2力，分 析 可 得 b 0,在(_，每，0),g(x)0：又 由(依+2)*2+彻 0,分 析 可 得 对 于/(x)=or+2,在(_oo,_Q),/(x)0；进 而 可 得 有 f(_ q)=(-“)x C+2=0,结 合。，b e Z,分 析 可 得 答 案.【详 解】解：根 据 题 意，设 f(x)=x+2,g(x)=x2+2b,当 6.0时，g M=x2+2b.O,而 F(x)=r+2,0不 可 能 在(-8,0 I 二 恒 成 立，必 有 60,对 于 g(x)=x?+2%，h0,在.(-乐 2,0),g(x)0；若(or+2)，+2垃,0,则 对 于/(犬)=如

29、+2,在(Y O,-W),f(x)0；而/(x)为 一 次 函 数，则 必 有/(-/至)=(-a)x/+2=0,且。0,变 形 可 得：a-h)=2,又 由。，b e Z；a=b=-2,所 以=1-(-2)=3故 答 案 为：3.【点 睛】本 题 考 查 不 等 式 的 恒 成 立 问 题，涉 及 一 次 函 数、二 次 函 数 的 性 质，属 于 综 合 题.二、解 答 题 4.(202卜 上 海 华 师 大 二 附 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(力=加-2公+双。0),在 区 间 0,3上 有 最 大 值 1 6,最 小 值 0.设 8(力=#.(1)求 g(x)的 解

30、析 式;(2)若 不 等 式 8(1哈 力-喳 2 0 在 4,16上 恒 成 立，求 实 数 出 的 取 值 范 围；【答 案】(1)g(x)=4(x+：)-8(尤*0)：(2)(7,1.【分 析】(1)由 二 次 函 数 的 性 质 知”力 在(0,1)上 为 减 函 数，在(1,3)上 为 增 函 数，结 合 其 区 间 的 最 值，列 方 程 组 求 力，即 可 写 出 g(x)解 析 式；j 8(2)由 题 设 得 无 一)2-+4在 x e 4,1 6 上 恒 成 立，即 我 只 需 小 于 等 于 右 边 函 数 式 的 最 小 值 即 可.log2X log2X【详 解】(1)

31、：f(xa(x-1)2+b-a(a0),即/(x)在(0,1)上 为 减 函 数，在(1,3)上 为 增 函 数.又 在 0,3上 有 最 大 值 1 6,最 小 值 0,/./(I)=b a=0f f(3)=3a+h=16 f 解 得=h=4,g(x)=4(x+J-8(xw O)；(i)(2)V g(log2x)-Aiog2x 0 4 log2x+-8 kog2x,由 x w 4,1 6,则 log2*w2,4,k 4(-)2+4=4(-1)2,t e,log2x log2 log2x log2x|_4 2_.(r)=4 Q 1)2在 上 为 减 函 数，当 f 时，最 小 值 为 1,二)

32、4 1,即 ke(-oo,l.【点 睛】关 键 点 点 睛：(1)根 据 二 次 函 数 的 性 质，结 合 区 间 最 值 列 方 程 组 求 参 数，写 出 函 数 解 析 式；(2)将 问 题 转 化 为 在 区 间 内 4 版 X)mi，求 参 数 范 围.5.(2022 上 海 高 三 专 题 练 习)对 于 函 数/(x),若 在 定 义 域 内 存 在 实 数%,满 足/(-%)=-/(与)，则 称 f(x)为“M 类 函 数”(1)已 知 函 数/(x)=2cos(x-?J,试 判 断 是 否 为“M 类 函 数”，并 说 明 理 由；(2)设 力=4-巾 2川-3 是 定 义

33、 域 R 上 的 类 函 数”，求 实 数 机 的 取 值 范 围【答 案】(1)是；答 案 见 解 析：(2)【解 析】(1)特 殊 值 验 证 使 得/(-x)=-/(x)即 可；(2)因 为 函 数 满 足 新 定 义，则 问 题 由 存 在 问 题 转 化 为 求 函 数 值 域 问 题，进 而 可 以 求 解.【详 解】解：(1)/()=2cos()=2cos(+)=2x(=,2 2 3 2 3 2/(y)=2cos(-y)=2xy=,Bj/(-y)=-/(),-T T所 以 存 在 X。=使 得 函 数 fix)为“M 类 函 数”；(2)由 已 知 函 数 代 处=4-*.2川-

34、3满 足:f(-x)=-f(x),则 化 简 可 得：4*+4-*-2皿 2、+2r)-6=0.令 1=2*+2-.2,则 4+4T=_ 2,所 以 可 化 为：产-2,加-8=0 在 区 间 2,*o)上 有 解 可 使 得 函 数/(X)为“M 类 函 数”，即 7M=在 2,+8)有 解，而 函 数 在 2,+oo)上 单 调 递 增，所 以 当 f=2时，有 最 小 值 为 2 2、)=-1，所 以 加 一 1,故 实 数 m 的 取 值 范 围 为：-1,*o).【点 睛】本 题 考 查 了 新 定 义 的 函 数 问 题 以 及 函 数 的 有 解 问 题，涉 及 到 求 函 数

35、的 值 域 问 题.求 函 数 最 值 和 值 域 的 常 用 方 法：(I)单 调 性 法：先 确 定 函 数 的 单 调 性，再 由 单 调 性 求 最 值；(2)图 象 法：先 作 出 函 数 的 图 象，再 观 察 其 最 高 点、最 低 点，求 出 最 值；(3)基 本 不 等 式 法：先 对 解 析 式 变 形，使 之 具 备“一 正 二 定 三 相 等”的 条 件 后 用 基 本 不 等 式 求 出 最 值；(4)导 数 法：先 求 导，然 后 求 出 在 给 定 区 间 上 的 极 值，最 后 结 合 端 点 值，求 出 最 值；(5)换 元 法：对 比 较 复 杂 的 函 数

36、 可 通 过 换 元 转 化 为 熟 悉 的 函 数，再 用 相 应 的 方 法 求 最 值.题 型 三：函 数 不 等 式 恒 成 立 问 题 一、填 空 题 1.(2022 上 海 华 东 师 范 大 学 附 属 东 昌 中 学 高 三 阶 段 练 习)若 关 于 x 的 不 等 式 lo g/3+/l-2)4 1对 任 意 的 4x40,+oo)恒 成 立，则 实 数 4 的 取 值 范 围 是.【答 案】一 3今”)4【分 析】将%(3+九 2)4 1对 任 意 的 x W0,内)恒 成 立，变 为 义 z-(|)，对 任 意 的 x目 0,田)恒 成 立，构 造 函 数 g(x)=7

37、 二-4),x e 0,w),判 断 其 单 调 性，确 定 其 最 值，即 可 求 得 答 案.4 2 2【详 解】关 于 X的 不 等 式 logi(3+九 2)4 1对 任 意 的 X0,物)恒 成 立，4则 3,+2 2*1 对 任 意 的 x e 0,+oo)恒 成 立，I 3即 几 2 1 方-(),对 任 意 的 X目 0,物)恒 成 立，令 g(x)=；-(*,x e 0,+o o),由 于 尸 1不 是 递 减 函 数，y=-g)*递 减，故 g(x)=:=-分，xe0,+)是 递 减 函 数，4,2 23故 g(x)5,即-8 a 0时，要 使|/(*)归 5在 k a)a

38、 ax e O,M(a)上 恒 成 立，要 使 M 取 得 最 大 值，则 M(a)只 能 是+8x+3=5的 较 小 的 根，即、侬+1 6-4M(a)=-：a当 3-?W 5,即 8时，要 使 M(a)取 得 最 大 值，则 M(a)只 能 是 5 2+8x+3=-5 的 较 大 的 根，即/、-2,4-2”4M(a)=-a当 一 8。0 时 丁 M Q)=J2a?6 d2 1-I 一 侬+16+4 2当 4 一 8 时，.4 1),g(x)=.x+1 求 函 数 y=/(x)的 最 小 值 加)；若 对 任 意 内，。，/(%2)g a)恒 成 立，求。的 取 值 范 围.【答 案】加

39、3)=4-2,l a 2 l&a 巫 3【分 析】(1)先 将 f(x)的 解 析 式 进 行 配 方，然 后 讨 论 对 称 轴 与 区 间。21的 位 置 关 系，可 求 出 函 数 y=/(x)的 最 小 值?()；(2)根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 函 数 力 的 最 小 值 和 g(x)的 最 大 值,然 后 使/(W m i/g G)，建 立 关 系 式，解 之 即 可 求 出 答 案.由 x)=Y _ 2 a x+4=(x-a)2+4-a 2,则 二 次 函 数 的 对 称 轴 为 x=。，则 当 1 4 a 2时，“X)在 0,4)上 单 调 递 减，在(。,2 上

40、单 调 递 增，所 以 加=/(x L=/(a)=4-；当 a 2 2 时，f(x)在 0,2 上 单 调 递 减，加()=/(矶 而=/(2)=8-4,所 以 加(a)=，4-a2,a 2 g(x)=(x+l)+：i 2,当 xe0,2时，x+lel(3,又 g(x)在 区 间 位 24上 单 调 递 增，所 以 g(X”0,-.若 对 任 意 占%w o,2,“w)g a)恒 成 立 则 立 广 且 皿，故 a2484 一 3解 得：1 4 a 亚.34.(2022 上 海 复 旦 附 中 模 拟 预 测)已 知 非 常 数 函 数/(x)的 定 义 域 为。，如 果 存 在 正 数 7,

41、使 得 对 任 意 x e D,都 有 x+T)=，/(x)恒 成 立,则 称 函 数 f(x)具 有 性 质 尸(7).(1)分 别 判 断 下 列 函 数 是 否 具 有 性 质 夕(1),并 说 明 理 由；/(x)=sin2zu；g(x)=cos7tx.若 具 有 性 质 P(2),/(1)=1,/(2)=-4,s“表 示)的 前 项 和，C,二 2 若 C”0,使 得 对 任 意 x G R,都 有|g(x)|M成 立，求 证：g(x)是 周 期 函 数.【答 案】函 数/(x)=sin2m 具 有 性 质 P，函 数 g(x)=cos也 不 具 有 性 质；或 0 a 土 好；(3

42、)证 明 见 解 析.2【分 析】(1)根 据 性 质 尸(1)的 定 义 判 断，(2)由 条 件 求，明 再 由 数 列 求 和 公 式 求 C,解 不 等 式(C,)gVlo&(a+l)+10求 0;(3)由 条 件 证 明 函 数 g(x)具 有 性 质 尸,由 此 证 明 g(x)是 周 期 函 数.因 为/(x)=sin2iuc,Jj/f I2X/(x+1)=sin 2n(x+1)=sin 2 TTX=1-f(x),所 以 函 数 x)=sin2心 具 有 性 质 P，因 为 g(x)=COS7Lt,(X+1)=COS71(X+1)=-COSX 1-(X),所 以 函 数 g(x)

43、=cosn不 具 有 性 质 P(l):(2)因 为/(/?)(e N*)具 有 性 质 尸(2),所 以 f(+2)=2 f()又/=1,4 2)7,所 以 f(3)=2/(1)=2,/(5)=2/(3)=22,/(2 n-l)=2，/(4)=2/(2)=-2/(6)=2/(4)=-24,J(2)=-2n+,所 以/(1)+/(3)+/(5)+/(2“_1)=+2+22+2T=2 _,/(2)+/(4)+f(6)+/(2 n)=-22-23-24-2同=-4(2-1)所 以 邑=/(D+/(2)+/+/(2 n)=-3(2-1),S2_,=/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2 n-l)=

44、3-2,所 以 C,=S?”3(2 7)S三 2-3所 以 G=-3,G=9,3(2”-1)八/、Cm 2,+I-3 2(2)2-7 2+3n 时，3(2-tF=2(2)2-5 2+3 2-3因 为 2(2)2-5-2+3 2(2)2-7-2+3,c所 以 孝 旦 G C，所 以(G L=G=9,因 为 C,(C,L=9,所 以 bg(a+l)T,当”1时，log.(a+l)-l可 化 为 a+l L 解 不 等 式 可 得 a l,当 0。-l可 化 为 aa+1 L 化 简 可 的 0 1 或 O c a 二 I t G；2 设|g(%)|在 区 间。7 上 的 最 大 值 为,H 0.若

45、 T 1,则 g(x+7)=Tg(x),g(x+2T)=7g(x+T)=T2g x),，g(x+T)=T g(x),所 以 g(x+nT)=Tg(x)logz 一，aM所 以 当 取 比 logr一 大 的 整 数 时，则 7 与 条 件 矛 盾，a若 0 7 f(x)成 立，我 们 称 函 数 f(x)为“7 同 比 不 减 函 数”.求 证：对 任 意 正 常 数 T,/(x)=/都 不 是“T 同 比 不 减 函 数”；T T(2)若 函 数/(x)=H+sin x是“彳 同 比 不 减 函 数”，求 左 的 取 值 范 围.【答 案】详 见 解 析；(2)逑,+8)冗【分 析】(1)利

46、 用 T 同 比 不 减 函 数 的 定 义 证 明；(2)根 据 T 同 比 不 减 函 数 的 定 义，由 上 2 乎 s i n(x-7)恒 成 立 求 解.因 为,所 以 f(x+T)-f(x)=(x+T y-x2,=1xT+T2=T（2x+T）,因 为 2 x+T与 0 的 大 小 不 确 定，所 以 对 任 意 正 常 数 T,幻=/都 不 是 叮 同 比 不 减 函 数”;T T 因 为 函 数 f(x)=&+sin x是 同 比 不 减 函 数”,所 以/(x+7)-/(x)=x+|+sin(x+-Ax-sinx=_ 血 sin(x-7)之 0,恒 成 立,即 kN乎 s i

47、n(x-?)恒 成 立，因 为-1 sin 1所 以 k N 里,71所 以&的 取 值 范 围 是 迪，包)71题 型 四：函 数 不 等 式 有 解 问 题 一、填 空 题 1.(2022上 海 市 控 江 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数 x)=x,g=-x+2,若 存 在 oX l,x2,-,xe 0,-，使 得/(均)+/()+/(玉 _1)+8(玉)=8(4)+8(工 2”-+8(玉 _1)+/(玉)，则 的 最 大 值 为【答 案】14r 9【分 析】令 九(力=犬-2 x+2,原 方 程 可 化 为 存 在 演,七,x,e 0,-,使 得/?&)+/?(&)+旗

48、x,i)=/i(x.)，算 出 左 侧 的 取 值 范 围 和 右 侧 的 取 值 范 围 后 可 得”的 最 大 值.【详 解】因 为 存 在 为,多,e-9-29使 得/(%)+/(占)+T/(X,l)+g(X)=g(X)+g(9)+g C v J+/(%)，故 存 在 冷 和，怎 6。,5使 得 片-2 xj+2+x；_+2=x；-2 xn+2.,、c 9-1 53/z(x)=x2-2 x 4-2,x e 0,-,则 53 53故 一 l 4 x；-2 玉+2d-F x_1 2xz r_ 1+2(n-1),因 为 153,n N*故 max=4.4故 答 案 为：14.X n2.(202

49、1 上 海 曹 杨 二 中 高 三 阶 段 练 习)已 知。0,函 数.f(x)=,g(x)=x-；,若 对 任 意+x 3芭 e a,a，总 存 在 x,e l-a,a,使 得/(不)2 g(%),则 a的 最 大 值 为.【答 案】显 2【分 析】利 用/(x)2 g(x)1mx在-,”有 解 可 求 a 的 最 大 值.【详 解】因 为 对 任 意%,总 存 在 马,使 得 g G)，所 以 存 在 W e-a,a，使 得/(乙)2 g(x)max=-a,r 2故;7 2 彳。在 上 有 解，即 20r2 一 3x+2 4 0 在 I-。，川 上 有 解，1+x 3设=2aX?-31+2

50、。，其 对 称 轴 为 x 二，若 3。即 时，此 时=9一 16 2 0,故 20r2 一 31+2 4 0 不 成 立；4a 2若 即 0 4孝，此 时 需(不 需 W 0 即(a)0,f j故 j 2,故 0 a W J2a3-a)=8。+且 sin2x,xw 一 U，若 存 在 实 数 2,使 得 2 L 3 6J/(X)+k)g1-；机 2+|o成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 为【答 案】(一 石，1 一 夜)u(0 1,【分 析】由“力 二 可 21+|+；,根 据 工，求 得 其 值 域,再 根 据 存 在 实 数 加，使 得 f*)+10g2(-；团 2+|0成 立