2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试9.2 直线与圆的位置关系.pdf

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1、专 题 9.2 直 线 与 圆 的 位 置 关 系(知 识 点 讲 解)【知 识 框 架】1.考 查 圆 的 方 程，凸 显 数 学 抽 象、数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.【核 心 素 养】2.考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系、圆 与 圆 的 位 置 关 系，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.3.与 圆 锥 曲 线 相 结 合 考 查，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象、数 学 应 用 的 核 心 素 养.【知 识 点 展 示】圆 的 方 程 1.圆 的 定 义：在 平 面 内，到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨

2、 迹 叫 做 圆.2.圆 的 标 准 方 程(1)若 圆 的 圆 心 为 C(M,半 径 为 r,则 该 圆 的 标 准 方 程 为：(x a)2+(y-份 2=(2)方 程(x-a)2+(i)2=产 表 示 圆 心 为 C Q 万 半 径 为 r的 圆.3.圆 的 一 般 方 程(1)任 意 一 个 圆 的 方 程 都 可 化 为：x2+y2+D x+E y+F=0.这 个 方 程 就 叫 做 圆 的 一 般 方 程.(2)对 方 程：/+V+6+4+/=0.若。2+24/0,则 方 程 表 示 以(一 g,-g)为 圆 心,|V D2+2-4 F 为 半 径 的 圆；若。2+七 2-4 尸

3、=0,则 方 程 只 表 示 一 个 点(一 今，-1)；若+后 2-4/0,则 方 程 不 表 示 任 何 图 形.4.点 A(x0,%)与。C 的 位 置 关 系(l)|AQ/。点 4 在 圆 外=(与 一 4)2+(%一 切 2/二.圆 的 方 程 综 合 应 用 1.圆 的 标 准 方 程 为：(x-a)2+(y-0)2=/2.圆 的 一 般 方 程.：x2+y2+D x+E y+F=O(2+E2-4 F 0).3.点 6(%,%)到 直 线/：Ax+5.v+C=0 的 距 离:1A xo+Byo+C|d A?+B2三.直 线 与 圆 相 切 1.直 线 与 圆 相 切：直 线 与 圆

4、 有 且 只 有 一 个 公 共 点；2.几 何 法：圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，即=/；3.代 数 法：=(),方 程 组 有 一 组 不 同 的 解.四.直 线 与 圆 相 交 及 弦 长 1.直 线 与 圆 相 交：直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点；2.几 何 法：圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 半 径，即 d(),方 程 组 有 两 组 不 同 的 解.五.圆 与 圆 的 位 置 关 系 设 两 圆 的 圆 心 分 别 为 G、C2,圆 心 距 为 d=|G G|，半 径 分 别 为 火、r(Rr).(1)两 圆 相 离：无 公 共 点；d R+r,方

5、 程 组 无 解.(2)两 圆 外 切：有 一 个 公 共 点；d=R+r,方 程 组 有 一 组 不 同 的 解.(3)两 圆 相 交：有 两 个 公 共 点；R-r d R+r,方 程 组 有 两 组 不 同 的 解.(4)两 圆 内 切：有 一 公 共 点；d=R-r,方 程 组 有 一 组 不 同 的 解.(5)两 圆 内 含：无 公 共 点；U W d R-r,方 程 组 无 解.特 别 地，d=0 时，为 两 个 同 心 圆.六.常 用 结 论 1.圆 的 三 个 性 质(1)圆 心 在 过 切 点 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 上;(2)圆 心 在 任 一 弦 的 中 垂

6、线 上;(3)两 圆 相 切 时，切 点 与 两 圆 心 三 点 共 线.2.以 A(xi，yi),8(x2,)为 直 径 端 点 的 圆 的 方 程 为(x-x i)(x X 2)+(y-y i)(y 2)=0.3.当 两 圆 相 交(切)时，两 圆 方 程(f,V 项 的 系 数 相 同)粗 减 便 可 得 公 共 弦(公 切 线)所 在 的 直 线 方 程.24.直 线 与 圆 相 交 时，弦 心 距 d,半 径 r,弦 长 的 一 半 步 满 足 关 系 式 d=G”.5.圆 的 切 线 方 程 常 用 结 论(1)过 圆 f+./n r2上 一 点 P(xo，yo)的 圆 的 切 线

7、 方 程 为 X ftr+voy=r.(2)过 圆(xa)2+(y6)2=/上 一 点 P(x0,加)的 圆 的 切 线 方 程 为 Q(口 西(3)过 圆/+尸=，外 一 点 W o.四)作 圆 的 两 条 切 线，则 两 切 点 所 在 直 线 方 程 为 松 土 加 后？.【常 考 题 型 剖 析】题 型 一：求 圆 的 方 程 例 1.(2020山 东 高 考 真 题)己 知 圆 心 为(-2,1)的 圆 与 轴 相 切，则 该 圆 的 标 准 方 程 是()A.(x+2)2+(y-l)2=l B.(x+2)2+(y-l)2=4C.(x-2)2+(y+l)2=l D.(x-2)2+(y

8、+l)2=4例 2.(重 庆 高 考 真 题(文)圆 心 在 y 轴 上，半 径 为 I,且 过 点(1,2)的 圆 的 方 程 是()A.x2+(y-2)2=l B.f+(y+2=lC.(x-l)2+(-3)2=1 D.X2+(-3)2=1例 3.(2022全 国 高 考 真 题(文)过 四 点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.【规 律 方 法】求 圆 的 方 程，主 要 有 两 种 方 法：(1)几 何 法：具 体 过 程 中 要 用 到 初 中 有 关 圆 的 一 些 常 用 性 质 和 定 理.如：圆 心 在 过 切 点 且

9、 与 切 线 垂 直 的 直 线 上；圆 心 在 任 意 弦 的 中 垂 线 上；两 圆 相 切 时，切 点 与 两 圆 心 三 点 共 线.(2)待 定 系 数 法：根 据 条 件 设 出 圆 的 方 程，再 由 题 目 给 出 的 条 件，列 出 等 式，求 出 相 关 量.一 般 地，与 圆 心 和 半 径 有 关，选 择 标 准 式，否 则，选 择 一 般 式.不 论 是 哪 种 形 式，都 要 确 定 三 个 独 立 参 数，所 以 应 该 有 三 个 独 立 等 式.题 型 二：圆 的 方 程 综 合 应 用 例 4.(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)当 圆。/2+丫 2

10、-以+6丫-3=0 的 圆 心 到 直 线/：式+产 机-1=0 的 距 离 最 大 时，机=()例 5.（2016天 津 高 考 真 题（文）已 知 圆 C的 圆 心 在 x 轴 的 正 半 轴 上，点 M（0,石）在 圆 C上，且 圆 心 到 直 线 2x-y=0的 距 离 为 生 叵，则 圆 C 的 方 程 为.5【总 结 提 升】涉 及 圆 的 方 程 问 题，常 用 到 圆 的 以 下 几 何 性 质：圆 心 在 过 切 点 且 与 切 线 垂 直 的 直 线 上；圆 心 在 任 一 弦 的 垂 直 平 分 线 上.题 型 三：直 线 与 圆 相 切 例 6.（2020.全 国.高

11、考 真 题（理）若 过 点（2,1）的 圆 与 两 坐 标 轴 都 相 切，则 圆 心 到 直 线 2 x-y-3=0的 距 离 为（）A.B.C,D,拽 5 5 5 5例 7.【多 选 题】（2021全 国 高 考 真 题）已 知 直 线/:+块-r=0 与 圆 C:f+y2=产，点 A（a/）,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 点 A 在 圆 C上，则 直 线/与 圆 C相 切 B.若 点 A 在 圆 C 内，则 直 线/与 圆 C相 离 C.若 点 A 在 圆 C外，则 直 线/与 圆 C相 离 D.若 点 A 在 直 线/上，则 直 线/与 圆 C相 切 例 8.（2020

12、 浙 江,高 考 真 题）设 直 线/：y=依+仅 x 0）与 圆 f+9=1和 圆 J-4）2+丁=1均 相 切，贝 心=b=.【规 律 方 法】判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 常 见 的 方 法（1）几 何 法：利 用 d与 r 的 关 系.（2）代 数 法：联 立 方 程 组，消 元 得 一 元 二 次 方 程 之 后 利 用/判 断.（3）点 与 圆 的 位 置 关 系 法：若 直 线 恒 过 定 点 且 定 点 在 圆 内，可 判 断 直 线 与 圆 相 交.提 醒：上 述 方 法 中 最 常 用 的 是 儿 何 法.题 型 四：直 线 与 圆 相 交 及 弦 长 例 9

13、.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）过 圆 C:（x-l）?+y2=i 外 一 点 户 作 圆 C 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A,B.若 AHIB为 等 边 三 角 形，则 过。（2,1）的 直 线/被 尸 点 轨 迹 所 截 得 的 最 短 弦 长 为.例 10.（2022 天 津 高 考 真 题）若 直 线 x y+m n。,。）与 圆（*T）2+（y T）-=3 相 交 所 得 的 弦 长 为 m,则 tn=【规 律 方 法】1.弦 长 的 两 种 求 法（1）代 数 方 法：将 直 线 和 圆 的 方 程 联 立 方 程 组，消 元 后 得 到 一 个 一 元 二

14、 次 方 程.在 判 别 式 4 0 的 前 提 下，利 用 根 与 系 数 的 关 系，根 据 弦 长 公 式 求 弦 长.（2）几 何 方 法：若 弦 心 距 为 d,圆 的 半 径 长 为 八 则 弦 长/=2不 二 题 型 五：圆 与 圆 的 位 置 关 系 例 11.（2022广 西 桂 林 模 拟 预 测（文）圆 弓“2+丫 2-14=0与 圆。2：-3）2+（-4）2=15的 位 置 关 系 为（）A.相 交 B.内 切 C.外 切 D.相 离 例 12.（2022 全 国 高 考 真 题）写 出 与 圆 2+丁=1和（x-3）2+（y-4=16都 相 切 的 一 条 直 线 的

15、 方 程【规 律 方 法】1.判 断 两 圆 位 置 关 系 的 方 法 常 用 几 何 法，即 用 两 圆 圆 心 距 与 两 圆 半 径 和 与 差 的 绝 对 值 的 关 系，一 般 不 用 代 数 法.2.两 圆 公 共 弦 长 的 求 法 两 圆 公 共 弦 长，先 求 出 公 共 弦（两 圆 方 程 相 减 即 得 公 共 弦 方 程）所 在 直 线 的 方 程，转 化 为 直 线 与 圆 相 交 的 弦 长 问 题.3.公 共 弦 长 要 通 过 解 直 角 三 角 形 获 得.题 型 六：直 线、圆 的 综 合 应 用 例 13.（2020全 国 高 考 真 题（理）已 知。x

16、2+y2-2x-2y-2=0,直 线/：2x+y+2=0,尸 为/上 的 动 点，过 点 尸 作。M 的 切 线 切 点 为 4 8,当 最 小 时，直 线 A 8 的 方 程 为（）A.2x-y-l=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+l=0 D.2x+y+l=0例 14.（2022全 国 高 考 真 题）设 点 A（-2,3）,B（0,a）,若 直 线 A B 关 于=。对 称 的 直 线 与 圆（x+3）2+（y+2）2=l有 公 共 点，则。的 取 值 范 围 是.例 15.（2022河 南 郑 州 四 中 高 三 阶 段 练 习（文）己 知 圆。:/+y2-4工-2），+1=0,

17、点 P 是 直 线 y=4 上 的 动 点，过 P 作 圆 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A,B,则|A8|的 最 小 值 为.例 16.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 线 段 A 8 的 端 点 8 的 坐 标 是（5,1）,端 点 A 在 圆 G+（y-=4上 运 动.y 求 线 段 A B 的 中 点 P 的 轨 迹 C2的 方 程;(2)设 圆 G 与 曲 线 C2的 两 交 点 为 M,N,求 线 段 的 长；(3)若 点 C在 曲 线 G 上 运 动，点 Q在 x 轴 上 运 动，求 的 最 小 值.【规 律 方 法】(一)最 值 问 题 1.与 圆 有

18、 关 的 最 值 问 题 的 三 种 几 何 转 化 法(1)形 如=与 形 式 的 最 值 问 题 可 转 化 为 动 直 线 斜 率 的 最 值 问 题.(2)形 如 r=a x+勿 形 式 的 最 值 问 题 可 转 化 为 动 直 线 截 距 的 最 值 问 题.(3)形 如 m=(xa)2+(yb p形 式 的 最 值 问 题 可 转 化 为 动 点 到 定 点 的 距 离 的 平 方 的 最 值 问 题.2.求 解 形 如 俨 M+IPM(其 中 M,N 均 为 动 点)且 与 圆 C 有 关 的 折 线 段 的 最 值 问 题 的 基 本 思 路：(1)“动 化 定”，把 与 圆

19、 上 动 点 的 距 离 转 化 为 与 圆 心 的 距 离.(2)“曲 化 直”，即 将 折 线 段 之 和 转 化 为 同 一 直 线 上 的 两 线 段 之 和，一 般 要 通 过 对 称 性 解 决.(-)求 与 圆 有 关 的 轨 迹 问 题 的 四 种 方 法(1)直 接 法：直 接 根 据 题 设 给 定 的 条 件 列 出 方 程 求 解.(2)定 义 法：根 据 圆 的 定 义 列 方 程 求 解.(3)几 何 法：利 用 圆 的 几 何 性 质 得 出 方 程 求 解.(4)代 入 法(相 关 点 法)：找 出 要 求 的 点 与 已 知 点 的 关 系，代 入 已 知 点

20、 满 足 的 关 系 式 求 解.注：从 高 考 命 题 看，与 圆 相 关 轨 迹 问 题，往 往 与 圆 锥 曲 线 有 关.(三)几 何 法 解 决 直 线 与 圆 的 综 合 问 题(1)处 理 直 线 与 圆 的 弦 长 问 题 时 多 用 几 何 法，即 弦 长 的 一 半、弦 心 距、半 径 构 成 直 角 三 角 形.(2)圆 的 切 线 问 题 的 处 理 要 抓 住 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，从 而 建 立 关 系 解 决 问 题.专 题 9.2 直 线 与 圆 的 位 置 关 系(知 识 点 讲 解)【知 识 框 架】1.考 查 圆 的 方 程，凸

21、显 数 学 抽 象、数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.【核 心 素 养】2.考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系、圆 与 圆 的 位 置 关 系，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.3.与 圆 锥 曲 线 相 结 合 考 查，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象、数 学 应 用 的 核 心 素 养.【知 识 点 展 示】圆 的 方 程 1.圆 的 定 义：在 平 面 内，到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹 叫 做 圆.2.圆 的 标 准 方 程(1)若 圆 的 圆 心 为 C(M,半 径 为 r,则 该 圆 的 标 准

22、方 程 为：(x a)2+(y-份 2=(2)方 程(x-a)2+(i)2=产 表 示 圆 心 为 C Q 万 半 径 为 r的 圆.3.圆 的 一 般 方 程(1)任 意 一 个 圆 的 方 程 都 可 化 为：x2+y2+D x+E y+F=0.这 个 方 程 就 叫 做 圆 的 一 般 方 程.(2)对 方 程：/+：/+瓜+尸=0.若。2+石 2-4/0,则 方 程 表 示 以(一 弓，一 段)为 圆 心,|V D2+E2-4 F 为 半 径 的 圆；若。？+后 24尸=0,则 方 程 只 表 示 一 个 点(一 日，-1)；若。？+七 2一 4尸 0,则 方 程 不 表 示 任 何

23、图 形.4.点 A(x0,%)与。C 的 位 置 关 系(l)|AC|r=点 A 在 圆 内-6)2 r=点 A 在 圆 外 0(%0-4)2+(%一 加 2 r2.二.圆 的 方 程 综 合 应 用 1.圆 的 标 准 方 程 为：(xa)2+(y)2=2.圆 的 一 般 方 程.：x2+y2+D x+E y+F=0(D2+2-4 F 0).3.点 y0)到 直 线 l:A x+B y+C=0 的 距 离：d=卜%”.+B2三.直 线 与 圆 相 切 1.直 线 与 圆 相 切：直 线 与 圆 有 且 只 有 一 个 公 共 点；2.几 何 法：圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径

24、，即 4=；3.代 数 法：A=0,方 程 组 有 一 组 不 同 的 解.四.直 线 与 圆 相 交 及 弦 长 1.直 线 与 圆 相 交：直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点；2.几 何 法：圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 半 径，即 d 0,方 程 组 有 两 组 不 同 的 解.五.圆 与 圆 的 位 置 关 系 设 两 圆 的 圆 心 分 别 为 G、C2,圆 心 距 为 1=半 径 分 别 为 R、r(Rr).(1)两 圆 相 离：无 公 共 点；d R+r,方 程 组 无 解.(2)两 圆 外 切：有 一 个 公 共 点；d=R+r,方 程 组 有 一 组 不 同 的

25、 解.(3)两 圆 相 交：有 两 个 公 共 点；R-r d R+r,方 程 组 有 两 组 不 同 的 解.两 圆 内 切：有 一 公 共 点；d=R-r,方 程 组 有 一 组 不 同 的 解.(5)两 圆 内 含：无 公 共 点；0 d R r,方 程 组 无 解.特 别 地，d=0 时，为 两 个 同 心 圆.六.常 用 结 论 1.圆 的 三 个 性 质(1)圆 心 在 过 切 点 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 上;(2)圆 心 在 任 一 弦 的 中 垂 线 上;(3)两 圆 相 切 时，切 点 与 两 圆 心 三 点 共 线.2.以 A(xi，yi),8(X2，)2)为

26、直 径 端 点 的 圆 的 方 程 为(x-xi)(xX2)+(y-yi)(y)=0.3.当 两 圆 相 交(切)时，两 圆 方 程 3，丁 项 的 系 数 相 同)想 感 便 可 得 公 共 弦(公 切 线)所 在 的 直 线 方 程.24.直 线 与 圆 相 交 时，弦 心 距”，半 径 r,弦 长 的 一 半 夕 满 足 关 系 式/=翌 上 5.圆 的 切 线 方 程 常 用 结 论(1)过 圆 f+尸=/上 一 点 P(xo，yo)的 圆 的 切 线 方 程 为 出 土 啦 三 一.(2)过 圆(xa)2+(y力 2=，上 一 点 pa”的)的 圆 的 切 线 方 程 为 低 匚 必

27、 匚 妇 侬 二 仁 嚏 三 巳(3)过 圆 2+丁=/外 一 点 M(xo，州)作 圆 的 两 条 切 线，则 两 切 点 所 在 直 线 方 程 为 x然 十 y()y=，.【常 考 题 型 剖 析】题 型 一：求 圆 的 方 程 例 1.(2020山 东 高 考 真 题)已 知 圆 心 为(-2,1)的 圆 与 y 轴 相 切，则 该 圆 的 标 准 方 程 是()A.(x+2)2+(y-l)2=l B.(x+2)2+(y-l)2=4C.(x-2)2+(y+l)2=l D.(x-2)2+(y+l)2=4【答 案】B【分 析】圆 的 圆 心 为(-2,1),半 径 为 2,得 到 圆 方

28、程.【详 解】根 据 题 意 知 圆 心 为(-2,1),半 径 为 2,故 圆 方 程 为：(x+2)2+(y_l/=4.故 选：B.例 2.(重 庆 高 考 真 题(文)圆 心 在 y 轴 上，半 径 为 1,且 过 点(1,2)的 圆 的 方 程 是()A.x2+(y-2)2=l B.x2+(y+2)2=lC.(X-1)2+(J-3)2=1 D.x2+(y-3)2=l【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 圆 心 的 位 置 及 半 径 可 写 出 圆 的 标 准 方 程，然 后 将 点。，2)代 入 圆 的 方 程 即 可 求 解.【详 解】因 为 圆 心 在 y 轴 上，所 以 可

29、设 所 求 圆 的 圆 心 坐 标 为(O,b),则 圆 的 方 程 为 x 2+(y d)2=,又 点(1,2)在 圆 上,所 以 1+(2-与:1,解 得。=2.故 选：A例 3.(2022全 国 高 考 真 题(文)过 四 点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.【答 案】(x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2 y+(y l)-=5 或 卜-g=或【解 析】【分 析】设 圆 的 方 程 为 r+y 2+Dx+或+尸=0,根 据 所 选 点 的 坐 标，得 到 方 程 组，解 得 即 可；【详 解】解：依 题 意 设 圆 的

30、方 程 为+y2+Dx+Ey+F=0,F=0 F=0若 过(0,0),(4,0),(-1,1),贝 1 卜 16+4。+尸=0,解 得，。二-生 l+l-D+E+F=0 E=-6所 以 圆 的 方 程 为 x2+y 2-4 x-6 y=0,即(x 2?+(y 3=13；F=0 F=0若 过(0,0),(4,0),(4,2),则 T 6+4 D+F=0，解 得。=-4,16+4+4D+2+F=0 E=-2所 以 圆 的 方 程 为 V+y 2-4 x-2 y=0,B|J(x-2)2+(y-l)2=5：F=0若 过(0,0),(4,2),(-1,1),则，l+l-O+E+F=016+4+4D+2E

31、+F=0F=0Q解 得,Q 14所 以 圆 的 方 程 为 丁+丫:一 三-1：。,三；若 过(T，l),(4,0),(4,2),则 J 16k=-1+1-。+石+/=051 z-16+4 0+尸=0,解 得，D=-5E=-216+4+4。+2+b=0所 以 圆 的 方 程 为 2+丫 2-x-2)，一=0,即(x-1J+(y-l)2=詈;故 答 案 为：(刀-2)2+()3)2=13或(【规 律 方 法】求 圆 的 方 程，主 要 有 两 种 方 法：(1)几 何 法：具 体 过 程 中 要 用 到 初 中 有 关 圆 的 一 些 常 用 性 质 和 定 理.如：圆 心 在 过 切 点 且

32、与 切 线 垂 直 的 直 线 上；圆 心 在 任 意 弦 的 中 垂 线 上；两 圆 相 切 时，切 点 与 两 圆 心 三 点 共 线.(2)待 定 系 数 法：根 据 条 件 设 出 圆 的 方 程，再 由 题 目 给 出 的 条 件，列 出 等 式，求 出 相 关 量.一 般 地，与 圆 心 和 半 径 有 关，选 择 标 准 式，否 则，选 择 一 般 式.不 论 是 哪 种 形 式，都 要 确 定 三 个 独 立 参 数，所 以 应 该 有 三 个 独 立 等 式.题 型 二：圆 的 方 程 综 合 应 用 例 4.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)当 圆 C:Y+y2-4

33、x+6y-3=0 的 圆 心 到 直 线/：ir+y+Ll=0 的 距 离 最 大 时，机=()A.-B.-C.-D.-4 3 4 3【答 案】C【解 析】【分 析】求 出 圆 心 坐 标 和 直 线 过 定 点，当 圆 心 和 定 点 的 连 线 与 直 线/垂 直 时 满 足 题 意，再 利 用 两 直 线 垂 直，斜 率 乘 积 为-1求 解 即 可.【详 解】解：因 为 圆 C:x2+y2-4x+6)，-3=0 的 圆 心 为 C(2,-3),半 径 R=4,又 因 为 直 线/:尔+y+m T=0过 定 点 A(-l,l),4 3故 当 C 4 与 直 线/垂 直 时，圆 心 到 直

34、 线 的 距 离 最 大，此 时 有&A C勺=T，即-彳(-附=-1,解 得 机=-：故 选：C.例 5.(2016天 津 高 考 真 题(文)已 知 圆 C 的 圆 心 在 x轴 的 正 半 轴 上，点 例(0,石)在 圆 C 上，且 圆 心 到 直 线 2x-y=0的 距 离 为 地，则 圆 C 的 方 程 为.5【答 案】(x-2)2+y2=9.【解 析】【详 解】2 4 _ 4石 _试 题 分 析：设 C（a,0）（a 0）,则 忑=亍=a=2,r=正+（后=3,故 圆 C 的 方 程 为 5-2）2+y2=9.【总 结 提 升】涉 及 圆 的 方 程 问 题，常 用 到 圆 的 以

35、 下 几 何 性 质：圆 心 在 过 切 点 且 与 切 线 垂 直 的 直 线 上；圆 心 在 任 一 弦 的 垂 直 平 分 线 上.题 型 三：直 线 与 圆 相 切 例 6.（2020全 国 高 考 真 题（理）若 过 点（2,1）的 圆 与 两 坐 标 轴 都 相 切，则 圆 心 到 直 线 2 x-y-3=0的 距 离 为（）A.B.C,D,拽 5 5 5 5【答 案】B【解 析】【分 析】由 题 意 可 知 圆 心 在 第 一 象 限，设 圆 心 的 坐 标 为（“M）M 0,可 得 圆 的 半 径 为“，写 出 圆 的 标 准 方 程，利 用 点（2,1）在 圆 上，求 得 实

36、 数。的 值，利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 出 圆 心 到 直 线 2 x-y-3=0的 距 离.【详 解】由 于 圆 上 的 点（2,1）在 第 一 象 限，若 圆 心 不 在 第 一 象 限，则 圆 与 至 少 与 一 条 坐 标 轴 相 交，不 合 乎 题 意，所 以 圆 心 必 在 第 一 象 限，设 圆 心 的 坐 标 为（a,a）,则 圆 的 半 径 为 a,圆 的 标 准 方 程 为（x 力+仃.由 题 意 可 得（2-“y+（l-a）:,可 得/_ 6 a+5=0,解 得。=1 或。=5,所 以 圆 心 的 坐 标 为（1,1）或（5,5）,圆 心 到 直

37、 线 航 一 7-3.0 的 距 离 均 为 4=|2xl 一 1一 3|2 6-忑 亏;圆 心（0 5）到 直 线 2 x-,-3-0 的 距 离 均 为 4=|2x5-5-3|_ 25/53-圆 心 到 直 线 2x-y-3=0的 距 离 均 为=甲=述；V5 5所 以，圆 心 到 直 线 2x-y-3=0的 距 离 为 平.故 选：B.例 7.【多 选 题】（2021.全 国.高 考 真 题）已 知 直 线/:奴+与，-产=0 与 圆。：/+=/,点 4 3 份，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 点 A 在 圆 C 上，则 直 线/与 圆 C 相 切 B.若 点 A 在 圆

38、C 内，则 直 线/与 圆 C 相 离 C.若 点 A 在 圆 C 外，则 直 线/与 圆 C 相 离 D.若 点 4 在 直 线/上，则 直 线/与 圆 C 相 切【答 案】ABD【解 析】【分 析】转 化 点 与 圆、点 与 直 线 的 位 置 关 系 为 合+从,严 的 大 小 关 系，结 合 点 到 直 线 的 距 离 及 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 即 可 得 解.【详 解】圆 心 c（o,o）到 直 线/的 距 离=Va2+b2若 点 A（a,6）在 圆 C 上，则/+从=/，所 以=方 十 寸=巾 Ja+b则 直 线/与 圆 C 相 切，故 A 正 确;若 点 A（a,6

39、）在 圆 C 内，则/+，所 以=,卜|,则 直 线/与 圆 C 相 离，故 B 正 确;yja-+b-2若 点 A（a,幼 在 圆 C 外,则/+/户,所 以 d=，巾 ja+b则 直 线/与 圆 C 相 交，故 C 错 误；若 点 4（。力）在 直 线/上，贝 4/+从 一，=0 即 a2+b2r2,所 以 d=777=卜|,直 线/与 圆 C相 切，故 D 正 确.故 选：ABD.例 8.(2020浙 江 高 考 真 题)设 直 线/：y=h+0)与 圆 Y+9=1和 圆(x-4)2+V=1均 相 切，贝 ijk=b=_【答 案】3 3【解 析】【分 析】用 2 6由 直 线 与 两 圆

40、 相 切 建 立 关 于,b 的 方 程 组，解 方 程 组 即 可.【详 解】设 Ct-.x2+y2=,C2：(x-4)2+/=1,由 题 意，G C 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，即=1，器 M所 以|旬=|必+4，所 以 左=0(舍)或 者 6=-2%,解 得 k=也 力=-巫.3 3故 答 案 为：B；-空 3 3【规 律 方 法】判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 常 见 的 方 法(1)几 何 法：利 用 d 与 r 的 关 系.(2)代 数 法：联 立 方 程 组，消 元 得 一 元 二 次 方 程 之 后 利 用 4 判 断.(3)点 与 圆 的 位 置 关

41、系 法：若 直 线 恒 过 定 点 且 定 点 在 圆 内，可 判 断 直 线 与 圆 相 交.提 醒：上 述 方 法 中 最 常 用 的 是 几 何 法.题 型 四：直 线 与 圆 相 交 及 弦 长 例 9.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)过 圆 C:(x-l)?+y2=i 外 一 点 p 作 圆 C 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A,8.若 B W为 等 边 三 角 形，则 过。(2,1)的 直 线/被 尸 点 轨 迹 所 截 得 的 最 短 弦 长 为.【答 案】2五【解 析】【分 析】先 根 据/A P C=3 0。，可 得 尸 点 轨 迹 方 程 为 圆，再 数

42、 形 结 合 可 知 当/与 C D垂 直 时，/被 圆 所 截 得 的 弦 长 最 短，结 合 垂 径 定 理 计 算 即 可【详 解】由 题 意 知 c(l,o),连 接 尸 C,因 为 以 8 为 等 边 三 角 形，所 以/C=3 0。，所 以|CH=2,所 以 尸 点 sin 30轨 迹 的 方 程 为(x-iy+y2=4.因 为(2-1+12=2)与 圆(“一 1)2+(丫 一 1)-=3相 交 所 得 的 弦 长 为 加，则【答 案】2【解 析】【分 析】计 算 出 圆 心 到 直 线 的 距 离，利 用 勾 股 定 理 可 得 出 关 于 根 的 等 式，即 可 解 得?的 值

43、.【详 解】圆(x-l)2+(y-l)2=3的 圆 心 坐 标 为(U),半 径 为|1-1+7/7圆 心 到 直 线 x-y+m=0(加 0)的 距 离 为 七 尸=正，由 勾 股 定 理 可 得 因 为 机 0,解 得 m=2.故 答 案 为：2.【规 律 方 法】1.弦 长 的 两 种 求 法(1)代 数 方 法：将 直 线 和 圆 的 方 程 联 立 方 程 组，消 元 后 得 到 一 个 一 元 二 次 方 程.在 判 别 式 d 0 的 前 提 下,利 用 根 与 系 数 的 关 系，根 据 弦 长 公 式 求 弦 长.(2)几 何 方 法：若 弦 心 距 为 d,圆 的 半 径

44、长 为 八 则 弦 长/=2产 二?.题 型 五：圆 与 圆 的 位 置 关 系例 11.(2022广 西 桂 林 模 拟 预 测(文)圆 G：x2+y2-14x=0与 圆 G：(x-3)2+(y-4)2=15的 位 置 关 系 为()A.相 交 B.内 切 C.外 切 D.相 离【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 两 圆 的 位 置 关 系 的 判 定 方 法，即 可 求 解.【详 解】由 G：f+y2_4x=0与 圆 C2：(x-3)2+(y-4)2=15,可 得 圆 心 G(7,0)，G(3,4),半 径 4=7,4=后,则|CC2|=J(7-3)2+(O-4)2=4 0,且 旦 一

45、 4=7-715,/?,+=7+715,所 以 R 2-K|G G|0)d=J=1 5 3 5。到/的 距 离 广 屋，解 得 f=,所 以/的 方 程 为 y=-=x+=,3+而 4 4 4当 切 线 为，”时，设 直 线 方 程 为 乙+y+P=0,其 中 p0,k0,由 题 意，J1+公 伙+4+p J1+Fk=-解 得，,，y=7 25一 X-24 24当 切 线 为 时，易 知 切 线 方 程 为 x=-1,常 用 几 何 法，即 用 两 圆 圆 心 距 与 两 圆 半 径 和 与 差 的 绝 对 值 的 关 系，一 般 不 用 代 数 法.2.两 圆 公 共 弦 长 的 求 法 两

46、 圆 公 共 弦 长，先 求 出 公 共 弦（两 圆 方 程 相 减 即 得 公 共 弦 方 程）所 在 直 线 的 方 程，转 化 为 直 线 与 圆 相 交 的 弦 长 问 题.3.公 共 弦 长 要 通 过 解 直 角 三 角 形 获 得.题 型 六：直 线、圆 的 综 合 应 用 例 13.（2020 全 国 高 考 真 题（理）已 知。x2+y2-2 x-2 y-2=0,直 线/：2 x+y+2=0,2 为/上 的 动 点，过 点 尸 作。M 的 切 线 尸 A 尸 8,切 点、为 A,B,当|*W|-|4 3|最 小 时，直 线 A 8的 方 程 为（）A.2 x-y-1=0 B.

47、2x+y-1=0 C.2 x-y+1=0 D.2 x+y+l=O【答 案】D【解 析】【分 析】由 题 意 可 判 断 直 线 与 圆 相 离，根 据 圆 的 知 识 可 知，四 点 A P,反 M 共 圆，且 根 据|PMHAB)=4S.M=4|即 可 知，当 直 线 M P 口 时，|同 邪|相 最 小,求 出 以 M P 为 直 径 的 圆 的 方 程,根 据 圆 系 的 知 识 即 可 求!1；直 线 A B 的 方 程.【详 解】圆 的 方 程 可 化 为(x-l)2+(y l)2=4 点 M 到 直 线/的 距 离 为 d=为 2,所 以 直 线/与 圆 相 V22+l2禺 依 圆

48、 的 知 识 可 知，四 点 A,P,a”四 点 共 圆，且 所 以 1PMi.|48|=4 哂=4xxPAxAM=4PA,而 网=J|M/f-4,当 直 线 时，|阴 皿=石，归 人,“=1，此 时 归 何 卜|明 最 小.=；I xz-l、即 1 1 y=1 x d1 fX=-1y=：x+：，由 2 2 解 得，A.2 2 2 卜 中+2=0 3=。所 以 以 M P 为 直 径 的 圆 的 方 程 为(xl)(x+l)+y(yl)=O,即 x2+/-y-l=O,两 圆 的 方 程 相 减 可 得：2x+y+l=0,即 为 直 线 A 8 的 方 程.故 选：D.例 14.(2022.全

49、国.高 考 真 题)设 点 A(-2,3),B(0,a),若 直 线 A B 关 于 V=。对 称 的 直 线 与 圆(x+3)2+(y+2)2=l有 公 共 点，则。的 取 值 范 围 是.1 3【答 案】【解 析】【分 析】首 先 求 出 点 A 关 于 了=。对 称 点 4 的 坐 标，即 可 得 到 直 线/的 方 程，根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 半 径 得 到 不 等 式，解 得 即 可；【详 解】解：4(-2,3)关 于 丫=。对 称 的 点 的 坐 标 为 砥-2,24-3),8(0,a)在 直 线 y=a 上，所 以 AB所 在 直 线 即 为 直

50、线/,所 以 直 线/为 丫=胃 工+。，即(a-3)x+2y-2=0；一 2圆 C:(x+3)2+(y+2)2=l,圆 心 C(-3,-2),半 径/=1，|-3(tz-3)-4-2a|依 题 意 圆 心 到 直 线/的 距 离 d=、=3=；41，J(a-3)-+22i即（5 5）4（a-3）-7+2 2,解 得 314 a34,即 a e 1 3；故 答 案 为：g 弓 例 15.（2022.河 南 嘟 州 四 中 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 圆 C:x2+y 2-4 x-2），+l=0,点 尸 是 直 线 y=4 上 的 动 点，过 P 作 圆 的 两 条 切 线，切 点 分