2023年高考数学总复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系.pdf

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1、第 1 课 时 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 基 础 性 1.直 线 y=kx+2与 抛 物 线 y2=8x有 且 只 有 一 个 公 共 点，则 k 的 值 为()A.1 B.1 或 3C.0 1 或 02.2022武 汉 调 研 旧 知 直 线 y=kx-l与 双 曲 线 x2-y2=4 的 右 支 有 两 个 交 点，则 k 的 取 值 范 围 为()A.(0,9 B.1,争 C.(一 冬 日)D.(1,岁 反 思 感 悟 1.直 线 与 圆 锥 曲 线

2、位 置 关 系 的 判 定 方 法(1)代 数 法：即 联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 方 程 可 得 到 一 个 关 于 x,y 的 方 程 组，消 去 y(或 x)得 一 元 方 程，此 方 程 根 的 个 数 即 为 交 点 个 数，方 程 组 的 解 即 为 交 点 坐 标.(2)几 何 法：即 画 出 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 图 象，根 据 图 象 判 断 公 共 点 个 数.2.判 定 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 的 注 意 点(1)联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程 消 元 后，应 注 意 讨 论 二 次 项 系 数 是 否 为 零 的 情

3、 况.(2)判 断 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 时，判 别 式 起 着 关 键 性 的 作 用，第 一：可 以 限 定 所 给 参 数 的 范 围；第 二：可 以 取 舍 某 些 解 以 免 产 生 增 根.考 点 二 弦 长 问 题 综 合 性 例 1 已 知 椭 圆 M：1+=l(ab0)的 离 心 率 为 焦 距 为 2vl.斜 率 为 k 的 直 线 1a bz 3与 椭 圆 M 有 两 个 不 同 的 交 点 A,B.(1)求 椭 圆 M 的 方 程；(2)若 k=l,求|AB|的 最 大 值.听 课 笔 记：反 思 感 悟 弦 长 的 求 解 方 法(1)当 弦 的

4、 两 端 点 坐 标 易 求 时，可 直 接 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 解.(2)当 直 线 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为 A(xi,yi),B(X2,y2),则 I AB I=J(1+k2)(Xi+X2)2 _ 4X1X2=J(1+专)3+丫 2)2 _ 4yly2(k 为 直 线 斜 率).提 醒 利 用 公 式 计 算 直 线 被 椭 圆 截 得 的 弦 长 是 在 方 程 有 解 的 情 况 下 进 行 的，不 要 忽 略 判 别 式.【对 点 训 练】1.2022辽 宁 大 连 一 中 模 拟 已 知 双 曲 线 C：4-f

5、 i=1(a0,b0)的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 全 且 双 曲 线 过 点 P(2,3),双 曲 线 两 条 渐 近 线 与 过 右 焦 点 F 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 交 于 A,B 两 点，则 A A O B 的 面 积 为()A.4V3 B.2V3 C.8 D.22.2022 合 肥 教 学 检 测 直 线 1过 抛 物 线 C：y2=12x的 焦 点，且 与 抛 物 线 C 交 于 A,B两 点.若 弦 A B 的 长 为 16,则 直 线 1的 倾 斜 角 等 于.考 点 三 中 点 弦 问 题 综 合 性 例 2(1)过 椭 圆 盘+。=1 内 一 点

6、 P(3,l),且 被 点 P 平 分 的 弦 所 在 直 线 的 方 程 是()16 4A.4x+3y-13=0B.3x+4y13=0C.4x-3y+5=0D.3x-4y+5=0(2)2022重 庆 巴 蜀 中 学 月 考 己 知 双 曲 线?一，=l(a0,b0),F(5,0)为 该 双 曲 线 的 右 焦 点，过 F 的 直 线 交 该 双 曲 线 于 A,B 两 点，且 A B 的 中 点 为 M(-?,-早)，则 该 双 曲 线 的 方 程 为.听 课 笔 记：反 思 感 悟 解 决 圆 锥 曲 线“中 点 弦”问 题 的 方 法戴 根 与 系 数 的 关 系 法：联 立 直 线 和

7、 圆 锥 曲 线 的 s f 方 程 得 到 方 程 组，消 元 得 到 一 元 二 次 方 程 后，由 根 与 系 数 的 关 系 及 中 点 坐 标 公 式 求 解 思 路 点 差 法：设 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点（弦 的 端 点）坐 标 为 A（2）,B（X2,2），将 这 两 点 坐 标 代 入 圆 锥 曲 线 的 方 程，并 对 所 得 两 式 作 差，得 到 一 个 与 弦 A B 的 中 点 和 直 线 A B 斜 率 有 关 的 式 子，可 以 大 大 减 少 计 算 量【对 点 训 练】1.2022.贵 州 适 应 性 测 试 已 知 抛 物 线 C：y2=2p

8、x（p 0）,倾 斜 角 为 三 的 直 线 交 C 于 A,6B 两 点.若 线 段 A B中 点 的 纵 坐 标 为 2%,则 p 的 值 为（）1A.-B.1 C.2）.422.2022江 西 模 拟 已 知 直 线 y=l-x 与 双 曲 线 ax?+by2=l（a0,b=依+2 与 抛 物 线 y2=Sx有 且 只 有 一 个 公 共 点 时，k=0 或 1.答 案：Dy2 _ 1 y 2-Ay-消 去 y 得（1F）/+2 H 5=0,所 以 Z#l,设 直 线 y=k x-1,与 双 曲 线 的 两 个 交 点 的 坐 标 分 别 为(xi,yi),(X2,”)，所 以 f(2k

9、)2+20(l-k2)0,0,-2kXj+x2 0,，XiX2 0,.Z5.Q1 1-k2f 4k2 0,整 理 1。专，所 以 实 数”的 取 值 范 围 是(1,争.I k2l,答 案：D考 点 二 a2=b2+c2,例 1 解 析：(1)由 题 意 得|=在，解 得。=b，6=1.a 3、2c=2/2,所 以 椭 圆 的 方 程 为?+产=1.(2)设 直 线/的 方 程 为 y=x+,小 A(xi,yi),B g”).由 y=x+m,x2 得 4 f+G m x+B，层；+y 2=i-3=0,所 以|A B|=J(X2-X 1)2+。2-y i)2所 以 戈|+1 2=券，X|X2=-

10、2 4当 机=0,即 直 线/过 原 点 时，|AB|最 大，最 大 值 为 6.对 点 训 练 1.解 析：易 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y=Hx,可 得 双 曲 线 的 方 程 为 小 一 9=晨 70),把 点(2,3)代 入 可 得 4-3=%/.2=1,双 曲 线 的 方 程 为 一?=1,/=1+3=4,c=2,F(2,0),可 得 A(2,26),B(2,-2V3),可 得 5908=乔 2X4百=4百.答 案：A2.解 析：抛 物 线 C：V=1 2 x 的 焦 点 为(3,0),当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，弦 长 为 12,不 合 题 意，故 直

11、 线/的 斜 率 存 在，设 为 k,则 直 线/：y=A(x3),由 12：得 以 2*(y=k(x-3)一(6S+12沈+9炉=0,J=(6Zr+12)2-42X9Zr=144(jt2+l)0,设 A3,y),B(x2,/)，则 X+i2=尚 U,|A3|=XI+M+P=/+6=1 6,炉=3,k=W,，直 线/的 倾 斜 角等 于 黑 筌 答 案：三 或 g考 点 三 例 2 解 析：（1）设 所 求 直 线 与 椭 圆 交 于 A。，yi）,8 a 2,），2）两 点，由 于 A,8 两 点 均 在 椭 圆 上，故 邑+”=1,.+*=1,两 式 相 减 得 16 4 16 4殳 6

12、岁 阖+例 极 毕 二=0.因 为 点 p（3,1）是 A 8 的 中 点，所 以 沏+及=6,9+%=16 42,故 以 8=悬=一%所 以 直 线 A B 的 方 程 为、-1=一 为：-3）,即 3x+4y13=0.丝 _ y L=i解 析：（2）设 A（X|,）1）,B（X2,N2）,则 两 式 相 减 可 以 得 到 生 一”=1,a2 b2G I+X 2）（X I-X2）_（yi+y2）（yi-y2）-nb2 u,因 为 A B 的 中 点 为 M（T，所 以 xi+&=/,丁 1+/2=一 所 以 b2(X1+X2)_a2(yi+y2)9b216a2_80 2又 k A B=k

13、F M=T-=l，所 以 名 7=1，即 16层=9户,-5 16a%由 襄；2 M,解 得 仁;：故 双 曲 线 方 程 为/马.答 案：（1）B（2）y-f|=l对 点 训 练 1.解 析：设 A（X|,%）,8（X2,竺），则+丫 2=4 b，且 左*=tan三=,由 一，X1-X2 6 3=2pxz得&|+丁 2）（一 丁 2）=2（为 一 12）,由 题 意 知 即 工 必，。|+竺）纥=2，即 4次 x=2 p,得 X-X?3p=2.答 案：c2.解 析：由 双 曲 线 加+6）2=1 知 其 渐 近 线 方 程 为 加+6y2=o,设 A 8，yi）,8（x2,2）,则 有 axj+b尤=0，*+b比=0,的 一 得 a（好 一 据）=一 方（湾 一 秃）.即。（汨+X2）（X X2）=b（y+y2）Cyi J2）,由 题 意 可 知 X|#X2,且 Xl+12#0，.空 g=Y，设 A B 的 中 点 为 M（xo,泗），则 如 卅=四=学=小=一 唱，又 知 ZABXi+x2 Xi-x2 b x0 2X0 Xi+x2 2 _遗 2X()=一 aba _ _ V3b 2答 案：A