2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解).pdf

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1、专 题 1 8最 全 归 纳 平 面 向 量 中 的 范 围 与 最 值 问 题【考 点 预 测】一.平 面 向 量 范 围 与 最 值 问 题 常 用 方 法：(|)定 义 法 第 一 步:利 用 向 量 的 概 念 及 其 基 本 运 算 将 所 求 问 题 转 化 为 相 应 的 等 式 关 系 第 二 步：运 用 基 木 不 等 式 求 其 最 值 问 题 第 三 步:得 出 结 论(2)坐 标 法 第 一 步：根 据 题 意 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 并 写 出 相 应 点 的 坐 标 第 二 步：将 平 面 向 量 的 运 算 坐 标 化 第 三 步:运 用 适 当

2、的 数 学 方 法 如 二 次 函 数 的 思 想、基 本 不 等 式 的 思 想、三 角 函 数 思 想 等 求 解(3)基 底 法 第 一 步：利 用 其 底 转 化 向 量 第 二 步：根 据 向 量 运 算 律 化 简 目 标 第 三 步：运 用 适 当 的 数 学 方 法 如 二 次 函 数 的 思 想、基 本 不 等 式 的 思 想、三 角 函 数 思 想 等 得 出 结 论(4)几 何 意 义 法 第 一 步：先 确 定 向 量 所 表 达 的 点 的 轨 迹 第 二 步：根 据 直 线 与 曲 线 位 置 关 系 列 式 第 三 步：解 得 结 果 二.极 化 恒 等 式(1)

3、平 行 四 边 形 平 行 四 边 形 对 角 线 的 平 方 和 等 于 四 边 的 平 方 和：|+另|2+|-5=2(|+出)证 明：不 妨 设 通=,而=石，贝！1 AC=a+b,DB=a-b阿=配 2=(+0=中+2不+忙 喇=诙 2=(_耳=_ 2 3 另+冲 两 式 相 加 得：时+阂=2时+粕=矶 河+阿)极 化 恒 等 式:匕 面 两 式 相 减，得：-4a+b 十-硝 极 化 恒 等 式 平 行 四 边 形 模 式：a=l|A C|2-|DB|2儿 何 意 义：向 量 的 数 量 积 可 以 表 示 为 以 这 组 向 量 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的“和 对 角

4、 线 与 差 对 角 线”平 方 差 1的 v.一 1.4 三 角 形 模 式：/=|AM 一 三 网 2(M 为 8。的 中 点)三.矩 形 大 法 矩 形 所 在 平 面 内 任 一 点 到 其 对 角 线 端 点 距 离 的 平 方 和 相 等 已 知 点 0 是 矩 形 A8CO与 所 在 平 面 内 任 一 点，证 明：OA2+O C2=O B2+O D2.【证 明】(坐 标 法)设 AB=a,AZ)=6,以 A 8所 在 直 线 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 处 则 8(a,0),3(0,。),C(a,。)，设 O(x,y),则 OA2+OC2=(x2+/)+(x-a

5、)2+(y-h)2OB2+O D2=(x-a)3+/+x2+(y-h)2 OA2+OC2=0 8?+O2 四.等 和 线(1)平 面 向 量 共 线 定 理 己 知 函=祝 店+元，若%+=1,则 A,8,C三 点 共 线；反 之 亦 然。(2)等 和 线 平 面 内 一 组 基 底 函,而 及 任 一 向 量 O户，OP=W A+OB(A,eR),若 点 P在 直 线 他 上 或 者 在 平 行 于 A B 的 直 线 上，则 4+=左(定 值)，反 之 也 成 立，我 们 把 直 线 A B 以 及 与 直 线 A B 平 行 的 直 线 称 为 等 和 线。当 等 和 线 恰 为 直 线

6、 四 时，k=l；当 等 和 线 在 O点 和 直 线 A 3之 间 时，Are(0,1)；当 直 线 他 在 点 O和 等 和 线 之 间 时，k e(l,”)；当 等 和 线 过。点 时，k=0；若 两 等 和 线 关 于 O点 对 称，则 定 值 k 互 为 相 反 数;B/题 型 归 纳 目 录 题 型 一：三 角 不 等 式 题 型 二：定 义 法 题 型 三：基 底 法 题 型 四：几 何 意 义 法 题 型 五：坐 标 法 题 型 六：极 化 恒 等 式 题 型 七：矩 形 大 法 题 型 八：等 和 线【典 型 例 题】题 型 一：三 角 不 等 式 例 1.（2022.河 南

7、 洛 宁 县 第 一 高 级 中 学 高 一 阶 段 练 习）已 知 向 量 之 正 满 足|。|=2,山=1,|）|=1，若 对 任 意，（c-a）2+（c-6）2wii恒 成 立，则.行 的 取 值 范 围 是.例 2.（2022.安 徽 省 舒 城 中 学 三 模（理）已 知 平 面 向 量.，1，,同=同=1,若 向 苗+4 2 2,则 口 的 最 小 值 是.例 3.（2022浙 江 湖 州 模 拟 预 测）已 知 平 面 向 量,石 忑 满 足|办 曰|=1,若 国-G+1）|=|1石|修|,则-辟+2方 的 最 小 值 是.例 4.（2022.浙 江.模 拟 预 测）已 知 平

8、面 内 两 单 位 向 量 4 勺,佃 心=三，若 d 满 足 机.-e W=7,卜 可+上 闻 2 g,则 广 的 最 小 值 是.例 5.（浙 江 省 绍 兴 市 柯 桥 区 2022届 高 三 下 学 期 5 月 第 二 次 适 应 性 考 试 数 学 试 题）已 知 平 面 向 量 仄 及 c满 足：G 与 5 的 夹 角 为,，传-0 心-石）=0,同+同=2,记 M 是 卜-的 最 大 值，则 M 的 最 小 值 是 例 6.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 非 零 平 面 向 量 2 1 满 足|+q=/，则 同 也|的 最 小 值 是（）A.4 B.3 C.2

9、 D.1例 7.（2022 湖 北 华 中 师 大 一 附 中 高 一 阶 段 练 习）已 知 圆 C 的 半 径 为 2,点 A 满 足|同=4,E,F 分 别 是C 上 两 个 动 点，且 用=2 6,则 荏.赤 的 取 值 范 围 是（）A.6,24 B.4,22 C.6,22 D.4,24J例 8.（2022浙 江 福 三 专 题 练 习）己 知 平 面 向 量 b，满 足 W=W=g W=l,归/4 1.若 之 4+2，则 B q+B a 的 最 大 值 是.例 9.（2022全 国 高 一 课 时 练 习）已 知 在 三 角 形 ABC中，3 c=4,|/叫=2同。，则 罚.浅 的

10、 取 值 范 围 是（）A.卜 歹，321 B.-,32 C.（0,32）D.0,32）例 10.（2022 全 国 高 一 专 题 练 习）已 知 同=2,根=,与 加 的 夹 角 为 6 0,若 向 量 2满 足|工-2-4目=2 6，则 口 的 取 值 范 围 是（）A.4-2百,4+2 g B.6,5 百 C.2/3,673 D.5-26,5+2百 例 11.（2022浙 江 宁 波 高 三 期 末）已 知 平 面 向 量,b，入 其 中 否 是 单 位 向 量 且 满 足=4c2-4a-c-4b-c=l 若 c=xa+yB（x,y wR）,则 x+y 的 最 小 值 为.例 12.（

11、2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 向 量,另 是 平 面 内 的 两 个 非 零 向 量，则 当 忖+闸+|-）取 最 大 值 时，与 B夹 角 为.题 型 二：定 义 法 例 13.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）已 知 向 量 1,5 满 足 同=2,忖=3,则 辰 目+口 一 1 的 最 大 值 为 例 14.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 AABC中，角 艮 C 的 边 长 分 别 为“c,点。为 AABC的 外 心，若 UllU UUU1b2+c2=2 b,则 8C-A O的 取 值 范 围 是（）A.-J。）B.（0,2）C.D.卜 利

12、例 15.（2022江 苏 省 江 阴 高 级 中 学 高 三 开 学 考 试）如 图，正 六 边 形 ABCZ）的 边 长 为 2,动 点 从 顶 点 8出 发，沿 正 六 边 形 的 边 逆 时 针 运 动 到 顶 点 尸，若 丽.说 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是“，则 加+=（）B.10 C.11 D.12例 16.（2022 四 川 成 都 市 锦 江 区 嘉 祥 外 国 语 高 级 中 学 模 拟 预 测（理）已 知。4=0 8=2,点 C 在 线 段 A 5 上，且|国 的 最 小 值 为 g,则 W+f西（/e R）的 最 小 值 为（）A.72 B.73 C.2

13、D.75例 17.（2022 河 南 平 顶 山 市 第 一 高 级 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 A,8 为 圆 O:f+y2=4上 的 两 动 点，|A8|=2后，点 P 是 圆 C:（x+3）2+（y 4-=1上 的 一 点，贝 阳+丽|的 最 小 值 是（）A.2 B.4 C.6 D.8例 18.（2022黑 龙 江 哈 九 中 二 模（理）窗 的 运 用 是 中 式 园 林 设 计 的 重 要 组 成 部 分，在 表 现 方 式 上 常 常 运 用 象 征、隐 喻、借 景 等 手 法，将 民 族 文 化 与 哲 理 融 入 其 中，营 造 出 广 阔 的 审 美 意 境.从 窗

14、 的 外 形 看，常 见 的 有 圆 形、菱 形、正 六 边 形、正 八 边 形 等.已 知 圆。是 某 窗 的 平 面 图，O 为 圆 心，点 A 在 圆。的 圆 周 上，点 尸 是 圆。内 部 一 点，若 网=2,且 弧 於=一 2,则 便+西 的 最 小 值 是（）A.3 B.4 C.9 D.16例 19.（2022 全 国 三 模（理）己 知 平 面 向 量 2，b 均 为 单 位 向 量，且 卜 一 人|=1,（a-2B（a-c）的 取 值 范 围 是（）A.卜 百,6 B.-2,2C.-77,5/7 D.-3,3题 型 三：基 底 法 例 20.（2022天 津 河 北 二 模）已

15、 知 菱 形 ABC。的 边 长 为 2,=120。，点 E,尸 分 在 边 BC,C O 上，_ _ 2BE=X B C，DF=JUD C.若;1+=则 南.标 的 最 小 值 为.71 71例 21.（2022山 西 省 长 治 市 第 二 中 学 校 高 三 阶 段 练 习（理）菱 形 A 5 C O 中，A8=l,Ae y,-，点 E 是 线 段 A O 上 的 动 点（包 括 端 点），则 而 丽 的 最 小 值 为.例 22.（2022 全 国 高 一）在 矩 形 中，AB=2BC=2,动 点 M 在 以 点 C 为 圆 心 且 与 8。相 切 的 圆 上,则 丽 丽 的 取 值

16、范 围 为（）A.-5,-1 B.-5,1 C.f-3+/5,-l D.-3+45,3-45例 23.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 ABC中，M 为 边 8 c 上 任 意 一 点，N 为 A M 中 点，且 满 足AA?=AAB+/A C,则;I?+2的 最 小 值 为（）1 1 八 1A.B.-C.D.116 4 8例 24.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 在 中，A8=AC=2,8C=3,点 E 是 边 BC上 的 动 点，则 当 丽 丽 取 得 最 小 值 时，|丽|=（）AA.-同-DR.-历-C.-V-i-o U n.-V-1-4-4 2 2

17、2例 25.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，已 知 两 个 模 都 为 10的 向 量 方，而，它 们 的 夹 角 为 g,点 C在 以 O 为 圆 心，10为 半 径 的 A 8上 运 动，则 5 丽 的 最 小 值 为（）A.100-100 x/2 B.-100 c.100夜-100 D.-10072例 26.（2022吉 林 长 春 模 拟 预 测（理）已 知 AABC中，A=p AC=2,AB=5,点 P 为 边 A B上 的 动 点，则 丽.正 的 最 小 值 为（）例 27.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 凸 四 边 形 ABCZ）中，AB=BC=

18、2,ZABC=1 2 0 且 AACD为 等 边 三 角 形，若 点 E在 四 边 形 ABCD上 运 动，则 丽.诙 的 最 小 值 是（）A.-4 B.-3 C.-1题 型 四：几 何 意 义 法 例 28.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 平 面 向 量 Z，b，满 足 5%=-3，|2-4=4,与 的 夹 角 为?，则|-可 的 最 大 值 为.例 29.（2022上 海 市 建 平 中 学 高 一 阶 段 练 习）已 知 平 面 向 量 及 满 足 网=2,且 a 与 的 夹 角 为 135、则 同 的 取 值 范 围 是.例 30.（2022 全 国 高 三

19、专 题 练 习）在 平 面 内，若 有 团=无 6=1,忖=2,c-a）-（2c-a-b）=Q,则 的 最 大 值 为.例 31.（2022 北 京 朝 阳 高 三 期 末）已 知 平 面 向 量 各 满 足 同=2,与 的 夹 角 为 120。，记 m=网 的 取 值 范 围 为（）A.6,问 B.&,+）C.!,+）D.；,+8）例 32.（2022 江 苏 高 二）飞 镖 运 动 于 十 五 世 纪 兴 起 于 英 格 兰，二 十 世 纪 初，成 为 人 们 在 酒 吧 日 常 休 闲 的 必 备 活 动.某 热 爱 飞 镖 的 小 朋 友 用 纸 片 折 出 如 图 所 示 的 十 字

20、 飞 镖，该 十 字 飞 镖 由 四 个 全 等 的 四 边 形 拼 成.在 四 边 形 ABC。中，OAS.OC,Q4=O C=4,ACLBC,A C=B C,点 尸 是 八 边 形 ABCDE尸 G 内（不 含 边 界）一 点，则 丽.衣 的 取 值 范 围 是（）B.(-48,16)C.(-16石,48石)D.(-48/,166)例 33.（2022 湖 南 模 拟 预 测）已 知 直 线/与 圆 0：/+/2=9相 交 于 不 同 两 点 P，。，点 加 为 线 段 PQ的 中 点，若 平 面 上 一 动 点 C 满 足 而=2 页（2 0）,则。小 丽 的 取 值 范 围 是（）A.

21、0,3）B.（0,30C.0,9）D.（0,6立 例 34.（2022 浙 江 绍 兴 高 三 期 末）已 知 M N 为 圆 C：f+丁-2x-4y=0上 长 度 为 4 的 动 弦，点 P 是 直 线/：x-y+3=o上 的 动 点，则|而+标|的 最 小 值 为（）A.25/2-2 B.2忘 C.242+2 D.2也-若 _ 0 1T例 35.（2022福 建 厦 门 高 三 阶 段 练 习）平 面 四 边 形 A 3 C D 中，AB=,A C=6 ACLAB,ZADC=,则 而 南 的 最 小 值 为（）A.-6 B.-1 C.-D.22UUUl UUUI例 36.（2022.安 徽

22、.合 肥 一 六 八 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 ABC的 外 接 圆 半 径 长 为 1,则 AB-AC的 最 小 值 为（）A.1 B.C.D.2 3 4例 37.（2022.北 京 工 业 大 学 附 属 中 学 三 模）已 知 向 量 满 足 忖=2,与 石 的 夹 角 为 6 Q，则 当 实 数 4 变 化 时，伯-加|的 最 小 值 为（）A.g B.2 C.D.2右 例 38.（2022内 蒙 古 海 拉 尔 第 二 中 学 高 三 期 末（理）已 知 平 面 向 量 入 眼 咽 满 足 同=1,且 与 的 夹 角 为 150、若 2=（1 7）+例 reR）,则 口 的

23、 最 小 值 为（）例 39.（2022江 苏 高 二）如 图，己 知 四 边 形 A8C。为 直 角 梯 形，AB1BC,AB/DC,AB=,AD=3,ABAD=-,设 点 P 为 直 角 梯 形 ABC。内 一 点（不 包 含 边 界），则 而.丽 的 取 值 范 围 是（）例 40.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）己 知 两 个 不 相 等 的 非 零 向 量,以 满 足 同=1,且 公 与 的 夹 角 为 60,则%的 取 值 范 围 是（）A.（0,乎）B.吟,1）C.吟,+oo）D.（1,+oo）题 型 五：坐 标 法 例 41.（2022.全 国.高 三 专 题 练

24、习）已 知 向 量 后 满 足 囚+*3,忖=1,则 问+2%+耳 的 最 大 值 为 例 42.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 不 是 平 面 上 的 单 位 向 量，则 区-留+|+可 的 最 大 值 是.例 43.（2022浙 江 效 实 中 学 模 拟 预 测）已 知 平 面 向 量 方 石 忑 满 足 同=1,欠-2。卜 恸=2,（c-b）-b=0,则,+司+归 一 司 的 最 小 值 为.例 44.（2022江 苏 阜 宁 县 东 沟 中 学 模 拟 预 测）已 知 半 径 为 1的 圆。上 有 三 个 动 点 A,B,C,且|AB|=V 2,则 前.配 的 最

25、小 值 为.例 45.（四 川 省 泸 县 第 四 中 学 2022届 高 三 下 学 期 高 考 适 应 性 考 试 数 学（理）试 题）已 知 花 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，若 向 量 满 足-。-22）=0,则 同 的 最 大 值 是.例 46.（2022.北 京 市 第 十 二 中 学 三 模）AABC为 等 边 三 角 形，且 边 长 为 2,则 而 与 血 的 夹 角 大 小 为 120。，若|而|=1,CE=EA，则 亚 丽 的 最 小 值 为.例 47.（江 苏 省 泰 州 市 2022届 高 三 下 学 期 第 四 次 调 研 测 试 数 学

26、 试 题）平 面 向 量 痴 忑 满 足 同=1同=2,a与 5 的 夹 角 为 6 0，且 修-2力（5）=0 则|c|的 最 小 值 是 一.例 48.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）点 M 是 边 长 为 2 的 正 六 边 形 A 8 CDEF内 或 边 界 上 一 动 点，则 通.丽 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为（）A.2 B.4 C.6 D.8例 49.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 矩 形 A8c。中,AB=4,AD=3,M,N 分 别 为 线 段 BC,DC上 的 动 点，且 M N=2,则 丽 心 前 的 最 小 值 为（）C.

27、16 D.17例 50.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 平 面 四 边 形 ABC。中,4 3,3 c A。，8,2 8 4。=12（）。,他=4。=2.若 点 6 为 边。上 的 动 点，则 通 丽 的 最 小 值 为（）例 51.（2022 四 川 成 都 七 中 模 拟 预 测（理）在 等 腰 梯 形 A8CZ）中，4 8 C,AB=2BC=2CO=2,P 是 腰 A O 上 的 动 点，则|2方-定|的 最 小 值 为（）A.不 B.3 C.D.2 4例 52.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）已 知 AM C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，

28、点 为 AABC所 在 平 面 内 的 一 点，K（Afi A M）-（AC A M）=2,则 A M 长 度 的 最 小 值 为（）A.迈 B.史 C.旦 D.V64 3 2例 53.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）等 边 AABC的 面 积 为 9 6,且 AABC的 内 心 为 M,若 平 面 内 的 点 N 满 足=则 丽.丽 的 最 小 值 为（）A.-5-2后 B.-5-46 C.-6-2/3 D.-6-4 例 54.（2022辽 宁 沈 阳 一 模）如 图，在 直 角 梯 形 A B C D 中，AD/BC,ABA.BC,A=1,BC=2,尸 是A.3石 B.6 C.

29、275 D.4例 55.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 ABC。是 边 长 为 2 的 正 方 形，P 为 平 面 A B 8 内 一 点，则（丽+丽）记 的 最 小 值 是（）A.2 B.C.3 D.42例 56.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）四 叶 回 旋 镖 可 看 作 是 由 四 个 相 同 的 直 角 梯 形 围 成 的 图 形，如 图 所 示,AB=4,CD=2,ZA=45,M 为 线 段 H L上 一 动 点,则 赤 两 的 最 小 值 为（）例 57.（2022 四 川 射 洪 中 学 模 拟 预 测（文）AABC是 等 腰 直 角 三 角 形，

30、AB=BC=4,CD=C A+CB）,AJE=xAD+yAC,其 中 2 x+y=l,则 丽.丽 的 最 小 值 是（）例 58.（2022.山 东 潍 坊.模 拟 预 测）折 扇 又 名“撒 扇”“纸 扇”，是 一 种 用 竹 木 或 象 牙 做 扇 骨，韧 纸 或 绫 绢 做 扇 面 的 能 折 叠 的 扇 子，如 图 1.其 平 面 图 如 图 2 的 扇 形 A O 8,其 中 N A O 8=120。，O 4=2 0 C=2,点 E 在 弧 例 59.（2022湖 南 临 澧 县 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习）在 中，AB=,AC=2,Zfi4c=6 0,尸 是 ABC的

31、外 接 圆 上 的 一 点，若 丽=m通+而，则 机+的 最 小 值 是（）A.-1 B.C.D.2 3 6例 60.（2022山 西 二 模（理）在 菱 形 A8C。中，4 8=4 7=2,点 P在 菱 形 ABC。所 在 平 面 内，贝 U（西+丽）记 的 最 小 值 为（）3 7A.5/3 B.3 C.-D.-例 61.（2022.陕 西 西 安 中 学 模 拟 预 测（文）在 直 角 三 角 形 ABC中，N A 8C=90,AB=6,2C=2 6,点 M、N 是 线 段 A C上 的 动 点，且|MN|=2,则 丽.丽 的 最 小 值 为（）A.12 B.8 C.6/3 D.6例 6

32、2.（2022广 东 惠 州 高 三 阶 段 练 习）已 知 平 面 向 量,b，1满 足 H=W=7 B=2,且 倒-斗（3另-=0,则 p-R 最 小 值 为（）A.2近+1 B.3-3 C.V7-I D.2 6-2例 63.（2022.山 东 胜 利 一 中 模 拟 预 测）已 知 函 2为 单 位 向 量，满 足 国 卜 怩-卜 1,则 心 词 的 最 小 值 为（）A.-3 1 B.-y/3 C.-jl 1 D./7TT例 64.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 梯 形 ABC。中，A D/B C,ZB=-,AB=2,BC=4,A=1,点 P,。在 线 段 B

33、C上 移 动，且 PQ=1,则 而 丽 的 最 小 值 为（）A.1 B.U C.丹 D.以 2 2 4例 65.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）如 图，已 知 两 个 单 位 向 量 砺，O B，且 它 们 的 夹 角 为?，点。在 以 O为 圆 心，1为 半 径 的 AB上 运 动，则 C 4，C后 的 最 小 值 为（）A例 66.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）骑 行 是 目 前 很 流 行 的 一 种 绿 色 健 身 和 环 保 出 行 方 式，骑 行 属 于 全 身 性 有 氧 活 动、能 有 效 地 锻 炼 大 脑、心 脏 等 人 体 器 官 机 能，它 带

34、 给 人 们 的 不 仅 是 简 单 的 身 体 上 的 运 动 锻 炼，更 是 心 灵 上 的 释 放.如 图 是 某 一 自 行 车 的 平 面 结 构 示 意 图，已 知 图 中 的 圆 A（前 轮），圆。（后 轮）的 半 径 均 为6 A A B E,BEC,AEC均 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形.设 点 户 为 后 轮 上 一 点，则 在 骑 行 该 自 行 车 的 过 程 中，蔗 丽 的 最 小 值 为（）4A/3 B.12 C.1 2 6 D.24题 型 六：极 化 恒 等 式 例 67.（2022山 东 师 范 大 学 附 中 模 拟 预 测）边 长 为 1的 正

35、 方 形 内 有 一 内 切 圆，M N 是 内 切 圆 的 一 条 弦，点 P 为 正 方 形 四 条 边 上 的 动 点，当 弦 M V的 长 度 最 大 时，丽 丽 的 取 值 范 围 是.例 68.（2022湖 北 省 仙 桃 中 学 模 拟 预 测）如 图 直 角 梯 形 A 8C C中，E F是 边 上 长 为 6 的 可 移 动 的 线 段，4）=4,AB=84，8 c=12,则 屁.乔 的 取 值 范 围 为.（2022.全 国.高 一）设 三 角 形 树，尸。是 边”上 的 一 定 点，满 足 尸 注 d，且 对 于 边 AB上 任 一 点 P,恒 有 方 前 2/瓦 席，则

36、 三 角 形 4 8 c 形 状 为.例 70.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线/：y=x+2“与 圆 C:（x-4）2+丁=/6 0）相 切 于 点 M（-1,%）,设 直 线/与 x 轴 的 交 点 为 A,点 尸 为 圆 C 上 的 动 点，则 丽 丽 的 最 大 值 为.例 71.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 边 长 为 2 的 正 方 形 48C。中，M,N分 别 为 边 8C,C。上 的 动 点，以 M N为 边 作 等 边 AP M/V,使 得 点 A,尸 位 于 直 线 M N的 两 侧，则 丽.丽 的 最 小 值 为 例 7

37、2.（2022陕 西 榆 林 三 模（文）四 边 形 A8CO为 菱 形，ZBAC=30。,AB=6,P 是 菱 形 A8CO所 在 平 面 的 任 意 一 点，则 丽.正 的 最 小 值 为.例 73.（2022 重 庆 八 中 模 拟 预 测）AABC中，A8=3,8C=4,AC=5,P Q为 AABC内 切 圆 的 一 条 直 径，M为“ABC边 上 的 动 点，则 初 破 的 取 值 范 围 为（）A.0,4 B.1,4 C.0,9 D.1,9例 74.（2022.江 苏.苏 州 市 相 城 区 陆 慕 高 级 中 学 高 一 阶 段 练 习）半 径 为 2 的 圆。上 有 三 点 A

38、,8,C满 足0 X+通+/=6，点 p 是 圆 内 一 点，则 丽 丽+丽.定 的 取 值 范 围 为（）A.H，14）B.（T 1 4）C.T,4）D.（T,42 2例 75.（2022黑 龙 江 佳 木 斯 一 中 高 二 期 中）已 知 P 为 椭 圆 工+匕=1上 任 意 一 点，E F 为 圆 25 24N:（X-1）2+/=4 任 意 一 条 直 径，则 而.而 的 取 值 范 围 为（）A.8,12 B.12,20 C.12,32 D.32,40例 76.（2022 四 川 凉 山 三 模（理）已 知 下 图 中 正 六 边 形 A8CDE/的 边 长 为 4,圆。的 圆 心

39、为 正 六 边 形 的 中 心，直 径 为 2,若 点 P 在 正 六 边 形 的 边 上 运 动，为 圆。的 直 径，则 丽 丽 的 取 值 范 围 是（）A P F（/X O）A.11,16 B.11,15v-vC DC.12,15 D.11,14例 77.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 AABC中,/ABC=90,4B=2,8C=2石，M 点 是 线 段 4 c 上 一 动 点.若 以 M 为 圆 心、半 径 为 1的 圆 与 线 段 A C 交 于 R Q 两 点，则 丽 丽 的 最 小 值 为（）B.2 C.3D.4例 78.（2022福 建 莆 田 模 拟 预

40、 测）已 知 P 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 A B C 所 在 平 面 内 一 点，且 AP=ZAB+（2-2A）A C a e R）,则 丽.前 的 最 小 值 为（）A.16 B.12 C.5 D.4例 79.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线/：x+y-l=0 与 圆 C：+（y+a-l）2=1交 于 A,B 两 点，。为 坐 标 原 点，则 方 丽 的 最 小 值 为（）.A.B.C.y/2 D.g2 2 2例 80.（2022.北 京 人 大 附 中 模 拟 预 测）窗 花 是 贴 在 窗 纸 或 窗 户 玻 璃 上 的 剪 纸，是 中 国 古

41、老 的 传 统 民 间 艺 术.图 1是 一 张 由 卷 曲 纹 和 回 纹 构 成 的 正 六 边 形 前 纸 窗 花.图 2 中 正 六 边 形 A8CDEF的 边 长 为 4,圆。的 圆 心 为 该 正 六 边 形 的 中 心，圆。的 半 径 为 2,圆。的 直 径 M N C D,点 P 在 正 六 边 形 的 边 上 运 动，则丽.丽 的 最 小 值 为（）图 1F A图 2例 81.（2022江 西 二 模（理）已 知 A A B C 是 面 积 为 4石 的 等 边 三 角 形，且 而=而+/，其 中 实 数 尤，y满 足 x+1=l,则 的 最 小 值 为（）A.4 B.5 C

42、.6 D.7题 型 七：矩 形 大 法 例 82.（贵 州 省 贵 阳 市 第 一 中 学 2022届 高 三 上 学 期 高 考 适 应 性 月 考 卷（三）数 学（文）试 题）已 知 平 面 向 量 2,b，c,满 足 同 咽=出=2,且 3-2 4 色 一）=0,则*4 的 最 小 值 为（）A 73-1 R 币 币 n 夕 2 2 2 2例 83.（北 京 市 人 大 附 中 朝 阳 学 校 2019-2020学 年 度 高 一 下 学 期 期 末 模 拟 数 学 试 题（1）设 向 量 心 5，c满 足 I万|=|日 1=1，无 5=（a-c）-（-c）=0,贝 IJ的 最 小 值

43、是（）A.B.C.G D.12 2例 84.（四 川 省 资 阳 市 2021-2022学 年 高 三 第 一 次 诊 断 考 试 数 学（理）试 题）已 知 工 为 单 位 向 量，向 量 满 足：（2-.（-54=0,则 根 的 最 大 值 为（）A.4 B.5 C.6 D.7题 型 八：等 和 线 例 85.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 矩 形 ABC。中，AB=4,A D=3,M,N 分 别 是 A8,A O 上 的 动 点，且 满 足 24W+4 V=1,设 恁=罚+丫 福，则 2x+3y的 最 小 值 为（）A.48 B.49 C.50 D.51例 86.（2022

44、 山 东 烟 台 三 模）如 图，边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 为 圆 0,P 为 圆。上 任 一 点，若 AP=xAB+yAC,则 2x+2y的 最 大 值 为（）cB.2 4C.-D.13例 87.（2022 全 国 高 一 期 末）在 越（?中，M为 BC边 上 任 意 一 点，N为 线 段 4 M 上 任 意 一 点，若 AN=A AB+pi AC(2,R),则 的 取 值 范 围 是()A.0,1 B.I，1 C.10,1 D.1,2例 88.（2022江 苏 高 二）如 图，已 知 点 尸 在 由 射 线 O D、线 段。4,线 段 5 4 的 延 长 线

45、 所 围 成 的 平 面 区 域 内（包 括 边 界），且 0。与 平 行，若 丽=*而+W X,当 x=-g 时，的 取 值 范 围 是（）C.32,2D._ 32,2例 89.（2022.宁 夏 银 川 一 中 一 模（文）在 直 角 AABC中，A B L A C,AB=A C=2,以 8 C为 直 径 的 半 圆 上 有 一 点（包 括 端 点），若 赤=2而+/，则 义+的 最 大 值 为（A.4C.2B.石 D.72例 90.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 AABC的 外 接 圆 圆 心 为。，4 4=120,若 而=x而+y蔗（x,yR）,则 x+y 的 最

46、小 值 为（）1 2 3A g B.4 C.-D.22 3 2例 91.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知。是 AABC内 一 点，且 9+/+玩=0,点 M 在 AOBC内（不 含边 界），若 丽=4而+/，则 2+2 的 取 值 范 围 是 A.（1,|）B.（1,2）C,停 1）D.（川 例 92.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 矩 形 A B CD中，AB=1,A D=2,动 点 P 在 以 点 C 为 圆 心 且 与 B D相 切 的 圆 上.若 丽=2 AB+/7 A D）则 2+的 最 大 值 为 A.3 B.272 C./5 D.2例 93.（20

47、22 四 川 绵 阳 高 一 期 中）在 扇 形。4 5 中，ZAOB=60,C 为 弧 A 3上 的 一 动 点，若 OC=xOA+y O B,则 3 x+y的 取 值 范 围 是.例 94.（2022 上 海 模 拟 预 测）在 直 角 AABC中，NA为 直 角，AB=,AC=2,M 是 AABC内 一 点，且 若 A M=4A B+A C,则 2 2+3 的 最 大 值 为.例 95.（2022山 东 荷 泽 高 一 期 中）如 图，在 边 长 为 2 的 正 六 边 形 ABCDEF中，动 圆。的 半 径 为 1,圆 心 Q在 线 段 CQ（含 端 点）上 运 动，户 是 圆。上 及

48、 其 内 部 的 动 点，设 向 量 丽=机 而+赤（m,为 实 数）,则 m+n 的 最 大 值 为 例 96.（2022 全 国 高 一 期 末）如 图，扇 形 的 半 径 为 1,且 砺,丽=,点 C在 弧 A 3上 运 动，若 OC=xOA+yOBj则 2 x+y的 最 大 值 是专 题 1 8最 全 归 纳 平 面 向 量 中 的 范 围 与 最 值 问 题【考 点 预 测】一.平 面 向 量 范 围 与 最 值 问 题 常 用 方 法：(|)定 义 法 第 一 步:利 用 向 量 的 概 念 及 其 基 本 运 算 将 所 求 问 题 转 化 为 相 应 的 等 式 关 系 第 二

49、 步：运 用 基 木 不 等 式 求 其 最 值 问 题 第 三 步:得 出 结 论(2)坐 标 法 第 一 步：根 据 题 意 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 并 写 出 相 应 点 的 坐 标 第 二 步：将 平 面 向 量 的 运 算 坐 标 化 第 三 步:运 用 适 当 的 数 学 方 法 如 二 次 函 数 的 思 想、基 本 不 等 式 的 思 想、三 角 函 数 思 想 等 求 解(3)基 底 法 第 一 步：利 用 其 底 转 化 向 量 第 二 步：根 据 向 量 运 算 律 化 简 目 标 第 三 步：运 用 适 当 的 数 学 方 法 如 二 次 函 数 的 思

50、 想、基 本 不 等 式 的 思 想、三 角 函 数 思 想 等 得 出 结 论(4)几 何 意 义 法 第 一 步：先 确 定 向 量 所 表 达 的 点 的 轨 迹 第 二 步：根 据 直 线 与 曲 线 位 置 关 系 列 式 第 三 步：解 得 结 果 二.极 化 恒 等 式(1)平 行 四 边 形 平 行 四 边 形 对 角 线 的 平 方 和 等 于 四 边 的 平 方 和：|+另|2+|-5=2(|+出)证 明：不 妨 设 通=,而=石，贝！1 AC=a+b,DB=a-b阿=配 2=(+0=中+2不+忙 喇=诙 2=(_耳=_ 2 3 另+冲 两 式 相 加 得：时+阂=2时+粕