2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义.pdf

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1、专 题 4.1 导 数 的 概 念、运 算 及 导 数 的 几 何 意 义（知 识 点 讲 解）【知 识 框 架】导 数 的 概 念、运 算 及 导 数 的 几 何 意 义 导 数（平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率）的 概 念,/（导 数 的 运 算:求 曲 残 的 切 统 方 程 常 考 题 型 厂 标、.求 参 数 的 值 施 国）、I 两 曲 线 的 公 切 线 问 题、导 致 几 何 意 义 相 关 的 应 用 问 题 1.考 查 导 数（平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率）的 概 念，凸 显 数 学 抽 象 的 核 心 素 养.【核 心 素 养】2.与 基 本 初 等 函

2、数 相 结 合 考 查 函 数 导 数 的 计 算，凸 显 数 学 运 算 的 核 心 素 养.3.与 函 数、曲 线 方 程 相 结 合 考 查 导 数 的 几 何 意 义，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.【知 识 点 展 示】（-）导 数 的 概 念 1.函 数 y=_/（x）在 x=xo处 的 导 数 定 义：称 函 数 y=x）在 x=xo处 的 瞬 时 变 化 率 lim h m A l 为 函 数 y=/（x）在 x=xo处 的 导 数，记 作 了（xo）或）3=如 即 A s O Ax A r-0 Ax/（x0）=lim 竺=lim/（/+a）T（x。

3、）.&T 0 x 一。Ar2.函 数 人 x）的 导 函 数 称 函 数/（x）=lim 4rL 为 人 x）的 导 函 数.-Ar（-）基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 1.基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 原 函 数 导 函 数/（x）=c（c 为 常 数）f(x)=OA%)=X(6Q*).尸(工)=帚/(x)=sinx f(x)=cosx/(x)=cosx f(x)=sinxXx)=a f(x)=axna/W=ev,/(x)=logd f(x)xna,/(x)=lnx2.导 数 的 运 算 法 则(1)用)士 ga)=/a)g3；(2)

4、L/(x)-g(x)1=fa)g(x)+；(x)g，(x)；(3)/(x)g(x)fx)-g(x)-g x)-f(x)g2(x)(4)复 合 函 数 的 导 数 复 合 函 数 y=7(g(x)的 导 数 和 函 数)，=犬)，“=g(x)的 导 数 间 的 关 系 为 yx=yu-ux,即 y 对 x 的 导 数 等 于 y 对 的 导 数 与 对 x 的 导 数 的 乘 积.(三)导 数 的 几 何 意 义 函 数 人 用 在 点 X0处 的 导 数/(X。)的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y=/(x)上 点(xo,_/Uo)处 的 切 线 的 斜 率(瞬 时 速 度 就 是 位 移

5、函 数 s(f)对 时 间/的 导 数).相 应 地，切 线 方 程 为 y/Uo)=/(xo)(xxo).(四)特 别 提 醒(3)曲 线 y=/(x)在 点 P(xo,2)处 的 切 线 是 指 P 为 切 点，斜 率 为/(xo)的 切 线，是 唯 一 的 一 条 切 线.(4)曲 线 y=/(x)过 点 P(xo，泗)的 切 线，点 P 不 一 定 是 切 点，切 线 可 能 有 多 条.(五)常 用 结 论 1.奇 函 数 的 导 数 是 偶 函 数，偶 函 数 的 导 数 是 奇 函 数，周 期 函 数 的 导 数 还 是 周 期 函 数.2.熟 记 以 下 结 论：(1)(%=X

6、 厂 Q)(/W 0)：(3)af(x)bg(x)=af(x)bgx).【常 考 题 型 剖 析】题 型 一：导 数(平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率)的 概 念 例 1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习(理)2020年 5 月 1 日,北 京 市 开 始 全 面 实 施 垃 圾 分 类，家 庭 厨 余 垃 圾 的 分 出 量 不 断 增 加.已 知 甲、乙 两 个 小 区 在 0,4这 段 时 间 内 的 家 庭 厨 余 垃 圾 的 分 出 量。与 时 间，的 关 系 如 图 所 示.给 出 下 列 四 个 结 论：在，0 这 段 时 间 内，甲 小 区 的 平 均 分 出 量

7、 比 乙 小 区 的 平 均 分 出 量 大；在 上 2,冏 这 段 时 间 内，乙 小 区 的 平 均 分 出 量 比 甲 小 区 的 平 均 分 出 量 大；在 时 刻，甲 小 区 的 分 出 量 比 乙 小 区 的 分 出 量 增 长 的 慢；甲 小 区 在 0,川，力，上 2,3 这 三 段 时 间 中，在 制 的 平 均 分 出 量 最 大.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（）B.C.D.例 2.（2020 北 京 高 考 真 题）为 满 足 人 民 对 美 好 生 活 的 向 往，环 保 部 门 要 求 相 关 企 业 加 强 污 水 治 理，排 放 未 达 标 的

8、企 业 要 限 期 整 改，设 企 业 的 污 水 排 放 量 W 与 时 间 f的 关 系 为 W=/Q）,用 的 大 小 评 价 在 b-a3,切 这 段 时 间 内 企 业 污 水 治 理 能 力 的 强 弱，已 知 整 改 期 内，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 与 时 间 的 关 系 如 下 图 所 示.给 出 下 列 四 个 结 论:在，山 这 段 时 间 内，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；在 4 时 刻，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；在 与 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 都 已 达 标；甲

9、企 业 在（）,。,L，G IL U J这 三 段 时 间 中，在。历 的 污 水 治 理 能 力 最 强.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.例 3.（2008北 京 高 考 真 题（理）如 图，函 数/（x）的 图 象 是 折 线 段/（x）,其 中 A,B,C 的 坐 标 分 别 为(0,4),(2,0),(64),则/(/(0)=/(1+Z)-/(1)【规 律 方 法】Ax.(用 数 字 作 答)1.根 据 导 数 的 定 义 求 函 数 y=f(x)在 点 X。处 导 数 的 方 法:求 函 数 的 增 量 Ay=/(x0+Ar)-/(x0)；求 平 均 变 化 率 包=

10、/(/+)；Ax Ax 得 导 数 1f(Xo)=lim包，简 记 作：一 差、二 比、三 极 限.&r-*AX2.函 数 y=/(x)的 导 数 广 反 映 了 函 数/(x)的 瞬 时 变 化 趋 势，其 正 负 号 反 映 了 变 化 的 方 向，其 大 小|(犬)|反 映 了 变 化 的 快 慢，|广(刈 越 大，曲 线 在 这 点 处 的 切 线 越“陡 3.瞬 时 速 度 是 位 移 函 数 S 对 时 间 的 导 数.题 型 二：基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 例 4.(2018 天 津 高 考 真 题(文)已 知 函 数 以 尸 r(

11、x)为 段)的 导 函 数，则/的 值 为.例 5.(2013江 西,高 考 真 题(理)设 函 数 f(x)在(0,+8)内 可 导，且 f(ex)=x+ex,则/(1)=.例 6.(2020全 国,高 考 真 题(文)设 函 数 x)=.若(=J,则 的.例 7.(2019 全 国 高 三 月 考(理)已 知 函 数/(无)=丁+2/龙 一 3,则 八 2)=_【总 结 提 升】1.求 函 数 导 数 的 一 般 原 则 如 下：(1)连 乘 积 的 形 式：先 展 开 化 为 多 项 式 的 形 式，再 求 导；(2)根 式 形 式：先 化 为 分 数 指 数 幕，再 求 导；(3)复

12、杂 公 式：通 过 分 子 上 凑 分 母，化 为 简 单 分 式 的 和、差，再 求 导；(4)不 能 直 接 求 导：适 当 恒 等 变 形，转 化 为 能 求 导 的 形 式 再 求 导.2.复 合 函 数 的 求 导 方 法 求 复 合 函 数 的 导 数，一 般 是 运 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则，将 问 题 转 化 为 求 基 本 函 数 的 导 数 解 决.分 析 清 楚 复 合 函 数 的 复 合 关 系 是 由 哪 些 基 本 函 数 复 合 而 成 的，适 当 选 定 中 间 变 量；分 步 计 算 中 的 每 一 步 都 要 明 确 是 对 哪 个 变 量 求

13、 导，而 其 中 特 别 要 注 意 的 是 中 间 变 量；根 据 基 本 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则，求 出 各 函 数 的 导 数，并 把 中 间 变 量 转 换 成 自 变 量 的 函 数；复 合 函 数 的 求 导 熟 练 以 后，中 间 步 骤 可 以 省 略，不 必 再 写 出 函 数 的 复 合 过 程.3.函 数 的 导 数 与 导 数 值 的 区 间 与 联 系：导 数 是 原 来 函 数 的 导 函 数，而 导 数 值 是 导 函 数 在 某 一 点 的 函 数 值，导 数 值 是 常 数.题 型 三：导 数 的 几 何 意 义-求 曲 线

14、 的 切 线 方 程 例 8.（2020 全 国 高 考 真 题（理）函 数 x）=d-2 V 的 图 像 在 点（1,/）处 的 切 线 方 程 为（）A.y=-2 x 1 B.y lx+1C.y=2 x-3 D.y=2x4-1例 9.（2022全 国 高 考 真 题）曲 线 y=ln|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.例 10.（2016全 国 高 考 真 题（文）已 知“X）为 偶 函 数，当 x w o 时，/（x）=e*-x,则 曲 线 y=/（x）在 点（L2）处 的 切 线 方 程 是.【总 结 提 升】导 数 运 算 及 切 线 的 理 解 应 注

15、意 的 问 题：一 是 利 用 公 式 求 导 时 要 特 别 注 意 除 法 公 式 中 分 子 的 符 号，防 止 与 乘 法 公 式 混 淆.二 是 直 线 与 曲 线 公 共 点 的 个 数 不 是 切 线 的 本 质，直 线 与 曲 线 只 有 一 个 公 共 点，直 线 不 一 定 是 曲 线 的 切 线，同 样，直 线 是 曲 线 的 切 线，则 直 线 与 曲 线 可 能 有 两 个 或 两 个 以 上 的 公 共 点.曲 线 切 线 方 程 的 求 法：（1）以 曲 线 上 的 点（扬，/Xx。）为 切 点 的 切 线 方 程 的 求 解 步 骤：求 出 函 数/（x）的 导

16、 数（x）；求 切 线 的 斜 率 F（扬）；写 出 切 线 方 程 了 一/1（蜀）=/（刘）5-荀），并 化 简.%=/（入 0）（2）如 果 已 知 点（为，）不 在 曲 线 上，则 设 出 切 点（蜀，解 方 程 组，乂 一 为 _、得 切 点（蜀，）,进 二 J（入 0）天 而 确 定 切 线 方 程.题 型 四：导 数 的 几 何 意 义-求 切 点 坐 标 例 11.（2019江 苏 高 考 真 题）在 平 面 直 角 坐 标 系 X。），中，点 A 在 曲 线 y=lnx上，且 该 曲 线 在 点 A 处 的 切 线 经 过 点（-e,-l）（e 为 自 然 对 数 的 底 数

17、），则 点 A 的 坐 标 是 一.例 12.（2015 陕 西 高 考 真 题（理）设 曲 线 y=，在 点（0,1）处 的 切 线 与 曲 线 y=L（x0）上 点 P 处 的 切 线垂 直，则 P的 坐 标 为.【总 结 提 升】已 知 斜 率 求 切 点：已 知 斜 率 上 求 切 点（汨，/（汨），即 解 方 程 f（无）=上 题 型 五：导 数 的 几 何 意 义-求 参 数 的 值（范 围）例 13.（2021 全 国 高 考 真 题）若 过 点（。力）可 以 作 曲 线 y=e 的 两 条 切 线，则（）A.eh a B.bC.0 a eb D.0 b=。-+*1 1 1 在

18、点（1,四）处 的 切 线 方 程 为 y=2x+Z,则 A.a=e,b=-1 B.a=e力=1 C.a=e,b=1 D.a=e,b=-1例 15.（2022全 国 高 考 真 题）若 曲 线 y=（x+a）e 有 两 条 过 坐 标 原 点 的 切 线，则 a 的 取 值 范 围 是【规 律 方 法】根 据 导 数 的 儿 何 意 义 求 参 数 的 值 时，一 般 是 利 用 切 点 P（刖，%）既 在 曲 线 上 又 在 切 线 上 构 造 方 程 组 求 解.题 型 六：两 曲 线 的 公 切 线 问 题 例 16.（2020全 国 高 考 真 题（理）若 直 线/与 曲 线 广 石

19、和 都 相 切，贝 I I/的 方 程 为（）A.）=2x+l B.）=2x+g C.-=yx+l D.尸 g x+g例 17.（2016全 国 高 考 真 题（理）若 直 线 y=h+）是 曲 线 y=lnx+2 的 切 线，也 是 曲 线 y=ln（x+l）的 切 线,则 人=.【总 结 提 升】解 决 此 类 问 题 通 常 有 两 种 方 法 一 是 利 用 其 中 一 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 与 另 一 曲 线 相 切，列 出 关 系 式 求 解；二 是 设 公 切 线/在 y=/（x）上 的 切 点 Pi（M，/（xi）,在 y=g（x）上 的 切 点 P2（X 2,g

20、 g）,则 r（xi）=g（x2）=玉 f题 型 七：导 数 几 何 意 义 相 关 的 应 用 问 题 e.f-x2+2x,x,若 则。的 取 值 范 围 是（）A.（y,0 B.（-/C.-2,1 D.-2,0例 19.（2021全 国 高 考 真 题）已 知 函 数/（幻=卜-也 0,马 0,函 数/的 图 象 在 点 和 点8 卜 2，/（）的 两 条 切 线 互 相 垂 直，且 分 别 交 y 轴 于/w,N 两 点，则 晶 J 取 值 范 围 是.例 20.（2019 江 苏 高 考 真 题）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，P 是 曲 线 y=x+3 x 0）上 的 一

21、个 动 点，则 点 P 到 x直 线 x+）=0 的 距 离 的 最 小 值 是.【规 律 方 法】求 解 与 导 数 的 几 何 意 义 有 关 问 题 时 应 注 意 的 两 点（1）注 意 曲 线 上 横 坐 标 的 取 值 范 围.（2）谨 记 切 点 既 在 切 线 上 又 在 曲 线 上.专 题 4.1 导 数 的 概 念、运 算 及 导 数 的 几 何 意 义（知 识 点 讲 解）【知 识 框 架】常 考 题 型-导 数（平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率）的 概 念 导 数 的 运 算 求 曲 残 的 切 浅 方 程 导 数 的 概 念、运 算 及 导 数 的 几 何 意

22、义 J 求 切 点 坐 标 I 求 参 数 的 值 庞 围）r 两 曲 线 的 公 切 线 问 题 导 致 几 何 意 义 相 关 的 应 用 问 题【核 心 素 养】1.考 查 导 数（平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率）的 概 念，凸 显 数 学 抽 象 的 核 心 素 养.2.与 基 本 初 等 函 数 相 结 合 考 查 函 数 导 数 的 计 算，凸 显 数 学 运 算 的 核 心 素 养.3.与 函 数、曲 线 方 程 相 结 合 考 查 导 数 的 几 何 意 义，凸 显 数 学 运 算、直 观 想 象 的 核 心 素 养.【知 识 点 展 示】（一）导 数 的 概 念 1.

23、函 数 y=7U）在 x=xo处 的 导 数 定 义：称 函 数 y=7U）在 x=xo处 的 瞬 时 变 化 率 lim=lim包 为 函 数），=危）在 亢=沏 处 的 导 数，记 作 了（刈）或 yfx=xo,即 so Ax-Ar/（x0）=lim 竺=lim/（/+a）T（x。）.&T 0.八。Ar2.函 数 人 x）的 导 函 数 称 函 数/（x）=lim 4rL 为 人 x）的 导 函 数.-Ar（二）基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 1.基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 原 函 数 导 函 数 危）=c（c 为 常 数）/w=

24、o./U)=V(eQ*)/(x)=1r)=sin x/(x)=cosxfix)=cos X/(x)=-sinxf(x)=axna./U)=e*f(x)=exyu)=iog f(x)xnay(x)=lnx.%)=：2.导 数 的 运 算 法 则(1)/W土 g(x)=F(x)土 g(x)；(2)LAxg(x)=/Q)g(x)+7U)g(x);(3)/(x),_ fx)-g(x)-g x)-f(x)g(x)gXx)(4)复 合 函 数 的 导 数 复 合 函 数 y=式 g(x)的 导 数 和 函 数 y=/(),“=g(x)的 导 数 间 的 关 系 为 yx=yu-Ux，即 y 对 x 的 导

25、 数 等 于 y 对 的 导 数 与 对 x 的 导 数 的 乘 积.(三)导 数 的 几 何 意 义 函 数 人 用 在 点 xo处 的 导 数/(xo)的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y=/(x)上 点(次，ro)处 的 切 线 的 斜 率(瞬 时 速 度 就 是 位 移 函 数 s(f)对 时 间/的 导 数).相 应 地，切 线 方 程 为 y/Uo)=/(xo)(xxo).(四)特 别 提 醒(3)曲 线 y=/(x)在 点 P(xo,2)处 的 切 线 是 指 P 为 切 点，斜 率 为/(xo)的 切 线，是 唯 一 的 一 条 切 线.(4)曲 线 y=/(x)过 点 P(

26、xo，泗)的 切 线，点 P 不 一 定 是 切 点，切 线 可 能 有 多 条.(五)常 用 结 论 1.奇 函 数 的 导 数 是 偶 函 数，偶 函 数 的 导 数 是 奇 函 数，周 期 函 数 的 导 数 还 是 周 期 函 数.2.熟 记 以 下 结 论：(1)(%=X 厂 Q)(/W 0)：(3)af(x)bg(x)=af(x)bgx).【常 考 题 型 剖 析】题 型 一：导 数(平 均 变 化 率、瞬 时 变 化 率)的 概 念 例 1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习(理)2020年 5 月 1 日,北 京 市 开 始 全 面 实 施 垃 圾 分 类，家 庭 厨 余

27、 垃 圾 的 分 出 量 不 断 增 加.已 知 甲、乙 两 个 小 区 在 0,4这 段 时 间 内 的 家 庭 厨 余 垃 圾 的 分 出 量。与 时 间，的 关 系 如 图 所 示.给 出 下 列 四 个 结 论：在，0 这 段 时 间 内，甲 小 区 的 平 均 分 出 量 比 乙 小 区 的 平 均 分 出 量 大；在 上 2,冏 这 段 时 间 内，乙 小 区 的 平 均 分 出 量 比 甲 小 区 的 平 均 分 出 量 大；在 时 刻，甲 小 区 的 分 出 量 比 乙 小 区 的 分 出 量 增 长 的 慢；甲 小 区 在 0,川，力，上 2,3 这 三 段 时 间 中，在

28、制 的 平 均 分 出 量 最 大.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（）A.B.C.D.【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 平 均 变 化 率 的 含 义，即 看 这 段 时 间 内 的 变 化 量，由 此 判 断 的 正 误：根 据 瞬 时 变 化 率 的 含 义，判 断 出 的 正 误，可 得 答 案.【详 解】在 L，4 这 段 时 间 内，甲 的 增 长 量 小 于 乙 的 增 长 量，所 以 甲 的 平 均 分 出 量 小 于 乙，说 法 错 误.在 L，41这 段 时 间 内，甲 的 增 长 量 小 于 乙 的 增 长 量，所 以 乙 的 平 均 分 出 量 大

29、于 甲，说 法 正 确.在 时 刻，乙 的 图 象 比 甲 的 图 象 陡，瞬 时 增 长 率 大，说 法 正 确.甲 的 图 象 大 致 为 一 条 直 线，所 以 三 个 时 间 段 的 平 均 分 出 量 相 等，说 法 错 误.故 选：B.例 2.（2020北 京 高 考 真 题）为 满 足 人 民 对 美 好 生 活 的 向 往，环 保 部 门 要 求 相 关 企 业 加 强 污 水 治 理，排 放 未 达 标 的 企 业 要 限 期 整 改，设 企 业 的 污 水 排 放 量 W与 时 间 f 的 关 系 为 w=.f（/）,用-要 曳 的 大 小 评 价 在 b-a他，回 这 段

30、 时 间 内 企 业 污 水 治 理 能 力 的 强 弱，已 知 整 改 期 内，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 与 时 间 的 关 系 如 下 图 所 示.给 出 下 列 四 个 结 论:在，山 这 段 时 间 内，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强;在 时 刻，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；在 4 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 都 已 达 标；甲 企 业 在。，4 口 出，小 八 这 三 段 时 间 中，在 0，乙 的 污 水 治 理 能 力 最 强.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案

31、】【解 析】【分 析】根 据 定 义 逐 一 判 断，即 可 得 到 结 果【详 解】_/(/7-/()表 示 区 间 端 点 连 线 斜 率 的 负 数,b-a在 必 这 段 时 间 内，甲 的 斜 率 比 乙 的 小，所 以 甲 的 斜 率 的 相 反 数 比 乙 的 大，因 此 甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；正 确；甲 企 业 在 0,q，L，司 这 三 段 时 间 中，甲 企 业 在,冉 这 段 时 间 内，甲 的 斜 率 最 小，其 相 反 数 最 大，即 在，,4 的 污 水 治 理 能 力 最 强.错 误；在，2时 刻，甲 切 线 的 斜 率 比 乙

32、 的 小，所 以 甲 切 线 的 斜 率 的 相 反 数 比 乙 的 大，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；正 确；在 G 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 都 在 污 水 打 标 排 放 量 以 下，所 以 都 已 达 标；正 确；故 答 案 为：例 3.(2008北 京 高 考 真 题(理)如 图，函 数/(X)的 图 象 是 折 线 段“X),其 中 A,B,C的 坐 标 分 别 为(0,4)，(2,0),(6,4),则.f(f(0)=；432/(l+ZVr)-/(l).(用 数 字 作 答)01 1 2 3 4 5 6【答 案】2-2【解 析

33、】【详 解】f(0)=4,f(4)=2：由 导 数 的 几 何 意 义 知)一,=2.-Ax【规 律 方 法】1.根 据 导 数 的 定 义 求 函 数 y=/(x)在 点 与 处 导 数 的 方 法：求 函 数 的 增 量 Ay=/(Xo+Ax)-/(x()：求 平 均 变 化 率=4+-0).Ar A x 得 导 数/(%)=口/，简 记 作：一 差、二 比、三 极 限.2.函 数 y=/(x)的 导 数/反 映 了 函 数/(尤)的 瞬 时 变 化 趋 势，其 正 负 号 反 映 了 变 化 的 方 向，其 大 小|f(x)|反 映 了 变 化 的 快 慢，(x)|越 大，曲 线 在 这

34、 点 处 的 切 线 越“陡 3.瞬 时 速 度 是 位 移 函 数 S 对 时 间 的 导 数.题 型 二：基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 例 4.(2018 天 津 高 考 真 题(文)已 知 函 数 尸(可 为 危)的 导 函 数，则/的 值 为.【答 案】e【解 析】【分 析】首 先 求 导 函 数，然 后 结 合 导 函 数 的 运 算 法 则 整 理 计 算 即 可 求 得 最 终 结 果.【详 解】由 函 数 的 解 析 式 可 得：/(x)=e*x l n x+/x L e d l n x+，则/=3 x即 尸(1)的 值 为 e,故

35、 答 案 为 e.例 5.(2013江 西 高 考 真 题(理)设 函 数 f(x)在(0,+oo)内 可 导，且 f(ex)=x+ex,则:(1)=【答 案】2【解 析】【详 解】试 题 分 析：令 r=e*,/(0=r+lnr(r0),所 以/(x)=x+lnx,(x0),r(x)=l+1,/。)=2,所 以 答 案 应 填：2.例 6.(2020 全 国 高 考 真 题(文)设 函 数/()=工.若/(1)=；,贝 1。=.【答 案】I【解 析】【分 析】由 题 意 首 先 求 得 导 函 数 的 解 析 式，然 后 得 到 关 于 实 数。的 方 程，解 方 程 即 可 确 定 实 数

36、”的 值【详 解】由 函 数 的 解 析 式 可 得：r(x)=T A T 2，(%+)(X+Q)z.,/e1 x(l+a-l)ae ae e则：尸=/2=7 涓，据 此 可 得：(1+4)(+1)(。+1)4整 理 可 得：/2a+1=0,解 得：a=.故 答 案 为：L例 7.(2019 全 国 高 三 月 考(理)已 知 函 数，()=丁+2/x 3,则 八 2)=【答 案】6【解 析】由/(X)=、+2f(y)x3,得 f(x)=3x2+2/z(l)，令 x=l,得/=3+2/(1),解 得 八 1)=3.所 以 尸(x)=3/一 6.所 以(2)=6.故 答 案 为：6【点 评】赋

37、值 法 是 求 解 此 类 问 题 的 关 键，求 解 时 先 视 尸(1)为 常 数，然 后 借 助 导 数 运 算 法 则 计 算/(X),最 后 分 别 令 x=l,x=0 代 入 r(x)求 解 即 可.【总 结 提 升】1.求 函 数 导 数 的 一 般 原 则 如 下：（1）连 乘 积 的 形 式：先 展 开 化 为 多 项 式 的 形 式，再 求 导；（2）根 式 形 式：先 化 为 分 数 指 数 累，再 求 导；（3）复 杂 公 式：通 过 分 子 上 凑 分 母，化 为 简 单 分 式 的 和、差，再 求 导；（4）不 能 直 接 求 导：适 当 恒 等 变 形，转 化 为

38、 能 求 导 的 形 式 再 求 导.2.复 合 函 数 的 求 导 方 法 求 复 合 函 数 的 导 数，一 般 是 运 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则，将 问 题 转 化 为 求 基 本 函 数 的 导 数 解 决.分 析 清 楚 复 合 函 数 的 复 合 关 系 是 由 哪 些 基 本 函 数 复 合 而 成 的，适 当 选 定 中 间 变 量；分 步 计 算 中 的 每 一 步 都 要 明 确 是 对 哪 个 变 量 求 导，而 其 中 特 别 要 注 意 的 是 中 间 变 量；根 据 基 本 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则，求 出 各 函 数

39、 的 导 数，并 把 中 间 变 量 转 换 成 自 变 量 的 函 数;复 合 函 数 的 求 导 熟 练 以 后，中 间 步 骤 可 以 省 略，不 必 再 写 出 函 数 的 复 合 过 程.3.函 数 的 导 数 与 导 数 值 的 区 间 与 联 系：导 数 是 原 来 函 数 的 导 函 数，而 导 数 值 是 导 函 数 在 某 一 点 的 函 数 值，导 数 值 是 常 数.题 型 三：导 数 的 几 何 意 义-求 曲 线 的 切 线 方 程 例 8.（2020 全 国 高 考 真 题（理）函 数 x）=f-2 d 的 图 像 在 点（1,7（I）处 的 切 线 方 程 为（

40、）A.y=-2 x-l B.y-2 x+C.y=2x-3 D.y=2x+【答 案】B【解 析】V/（X）=X4-2 X3,.-.7,（X）=4X3-6 X2,=一 2,因 此，所 求 切 线 的 方 程 为 y+l=2（x 1）,即 y=-2x+l.故 选：B.例 9.（2022全 国 高 考 真 题）曲 线 y=ln|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.【答 案】y=-x y=-xe e【解 析】【分 析】分 x 0 和 x 0 时 设 切 点 为(天,lnx),求 出 函 数 的 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，

41、再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出 方,即 可 求 出 切 线 方 程，当 x 0 时 y=lnx,设 切 点 为(毛,In%),由 y=L 所 以 川 个,=一,所 以 切 线 方 程 为)T n%=(x-%),X 天)冗 0又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 T n%=(-%),解 得 x0=e,所 以 切 线 方 程 为=e),即 y=L；X。e e当 x 0 时，-x 0,则/()=+.又 因 为 为 偶 函 数，所 以/(x)=/()=e 1+x,所 以 尸(x)=e i+l,贝 厅(1)=2,所 以 切 线 方 程 为 y-2=2(x-l),即 y=2x.【总 结

42、提 升】导 数 运 算 及 切 线 的 理 解 应 注 意 的 问 题：一 是 利 用 公 式 求 导 时 要 特 别 注 意 除 法 公 式 中 分 子 的 符 号，防 止 与 乘 法 公 式 混 淆.二 是 直 线 与 曲 线 公 共 点 的 个 数 不 是 切 线 的 本 质，直 线 与 曲 线 只 有 一 个 公 共 点，直 线 不 一 定 是 曲 线 的 切 线，同 样，直 线 是 曲 线 的 切 线，则 直 线 与 曲 线 可 能 有 两 个 或 两 个 以 上 的 公 共 点.曲 线 切 线 方 程 的 求 法：(1)以 曲 线 上 的 点(荀，f(x。)为 切 点 的 切 线

43、方 程 的 求 解 步 骤：求 出 函 数 00的 导 数/(x)；求 切 线 的 斜 率 6 U)；写 出 切 线 方 程 y-f(为)=/(扬)(*一 荀)，并 化 简.%=/（%）如 果 已 知 点（矛 1，必）不 在 曲 线 上，则 设 出 切 点（蜀，必），解 方 程 组 一 为 _、得 切 点（刖，%），进 口-%而 确 定 切 线 方 程.题 型 四：导 数 的 几 何 意 义-求 切 点 坐 标 例 11.（2019,江 苏 高 考 真 题）在 平 面 直 角 坐 标 系 X。），中，点 A 在 曲 线 y=lnx上，且 该 曲 线 在 点 A 处 的 切 线 经 过 点（-e

44、,-l）（e 为 自 然 对 数 的 底 数），则 点 A 的 坐 标 是 一.【答 案】（e,1）.【解 析】【分 析】设 出 切 点 坐 标，得 到 切 线 方 程，然 后 求 解 方 程 得 到 横 坐 标 的 值 可 得 切 点 坐 标.【详 解】设 点 4（毛,%）,则%=始%.又 了=卜,1当 工=%时，y=一,xo点 A 在 曲 线 y=lnx上 的 切 线 为 y%=（x Xo）,.x.g|jy-lnxo=-1,%代 入 点（一 6-1）,得 一 l-lnxo=-1,玉）即 毛 皿%=e,考 查 函 数（x）=xlnx,当 x e（O,l）时，W（x）0,当 时，H（x）0,且

45、。）=lnx+l,当 x l时,H x）0,H（x）单 调 递 增,注 意 到 H（e）=e,故=6存 在 唯 一 的 实 数 根 与=e,此 时%=1,故 点 A 的 坐 标 为 4 1）.例 12.（2015陕 西 高 考 真 题（理）设 曲 线 y=e，在 点（0,1）处 的 切 线 与 曲 线 y=（x 0）上 点 P 处 的 切 线 X垂 直，则 P 的 坐 标 为.【答 案】（L1）【解 析】【详 解】设 P(Xo，%).对 丫=5 求 导 得 y=e x,令 x=0,得 曲 线 y=ex在 点(0,1)处 的 切 线 斜 率 为 1,故 曲 线 y=(x0)上 点 P 处 X的

46、切 线 斜 率 为-1,由 二=-3=-1,得%=1,则%=1,所 以 P 的 坐 标 为(1,1).xo【总 结 提 升】己 知 斜 率 求 切 点：已 知 斜 率 上 求 切 点(小，(汨)，即 解 方 程/U)=k.题 型 五：导 数 的 几 何 意 义-求 参 数 的 值(范 围)例 13.(2021全 国 高 考 真 题)若 过 点(。力)可 以 作 曲 线 y=e的 两 条 切 线，贝 i j()A.eh a B.e bC.0aeh D.0b0,此 时 函 数 单 调 递 增，当 时，尸。)0,此 时 函 数 单 调 递 减，所 以，/()网=)=6，由 题 意 可 知，直 线 丫

47、=匕 与 曲 线 y=/(f)的 图 象 有 两 个 交 点，则 b/(f)nBX=e，当，0,当 4+1 时，/(r)0,作 出 函 数/的 图 象 如 下 图 所 示：例 14.（2019全 国 高 考 真 题（理）已 知 曲 线、=肥，+*1门 在 点（1,闲 处 的 切 线 方 程 为 y=2 x+b,则 J J I0 a a+i p1 由 图 可 知 同 点.故 选：D.解 法 二：画 出 函 数 曲 线 y=e的 图 象 如 图 所 示，作 出 两 条 切 线.由 此 可 知 0b）0当 时，宜 线 y=b与 曲 线 y=f（。的 图 象 有 两 个 交 根 据 直 观 即 可 判

48、 定 点（。力）在 曲 线 下 方 和 x 轴 上 方 时 才 可 以 D.A.a=e,b-B.a=e,b=l C.a=e,b=1 D.a=e,b=-1【答 案】D【解 析】通 过 求 导 数，确 定 得 到 切 线 斜 率 的 表 达 式，求 得 明 将 点 的 坐 标 代 入 直 线 方 程，求 得 匕.【详 解】详 解：y=ae+lnx+l,&=)1=1=四+1=2,a=e 将(1,1)代 入 y=2x+b得 2+b=l,6=-l,故 选 D.例 15.(2022全 国 高 考 真 题)若 曲 线 y=(x+a)e、有 两 条 过 坐 标 原 点 的 切 线，则”的 取 值 范 围 是【

49、答 案】(,-4)5，+【解 析】【分 析】设 出 切 点 横 坐 标 与,利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 得 切 线 方 程，根 据 切 线 经 过 原 点 得 到 关 于 的 方 程，根 据 此 方 程 应 有 两 个 不 同 的 实 数 根，求 得。的 取 值 范 围.【详 解】V y-(x+a)ex,二 y=(x+l+a)e*,设 切 点 为(%,%),则%=(+a)e&，切 线 斜 率 4=&+l+a)e”,切 线 方 程 为:y-(为+a)e=(x0+l+a)e*(x-$),.切 线 过 原 点，(+a)e*=(/+1+。”(天)，整 理 得：XQ+a=0,切 线 有 两

50、条，解 得-4或 a0.。的 取 值 范 围 是(-T)U(O,”).故 答 案 为：(75,7)11(0,-8)【规 律 方 法】根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 参 数 的 值 时，一 般 是 利 用 切 点 既 在 曲 线 上 又 在 切 线 上 构 造 方 程 组 求 解.题 型 六：两 曲 线 的 公 切 线 问 题 例 16.（2020.全 国.高 考 真 题（理）若 直 线/与 曲 线 产 五 和/+）2=1都 相 切，贝 U/的 方 程 为（）A.产 2x+l B.产 2x+g C.y-x+D.产【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 导 数 的 几 何 意 义 设 出