2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第4课时利用导数研究不等式的恒成立问题.pdf

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1、第 4 课 时 利 用 导 数 研 究 不 等 式 的 恒 成 立 问 题 提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 分 离 参 数 法 求 参 数 范 围 综 合 性 例 1 2022浙 江 嘉 兴 高 三 模 拟 预 测 己 知 函 数 x)=-xlnx+a(x+l),e R(1)求 函 数/(x)的 单 调 区 间；(2)若 关 于 x 的 不 等 式 兀 v)W2a在 2,+8)上 恒 成 立，求 的 取 值 反 思 感 悟(1)用 分 离 参 数 法 解 含 参 不 等 式 恒 成 立 问 题 是 指 在 能 够 判 断 出 参 数 的 系 数 的

2、正 负 的 情 况 下，可 以 根 据 不 等 式 的 性 质 将 参 数 分 离 出 来，得 到 一 个 一 端 是 参 数，另 一 端 是 变 量 表 达 式 的 不 等 式，只 要 研 究 变 量 表 达 式 的 最 值 就 可 以 解 决 问 题.(2)fl 刃(X)恒 成 立 Q42y(X)max；a W/(X)恒 成 立 o a W/(x)min；a为(X)能 成 立 期 x)min：a W/(X)能 成 立 0 4(/(jOmax.【对 点 训 练】2022山 东 济 宁 一 中 高 三 测 试 已 知 函 数/)=x a In x,a W R.(1)求 函 数/(x)的 单 调

3、 区 间；(2)当 x d l,2 时，有 兀 00成 立，求 a 的 取 值 范 围.考 点 二 分 类 讨 论 法 求 取 值 范 围 基 础 性、综 合 性 例 2 已 知 函 数 7(x)=(x+al)e，g(x)=1x2+a x,其 中。为 常 数.(1)当。=2 时，求 函 数 外)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(2)若 对 任 意 的 x d 0,+oo),不 等 式 y(x)g(x)恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.听 课 笔 记：反 思 感 悟 若/(x)20恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围，即 研 究。取 什 么 范 围 能 使 如 果 参

4、 数“不 易 分 离，通 常 对 a 分 类 讨 论，找 到 使 4 x)2 0的 的 取 值 范 围.【对 点 训 练】设 函 数/x)=(l x2)e.(1)讨 论 外)的 单 调 性；(2)当 x 0 时，./(x)Wax+l,求 实 数 a 的 取 值 范 围.考 点 三 双 参 不 等 式 恒 成 立 问 题 应 用 性 例 3 设 y(x)=：+x Inx,g(x)x3x23.(1)如 果 存 在 为，x2e 0,2 使 得 g(xi)-g(X2)2M成 立，求 满 足 上 述 条 件 的 最 大 整 数 M；(2)如 果 对 于 任 意 的 s,2卜 都 有 g(X2),等 价

5、于 函 数/(x)在“上 的 最 小 值 大 于 g(x)在。2上 的 最 小 值，即/(x)ming(x)min(这 里 假 设 f(x)min，gQ)min存 在).其 等 价 转 化 的 基 本 思 想：函 数，=/(x)的 任 意 一 个 函 数 值 大 于 函 数 y=g(x)的 某 一 个 函 数 值，但 并 不 要 求 大 于 函 数 y=g(x)的 所 有 函 数 值.(2)WqQi,3x2eZ)2,/(xi)g(X2),等 价 于 函 数/在。上 的 最 大 值 小 于 函 数 g(x)在。2上 的 最 大 值(这 里 假 设 f(X)max，gG)max存 在)其 等 价

6、转 化 的 基 本 思 想：函 数 歹=/(%)的 任 意 一 个 函 数 值 小 于 函 数=8(工)的 某 一 个 函 数 值,但 并 不 要 求 小 于 函 数 y=g(x)的 所 有 函 数 值.【对 点 训 练】已 知 向 量 旭=(巴 In x+左)，=(1,/Q),雁 依 为 常 数，e 是 自 然 对 数 的 底 数)，曲 线 y=/(x)在 点(1,/(I)处 的 切 线 与 y 轴 垂 直，F(x)=xexf(x).(1)求 人 的 值 及 网 X)的 单 调 区 间；(2)已 知 函 数 g(x)=/+2*3 为 正 实 数)，若 对 于 任 意 1,总 存 在 M(0,

7、+8),使 得 求 实 数 的 取 值 范 围.第 4课 时 利 用 导 数 研 究 不 等 式 的 恒 成 立 问 题 提 升 关 键 能 力 考 点 一 例 1 解 析：当。=0 时，/(x)=-x ln x,(x0),/(x)=-l n x-1,由/(x)0 解 得 0 xe-i,由/(x)e,故 火 x)的 单 调 增 区 间 为(0,e),单 调 减 区 间 为(e-i,+8)；当 aWO时，由 x)=x ln x+a(x+l),得 於)的 定 义 域 为(0,+0 解 得 0 xe-1,由/(x)e“r,故 大 x)的 单 调 增 区 间 为(0,e r),单 调 减 区 间 为(

8、e r,+2,则 如)=皆 詈，令 f(x)=ln xx+1,贝 i r(x)=1-1=?，由 t(x)0解 得 0 x l,由 中)l,故 f(x)在(0,1)递 增，在(1,+8)递 减,心)1 1 1 ax=f(l)=o,x)W 0,所 以 In xWx 1,.gG)20,g(X)在 2,+8)上 单 调 递 增，.g(x)mm=g(2)，aWg(2)=21n2,的 取 值 范 围 是(-8,21n 2.对 点 训 练 解 析：函 数 大 x)的 定 义 域 为 小 0,/(x)=l：=(,时，/(x)0恒 成 立，函 数 兀 V)在(0,+8)上 单 调 递 增；。0 时，令 x)=0

9、,得 x=a.当 0 xa时，f(x)0,函 数“V)为 增 函 数.综 上 所 述，当“W 0 时，函 数 外)的 单 调 递 增 区 间 为(0,+8),无 单 调 递 减 区 间；当 公 0时，函 数/(x)的 单 调 递 减 区 间 为(0,a),单 调 递 增 区 间 为(。，+8).(2)若 x=l,於)=10 成 立，“G R；若 1cxW2,问 题 恒 成 立，记 g(x)=A(l xW2),g(x)=*F，则 函 数 g(x)在(1,2 上 单 调 递 减，所 以 g(x)mm=g(2)=意，所 以 总.综 上：a.in 2考 点 二 例 2 解 析：(1)因 为=2,所 以

10、 兀 0=。+1)炉，所 以 火 0)=1,x)=(x+2)ex，所 以 八 0)=2,所 以 所 求 切 线 方 程 为 2x-y+=0.(2)令 A(x)=Xx)-g(x),由 题 意 得(X)min20在 X C O,+8)上 恒 成 立，因 为/7(x)=(x+a l)ev|x2ax,所 以(x)=(x+a)(十 一 1).若 则 当 x C 0,+8)时，(x)20,所 以 函 数(x)在 0,+8)上 单 调 递 增，所 以 h(x)min=h(0)a,则 a 12 0,得 若 a 0,所 以 函 数 以 X)在 0,一 公 上 单 调 递 减，在(-4,+8)上 单 调 递 增，

11、所 以 h(x)mn=h(a),又 因 为/?(一)/?(0)=。-1 0；当 x e(1+鱼，+8)时，/(x)V0.所 以 危)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上 单 调 递 减，在(1应，-1+V2)单 调 递 增.(2)令 g(x)J(x)ax1=(1 x2)ev(ax+1),令 x=0,可 得 g(0)=0.gx)=(1 x22x)eva,令 力(x)=(l x22x)era,则 h(x)=(x2+4x+1)e当 x 2 0 时，hx)0,(x)在 0,+8)上 单 调 递 减，故 力(x)W(0)=1 a9 即 g(x)W 1 a,要 使/(x)一 奴 一 1 1)g(

12、X2)maxeK因 为 g(x)=x3X23,所 以 g(x)=3x22x=3x(x-0.g(x),gr(x)随 X 变 化 的 情 双 中 下 稻 _X 0H I)322Sx)0 0+g(x)-3极 小 值 _ 8 527/1由 上 表 可 知，g(x)min=g(|)=-|,g(x)max=g(2)=l.gUl)-g(2)max=g(X)m ax-g(X)m i n=,所 以 满 足 条 件 的 最 大 整 数 M=4.解 析：(2)对 于 任 意 的 s,ze i,2,都 有 y(sRg 成 立，等 价 于 在 区 间 悖，2 上，函 数 f(x)min g(x)max.由(1)可 知，

13、在 区 间*，2 上，g(x)的 最 大 值 g(2)=l.在 区 间，2 上，/(x)=：+xlnx l恒 成 立.等 价 于 x21n x 恒 成 立，记(x)=xx21n x,则(x)=l2xlnxx,=0.当 K 时，h(x)0.即 函 数/i(x)=x-/Inx在 区 间 停，1)上 单 调 递 增，在 区 间(1,2 上 单 调 递 减,所 以(X)max=/l(l)=l,即 实 数。的 取 值 范 围 是 1,+8).对 点 训 练 解 析：(1)由 已 知 可 得/(幻=等，.In x-k所 以 广(乃=丁-由 已 知，/(1)=上=0,所 以=1,所 以 F(x)=xe/,(

14、x)=Q-Inx-1)=1 x In x-x,所 以 尸(x)=-In x2.由 9(x)=-lnx-220得 0后 专，由 F(x)=-lnx-20 得 所 以 如)的 单 调 递 增 区 间 为(0,卦 单 调 递 减 区 间 为 倡，+00).解 析：(2)因 为 对 于 任 意 工 2 0,1,总 存 在 xiG(0,+8),使 得 g(x2)F(xi),所 以 g(X)maxF(X)max.由 知,当 x=2 时，尸(X)取 得 最 大 值(=)=1+*对 于 g(x)=必+2双，其 对 称 轴 为=，当 01 时，g(x)max=g(l)=2a-l,所 以 2a 1V1+,从 而 1”1十 点.综 上 可 知，实 数 a 的 取 值 范 围 是(0,1+衰).