2023年高考数学总复习第八章立体几何初步第二节空间几何体的表面积和体积.pdf

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1、第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 最 新 考 纲 了 解 球、棱 柱、棱 锥、台 的 表 面 积 和 体 积 的 计 算 公 式.考 向 预 测 考 情 分 析：高 考 常 以 三 视 图 为 载 体，主 要 考 查 柱、锥、球 的 表 面 积 和 体 积，以 选 择 题、填 空 题 的 形 式 出 现，属 于 容 易 题.学 科 素 养：通 过 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 的 计 算 考 查 直 观 想 象、数 学 运 算 的 核 心 素 养.积 累 必 备 知 识 基 础 落 实 赢 得 良 好 开 端 一、必 记 2 个 知 识 点 1.圆

2、柱、圆 锥、圆 台 的 侧 面 展 开 图 及 侧 面 积 公 式 圆 柱 圆 锥 圆 台 侧 面 展 开 图 一 2“：/、侧 面 积 公 式 S 圆 柱 恻=_ S 圆 锥 韵=_ S 冏 自 例=_2.空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 公 式 名 称 几 何 体 表 面 积 体 积 柱 体（棱 柱 和 圆 柱）S 温 面 积=S 糖+2 S 底 _锥 体（棱 锥 和 圆 锥）S 表 面 枳=S 侧+S 麻 v=_台 体（棱 台 和 圆 台）S 表 面 积=S 闸+S i-.+S下 1 rK 三（S jt+s F+IS 上 S下 M球 s=_ v=_二、必 明 3 个 常 用

3、 结 论 1.正 方 体 的 棱 长 为。，球 的 半 径 为 R,若 球 为 正 方 体 的 外 接 球，则 2/?=百 公 若 球 为 正 方 体 的 内 切 球，则 2R=a：若 球 与 正 方 体 的 各 棱 相 切，则 2/?=鱼”.2.长 方 体 的 共 顶 点 的 三 条 棱 长 分 别 为 a,b,c,外 接 球 的 半 径 为 R,则 2/?=Va2+b2+c2.3.正 四 面 体 的 外 接 球 与 内 切 球 的 半 径 之 比 为 3：1.三、必 练 4 类 基 础 题（一）判 断 正 误 1.判 断 下 列 说 法 是 否 正 确（请 在 括 号 中 打“，”或 X”

4、）.（1）圆 柱 的 一 个 底 面 积 为 5,侧 面 展 开 图 是 一 个 正 方 形，那 么 这 个 圆 柱 的 侧 面 积 是2nS.（）（2）锥 体 的 体 积 等 于 底 面 面 积 与 高 之 积.（）（3）台 体 的 体 积 可 转 化 为 两 个 锥 体 的 体 积 之 差.（）（4）球 的 体 积 之 比 等 于 半 径 之 比 的 平 方.（）（二）教 材 改 编 2.必 修 2色 7练 习 改 编 己 知 圆 锥 的 表 面 积 等 于 co?,其 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆,则 底 面 圆 的 半 径 为 cm.3.必 修 2 P 2 9 习 题 B 组

5、 Ti改 编 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 等 于，表 面 积 等 于.（三）易 错 易 混 4.（长 度 单 住 与 体 积 单 枚 的 换 算 出 错）九 章 算 术 商 功 章 有 题：一 圆 柱 形 谷 仓，高 1丈 3 尺 W 寸，容 纳 米 2 000斛（1 丈=1 0 尺，1尺=1 0 寸，斛 为 容 积 单 位，1斛 Q 1.62立 方 尺，兀 比 3）,则 圆 柱 底 面 圆 的 周 长 约 为（）A.1丈 3 尺 B.5 丈 4 尺 C.9丈 2 尺 D.48丈 6 尺 5.（不 会 分 类 讨 论 改 误）圆 柱 的 侧

6、面 展 开 图 是 边 长 为 6n和 4兀 的 矩 形，则 圆 柱 的 表 面 积 为.（四）走 进 高 考 6.2021全 国 甲 卷 已 知 一 个 圆 锥 的 底 面 半 径 为 6,其 体 积 为 30兀，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为 提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 空 间 几 何 体 的 侧 面 积 和 表 面 积 基 础 性、综 合 性 例 1（1）2022云 南 省 部 分 学 校 统 一 检 测 九 章 算 术 中 将 底 面 为 矩 形、一 条 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥 称 为“阳 马”，将 底 面 是 直

7、 角 三 角 形 的 直 三 棱 柱 称 为“堑 堵”.已 知 某“阳 马”和 某“堑 堵”的 组 合 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（）A.28+12鱼 B.24+12企C.26+12V2 D.12+24或 2022河 南 周 口 模 拟 如 图，在 三 棱 柱 A 8C A山 C i中，441_L底 面 48C,A B LB C,A4|=A C=2,直 线 A C 与 侧 面 A 4出 山 所 成 的 角 为 30。，则 该 三 棱 柱 的 侧 面 积 为（）A.4+4&B.4+4V 3C.12 D.8+4企 听 课 笔 记：反 思 感 悟 三

8、类 几 何 体 表 面 积 的 求 法 求 多 面 体 的 表 面 积 只 需 将 它 们 沿 着 棱“剪 开”展 成 平 面 图 形，利 用 求 平 面 图 形 面 积 的 方 法 求 多 面 体 的 表 面 积 求 旋 转 体 的 表 面 积 可 以 从 旋 转 体 的 形 成 过 程 及 其 几 何 特 征 入 手，将 其 展 开 后 求 表 面 积，但 要 搞 清 它 们 的 底 面 半 径、母 线 长 与 对 应 侧 面 展 开 图 中 的 边 长 关 系 求 不 规 则 几 何 体 的 表 面 积 通 常 将 不 规 则 几 何 体 分 割 成 基 本 的 柱 体、锥 体、台 体，

9、先 求 出 这 些 基 本 的 柱 体、锥 体、台 体 的 表 面 积，再 通 过 求 和 或 作 差，求 出 不 规 则 几 何 体 的 表 面 积【对 点 训 练】1.2020全 国 卷 III如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A.6+4V2 B.4+4&C.6+2V3 D.4+2V 32.2022.安 徽 池 州 市 高 三 模 拟 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 德 在 其 著 作 几 何 原 本 中 定 义 了 相 似 圆 锥：两 个 圆 锥 的 高 与 底 面 的 直 径 之 比 相 等 时，则 称 这 两 个 圆 锥 为 相

10、 似 圆 锥.已 知 圆 锥 S O的 底 面 圆。的 半 径 为 3,其 母 线 长 为 5.若 圆 锥 SXY与 圆 锥 S O是 相 似 圆 锥，且 其 高 为 8,则 圆 锥 卜 0,的 侧 面 积 为（）A.157r B.607rC.967r D.120 乃3.2022福 建 厦 门 市 高 三 模 拟 2 0 0 8年 北 京 奥 运 会 游 泳 中 心（水 立 方）的 设 计 灵 感 来 于 威 尔 弗 兰 泡 沫，威 尔 弗 兰 泡 沫 是 对 开 尔 文 胞 体 的 改 进，开 尔 文 体 是 一 种 多 面 体，它 由 正 六 边 形 和 正 方 形 围 成（其 中 每 一

11、 个 顶 点 处 有 一 个 正 方 形 和 两 个 正 六 边 形），已 知 该 多 面 体 共 有 24个 顶 点，且 棱 长 为 1,则 该 多 面 体 表 面 积 是（）A.9V3+6 B.9V3+8C.12V3+6 D.12V3+8考 点 二 空 间 几 何 体 的 体 积 综 合 性 角 度 1 公 式 法 求 体 积 例 2 正 四 棱 台 的 上、下 底 面 的 边 长 分 别 为 2,4,侧 棱 长 为 2,则 其 体 积 为（）B.28V2D.咨 3听 课 笔 记：A.20+12V3角 度 2 割 补 法 求 体 积 例 3 在 如 图 所 示 的 斜 截 圆 柱 中，已

12、知 圆 柱 底 面 的 直 径 为 4 c m,母 线 长 最 短 5 c m,最 长 8 cm,则 斜 截 圆 柱 的 体 积 V=cm3.听 课 笔 记：一 题 多 变（变 问 题）若 例 3 中 条 件 不 变，求 斜 截 圆 柱 的 侧 面 面 积 S=cm2.角 度 3 等 体 积 法 求 体 积 例 4 如 图 所 示，已 知 三 棱 柱 ABC-AIB C I的 所 有 棱 长 均 为 1,且 底 面 A B C,则 三 棱 锥 8-A 8 G 的 体 积 为（）C.立 D.渔 12 4反 思 感 悟（1）处 理 体 积 问 题 的 思 路（2）求 体 积 的 常 用 方 法 直

13、 接 法：对 于 规 则 的 几 何 体，利 用 相 关 公 式 直 接 计 算.割 补 法：把 不 规 则 的 几 何 体 分 割 成 规 则 的 几 何 体，然 后 进 行 体 积 计 算；或 者 把 不 规 则 的 几 何 体 补 成 规 则 的 几 何 体，不 熟 悉 的 几 何 体 补 成 熟 悉 的 几 何 体，便 于 计 算.等 体 积 法：选 择 合 适 的 底 面 来 求 几 何 体 体 积，常 用 于 求 三 棱 锥 的 体 积，即 利 用 三 棱 锥 的 任 一 个 面 作 为 三 棱 锥 的 底 面 进 行 等 体 积 变 换.【对 点 训 练】1.如 图，在 直 四

14、棱 柱 中，底 面 A B C D 是 平 行 四 边 形.点 E 是 棱 BB的 中 点，点 F 是 棱 C G 上 靠 近 G 的 三 等 分 点，且 三 棱 锥 A-AEF的 体 积 为 2,则 四 棱 柱 ABCD-ABCD 的 体 积 为（）A.12 B.8 C.20 D.182.图 1是 一 种 生 活 中 常 见 的 容 器，其 结 构 如 图 2 所 示，其 中 4BC。是 矩 形，ABFE和 CDEF 都 是 等 腰 梯 形，且 AO_L平 面 CCEF.现 测 得 AB=20 cm,AD=15 cm,F=3 0 cm,A B 与 E F间 的 距 离 为 25 c m,则

15、几 何 体 EF-ABCD的 体 积 为（）A.2 500 cm3B.3 500 cm3C.4 500 cm3D.3 800 cm3考 点 三 空 间 几 何 体 的 外 接 球 与 内 切 球 创 新 性 1角 度 1 几 何 体 的 外 接 球 例 5(1)2022 天 津 市 武 清 区 检 测 九 章 算 术 中 将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 称 之 为 鳖 腌.若 三 棱 锥 尸-ABC为 鳖 蠕，巩，平 面 ABC,PA=AB=2,A C=4,三 棱 锥 P-ABC的 四 个 顶 点 都 在 球。的 球 面 上，则 球。的 表 面 积 为()A.12T

16、 C B.20n C.247t D.32兀(2)2022 天 津 高 三 模 拟 长 方 体 ABCD-ABCD的 8 个 顶 点 在 同 一 球 面 上，且 A 8=2,A=V3,A4i=l,则 球 面 面 积 为()8 4A声 B.C.47r D.8兀 听 课 笔 记：反 思 感 悟 处 理 球 的“接”问 题 的 策 略 把 一 个 多 面 体 的 几 个 顶 点 放 在 球 面 上 即 为 球 的 外 接 问 题,解 决 这 类 问 题 的 关 键 是 抓 住 外 接 的 特 点，即 球 心 到 多 面 体 的 顶 点 的 距 离 等 于 球 的 半 径.|例 6(1)2022成 都

17、市 高 三 模 拟|九 章 算 术 中 将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 称 之 为 鳖 席，若 三 棱 锥 P-A8C为 鳖 席，B4_L平 面 ABC,%=B C=4,A B=3,A B L B C,若 三 棱 锥 P-ABC有 一 个 内 切 球 O,则 球 O 的 体 积 为()A.9K Bd.9n C.9ir Dc.c97t2 4 16(2)2022江 苏 南 京 高 三 模 拟 已 知 直 三 棱 柱 ABC-ABC的 底 面 A B C 为 等 边 三 角 形，若 该 棱 柱 存 在 外 接 球 与 内 切 球，则 其 外 接 球 与 内 切 球 表 面

18、 积 之 比 为()A.25：1 B.2/5：1C.5：1 D.V5：1听 课 笔 记：一 题 多 变（变 条 件，变 问 题）若 例 6（1）中“若 三 棱 锥 尸-A 8C有 一 个 内 切 球 0,”改 为 若 三 棱 锥 P-A 8C的 四 个 顶 点 都 在 球 0 的 球 面 上，”则 球。的 表 面 积 为.反 思 感 悟（1）处 理 球 的“切”问 题 的 策 略，解 决 与 球 的 内 切 问 题 主 要 是 指 球 内 切 多 面 体 与 旋 转 体,解 答 时 首 先 要 找 准 切 点，通 过 作 截 面 来 解 决.如 果 内 切 的 是 多 面 体，则 作 截 面

19、时 主 要 抓 住 多 面 体 过 球 心 的 对 角 面 来 作.（2）解 决 与 球 有 关 的 切、接 问 题，其 通 法 是 作 截 面，将 空 间 几 何 问 题 转 化 为 平 面 几 何 问 题 求 解，其 解 题 的 思 维 流 程 是：【对 点 训 练】1.2022河 北 衡 水 市 检 测 已 知 正 三 棱 锥 S-A 8C的 三 条 侧 棱 两 两 垂 直，且 侧 棱 长 为 夜,则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为（）A.兀 B.3兀 C.6兀 D.9兀 2.2022沙 坪 坝 区 测 试 在 三 棱 锥 P-ABC 中，%=P B=P C=遍，AB

20、=AC=BC=/3,则 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 的 表 面 积 是（）A.9兀 B.4225C.471 D.与 43.已 知 在 三 梭 锥 4 5 C。中，AB=CD=2,A D=A C=B C=B D=3,则 该 三 棱 锥 内 切 球 的 体 积 为（）A 7V14n n llV llT rA.-B.-64 6C 口 7 3,192微 专 题 2 8 数 学 文 化 与 立 体 几 何 的 交 汇 交 汇 创 新 纵 观 近 几 年 高 考，立 体 几 何 以 数 学 文 化 为 背 景 的 问 题 层 出 不 穷，让 人 耳 目 一 新.从 中 国 古 代 数 学 文 化 中

21、 挖 掘 素 材，考 查 立 体 几 何 的 有 关 知 识，既 符 合 考 生 的 认 知 水 平 又 可 以 引 导 考 生 关 注 中 华 优 秀 传 统 文 化，并 提 升 审 题 能 力，增 加 对 数 学 文 化 的 理 解，发 展 数 学 核 心 素 养.例 2022 四 川 眉 山 市 高 三 模 拟 中 国 古 代 数 学 家 刘 徽 所 注 释 的 九 章 算 术 中，称 四 个 面 均 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 为“鳖 嚅”.如 图 所 示 的 鳖 脯 A8C。中，平 面 BCD,CDLBC,若 CO=1,A C=遮，且 顶 点 A,B,C,。均 在 球。上

22、，则 球。的 表 面 积 为.解 析：由 题 意 可 知：球 O 为 鳖 膈 4 B C C的 外 接 球，：AB_L平 面 8 c。，BD,CO u平 面 BCD,J.ABVBD,AB1CD,X CDLBC,AB,8C u平 面 ABC,ABn BC=B,，CDJ_ 平 面 ABC,又 A C u平 面 ABC,：.CD1AC；取 A C 中 点 E,连 接 BE,CE,：AB1.BC,：.B E=A E=D E,同 理 可 知：CE=AE=DE,:.点、E 与 球 O 的 球 心 0 重 合，球 O 的 半 径 R=/）=/AC2+C D 2=f,.球。的 表 面 积 S=4nR2=6n.

23、答 案：67t名 师 点 评 求 解 与 数 学 文 化 有 关 的 立 体 几 何 问 题，首 先 要 在 阅 读 理 解 上 下 功 夫，明 确 其 中 一 些 概 念 的 意 义，如“堑 堵”“阳 马”和“鳖 嚅”等 的 特 征 是 求 解 相 关 问 题 的 前 提，其 次 目 标 要 明 确，根 据 目 标 联 想 相 关 公 式，然 后 进 行 求 解.变 式 训 练 2022安 徽 高 三 测 试 九 章 算 术 是 中 国 古 代 的 数 学 专 著，在 卷 五 商 功 中 有 一 问 题：今 有 沟，上 广 一 丈 五 尺，下 广 一 丈，深 五 尺，袤 七 丈.问 积 几

24、何？答 曰：四 千 三 百 七 十 五 尺.意 思 是 说 现 在 有 一 条 水 沟，截 面 是 梯 形，梯 形 上 底 长 一 丈 五 尺，下 底 长 一 丈，水 沟 的 深 为 五 尺，长 七 丈.问 水 沟 的 容 积 是 多 大？答 案 是 4 375立 方 尺.若 此 沟 两 坡 面 坡 度 相 同，某 人 想 给 此 沟 表 面 铺 上 水 泥 进 行 固 定，不 计 水 泥 厚 度，则 需 要 水 泥 多 少 平 方 尺？（一 丈 等 于 十 尺）（）A.4 375 B.1 875+350病 C.1 750+350遥 D.700+350V5第 二 节 空 间 几 何 体 的 表

25、 面 积 和 体 积 积 累 必 备 知 识 1.2nd nrl n(rf+r)l2.Sh$h 4nR2，/?3-、1.答 案：(1)X(2)X(3)J(4)X2.解 析：设 底 面 半 径 为 r,由 侧 面 展 开 图 为 半 圆 可 知，圆 锥 母 线 长/=2 r,所 以 5 表=兀 户+n r/n r+n r-2 r3 n r1 2 n,所 以 於=4,所 以 r=2.答 案：23.解 析：如 图，由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 底 面 半 径 为 2,高 为 3 的 圆 柱 的 一 半，故 该 几 何 体 的 体 积 为 工 X7tX22 X 3=6 7 t,表 面 积

26、 为 2 x ix 7 tX 22+4 X 3+7tX2X3=107t+12.2 2答 案：6 7 r 12+IO T T4.解 析：设 圆 柱 底 面 圆 半 径 为 r,高 为/?,依 题 意，圆 柱 体 积 为 V=n P h,即 2000 X 1.623X X 13.33,所 以 产 心 8 1,即 产=为 尺，所 以 圆 柱 底 面 圆 周 长 为 2口 2 5 4尺，即 圆 柱 底 面 圆 周 长 约 为 5 丈 4 尺.答 案：B5.解 析：圆 柱 的 侧 面 积 S恻=6兀 X4兀=2 4/以 边 长 为 6兀 的 边 为 轴 时，4兀 为 圆 柱 底 面 圆 周 长,所 以

27、2M=4几,即 尸=2.所 以 S底=4兀，所 以 S花=24兀 2+8兀 以 4兀 所 在 边 为 轴 时，6兀 为 圆 柱 底 面 圆 周 长，所 以 2=6 兀，即 r=3,所 以 S原=9兀，所 以 S表=24兀 2+18兀.答 案：24n2+8n 或 24n2+18n6.解 析：设 该 圆 锥 的 高 为 h,则 由 已 知 条 件 可 得 X兀 X62XA=30兀，解 得/?=|,则 圆 锥 的 母 线 长 为 府 谓=l y+3 6=y,故 该 圆 锥 的 侧 面 积 为 兀 X 6 x=3 9 7t.答 案：397r提 升 关 键 能 力 考 点 一 例 I 解 析:(1)由

28、该 几 何 体 的 三 视 图 可 知，该 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示，“堑 堵”的 底 面 是 直 角 边 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形，高 为 4,“阳 马”的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形，高 为 2,所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 分 两 部 分，“堑 堵”部 分 的 表 面 积 5软=界 2 X 2 X 2+2夜 X 4+2 X 4+2X4-|X 2 X 2=1 8+8 V 2,“阳 马”部 分 的 表 面 积，Sf04=2X2+1x2X2+ix2X2V2+1x2X2V2=6+4V2,所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 为 S

29、笑*+S 阳 马=18+8鱼+6+4夜=24+12a.(2)连 接 4B.因 为 A4I_L底 面 ABC,则 AA BC,又 ABLBC,A4,n AB=A,所 以 BC_L平 面 AAjBiB,所 以 直 线 4 C 与 侧 面 A A 5 B 所 成 的 角 为 NC4B=30。.又 A 4=A C=2,所 以 AC=2五,B C=a.又 AB上 B C,贝 I AB=混，则 该 三 棱 柱 的 侧 面 积 为 2鱼 X2+2X2=4+4V2.:用 答 案：(1)B(2)A对 点 训 练 1.解 析：在 正 方 体 中 还 原 几 何 体 如 图.几 何 体 为 正 方 体 的 一 部

30、分：三 棱 锥 P-A8C,S*-SAB4 C+S A/MB+S APBC+S&BAC=1X2V2X2V2 X y+|x2X2+ix2X2+1x2X2=2V3+6.答 纂 C 一 一 2.解 析：由 题 意 得：圆 锥 SO 的 底 面 直 径 为 6,高 为 枢 52 32=4,所 以 高 与 底 面 直 径 之 比 为：=；,6 3因 为 圆 锥 SO,与 圆 锥 S。是 相 似 圆 锥，且 其 高 为 8,所 以 圆 锥 S77的 底 面 直 径 为 4=12,则 底 面 半 径 为 6,5所 以 圆 锥 S。的 母 线 长 为 82+62=10,所 以 圆 锥 SO的 侧 面 积 为

31、X27rX6X10=60兀 答 案：B3.解 析:棱 长 为 1的 正 方 形 的 面 积 为 1X1=1,正 六 边 形 的 面 积 为 6X1X1X1X=,又 正 方 形 有 4 个 顶 点，正 六 边 形 有 6 个 顶 点，该 多 面 体 共 有 24个 顶 点，所 以 最 多 有 6个 正 方 形，最 少 有 4 个 正 六 边 形，1个 正 六 边 形 与 3 个 正 方 形 相 连，所 以 该 多 面 体 有 6 个 正 方 形，正 六 边 形 有 6X4+3=8个，所 以 该 多 面 体 的 表 面 积 为 8X+6=1273+6.答 案：C考 点 二 例 2解 析：作 出 图

32、 形，连 接 该 正 四 棱 台 上 下 底 面 的 中 心，如 图，因 为 该 四 棱 台 上 下 底 面 边 长 分 别 为 2,4,侧 棱 长 为 2,所 以 该 棱 台 的 高 h=、22 一 侬 一 5=五,下 底 面 面 积 Si=1 6,上 底 面 面 积$2=4,所 以 该 棱 台 的 体 积 U=97(SI+S2+店&)=|x 四 义(1 6+4+%)=等.答 案：D例 3 解 析：方 法 一(分 割 法)将 斜 截 圆 柱 分 割 成 两 部 分：下 面 是 底 面 半 径 为 2 c m,高 为 5 c m 的 圆 柱，其 体 积 Vi=7tX22 X 5=207t(cm

33、3)；上 面 是 底 面 半 径 为 2 cm，高 为 85=3(cm)的 圆 柱 的 一 半，其 体 积 丫 2三 义 兀 X22X3=6;t(cm3).,该 组 合 体 的 体 积 V=Vi+V2=207t+67t=267t(cm3).方 法 二(补 形 法)在 该 几 何 体 上 方 再 补 上 一 个 与 其 相 同 的 几 何 体，让 截 面 重 合，则 所 得 几 何 体 为 一 个 圆 柱，该 圆 柱 的 底 面 半 径 为 2 cm.高 为 8+5=1 3(c m),该 圆 柱 的 体 积 0=兀 X2?X 13=52兀(co?).该 几 何 体 的 体 积 为 圆 柱 体 积

34、 的 一 半，即 丫=：口=26兀(co?).答 案：267r一 题 多 变 解 析：将 题 图 所 示 的 相 同 的 两 个 几 何 体 对 接 为 圆 柱，则 圆 柱 的 侧 面 展 开 图 为 矩 形.由 题 意 得 所 求 侧 面 展 开 图 的 面 积 S=：X(5+8)X(；tX 4)=2 6兀(cn?).答 案：267r例 4 解 析：易 知 三 棱 锥 B-ABC的 体 积 等 于 三 棱 锥 人 B iB G的 体 积，又 三 棱 锥 A-S 8 G的 高 为 苧，底 面 积 为：，故 其 体 积 为)X,X苧=*答 案：A对 点 训 练 1.解 析：设 点 F 到 平 面

35、 ABBiAi的 距 离 为 h,因 为 W 4I-A F=V F-A|A=|SA A1A E-/I=G AA A B)/7=，(A4rAB/7=，S 四 边 形 4 B B A J7=，ABCDAB IC I D I，所 以 V ABCD-A IB IGDI=6如-A E F=6X 2=12.所 以 四 棱 柱 4BC)-4 B iG O i的 体 积 为 12.答 案：A2.解 析:如 图，连 接 AC,EC,A EY A B C Q是 矩 形，；.A B=C D.过 点。作。G_LEF,垂 足 为 G,连 接 A G,则 AG_LE尸.由 题 意 知，AG=25 cm.；AO_L平 面

36、COEF,=1 5 c m,二。与 E F间 的 距 离 D G=A/252-152=20(cm).；E F=30 c m,4 8=D C=2 0 cm,SAECD=1X2OX2O=200(cm2),1 X 30X 2 0=300(cm2).；.VA.EDC=1 X 200X 15=1000(cm3),VA.EFC=l X 300X15=1 500(cm3).*.*VB.AFC=VC-AFB=V QAEF=|必-C=|X 500=1 0 0 0(cm 3),二 几 何 体 EF4B C。的 体 积/F-A8CD=%-DCE+%-EFC+/-C=1 000+1 500+1 000=3 500(c

37、m3).答 案：B考 点 三 例 5 解 析：(1)将 三 棱 锥 P-ABC放 在 一 个 长 方 体 中，如 图 示：则 三 棱 锥 P-A 2C的 外 接 球 就 是 一 个 长 方 体 的 外 接 球，因 为 雨=A 8=2,A C=4,XAB C为 直 角 三 角 形，所 以 B C=，AC2 一 AB2=V42-22=2点 设 长 方 体 的 外 接 球 的 半 径 为 凡 则(2 R)2=4+4+1 2=2 0,故 居=5.所 以 外 接 球 的 表 面 积 为 5=4兀/?2=20兀(2)因 为 长 方 体 A8CD-AiBiCQi的 8 个 顶 点 在 同 一 个 球 面 上

38、，所 以 球 的 直 径 等 于 长 方 体 的 对 角 线 长，设 球 的 半 径 为 R,因 为 A B=2,AD=y3,AA=1,所 以 4/?2=22+(V 3)2+l2=8,球 的 表 面 积 为 4兀 代=8兀.答 案：(1)B(2)D例 6 解 析：(1)因 布 _1 _平 面 A B C,则 布 _LBC,W A B V B C,勿 n A B=A,于 是 得 8C_L平 面 PAB,P B A.B C,而 PA1AB,PA1AC,又 抄 1=8 C=4,A B=3,则 有 AC=AB2+BC2=5,PB=VABZ+PA2=5,三 棱 锥 P-A8C的 表 面 积 为 S=S

39、B+S ACAB+S AMC+S 掰 0=会 南/8+4 2/。+尸 8 改 7+P A A Q=32,连 接。A,OB,OC,O P,如 图：三 棱 锥 P-ABC被 分 割 为 四 个 三 棱 锥 0-附 8,O-ABC,O-PBC,O-P A C,它 们 的 高 均 为 球 0 的 半 径，Vp-ABC-Vo-PAB V o-4 B c+Vo-PBC Vo-PACr(S&PABS.CABSPBC S&PAC)=而 U/MBC=L B4S AABC=L X 4 X ZX 3 X 4=8,则 9=8,得 r=,3 3 2 3 43所 以 球 O 的 体 积 为 片,=1(I)=空.(2)设

40、正 三 棱 柱 底 面 正 三 角 形 的 边 长 为，当 球 内 切 于 正 三 棱 柱 时，球 的 半 径 R 等 于 正 三 棱 柱 的 底 面 正 三 角 形 的 内 切 圆 半 径，所 以 Ri=渔，6故 正 三 棱 柱 的 高 为 2义 会=:06 3KMB当 乎 外 接 于 正 三 棱 柱 时，设 球 的 半 径 为 R2,如 图 所 示：因 为 0。/?!6,CO|不 3 m刁 0则 球 心 是 上 下 底 面 中 心 连 接 线 段 的 中 点,所 以 2=膨=/?1*0。)2=*.外 接 球 与 内 切 球 表 面 积 之 比 为 嚼=上 芸=5：1.4*4nx(制 答 案

41、：(1)C(2)C一 题 多 变 解 析：将 三 棱 锥 尸-ABC放 在 一 个 长 方 体 中，则 三 棱 锥 尸-ABC的 外 接 球 就 是 一 个 长 方 体 的 外 接 球，因 为 9=BC=4,AB=3,ABLBC.设 长 方 体 的 外 接 球 的 半 径 为 凡 贝 U(2R)2=16+16+9=41,故 R2=11.所 以 外 接 球 的 表 面 积 5=4兀/?2=41兀 4答 案：417r对 点 训 练 1.解 析：正 三 棱 锥 的 外 接 球 即 是 棱 长 为 迎 的 正 方 体 的 外 接 球,所 以 外 接 球 的 直 径 2R=J(V齐 山 沈 山 水=n，

42、所 以 4R2=6,外 接 球 的 表 面 积 4兀 7?2=6兀.答 案：C解 析：由 已 知 P-ABC是 正 三 棱 锥，设 P H 是 正 棱 锥 的 高，由 外 接 球 球 心。在 尸，上,如 图，设 外 接 球 半 径 为 R,又 C”=?x H=l,则 P=A/PC2 CH2=2,由 OC2=CW2+C“2 得 R2=Q-R)2+12,解 得 R=M4所 以 表 面 积 为 S=4兀 X 0 2=等.答 案：D3.解 析：如 图，将 三 棱 锥 A-8CD放 入 长 方 体 AE8F-77CGD中，设 HC=a,CG=b,C E=c,则 a2+b2=2z,a2+c2=32,fe2

43、+c2=32,所 以。=V,c=巾、则 三 棱 锥 A-8CO的 体 积 以 8 8=孑&=手，SM B C=SgCD=S&ABD=S4ACD=2五,设 三 棱 锥 A-8CD内 切 球 的 半 径 为 r,则 球 心 到 三 棱 锥 A-8C。四 个 面 的 距 离 都 为 r,设 三 棱 锥 A-BCQ的 表 面 积 为 S,则 VA-BCD=S r=X8A/2 X r=-,因 此 3 3 3 o所 以 三 棱 锥 A-BCQ内 切 球 的 体 积 丫=女/=甯.答 案：D微 专 题 Q 数 学 文 化 与 立 体 几 何 的 交 汇 变 式 训 练 解 析：依 题 意，该 沟 是 一 个 底 面 是 梯 形 的 直 四 棱 柱,底 面 梯 形 的 上 底 长 一 丈 五 尺，下 底 长 一 丈，高 5 尺，棱 柱 的 高 为 7 0尺,因 为 该 沟 两 边 坡 面 坡 角 相 等，所 以 坡 面 宽 为 52+仔）2=手,所 以 此 沟 表 面 为 三 个 矩 形 的 面 积，矩 形 的 长 为 7 0 尺，宽 分 别 为 1 0尺，”尺，苧 尺,所 以 面 积 共 计 为 700+350后 平 方 尺.答 案：D