2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)24 等差数列及其前n项和.pdf

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1、专 题 2 4 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和【考 点 预 测】一.等 差 数 列 的 有 关 概 念（1）等 差 数 列 的 定 义 一 般 地,如 果 个 数 列 从 第 2 项 起,每 项 与 它 的 前 项 的 差 等 于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 差 数 列，这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差,通 常 用 字 母”表 示,定 义 表 达 式 为 q,-=d（常 数）（w N,n2）.（2）等 差 中 项 若 三 个 数。，A,b 成 等 差 数 列,则 A叫 做 与 的 等 差 中 项，且 有 A=i.二.等 差 数 列 的

2、有 关 公 式（1）等 差 数 列 的 通 项 公 式 如 果 等 差 数 列 伍 的 首 项 为 4,公 差 为 d,那 么 它 的 通 项 公 式 是=4+（-l）d（2）等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 设 等 差 数 列 all 的 公 差 为 d,其 前 项 和 S“=4+的=）.三.等 差 数 列 的 常 用 性 质 已 知 4 为 等 差 数 列,d 为 公 差,S 为 该 数 列 的 前 项 和.（1）通 项 公 式 的 推 广:an=am+（n-m）d（n,m e N*）.（2）在 等 差 数 列 4 中,当 根+=+时,am+=cip+ciq（m,n,p,q w N*

3、）.特 别 地,若，%+=,则,+%=2 q（m,twN*）（3）ak,akm,4+2,，仍 是 等 差 数 列,公 差 为 md（k,m e N”）.（4）Slt,S2t-S,S3 S?”，也 成 等 差 数 列,公 差 为.（5）若,a 是 等 差 数 列,则 p 4+倣 也 是 等 差 数 列.（6）若 4 是 等 差 数 列,贝 J Z 也 成 等 差 数 列,其 首 项 与 q 首 项 相 同,公 差 是 可 公 差 的 丄.2（7）若 项 数 为 偶 数 2,则 S2=（4+/“）=（可+可+J；S偶 一 S奇=d；=-i-.S偶 可+1（8）若 项 数 为 奇 数 2 1,则 与

4、=（2 1）;S奇 一 S個=。“；&=一.-1（9）在 等 差 数 列。j 中,若 q 0,d 0 则 满 足 的 项 数 机 使 得 S,取 得 最 大 值 S,“；若 l l O,则 满 足 代 5 的 项 数，使 得 SIt取 得 最 小 值 5,.l 0四.等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 与 函 数 的 关 系 邑=?/+(%-3).数 列 但“是 等 差 数 列 o Sz,=A+B”(4 8 为 常 数).五.等 差 数 列 的 前 项 和 的 最 值 公 差 0 0|为 递 增 等 差 数 列,5,有 最 小 值;公 差()=%为 递 减 等 差 数 列,S“有 最 大

5、值;公 差 d=O o“为 常 数 列.特 别 地 若 则 S“有 最 大 值(所 有 正 项 或 非 负 项 之 和)；d 0六.其 他 衍 生 等 差 数 列.若 已 知 等 差 数 列 4,公 差 为,前 项 和 为 S“,贝;等 间 距 抽 取,“,4,包，+S T”，为 等 差 数 列,公 差 为.等 长 度 截 取 S,“,S2,-S“,$2.,，为 等 差 数 列，公 差 为 机 2.算 术 平 均 值,士,邑,为 等 差 数 列,公 差 为 4.【方 法 技 巧 与 总 结】(1)等 差 数 列,J中,若=。,“=(机,”?,e N*),则”=。.(2)等 差 数 列 中,若

6、S=m,Stn=(jnn,m,nGN*),则 Snrtl,=-(旭+).(3)等 差 数 列 中,若 Sa=Sm(m,机,e N),则 Sm+n=0.(4)若 与 由,为 等 差 数 列,且 前 项 和 为 S“与 T；,则=鼠.【题 型 归 纳 目 录】题 型:等 差 数 列 的 基 本 运 算 题 型 二:等 差 数 列 的 判 定 与 证 明 题 型 三:等 差 数 列 的 性 质 题 型 四:等 差 数 列 前 项 和 的 性 质 题 型 五:等 差 数 列 前 项 和 的 最 值 题 型 六:求 数 列 的 通 项 题 型 七:关 于 奇 偶 项 问 题 的 讨 论题 型:对 于 含

7、 绝 对 值 的 数 列 求 和 问 题 题 型 九:利 用 等 差、等 比 数 列 的 单 调 性 求 解 题 型 十:等 差 数 列 中 的 范 围 与 最 值 问 题【典 例 例 题】题 型 一：等 差 数 列 的 基 本 运 算 例 1.（2022.河 南 开 封.高 二 期 末（理）己 知 数 列 4,2 都 是 等 差 数 列,且-4=2,a2-b2=i,则%一=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答 案】A【解 析】解:因 为 数 列 q,但 都 是 等 差 数 列,所 以 数 列，是 等 差 数 列,又 q=2,a2-b2-1,所 以 其 公 差 为 d=-l,所 以 则

8、a5 b5=al bl+4d=-2,故 选:A例 2.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）九 章 算 术 是 我 国 秦 汉 时 期 一 部 杰 出 的 数 学 著 作，书 中 第 三 章“衰 分”有 如 下 问 题:“今 有 大 夫、不 更、簪 裹、上 造、公 士,凡 五 人，共 出 百 钱.欲 令 高 爵 出 少，以 次 渐 多，问 各 几 何?意 思 是:“有 大 夫、不 更、簪 裏、上 造、公 士（爵 位 依 次 变 低）5 个 人 共 出 100钱,按 照 爵 位 从 高 到 低 每 人 所 出 钱 数 成 递 增 等 差 数 列，这 5 个 人 各 出 多 少 钱?在 这 个

9、 问 题 中,若 不 更 出 I 7钱，则 公 士 出 的 钱 数 为（）A.10 B.14 C.23 D.26【答 案】D【解 析】解:设 大 夫、不 更、簪 裹、上 造、公 士 所 出 的 钱 数 依 次 排 成 一 列,构 成 数 列%.由 题 意 可 知,等 差 数 列 伍“中 见=，前 5 项 和 为 100,设 公 差 为 3 0）,前 项 和 为 则$5=5%=100,解 得 出=20,所 以 d=%-a2=3,所 以 公 士 出 的 钱 数 为%=%+2=20+2x3=26,故 选:D.例 3.（2022全 国 模 拟 预 测（理）已 知 等 差 数 列 的 前 n项 和 为

10、S“.若%+%=22,S4=38,则 56=（）A.72 B.74 C.75 D.76【答 案】C【解 析】设 等 差 数 列 叫 的 公 差 为,%+包=2%=22,.,=11,45l=352+54 f4a1=3(24+d)+2(2+3d)%=5+4d=554=2(+q)=38,/.a2=8.d=3,a=3+2,6()=7 562故 选:C.例 4.(2022.河 北.石 家 庄 二 中 模 拟 预 测)记 S 为 等 差 数 列 叫 的 前 项 和.若 4S=3S2+S4,4=5,则 4。=()A.3 B.7 C.11 D.15【答 案】D【解 析】设 等 差 数 列 叫 的 公 差 为

11、解 得 屮,/.即)=+9d=3 18=15.故 选:D.例 5.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)设%是 等 差 数 歹,且=M 2,a,+=5 I n 2.则+腔+e%=()A.2n B.n2+2n C.2 D.2+-2【答 案】D【解 析】解:由 题 意 得:设 q 的 公 差 为.,02+%=3 In 2/./+%=24+3d=5 In 2 又,.q=In 2/.J=ln2 0=4+(-l)d=H n 2又.=e,n2=2,=e,n2=e,n2=2/.e+e也+e=2+2?+2?+2=纟-L=2向 2 故 选:D1-2例 6.(2022.黑 龙 江.哈 尔 滨 三 中 模 拟

12、 预 测(文)已 知 等 差 数 列 4 中,4=2,%=4%S”为 数 列 4 的 前 项 和,则 S o=()A.115 B.110 C.-I IO D.-115【答 案】D【解 析】设 数 列 4 的 公 差 为 d,则!1 1 O1=4得 2+6/=4(2+2 d),解 得 d=-3,(-1),109.o.,S lO=I 04 H-d=10 X 2 H-(3)=115.故 选：D.【方 法 技 巧 与 总 结】等 差 数 列 基 本 运 算 的 常 见 类 型 及 解 题 策 略：(1)求 公 差 或 项 数.在 求 解 时,一 般 要 运 用 方 程 思 想.(2)求 通 项.q 和

13、 d 是 等 差 数 列 的 两 个 基 本 元 素.(3)求 特 定 项.利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 或 等 差 数 列 的 性 质 求 解.(4)求 前 项 和.利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 直 接 求 解 或 利 用 等 差 中 项 间 接 求 解.【注 意】在 求 解 数 列 基 本 量 问 题 中 主 要 使 用 的 是 方 程 思 想,要 注 意 使 用 公 式 时 的 准 确 性 与 合 理 性,更 要 注 意 运 算 的 准 确 性.在 遇 到 些 较 复 杂 的 方 程 组 时，要 注 意 运 用 整 体 代 换 思 想,使 运 算 更 加

14、便 捷.题 型 二:等 差 数 列 的 判 定 与 证 明 例 7.(2022安 徽 月 考)设 数 列 4,.耳,中 的 每 项 都 不 为 0.证 明:为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是:对 任 何 N,都 有 丄+丄+.+=/.【解 析】证 明：先 证 必 要 性 设 数 列 的 公 差 为,若“=,则 所 述 等 式 显 然 成 立.若 d x,则 1 1 1 1,1 1/1 1 1/1 1 na aa3 4+1 d 4 a2 a,q+1 d 4 all+t alall+t再 证 充 分 性:用 数 学 归 纳 法 证 明：设 所 述 的 等 式 对 一 切 C N 都

15、 成 立,首 先 在 等 式 二+=上 tz1tz2 a2c 3 aia3两 端 同 时 乘 aia2a3,即 得 01+3=Ia2,所 以 4,生,成 等 差 数 列,记 公 差 为,则=4+庁.假 设 必=4+(l)d，1 1 1 k-l 4%a2a3-。则 有:丄+丄+_!_+_!_=丄，a a2 4-1%akak+a ak+将 代 入 得 B=丄,a l Il在 该 式 两 端 同 时 乘 4%ajt+,得(1)%+1=kak,把 ak=al+(k-)d 代 入 后,整 理 得 ak+l=a+kd.由 数 学 归 纳 法 原 理 知 对 任 何 e N,都 有 丄+丄+=.4%42%+

16、44+1所 以,“是 公 差 为 d 的 等 差 数 列.例 8.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，q=4,旳=8,且 S,.-2 S,用+S“=4.(1)求 证:数 列 q 是 等 差 数 列;(2)若。,“,S川,14 成 等 比 数 列,求 正 整 数【解 析】(1)因 为 S 2-2 S/|+S,=4,所 以 Sn+2-5n+l-5n+l+5=4,即(S 2”)一(S用-S,.)=4,则“2-4+1=4.又 4=4,4=8,满 足/一 q=4,所 以 q 是 公 差 为 4 的 等 差 数 列.由(1)得,4j,=4+(-l)x 4

17、=4”,贝 业 匈=2+2.2又 Sm=心 的 所 以(2，+2)-=144 4(w+1),/?N+,化 简 得 P+“56=0,解 得 7=7或?=8(舍).所 以，的 值 为 7.例 9.(2022四 川 成 都 市 锦 江 区 嘉 祥 外 国 语 高 级 中 学 模 拟 预 测(理)已 知 首 项 为 2 的 数 列%满 足;4,+1,为 奇 数 n+=1 2,记=%,c“2%,为 偶 数(1)求 证:数 列,是 等 差 数 列,并 求 其 通 项 公 式;(2)求 数 列:的 前 10项 和 品.【解 析】(I M=q=2,恆 Jb,+=a2 n+=22=2(g%+D=+2,即,+l-

18、bn=2故 也 是 首 项 为 2,公 差 为 2 的 等 差 数 列,.bn=2n.(2)知=;2+1=+1,-I-=-=1(/-1-J、bn cll 2n(n+1)2 n l故 S1io0=(1-1-1-1-)=.2 2 2 3 10 11 1 1例 10.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)记 数 列 0,的 前 项 和 为 s“，al=-7,2=-6,a,+l=,+l(n N*,R).证 明 数 列 为 等 差 数 列,并 求 通 项 公 式 耳;【解 析】证 明:Q|=-7,a2=-6,ntl=kan+,则=如+1,即 Yl=-7Z+1,解 得=1,所 以,用=%+即,-,=l

19、(w N C R),所 以,数 列%是 以 7为 首 项,以 1为 公 差 的 等 差 数 列,故”“=-7+-l=-8.例 IL(2022山 东 济 宁 二 模)已 知 数 列 满 足 q=2,%。+(竝),为 奇 数,2,为 偶 数.(1)设=”,证 明:数 列)为 等 差 数 列;求 数 列%的 前 2 项 和.【解 析】(由 题 意,=。1+(0)=2+2=4,当 2 时,=%“=-1+(2f=2 2-2+2=2%+2,所 以 与 一 殳 T，则*是 以 I 为 公 差,=2为 首 项 的 等 差 数 列.由 题 设,S2n=(OJ+/+%IT)+Q+4 d-+a2n)=生 一(/+。

20、4一+。2”一+(+“4+%”)=2(+/+)一(2+22+2)=2(4+仇+妇)=2 7 2-2向，由(1)知:争=2+1,则=(+1)2.其 中?；=4+%+”,即 Tn=22+322+423+L+(+1)2,所 以 27；,=2x2?+3x23+6+1)X 2,两 式 相 减 得 _ 1=4+(22+2+2)_(“+l)x2向 二 4+J 2)(十 X 2+l=-H 2+所 以 萼=2向,综 上,S2,=2Tl l+2-2+=2n 2+l+2-2n+l=(2n-1)2,+l+2.例 12.(2022.辽 宁.沈 阳 市 第 一 0 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 叫 的

21、前 项 和 5“=殳,且。“0.(1)证 明:数 列%为 等 差 数 列;(2)若 bl,=一，求 数 列 也 的 前”项 和+l+2【解 析】(1)当=1时，由 4(“a l),得 q=或 勺=。,2：O,1 4=1,由 5“=%上,得 2S)I=片+“当 2时,2 S,=d+4 由-,得 2a“=(+整 理 得 a+。,-)(。,。,1 1)=0,V 0,+-10,J.an-an,i=,.数 列%是 首 项 为 1,公 差 为 1的 等 差 数 列;由(1)an=l+(n-l)l=n,a-T n-T 2n+2,+q+2(+l)(+2)n+2+1例 13.（2022 辽 宁 实 验 中 学

22、模 拟 预 测）已 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S”,满 足:亠=%+（w N）n 求 证:数 列 为 等 差 数 列;若=5,令=5 数 列 他 的 前 项 和 为 1,若 不 等 式 45（a+-Z j 毋 5m对 任 意 e N 恒 成 立,求 实 数，”的 取 值 范 围.【解 析】（D由 题 设,sj,=*i D,则 S,一=色 二 哈 士 D（2）,所 以 alt=Sn-S=（丁）_（1）+1）=%一（;）4 1+1,整 理 得（r t-2=（M-l）a,_,-l,则(,T)0,川=%T，所 以(-l)fl.-(-2)an=ZIaf l-I-(1)4.+1,即(T)(fl+

23、_,)=2(n-l)a,n-l O,所 以+l+凡 T=2a“，故 数 列 a 为 等 差 数 列,得 证.(2)由 2S=q+1,可 得 q=1,又 见=5,结 合(1)结 论 知;公 差=%=4,所 以=4-3,故，则?+诉 r+=，所 以 的 L&,3-*广 焉+焉+訖+訖+訖 且 N*,所 以 C的-8+5 8+9 4+1.(4，2+1)(8+5)(8+9)We 所 以,在 l,+)且 N 上&L 递 减,则(+-Gm ax=4 4=+=*，要 使 45(7n+l-Tn)0,所 以，w e（-,-2 7,+）.例 14.（2022.安 徽 阜 阳 高 三 期 末（文）记 数 列 q 的

24、 前 项 和 为 S”,满 足 8S,+9=Y+16,且“2.(1)证 明:数 列 4 是 等 差 数 列;(2)设 数 列 出”满 足+2,求 也 的 前 n 项 和.【解 析】证 明:因 为 8S“+9=d+1 6,所 以 当=1 时,8 q+9=oj+1 6,得 q=l 或 7,又。”2,则 4=7.当 7 2时,85,-l+9=,+1 6(n-l),-得,8(S,-S,)=d Y+16,(4 一 如=O,(,-l-4)(a,+%-4)=，由,2，得”“+。,一 4 0,故*=4,即 应 为 等 差 数 列.由(1)知,4 为 等 差 数 列 且 公 差 为 4,所 以=4+3也=4+3

25、+2,所 以 数 列 也 的 前 项 和 7；=7+11+(4+3)+(2+4+2)=(4+10)“+2(I)=(4+10)+2+1_2=2+5+2向 2,2 1-2 2故 也 的 前，7项 和 为 2+5+2,+l-2.例 15.(2022安 徽 淮 南 模(文)已 知 数 列 可 满 足%=2-2,r t N*.(1)求 4 的 值 并 证 明 数 列 二 二 l 是 等 差 数 列;求 数 列 4 的 通 项 公 式 并 证 明;-.【解 析】(1)解:当=1时，4=2-2 4,当 2 时,见=2-2。“；ala2 n-l=2-2 a,.l,两 式 相 除 得。”=戶 H N 2),-整

26、 理 为:T-=T=-K),即 r-=l(n 2),lan-1 4 ian 1 一“1-an-为 等 差 数 列，公 差 d=l;-j(2)证 明：由(1)得 I L=+2,/7+1整 理 得：a,=一-(N*),+2 d 丄 1,n+2+2乂.也 单 调 递 增,.%4=?,所 以%1 例 16.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)己 知 数 列 可 满 足,4=3,=3 一 n w N”),设 数 列 a=求 证 数 列 也,为 等 差 数 列;(2)求 数 列 4 的 通 项 公 式;【解 析】解;因 为 丁 I所 以+1=-7+-l,1 1 C 4所 以“+I-A=-7-7又 因

27、 为 4用=3-T 4,+c i 1 1-T=T(为 常 数)2 2 2所 以 数 列 也 是 公 差 为 的 等 差 数 列;由 知:=5，=i+(-1)-=-1 n所 以-7=-4-1 2所 以,-l=一，n2 1 二 一+1.例 17.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 数 列 m 满 足=,+最 为 正 奇 数，2。“+为 正 偶 数.I 2（1）问 数 列 是 否 为 等 差 数 列 或 等 比 数 列?说 明 理 由;（2）求 证:数 列 學 是 等 差 数 列,并 求 数 列 4.的 通 项 公 式.【解 析】（1）由 4=二 4+二,解 得:=1,%=2 4

28、+5=3,a3=+=5,a4=2a2+=8,as&=2。4 43=3,.2。4 3，数 列 不 是 等 差 数 列.又.=3,厶=.&N 工.数 列 的 也 不 是 等 比 数 列.4 a2 al a2（2）证 明:.对 任 意 正 整 数,2+,为 偶 数,所 以-，=勿 2“+2”,.M=也 平=包+丄,即 芸=L其 中 学=.数 列 祟 是 首 项 为,公 差 为 的 等 差 数 列，从 而 对 V N*,+-=-+1,则=5+2）2T.数 列 与 的 通 项 公 式 是=（+2）2T 5 N*）.例 18.（2022.内 蒙 古 呼 和 浩 特.高 三 阶 段 练 习（理）已 知 正

29、项 数 列 满 足 q=l,%=2,且 对 任 意 的 正 整 数“，1+。3 是 和。，的 等 差 中 项.证 明:吭 明 是 等 差 数 列,并 求 4 的 通 项 公 式;若%=凡,且=4,求 数 列 4 的 通 项 公 式.【解 析】（1）证 明:由 题 知 吸+。=2（1+）,得 一）一（吸 1 d）=2,所 以 匕 是 以 塚=3为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列，即 an+l an=3+（-1）2=2+1,当 2 2时,4=（4,）+（。3。久）+（W-W）+=2（1+2+w-l）+“=2 x（二 1）+=,当”=1时,。:=1也 符 合 题 意,所 以 d=、又 见

30、（）所 以=.（2）解:由 题 得 1=,所 以 2=2,b3-b2=39 9 bn bn_X=n9所-以，1=2+3+,/.2=1+2+3+.F 7?,所 以 a=処,又=1时=1符 合 该 式,故=笑”.例 19.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 数 列%中,4=1,当 2 2 时,其 前 项 和 S满 足:s=,（5,丄）（1）求 证:数 列，I 是 等 差 数 列;I A,（2）若（+”0对 一 切 正 整 数 恒 成 立,求 实 数 k 的 最 大 值.【解 析】(l)S,;=a,(S,-g)=(S,一 S i)(S n 2 即 5；=S；-5.5 5“+；S,所 以

31、y-j-=2,故 数 列 1-卜 走 等 差 数 列:S，%=(2 2+l):.k(2 1)2(2+1)2,+l(2 n-l)2(2n+1),则 O+1=(2n+l)2(2n+3)的=.+I).+?)_ 2(2 Cn 一 2,1+1-(2+1)(2+3)(2(2+1)令（2爲（;二 十 得 十。,n5.(2+1)(2+3),解 得 5,所 以 数 列。中 当 1 5时 单 调 递 减,2 5 时 单 调 递 增.所 以 c,Cs q=前 例 20.（2022全 国 高 三 开 学 考 试（理）已 知 T为 数 列 的 前 项 的 积,且 q=?,S 为 数 列 瑁 的 前 项 的 和,若（+2

32、 5 T=0（N*,.2）.（1）求 证:数 列 是 等 差 数 列;3”(2)求 4 的 通 项 公 式.【解 析】解:(1)证 明:.,+2Sf=o,.SJ,-S I+2 S A T=O.S,-s.=25,5n.l=J 一 止=2(“2),j n z-1 卜 是 等 差 数 列.(2)由 可 得=2+2(-l)=2,.s,=J-.3“2.2Cn时 i,77；=-02C,C S C l 1-,T1 1 2 几(九 一 1)2w-l=-2-=-；3 时,an=-;-=-2(77-1)(/7-2)而 q=!，+2 5l52=0 a2=-,%,牝 均 不 满 足 上 式.,/7=12*a”=,n=

33、2(“N).【方 法 技 巧 与 总 结】方 法 解 读 适 合 题 型 定 义 法%-5 2,）为 同 一 常 数=q 是 等 差 数 列 等 差 中 项 法 2=q+4 L解 答 题 中 的 证 明 问 题 2(73,7 N)成 立 Q qt 是 等 差 数 列 通 项 公 式 法 an=pn+qp,“为 常 数）对 任 意 的 正 整 数 都 成 立 0）是 等 差 数 列 选 择、填 空 题 中 的 判 定 问 题 前 项 和 公 式 法 验 证 S“=4+8（4 B 为 常 数）对 任 意 的 正 整 数 都 成 立=4“是 等 差 数 列【注 意】如 果 要 证 明 一 个 数 列

34、 是 等 差 数 列,则 必 须 用 定 义 法 或 等 差 中 项 法.判 断 时 易 忽 视 定 义 中 从 第 2项 起,以 后 每 项 与 前 项 的 差 是 同 一 常 数,即 易 忽 视 验 证。20=”这 关 键 条 件.题 型 三:等 差 数 列 的 性 质例 21.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 凡 的 前 项 和 为 S“,且+2q+43=1 8,则 与=（）A.74 B.81 C.162 D.148【答 案】B【解 析】因 为%是 等 差 数 列,所 以+2即）+3=2+24 o=18,即 a9+4 o=9,所 以 儿%=18X（4+）=

35、&故 选:B例 22.（2022福 建 省 华 安 县 第 一 中 学 高 三 期 中）设 等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S,若 S,-=m=5故 选:D.例 23.（2022全 国 模 拟 预 测（理）已 知 等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S,若 0,+%+%=6 3,则 眞=（）A.60 B.75 C.90 D.105【答 案】D【解 析】设 等 差 数 列,的 公 差 为 则 由 题 意 可 得 4+4+d+4+5 d=63,故 3 q+6 d=6 3,即%+2d=21,o3=21 故 眞=5%=105.故 选:D例 24.（2022.海 南 海 口.二 模）设 公

36、差 不 为 的 等 差 数 列%的 前 项 和 为 S,已 知 品=3（4+牝+%），则 加=（）A.9 B.8 C.7 D.6【答 案】C【解 析】因 为 Sg=3（q+%+4）,又$9=9%，所 以 9 6=3（3+5+）,所 以 为+牝+4”=3“5，即+4“=245，设 等 差 数 列 q 的 公 差 为 d,贝 I J 4+2d+（/7 7-V）d=2（%+4d）,所 以（加+l）d=8 d,又 d G,所 以 1+加=8,所 以/n=7.故 选:C.例 25.(2022青 海 海 东 市 第 一 中 学 模 拟 预 测(文)已 知 等 差 数 列%中,%,是 方 程 f-6 x-2

37、 1=0 的 两 根,则 叫 的 前 2 1项 的 和 为()A.6 B.30 C.63 D.126【答 案】C【解 析】as 的 是 方 程-6 x-21=0的 两 根,由 书 达 定 理 得:as+aa=6,所 以 等 差 数 列 的 前 2 1项 的 和 S2=之.=21(7)=63.故 选:C【方 法 技 巧 与 总 结】如 果”,为 等 差 数 列,当+=p+q 时,am+an=ap+aq(m,n,p,q e N).因 此，出 现，4“，4”+等 项 时,可 以 利 用 此 性 质 将 已 知 条 件 转 化 为 与%(或 其 他 项)有 关 的 条 件;若 求%项，可 由,=(a,

38、_+0,+)转 化 为 求 am-n+an+n 的 值.题 型 四:等 差 数 列 前 项 和 的 性 质 例 26.(2022河 南 省 杞 县 高 中 模 拟 预 测(理)已 知 项 数 为 的 等 差 数 列%的 前 6项 和 为 1 0,最 后 6项 和 为 1 1 0,所 有 项 和 为 3 6 0,则=()A.48 B.36 C.30 D.26【答 案】B【解 析】由 题 意 知 q+%+&=10，+-I+-5=1 1 0,两 式 相 加 得 6(4+4)=1 2 0,所 以 q+4=2 0,乂(;%)=3 6 0,所 以=36.故 选:B.例 27.(2022.河 南 省 杞 县

39、 高 中 模 拟 预 测(文)已 知 等 差 数 列 为，a2,旳,，a,-册,前 6 项 和 为 10,最 后 6 项 和 为 1 1 0,所 有 项 和 为 3 6 0,则 该 数 列 的 项 数=()A.26 B.30 C.36 D.48【答 案】C【解 析】由 题 意 知 q+%+&=1，+/+啞=110,两 式 相 加 得 6(q+%)=120,所 以+=2 0,又 M f U)=3 6 0,所 以“=36.故 选:C.例 28.(2022,安 徽 合 肥 市 第 八 中 学 模 拟 预 测(文)设 S“为 等 差 数 列 初 的 前 项 和，若 Sg=3，则cos(S7-S2)()

40、A.-B.-C.D.-7 2 2 2 2 2【答 案】C【解 析】因 为 Sg=结 铲 之=丄=9%=3万,所 以=。,所 以 COS(57-52)=COS(%+%+%+4+%)=CoS5牝=Cc)S-=,故 选:C.例 29.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)两 个 等 差 数 列 和 也 的 前 项 和 分 别 为 S,、Tn 且=听，,则 訂)107A.24【答 案】A24149 14912B.L【解 析】两 个 等 差 数 列 和 也 的 前 项 和 分 别 为 S、Tn 1且 L=詈 2l所 以 外+)=+二 2=?】5x21+2=107伪+生+%V x 2 弓 21+3

41、242故 选:A例 30.(2022 四 川 凉 山 三 模(理)等 差 数 列 q 满 足 1且 0,q+%=,若/(X)=则 X-I/(a)()()/()=()A.42 B.221 C.221 D.-22【答 案】D【解 析】因 为 等 差 数 列 q 满 足 an,an 0,且 q+%=1，所 以+a2l=a2+a20=a3+l9=zl0+l2=2ail=1,所 以=g,因 为 X)=啓,所 以，3(%)=含 热=4X4 021(l+21)+I=4,4%同 理(%)/(%)=同 能)/(%)=L=/(l0)(l2)=4所 以/(4)(生)L f(%)八 X1-2-1X21-2X=22 0

42、(-2)=-22 1 故 选:D例 31.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 等 差 数 列,的 前 项 和 为 3,若 S,=2,S?,=6,贝 S”,=()A.8 B.12 C.14 D.20【答 案】D【解 析】等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S“，5“=2,S2-S,=6-2=4则 S,，S211-S11,S3 n-S2,S4,-S 3“构 成 首 项 为 2,公 差 为 2 的 等 差 数 列 贝 s4 n=S“+(S?,-S,)+(S3,-S2,)+(S4,-S3,)=2+4+6+8=20故 选:D例 32.(2022 全 国 髙 三 专 题 练 习)等 差

43、数 列 q 的 前 项 和 为 S,若 兼=縣+1且=3,则()A.a,=2+1 B.an=n+C.S,=2+D.S,=4-【答 案】A【解 析】设 4 的 公 差 为 的 n(n-S,i q+-即 2 为 等 差 数 列,公 差 为,n 2由 L 3 也=1知=l n d=2,2021 2020 2(3+2+1)故 an=2+L Srl=-=n+2n 故 选:A-例 33.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)设 等 差 数 列 4,与 等 差 数 列 4 的 前 项 和 分 别 为 S,若 对 于 任 意 的 正 整 数 都 有=一 则 广=()T1 1 3 1 h935 31 31

44、 35A.B.C.D.52 50 48 46【答 案】B【解 析】设 S,=(2+l),Z,=(3-l)”,/O,y j j t=S8-S7=136f-105/=31/,%=-1=2 3 4/-1 8 4/=5/,所 以 消=方 故 选:B.例 34.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)设 等 差 数 列 4,与 等 差 数 列 也 的 前 项 和 分 别 为 S,T11,若对 任 意 自 然 数 都 有=I 则 7+W r 的 值 为(),4 n-3 b5+by bi t+b43 7 19A.B.C.D.17 9 41【答 案】C(q+q j【,解 R析-.】由 I C题 宀 意,+

45、“1=六+=a.+a.=d f=721丁 1?-3二 1 9+/?7 8+4+1 11(I)4 x 1 1-3 415故 选:C.例 35.(2022 全 国 模 拟 预 测)已 知 数 列%,也 均 为 等 差 数 列,其 前 项 和 分 别 为,B“,且 今=票,则 使 出 恒 成 立 的 实 数 的 最 大 值 为()A.B.-C.1 D.2【答 案】B4+%1 a+-.(2H-1)【解 析】由 题 意 可 得=万 号-济+%,T F E+.(2H-1)二 怎 T 二 2 1 J 1B211.1 2(2 n-l)+l 2 2(4-l)-设)=F。、因 为 函 数，是 增 函 数，所 以

46、当=1时,函 数 小)取 最 小 值,所 以“)1)=1故 实 数/1的 最 大 值 为 故 选:B【方 法 技 巧 与 总 结】在 等 差 数 列 中,Stl,S2-S11,S3,5,仍 成 等 差 数 列;也 成 等 差 数 列.n题 型 五:等 差 数 列 前 项 和 的 最 值 例 36.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列%为 等 差 数 列，其 前 项 和 为 5“，且 1+四 1 0的 的 最 大 值 为.【答 案】19【解 析】【详 解】试 题 分 析:因 为 S.有 最 大 值,则 数 列 4 单 调 递 减.又 包 0,即 0,目.+知 0,52=2

47、O=lO（,o+l l）O,故”的 最 大 值 为 19.考 点:1、等 差 数 列:2、等 差 数 列 的 前 项 和.【思 路 点 晴】本 题 考 查 的 是 等 差 数 列 的 性 质、前 项 和 最 大 值 问 题;解 题 的 关 键 是 由 已 知 0,4+的。=4+即。是 解 决 本 题 的 关 键 点,本 题 属 于 中 档 题.例 37.（2022.浙 江 高 三 阶 段 练 习）设 公 差 为 d 的 等 差 数 列%的 前 项 和 为 S”,若 q=l,年 d J,则 当 巣 取 最 大 值 时，的 值 为.【答 案】9【解 析】【详 解】试 题 分 析:因 为 等 差 数

48、 列%的 公 差 d 满 足 一 点 d O.p n-,.n l-.一 d-L.9.5 l-；d d Yl 9 dn10,0.所 以 当/1=9时,S“取 最 大 值.考 点：等 差 数 列 的 性 质、等 差 数 列 的 前 n 项 和 例 38.（2022江 西 高 三 单 元 测 试（文）等 差 数 列 中,S“是 它 的 前 项 之 和,且 S6 Sft,则:数 列 的 公 差 d/0并 且 等 差 数 列 从 第 8 项 起 为 负 数.所 以 正 确,错 误;因 为 S g T e=%+/+%=3/。，公 差 为 d,因 为=,所 以 Slf-S 3=4+%+a 1+%+%=5=O

49、,即=0，因 为“0,所 以 4-4=5d=-q 0,即%4=0%故 当=5或 6时,S”最 大.故 答 案 为:5 或 6.例 40.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)等 差 数 列 凡 的 前 项 和 为 5“，己 知=(),S15=2 5 则+S”的 最 小 值 为.【答 案】-4【解 析】由=叫+吗,$=。,$=2 5得 腰:葭 04=-3解 得:2，a=3则 S“=-3+(7)I=g(10).故+s,=g(7)=g(-T)-y.由 于 N*,故 当=3或 4 时，(+5n)min=-4.故 答 案 为:-4例 41.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 数 列,中,*

50、-q=2(w N),q=-23,%=-19,S,为 4 的 前 项 和,则 5“的 最 小 值 为.【答 案】243【解 析】因 为 凡+?-a“=2,所 以 4,生，火，是 以 为 为 首 项，2为 公 差 的 等 差 数 列,出,巴,是 以 生 为 首 项,2为 公 差 的 等 差 数 列.n 1 7 7 2当 为 奇 数 时,a,l=-23+2-=n-2 4 t 当 为 偶 数 时，a,l=-1 9+2-=-2 1,rrrl_/24,为 奇 数 所 21,为 偶 数 当 为 偶 数 时,5,=(+2)+(3+)+-,+)=(2 l-4 4)+(2 3-4 4)+.+2(-l)-4 4=2