2023年高考数学总复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示.pdf

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1、第 二 节 平 面 向 量 基 本 定 理 及 坐 标 表 示,最 新 考 纲，1.了 解 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 其 意 义.2.掌 握 平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 其 坐 标 表 示.3.会 用 坐 标 表 示 平 面 向 量 的 加 法、减 法 与 数 乘 运 算.4.理 解 用 坐 标 表 示 的 平 面 向 量 共 线 的 条 件.考 向 预 测 考 情 分 析：平 面 向 量 基 本 定 理 及 其 应 用，平 面 向 量 的 坐 标 运 算，向 量 共 线 的 坐 标 表 示 及 其 应 用 仍 是 高 考 考 查 的 热 点，题 型 仍 将 是 选

2、择 题 与 填 空 题.学 科 素 养：通 过 平 面 向 量 基 本 定 理 的 应 用 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.积 累 必 备 知 识 基 础 落 实 赢 得 良 好 开 端 一、必 记 4 个 知 识 点 1.平 面 向 量 的 基 本 定 理 如 果 e”e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 向 量，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量”，有 且 只 有 一 对 实 数 右，%，使。=.2.平 面 向 量 的 坐 标 表 示 在 直 角 坐 标 系 内，分 别 取 与 的 两 个 单 位 向 量 i,_/作 为 基 底，对 任 一 个 向 量 有

3、 唯-对 实 数 x,y 使 得：a=xi+yj,叫 做 向 量 a 的 直 角 坐 标，记 作 a=(x,y),显 然 i,j,0=.3.平 面 向 量 的 坐 标 运 算(1)设 a=(x”yi),=(X2，2)，则 a+b=，a-b=,ka.(2)设 A(xi，%),B(X2,”)，则 丽=,|A B|=.4.平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 设 Q=(XI，yi),b=(X2,2)，其 中 5W O,则.二、必 明 2 个 常 用 结 论 1.向 量 共 线 的 充 要 条 件 的 两 种 形 式(l)a b=8=2a(aW0,2SR)；(2)a B=xiy2及 9=0(其

4、中 a=(xi，9),6=(x2，),2).2.已 知 4BC的 顶 点 4(箝,),3(X2,y2),C(x3,y3),则 ABC的 重 心 G 的 坐 标 为(女 等 国,yi+yz+yiA3 人 三、必 练 4 类 基 础 题(一)判 断 正 误 1.判 断 下 列 说 法 是 否 正 确(请 在 括 号 中 打“J”或 X”).(1)在 ABC中，A B,以 可 以 作 为 基 底.()(2)在 A A B C 中，设 无 5=a,B C=b,则 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 NA8C()(3)平 面 向 量 不 论 经 过 怎 样 的 平 移 变 换 之 后，其 坐 标 不 变

5、.()(4)若 a,b 不 共 线，且 九 a+/=22。+2%，则 九=%,且 1=2.()(5)若 a=(xi,%),b=(x2,竺)，则 的 充 要 条 件 可 以 表 示 成 占=么.()x2 丫 2(二)教 材 改 编 2.必 修 4Roi习 题 T5改 编 已 知 向 量 a=(4,2),=(x,3),S.a/b,则 x 的 值 是()A.6 B.6C.9 D.123.必 修 4Roi练 习 16改 编 设 P 是 线 段 P1P2上 的 一 点，若 尸 i(l，3),生(4,0)且 是 线 段 2产 2的 一 个 三 等 分 点(靠 近 点 P)，则 点 P 的 坐 标 为()A

6、.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)(三)易 错 易 混 4.(忽 视 共 线 的 两 种 情 况)己 知 点 4(一 1,3),BQ,-1),则 与 向 量 而 共 线 的 单 位 向 量 是.5.(向 量 共 线 的 坐 标 公 式 掌 握 不 幸)已 知 点 4(1,1),8(4,2)和 向 量 a=(2,2),若 a 屈，则 实 数%=;若=n A B,则=.(四)走 进 高 考 6.全 国 卷 I 在 ABC中，A O 为 8 c 边 上 的 中 线，E 为 的 中 点，则 品=()A.-AB-AC B.iAB-AC4 4 4 4C.-A

7、B+iAC D.iAB+-AC4 4 4 4提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 平 面 向 量 基 本 定 理 及 其 应 用 基 础 性 1 5 0 1 2022天 水 市 高 三 月 考 如 图 所 示，在 ABC中，CB=3CD,AD=2AE,若 丽=a,AC=b,则 丽=()A.-a-b B.-a-b6 3 6 3A(2)2022甘 肃 兰 州 高 三 月 考 如 图，在 a A B C 中，而 三 前，P 是 线 段 B O 上 一 点，若 而=/nAB+A C,则 实 数 m 的 值 为（）61 7 1A.-B.-C.2 D.-3 3 2听

8、课 笔 记：反 思 感 悟 平 面 向 量 基 本 定 理 的 实 质 及 解 题 思 路(1)应 用 平 面 向 量 基 本 定 理 表 示 向 量 的 实 质 是 利 用 平 行 四 边 形 法 则 或 三 角 形 法 则 进 行 向 量 的 加、减 或 数 乘 运 算.(2)用 平 面 向 量 基 本 定 理 解 决 问 题 的 一 般 思 路 是 先 选 择 一 组 基 底，并 运 用 该 基 底 将 条 件 和 结 论 表 示 成 向 量 的 形 式，再 通 过 向 量 的 运 算 来 解 决.【对 点 训 练】1.2022 福 州 市 质 量 检 测 在 A A B C中，E 为

9、A 8边 的 中 点，。为 A C边 上 的 点，BD,C E 交 于 点 F.若 屈=,通+巳 前，则 尧 的 值 为()A.2 B.3C.4 D.52.已 知 在 ABC中，点 O 满 足 包+而+%=0,点 P 是 O C上 异 于 端 点 的 任 意 一 点，且 加=团 鼐+而，则 m+n 的 取 值 范 围 是.考 点 二 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 基 础 性 1.己 知 通=(1,-1),C(0,1),若 而=2屈，则 点。的 坐 标 为()A.(2,3)B.(2,3)C.(-2,1)D.(2,-1)2.已 知 4=(5,-2),5=(4,-3),若 a 2 b+3 c=

10、0,则 c 的 坐 标 为()儿(1,|)B.(谓,|)。得 9 D.(-y.-|)3.已 知 平 行 四 边 形 ABC。中，AD=(3,7),A B=(-2,3),对 角 线 A C与 B Q交 于 点 O,则 而 的 坐 标 为()A.(W，5)B.&5)C.&-5)D.-5)反 思 感 悟 求 解 向 量 坐 标 运 算 问 题 的 一 般 思 路(1)向 量 问 题 坐 标 化：向 量 的 坐 标 运 算，使 得 向 量 的 线 性 运 算 都 可 用 坐 标 来 进 行，实 现 了 向 量 运 算 完 全 代 数 化，将 数 与 形 紧 密 结 合 起 来，通 过 建 立 平 面

11、直 角 坐 标 系，使 几 何 问 题 转 化 为 数 量 运 算.(2)巧 借 方 程 思 想 求 坐 标：向 量 的 坐 标 运 算 主 要 是 利 用 加 法、减 法、数 乘 运 算 法 则 进 行，若 已 知 有 向 线 段 两 端 点 的 坐 标，则 应 先 求 出 向 量 的 坐 标，求 解 过 程 中 要 注 意 方 程 思 想 的 运 用.(3)妙 用 待 定 系 数 法 求 系 数：利 用 坐 标 运 算 求 向 量 的 基 底 表 示，一 般 先 求 出 基 底 向 量 和 被 表 示 向 量 的 坐 标，再 用 待 定 系 数 法 求 出 系 数.考 点 三 平 面 向

12、量 共 线 的 坐 标 表 示 综 合 性 角 度 1 利 用 向 量 共 线 求 向 量 或 点 的 坐 标 例 2 已 知 梯 形 A 2 C D 中，其 中 A8 CD,且。C=2AB,三 个 顶 点 A(l,2),8(2,1),C(4,2),则 力 点 坐 标 为.听 课 笔 记：反 思 感 悟 利 用 两 向 量 共 线 的 条 件 求 向 量 坐 标，一 般 地，在 求 与 一 个 已 知 向 量 a 共 线 的 向 量 时，可 设 所 求 向 量 为 痴(2GR),然 后 结 合 其 他 条 件 列 出 关 于 2 的 方 程，求 出 7 的 值 后 代 入 2a,即 可 得 到

13、 所 求 向 量.角 度 2 利 用 向 量 共 线 求 参 数 例 3 2022海 南 昌 茂 高 三 月 考 已 知 向 量 a=(x+2,3),b=(x,1),且 a 儿 则 x的 值 是()A.-1 B.0C.2 D.1(2)已 知 向 量 加=(丸 12),OB=(4,5),次=(一 七 10),且 A、8、C 三 点 共 线，则 k听 课 笔 记:反 思 感 悟 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 问 题 的 解 题 策 略(1)利 用 两 向 量 共 线 求 参 数.如 果 已 知 两 向 量 共 线，求 某 些 参 数 的 取 值 时，利 用“若 a=(xi,y。，b=

14、(X2,yi),则 的 充 要 条 件 是 4 丫 2=卯|”解 题 比 较 方 便.(2)利 用 两 向 量 共 线 的 条 件 求 向 量 坐 标.一 般 地，在 求 与 一 个 已 知 向 量。共 线 的 向 量 时，可 设 所 求 向 量 为&z(2GR),然 后 结 合 其 他 条 件 列 出 关 于 2 的 方 程，求 出 2 的 值 后 代 入 施 即可 得 到 所 求 的 向 量.(3)三 点 共 线 问 题.A,B,C 三 点 共 线 等 价 于 而 与 正 共 线.【对 点 训 练】1.2022云 南 昆 明 市 一 中 月 考 在 a A B C 中，己 知 熊=(2,8

15、),A C=(-3,2),若 前=M C,则 前 的 坐 标 为.2.2022广 东 广 州 高 三 月 考 已 知 向 量 机=(2,-3),n=(l,1-b),若 m/n,则 b的 值 为.微 专 题 2 2 巧 借 坐 标 系 提 升 运 算 能 力 思 想 方 法 例 如 图，在 边 长 为 4 的 正 方 形 ABCQ中，动 圆。的 半 径 为 1,圆 心。在 线 段 BC(含 端 点)上 运 动，P 是 圆 Q 上 及 内 部 的 动 点，设 向 量 而=机 屈+加(相，”为 实 数)，则 m+n的 取 值 范 围 是()A.1-,2+-B.2+-1L 4 4 J L4 4 J解

16、析：如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 屈=(4,0),AD=(0,4),AP=inAB+iiAD=(4m94 n),设。(4,t),re 0,4,则 尸 在 圆。-4)2+。一/)2=1 上，设 P(4+cos 仇 r+sin 0)9 则 4+cos 0=4m,t+sin 9=4n,4/77+4n=4+r+V 2sin 当 f=0,时，加+取 得 最 小 值 1 4，当/=4,时，加+取 得 最 大 值 2+号，所 以?+的 取 值 范 围 是 1 当，2+升 答 案：A名 师 点 评 巧 建 系 妙 解 题，常 见 的 建 系 方 法(1)利 用 图 形 中 现 成 的 垂 直

17、 关 系 若 图 形 中 有 明 显 互 相 垂 直 且 相 交 于 一 点 的 两 条 直 线(如 矩 形、直 角 梯 形 等)，可 以 利 用 这 两 条 直 线 建 立 坐 标 系；(2)利 用 图 形 中 的 对 称 关 系 图 形 中 虽 没 有 明 显 互 相 垂 直 交 于 一 点 的 两 条 直 线，但 有 一 定 对 称 关 系(如 等 腰 三 角 形，等 腰 梯 形 等)，可 利 用 自 身 对 称 性 建 系.建 立 平 面 直 角 坐 标 系 的 基 本 原 则 是 尽 可 能 地 使 顶 点 在 坐 标 轴 上，或 在 同 一 象 限.变 式 训 练 给 定 两 个

18、长 度 为 1的 平 面 向 量 鼐 和 而，它 们 的 夹 角 为 亨.如 图 所 示，点 C 在 以。为 圆 心 的 醺 上 运 动.若 氏=方 嬴+)而，其 中 x,y G R,问 x+y 是 否 存 在 最 大 值？若 不 存 在，说 明 理 由；若 存 在，则 求 出 最 大 值.第 二 节 平 面 向 量 基 本 定 理 及 坐 标 表 示 积 累 必 备 知 识、1.不 共 线 幺 161+幺 2。22.x 轴、y 轴 正 方 向 相 同(x,y)(1,0)(0,1)(0,0)3.(xi+X 2 9 yi+yi)(xi-M,J i-yi)Gxi,R i)(X 2 xi,yi-ji

19、)7(x2-Xt)2+(y2-y i)24.X1J2-x yi=O1.答 案：(1)J(2)X(3)J(4)V(5)X2.解 析：因 为 a b,所 以 4X 32 x=0,所 以 x=6.答 案：B3.解 析：由 已 知 得，不?=2-2,P 1 2=(3,-3).设 P(x,y),则(一 1,y3)=(1,-1),所 以 x=2,y=2,点 P(2,2).答 案：A4.解 析：的=(3,-4),屈|=j3 2+(-4/=5,所 以 与 通 共 线 的 单 位 向 量 是(|,一 或(V 9-答 案：3 Y)或(-短 S5.解 析：由 题 意 得 第=(3,1),因 为 a 丽，所 以 34

20、2=0,解 得 7,由 a=A B,得(2,4)=(3，)，所 以,故(口=入 3/r/r 0 2 2箸 案：3,36.解 析：作 出 示 意 图 如 图 所 示.EB=ED+DB4 AD+1CB=ix 1(A B+AC)+i(AB-AC)=-A B-iA C.4 4故 选 A.答 案：A提 升 关 键 能 力 考 点 一 例 1 解 析：因 为 谣=3而，AD=2AE所 以 屈=工(CA+而)=-b+-x 2匣=-b+-(AB-A C)=-a-b.2 2 2 3 2 6 6 3(2)设 丽=%前，因 为 前=:阮，所 以 品=:品,3 4则 寿=丽+BP=AB+ABD=AB+z(BA+AD)

21、=(1-z)AB+夕 前,又 因 为 靠=机 屈+;而，所 以 6答 案：(1)B(2)A对 点 训 练 1 一 入=m 9-1A、一 _ 1,解 得 2=3,4 61m=-.31.解 析：方 法 一 如 图，设 后 机 所 以 而 加+闪=海+海，因 为 F,B,。二 点 共 线，所 以,+5=1 解 得 2=4,故 笨=4.故 选 C.方 法 二 设 丽=2前，疝=前，则 丽=疝 一 而)=一/后+打 谶，所 以 屏=向+而=(1T)融+4 寂.11 一 人 二 又 AF=,AB+：A C,所 以|1：解 得 故 狭=4.7 7 Ag=-4 AD答 案：C2.解 析：依 题 意，设 而=/

22、比(0 2 1),由 施+丽+前=0,知 前=一(鼐+而)，所 以 而=一 疣 KT 而.由 平 面 向 量 基 本 定 理 可 知，机+=-2 4,所 以 m+ne(-2,0).答 案：(一 2,0)考 点 二 1.解 析：设 D(x,y),则 而=(x,y 1),2AB=(2,-2),根 据 而=2靠，得(x,y-1)=(2,2),即 1 x=2，解 得 x=2,故 选 口(y1=-2,ly=-1,答 案：D2.解 析：设 c=(x,y).因 为 a2b+3c=0,所 以(5,2)2(-4,3)+3(x,y)=(0,(130),即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0)所 以、=解 得

23、-3 所 以。=(一(.4+3y=0,I y=、3答 案：D3.解 析：因 为 血=靠+而=(-2,3)+(3,7)=(1,10),所 以 前=之 同=(,5),所 以 而=(1-5).故 选 D 项.答 案：D考 点 三 例 2 解 析：.在 梯 形 AB C Q中，DC=2AB,AB/CD,/.DC=2AB,设 点 D 的 坐 标 为(x,y),则 次=(4-x,2-y),AB=(1,-1),/.(4x,2)=2(1,1),即(4-x,2y)=(2,-2),(4-x=2,l2-y=-2解 得 x=2,.y=4,故 点。的 坐 标 为(2,4).答 案：(2,4)例 3 解 析：由 题 意

24、x+2 3x=0,x=l.(2)AB=0B-0A=(4-A:,-7),前=玩 一 嬴=(一 2h-2).因 为 A,B,C 三 点 共 线，所 以 熊，而 共 线，所 以 一 2X(4k)=7 X(-2&),解 得 A=23,答 案：(1)D(2)一：对 点 训 练 1.解 析：由 题 设，点 M 是 线 段 8 C 的 中 点，加 W(通+亚)=3(2,8)+(3,2)答 案：(一 1 5)2.解 析：因 为，“”，所 以=1=6=2.答 案：2微 专 题 2 2 巧 借 坐 标 系 提 升 运 算 能 力 变 式 训 练 解 析：以 点。为 坐 标 原 点，质 所 在 的 直 线 为 X 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，如 图 所 示,则 4(1,0),B k,务设 N A O C=d a 0,y),则 C(cos a,sin a),由 氏=xOA+y而，得，1cos a=x y,2,.V 3sm a=y,所 以=cos a+*in a,y=等 sina,所 以 x+y=co s a+V 5sin ot=2sin(a+),又 aeo，y,所 以 当 a=轲，x+y取 得 最 大 值 2.