2023届高考数学一轮知识练习：空间的垂直关系（含解析）.pdf

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1、2023届 高 考 数 学 一 轮 知 识 点 训 练：空 间 的 垂 直 关 系 一、选 择 题（共 18小 题）1.已 知 直 线 平 面 a,直 线 m 平 面/?,若 a _!_/?,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A。或/u?B.l/mC.m 1 a D 1 m2.垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行；垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行；平 行 于 同 一 平 面 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行；平 行 于 同 一 直 线 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行.以 上 4 个 关 于 空 间 直 线 与 平

2、 面 的 命 题 中 真 命 题 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.43.已 知 平 面 a_L平 面 0,a n p=I,点 4 6 a,A i l,直 线 AB 八 直 线 4 C 1 L 直 线 m a,m/p,则 下 列 四 种 位 置 关 系 中，不 一 定 成 立 的 是（）A.A B/m B.AC I m C.AB/p D.AC 1 p4.下 列 命 题 正 确 的 是（）A.平 面 a 内 的 一 条 直 线 a 垂 直 于 平 面 0 内 的 无 数 条 直 线，则 a 1 0B.若 直 线 m 与 平 面 a 内 的 一 条 直 线 平 行，则 血 aC.若 平

3、 面 a l,且 a n 夕=1,则 过 a 内 一 点 P 与/垂 直 的 直 线 垂 直 于 平 面 D.若 直 线 a 与 平 面 a 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直，则 不 能 说 一 定 有 a l a5.设 a,/?,y 为 平 面，m,n,I 为 直 线，则 下 列 判 断 正 确 的 是（）A.若 a l/?,a 0/?=Z,m i l,则 m l/?B.若 a n y=m,a l y,0 1 y,则 1 0C.若 a _ L y,0_Ly,m 1 a,则 m _ L 夕 D.若 n_L a,n i p,m 1 a,则 zn 1 06.在 正 方 体 A B C O-A

4、 iB iG D i中，E,F,G分 别 是 B,的 中 点，给 出 下 列 四 个 推 断:FG 平 面 A&DiD；EF 平 面 B G D i：FG 平 面 B G D i；平 面 EFG 平 面 BCiD 其 中 推 断 正 确 的 序 号 是（）A.B.C.D.7.空 间 四 边 形 4 8 c o 的 四 边 相 等.则 它 的 两 对 角 线 4C,8。的 关 系 是（）A.垂 直 且 相 交 B.相 交 但 不 一 定 垂 直 C.垂 直 但 不 相 交 D.不 垂 直 也 不 相 交 8.已 知 函 数 f（%）=M+bx+c,则 F a 6 R,使/（Xo）0是 c d,贝

5、 匕 b”是“a-c b-4”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 又 不 必 要 条 件 12.如 图，在 正 方 体 4 B C D-A iB iG D i中，E,F 分 别 为 BC,的 中 点，则 下 列 直 线 中 与 直 线 A.直 线 力&B.直 线 4/1 C.直 线 A/D.直 线 4 G13.设 m,n 是 两 条 不 同 的 直 线，a,/?,y 是 三 个 不 同 的 平 面，则 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是（A.若 zn 1 n,n u a,则？n 1 a 8.若 6 1 0 1

6、,m/n,则 n J.a)C.若 m a,n/a,则 m 九 D.若 aly,/?1 y,则 a/?14.空 间 中 直 线 l和 三 角 形 的 一 边 A C 及 另 一 边 B C 的 中 线 同 时 垂 直，则 这 条 直 线 和 三 角 形 的 第 三 边 A B 的 位 置 关 系 是（）A.平 行 B.垂 直 C.相 交 D.不 确 定 15.己 知 a,5 是 两 条 直 线，*0,y 是 三 个 平 面，则 下 列 命 题 正 确 的 是（）A.若。0 b 4 a/b,贝 ija 08.若 戊 1 氏 a L a,贝 U a/?若 戊 10,a JL y,0 Cy=a,则 Q

7、 _L aD.若 a 氏 a/a,贝 i j Q/?16.设 a,/?,y 为 三 个 不 同 的 平 面，m,ri是 两 条 不 同 的 直 线，则 下 列 命 题 为 假 命 题 的 是（）A.若？nla,7110,m l n,贝!|a 1/?B.若 al,a C p=n,m u a,m l n,则 m 1/?C.若 TH u a,则 a 1/?D.若 aJ.0,/?1 y,贝 i j a _L y17.如 图，P 为 ABC所 在 平 面 a 外 一 点，PF la,PC L A C,则 A B C 的 形 状 为（）A.锐 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.钝 角 三 角 形

8、 D.不 确 定 18.设 m,n 是 空 间 中 不 同 两 条 直 线，a,0 是 空 间 中 两 个 不 同 的 平 面，则 下 列 四 个 命 题 中，正 确 的 是（）A.若 m a,n 0,a R,则 m nB.若 a_L0,m l/?,则 m aC.若 m l ri,7nl a,a B，则 九 夕 D.若 a_L/?,a n/?=Z,m/a,m i l,则 7n 1 0二、填 空 题（共 8 小 题）19.有 下 列 说 法：若 两 个 平 面 a 出 若 两 个 平 面 a 出 若 两 个 平 面 a 出 若 两 个 平 面 a B，a,be/7,a,he/7,a,be/7,a

9、,b u 0,a ua ua ua u则 a/b则 Q 与 b 是 异 面 直 线;则 Q 与 b 一 定 不 相 交;则 a 与 b 平 行 或 异 面;若 两 个 平 面 a n=b,a u a,则 a 与 一 定 相 交.其 中 正 确 的 是（将 你 认 为 正 确 的 序 号 都 填 上）.20.代 数 式 1+空 中 省 略 号“”代 表 以 此 方 式 无 限 重 复，因 原 式 是 一 个 固 定 值，可 以 用 如 下 方 法 1+求 得：令 原 式=t,贝 U l+:=t,则 t2-t 1=0,取 正 值 得=等，用 类 似 方 法 可 得/+,6+拈+=.21.在 正 方

10、 体 ABC。AiBiGDi中，。是 底 面 48CD的 中 心，E,F,G,H 分 别 是 Cg,的 中 点，请 写 出 一 个 与 为。垂 直 的 平 面：.22.已 知 m,n 是 两 条 不 同 的 直 线，a,0 为 两 个 不 同 的 平 面，有 下 列 四 个 命 题：若?nJ.a,nip,m l n,贝 ijal；若 血 a,n/p,m l n,则 a 伙 若 m la,n,m l n,则 0：0；若 m l a,n，,a/P，则 7nl n.其 中 所 有 正 确 的 命 题 是.23.在 三 棱 锥 P-A B C 中，己 知 PA1PB,PB 1 PC,PC 1 P A,

11、如 右 图 所 示，则 在 三 棱 锥 P-4 8 C的 四 个 面 中，互 相 垂 直 的 面 有 对.24.在 正 方 形 SGiG2G3 中，E,F 分 别 为 G1G2，G2G3 的 中 点.现 在 沿 SE,S F 及 E F 把 这 个 正 方 形 折 成 一 个 四 面 体，使 G r G2,G3,重 合，记 为 G,则 S G 与 平 面 E FG的 位 置 关 系 为.25.如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，P A 1 底 面 4BC0,且 底 面 各 边 都 相 等，M 是 P C 上 的 一 动 点,当 点 M 满 足 时，平 面 1 平 面 P C

12、 D.（只 要 填 写 一 个 你 认 为 是 正 确 的 条 件 即 可）A B26.已 知 2 4 垂 直 于 正 方 形 4BCD所 在 平 面，连 接 P B、P C、P D、AC.B D,则 下 列 垂 直 关 系 中 正 确 的 序 号 是 平 面 H48 1 平 面 PBC 平 面 24B 1 平 面 P 4D 平 面 R48 1 平 面 PCD三、解 答 题（共 5 小 题）27.已 知 三 棱 柱 A B C-4 B K 的 底 面 为 直 角 三 角 形，两 条 直 角 边 4 C 和 8 c 的 长 分 别 为 4 和 3,侧 棱 AA的 长 为 10.（1）若 侧 棱

13、A4垂 直 于 底 面，求 该 三 棱 柱 的 表 面 积；（2）若 侧 棱 4 4 与 底 面 所 成 的 角 为 60。，求 该 三 棱 柱 的 体 积.28.如 图，4 8 为。的 直 径，P 4 垂 直 于。所 在 的 平 面，M 为 圆 周 上 任 意 一 点，AN LPM,N为 垂 足.（1）求 证：AN 1 平 面 PBM.（2）若 4QJLPB,垂 足 为 Q,求 证：PB 1 NQ.29.如 图，在 矩 形 ABC。中，AB=2AD=2,E 为 边 C D 的 中 点，以 E B 为 折 痕 把 CEB折 起，使 点 C 到 达 点 P 的 位 置，且 使 平 面 PEB 1

14、 平 面 力 BED.(1)证 明：P B 1 平 面 PEA；(2)求 点 E 到 平 面 丹 W 的 距 离.30.在 多 面 体 4BCDEFG中，四 边 形 4 8 C D 与 4 D E F 是 边 长 均 为 a 的 正 方 形，四 边 形 4BGF是 直 角 梯 形，AB L A F,且 FA=2FG=4FH.(1)求 证：平 面 B C G 1 平 面 EHG；(2)若 a=4,求 四 棱 锥 G-BCEF的 体 积.31.在 长 方 体 ABCD-中，矩 形 441。和 D C D 的 中 心 分 别 为 M,N,求 证:M/V 平 面 ABCD.答 案 1.A【解 析】对

15、于 A,直 线，J.平 面 a,a A.f i,则 1 6 或，u 0,A 正 确；对 于 B,直 线，_L平 面 a,直 线 m 平 面 且 a 1 0,贝 I l zn或，与 m 相 交 或，与 m 异 面，所 以 B 错 误；对 于 C,直 线 m 平 面,且 a J./5,则 zn 1 a 或 m 与 a 相 交 或 m u a 或 m a,所 以 C 错 误；对 于 D,直 线，1 平 面 a,直 线 Tn 平 面/?,且 a 1 0,则 1?n或，与 m 相 交 或，与 相 异 面，所 以 D 错 误.2.B【解 析】对 于，在 空 间 中，垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条

16、不 同 的 直 线 可 能 平 行、相 交 或 异 面，故 错 误：对 于，由 线 面 垂 直 的 性 质 可 得 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行，故 正 确；对 于，平 行 于 同 一 平 面 的 两 条 不 同 的 直 线 可 能 平 行、相 交 或 异 面，故 错 误；对 于，由 平 行 的 传 递 性 可 得 平 行 于 同 一 直 线 的 两 条 不 同 的 直 线 平 行，故 正 确.3.D【解 析】如 图，AB/l/m,AC 1 I,AC L m,A B/1 A B/p.4.D【解 析】A 项，平 面 a 内 的 一 条 直 线 a 垂 直 于

17、 平 面 0 内 的 任 意 一 条 直 线，则 a 工.，故 A 错 误：B 项，直 线 m 与 平 面 a 内 的 一 条 直 线 平 行，也 可 能 T n u a,故 B 错 误；C 项，平 面 a _ L 0,且 a n 0=1,则 过 a 内 一 点 P 与 2垂 直 的 直 线，只 有 当 此 直 线 在 a 内 时 才 垂 直 于 B，故 C 错 误；D 项，a 与 平 面 a 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 可 以 推 出 a _ L a,故 D 正 确.5.D【解 析】A 选 项 不 正 确，因 为 根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理，需 要 加 上 在

18、 平 面 a 内 或 者 平 行 于 a”这 个 条 件，才 能 判 定 租 1 伙 B 选 项 不 正 确，因 为 m 可 能 平 行 于 0 或 与。相 交 但 不 垂 直；C 选 项 不 正 确，因 为 当 a l/?时，m。或 T n u?；D 选 项 正 确，根 据 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行，得 到 a 氏 由 m l a,可 得 m l/?.6.A【解 析】因 为 在 正 方 体 A B CO A iB iG D i中，E,F,G 分 别 是 人 隹。B G，的 中 点，所 以 FG/ZBCr，因 为 BCi 4Di，所 以 FG/ADX.因 为

19、FG M，ADt u 平 面 44道 1。,所 以 FG 平 面 44道 1。，故 正 确；因 为 EF 4G，4 1 G 与 平 面 B C R 相 交，所 以 E F 与 平 面 B g D i 相 交，故 错 误：因 为 E,F,G 分 别 是 A/i，8停 1，BBi的 中 点，所 以 FG/BC、.因 为 FG U 平 面 BGDi，B C;u 平 面 BGDi，所 以 FG 平 面 B Q 5,故 正 确；因 为 E F 与 平 面 B G 5 相 交，所 以 平 面 EFG与 平 面 相 交，故 错 误.7.C8.B【解 析】f(x)=/+bx+c,开 口 向 上，要 满 足 T

20、x()R,使/(a)0,此 时，炉 一 4c 0,即 c Q,而 c处 是 cd,a-c b-d,相 加 得 a b.反 之 不 成 立.所 以 c d,则“a b”是 a-c b-d”的 必 要 不 充 分 条 件.12.D【解 析】根 据 异 面 直 线 的 概 念 可 看 出 直 线 必 必 都 和 直 线 E F 为 异 面 直 线；B i G 和 E F 在 同 一 平 面 内，且 这 两 直 线 不 平 行.所 以 直 线 出 6 和 直 线 E F 相 交，即 选 项 D 正 确.13.B【解 析】直 线 垂 直 于 一 个 平 面 的 两 条 相 交 直 线，直 线 才 和 平

21、 面 垂 直，所 以 A 不 正 确；若 直 线 垂 直 平 面，则 和 直 线 平 行 的 直 线 也 垂 直 于 这 个 平 面，所 以 B 正 确；和 一 个 平 面 都 平 行 的 两 条 直 线 可 能 平 行 或 异 面 或 直 线 相 交，所 以 C 不 正 确；垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 可 能 平 行 也 可 能 相 交，所 以 D 错 误.14.B15.C16.D【解 析】对 于 A,由 m 1 a,n 1/?,且 得 出 a_L0,所 以 A 正 确：对 于 B,由 alQ,a Q P=n,m u a,m L n,根 据 面 面 垂 直 的 性 质

22、 定 理 得 出 zn 1 0,所 以 B 正 确；对 于 C,由 mJL0,m u a,根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 出 a _L氏 所 以 C 正 确；对 于 D,若 a_L氏 2,则 a 与 y 可 能 相 交，也 可 能 平 行，所 以 D 错 误.17.B【解 析】由 PB_La,又 AC 1 PC,PC CPB=P,所 以 4（7_1平 面 P8。，AC 1B C,故 选 B.18.D【解 析】对 于 A,由 m a,B，a/fi,可 得 m n或 zn与 兀 相 交 或 Tn与 n 异 面，故 A 错 误；对 于 B,由 a l 氏 m l/?,可 得 771。

23、或 771故 B 错 误；对 于 C,由 m_Ln,m 1 a,a 夕，可 得 n/?或 n u 0,故 C 错 误；对 于 D,由 aJ.Q,a C/3=I,m/a,m i l,得 m 1 0,故 D 正 确.19.【解 析】错.a 与 b 也 可 能 异 面；错.a 与 b 也 可 能 平 行；对.因 为 a 氏 所 以 a 与 夕 无 公 共 点，又 因 为 a u a,b u 0,所 以 a 与 匕 无 公 共 点；对.由 己 知 及 得，a 与 b 无 公 共 点，所 以 a b或 a 与 b 异 面：错.a 与 0 也 可 能 平 行.20.321.平 面 BDG（平 面 G H

24、F、平 面 A H F、平 面 E B/i 均 可，答 案 不 唯 一）22.【解 析】借 助 于 长 方 体 模 型 来 解 决 本 题，对 于，可 以 得 到 平 面 a,0 互 相 垂 直，如 图（1）所 示，故 正 确；对 于，平 面 a,/?可 能 垂 直，如 图（2）所 示，故 不 正 确；对 于，平 面 a,0 可 能 垂 直,如 图(3)所 示，故 不 正 确；对 于，由 m l a,a/?可 得 m l S，因 为?1 0,所 以 过 九 作 平 面 y,且 y n 0=g,如 图(4)所 示，所 以 几 与 交 线 g 平 行，因 为 所 以 m l n,故 正 确.m(1

25、)(2)(3)(4)23.3【解 析】因 为 PA _L PB,PA 1 PC,PB C PC=P,所 以 24 1 平 面 PBC,因 为 PA u 平 面 PAB,PA u 平 面 PAC,所 以 平 面 P4BJ.平 面 P8C,平 面 PAC_L平 面 P8C.同 理 可 证：平 面 PAB 1 平 面 PAC.24.垂 直 25.DM 1 PC(或 1 PC 等)【解 析】由 题 意 得 80 1 4C,因 为 PA 1 平 面 4BCD,所 以 PA 1 BD.又 P4nAC=A,P A M C u 平 面 PAC,所 以 BD 平 面 24C,所 以 BD PC,所 以 当 DM

26、 1 PC(或 BM 1 P C)时，即 有 PC 1 平 面 MBD,而 PC u 平 面 PCD,所 以 平 面 M B。1 平 面 PCD.26.【解 析】易 证 B C 1 平 面 P A 8,则 平 面 248 _ 1.平 面 P8C：又 AD BC,故 4DJ.平 面 P 4 B,则 平 面 P4D 1 平 面 P48.27.(1)因 为 侧 棱 44,1.底 面 ABC,所 以 三 棱 柱 的 高 h 等 于 侧 棱 A 4 的 长，而 底 面 三 角 形 A B C 的 面 积 SAABC=AC-BC=6,周 长 C=4+3+5=12,于 是 三 棱 柱 的 表 面 积 S表=

27、C/i+2S&ABC=132.(2)如 图，过 A 作 平 面 4 8 c 的 垂 线，垂 足 为 H,为 三 棱 柱 的 高.因 为 侧 棱 AA,与 底 面 所 成 的 角 为 60。，所 以 AAH=6 0,可 计 算 得 AH=AA-sin60=5V3.又 底 面 三 角 形 A B C 的 面 积 S*BC=6,故 三 棱 柱 的 体 积 V=SABC AH=6x543=30V3.28.(1)因 为 A B为。的 直 径，所 以 AM 1 BM.又 PA 1 平 面 ABM,所 以 PA 1 BM.又 因 为 PA n AM=A,所 以 8 M l.平 面 PAM.又 AN u 平

28、面 PAM,所 以 BM LAN.又 AN J.P M,且 BMC!PM=M,所 以 AN 1 平 面 PBM.(2)由(1)知 4N _ L 平 面 PBM,又 P B u 平 面 P8M,所 以 AN 1 PB.又 因 为 4 Q 1 P B,AN QAQ=A,所 以 PB 1 平 面 4NQ.又 NQ u 平 面 ANQ,所 以 PB 1 NQ.29.(1)由 题 意 4E=BE=V,又 AB=2,AE2+BE2=AB2,则 4 E 1 B E,又 平 面 PEB C 平 面 4BED=E B,且 平 面 PEB J.平 面 ABED,4 E 1 平 面 PEB,故 4 E 1 P B,

29、又 PB L P E,且 4 E C P E=E,所 以 P8 _L平 面 PE4.(2)过 点 P 在 平 面 P E B内 向 E B引 垂 线，垂 足 为。，连 接 DO,AO.p又。为 E B的 中 点，所 以 P0=,DO=A 0=,2 2由 平 面 PEB 1 平 面 4 B E D,可 得 P。1 ABED,所 以 P0 1 OA,P0 1 0D,故 PD=PA=J 囹+(亨)2=5设 F 为 4。的 中 点，连 接 F P,在 等 腰 三 角 形 P A D 中,PF=JPA2 AF2=I3-=7 4 2设 点 E 到 平 面 P 4 0 的 距 离 为 九，由 E-PAD=P

30、-ADE9 得 1九.S&pAD=1 LA D E,贝 x PF=1|POI XjMDI x DE,解 得/I=等.1130.(1)如 图，连 接 BH,由 4H=1a,48=1可 知 8=J a)+a2=a,H G=/G a)?+G a?=苧 a，GB=Ja2+a)2=K，可 得 HB2=HG2+G B 2,从 而 HGJ.GB.因 为 DA 1 AF,DA 1 AB,所 以 D4 1 平 面 ABG”,又 CB/DA,所 以 CB 1 平 面 48GF,所 以 CB 1 HG,所 以 HG _L平 面 BCG,因 为 HG c 平 面 EHG,所 以 平 面 EHG 1 平 面 BCG.(2)如 图，过 点 B 作 A F的 平 行 线 交 F G的 延 长 线 于 点 P,连 接 AP,F B,交 于 点。.过 点 G作 GK J L F B 于 K,则 GK=-PO=-x2y2=yj2,可 得 四 边 形 BCEF的 面 积 S=4 X 4V2=16vL故=3 X I 6&X 鱼=3 1.略.