2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)24 等差数列及其前n项和(含详解).pdf

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1、专 题 2 4 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和【考 点 预 测】一.等 差 数 列 的 有 关 概 念（1）等 差 数 列 的 定 义 一 般 地,如 果 个 数 列 从 第 2 项 起,每 项 与 它 的 前 项 的 差 等 于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 差 数 列，这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差,通 常 用 字 母”表 示,定 义 表 达 式 为 q,-=d（常 数）（w N,n2）.（2）等 差 中 项 若 三 个 数。，A,b 成 等 差 数 列,则 A叫 做 与 的 等 差 中 项，且 有 A=i.二.等 差 数 列 的

2、有 关 公 式（1）等 差 数 列 的 通 项 公 式 如 果 等 差 数 列 伍 的 首 项 为 4,公 差 为 d,那 么 它 的 通 项 公 式 是=4+（-l）d（2）等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 设 等 差 数 列 all 的 公 差 为 d,其 前 项 和 S“=4+的=）.三,等 差 数 列 的 常 用 性 质 已 知 4 为 等 差 数 列,d 为 公 差,S 为 该 数 列 的 前 项 和.（1）通 项 公 式 的 推 广:an=am+（n-m）d（n,m e N*）.（2）在 等 差 数 列 4 中,当 根+=+时,am+=cip+ciq（m,n,p,q w N*

3、）.特 别 地,若，%+=,则,+%=2 q（m,twN*）（3）ak,akm,4+2,，仍 是 等 差 数 列,公 差 为 md（k,m e N”）.（4）Slt,S2t-S,S3 S?”，也 成 等 差 数 列,公 差 为.（5）若,a 是 等 差 数 列,则 p 4+倣 也 是 等 差 数 列.（6）若 4 是 等 差 数 列,贝 J Z 也 成 等 差 数 列,其 首 项 与 q 首 项 相 同,公 差 是 可 公 差 的 丄.2（7）若 项 数 为 偶 数 2,则 S2=（4+/“）=（可+可+J；S偶 一 S奇=d；=-i-.S偶 可+1（8）若 项 数 为 奇 数 2 1,则 与

4、=（2 1）;S奇 一 S個=。“；&=一.-1（9）在 等 差 数 列。j 中,若 q 0,d 0 则 满 足 的 项 数 机 使 得 S,取 得 最 大 值 S,“；若 l l O,则 满 足 代 5 的 项 数，使 得 SIt取 得 最 小 值 5,.l 0四.等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 与 函 数 的 关 系 邑=?/+(%-3).数 列 但“是 等 差 数 列 o Sz,=A+B”(4 8 为 常 数).五.等 差 数 列 的 前 项 和 的 最 值 公 差 0 0|为 递 增 等 差 数 列,5,有 最 小 值;公 差()=%为 递 减 等 差 数 列,S“有 最 大

5、值;公 差 d=O o“为 常 数 列.特 别 地 若 则 S“有 最 大 值(所 有 正 项 或 非 负 项 之 和)；d 0六.其 他 衍 生 等 差 数 列.若 已 知 等 差 数 列 4,公 差 为,前 项 和 为 S“,贝;等 间 距 抽 取,“,4,包，+S T”，为 等 差 数 列,公 差 为.等 长 度 截 取 S,“,S2,-S“,$2.,，为 等 差 数 列，公 差 为 机 2.算 术 平 均 值,士,邑,为 等 差 数 列,公 差 为 4.【方 法 技 巧 与 总 结】(1)等 差 数 列,J中,若=。,“=(机,”?,e N*),则”=。.(2)等 差 数 列 中,若

6、S=m,Stn=(jnn,m,nGN*),则 Snrtl,=-(旭+).(3)等 差 数 列 中,若 Sa=Sm(m,机,e N),则 Sm+n=0.(4)若 与 由,为 等 差 数 列,且 前 项 和 为 S“与 T；,则=鼠.【题 型 归 纳 目 录】题 型:等 差 数 列 的 基 本 运 算 题 型 二:等 差 数 列 的 判 定 与 证 明 题 型 三：等 差 数 列 的 性 质 题 型 四:等 差 数 列 前 项 和 的 性 质 题 型 五:等 差 数 列 前 项 和 的 最 值 题 型 六:求 数 列 的 通 项 题 型 七:关 于 奇 偶 项 问 题 的 讨 论题 型:对 于 含

7、 绝 对 值 的 数 列 求 和 问 题 题 型 九:利 用 等 差、等 比 数 列 的 单 调 性 求 解 题 型 十：等 差 数 列 中 的 范 围 与 最 值 问 题【典 例 例 题】题 型 一：等 差 数 列 的 基 本 运 算 例 1.（2022.河 南 开 封.高 二 期 末（理）己 知 数 列 j,2 都 是 等 差 数 列,且-4=2,a2-b2=i,则%一=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2例 2.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）九 章 算 术 是 我 国 秦 汉 时 期 一 部 杰 出 的 数 学 著 作,书 中 第 三 章“衰 分”有 如 下 问 题:“今

8、有 大 夫、不 更、簪 裹、上 造、公 士,凡 五 人,共 出 百 钱.欲 令 高 爵 出 少,以 次 渐 多,问 各 几 何?意 思 是:“有 大 夫、不 更、簪 裏、上 造、公 士（爵 位 依 次 变 低）5 个 人 共 出 100钱，按 照 爵 位 从 高 到 低 每 人 所 出 钱 数 成 递 增 等 差 数 列,这 5 个 人 各 出 多 少 钱?”在 这 个 问 题 中，若 不 更 出 17钱，则 公 士 出 的 钱 数 为（）A.10 B.14 C.23 D.26例 3.（2022 全 国 模 拟 预 测（理）已 知 等 差 数 列%的 前，2项 和 为 S.若+=22,S4=3

9、 8,则 4=（）A.72 B.74 C.75 D.76例 4.（2022 河 北 石 家 庄 二 中 模 拟 预 测）记 S“为 等 差 数 列%的 前 项 和.若 4S=3S2+S4,%=5,贝 4。=（）A.3 B.7 C.H D.15例 5.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）设 是 等 差 数 歹,且 q=ln2,+a,=5 1 n 2（则 e。+e/+e=（）A.2n B.n2+2n C.2 D.2n+-2例 6.（2022黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 模 拟 预 测（文）已 知 等 差 数 列 q 中,4=2,%=4%,S”为 数 列 的 前 项 和，则 S IO=（）A

10、.115 B.110 C.-110 D.-115【方 法 技 巧 与 总 结】等 差 数 列 基 本 运 算 的 常 见 类 型 及 解 题 策 略:（1）求 公 差 d 或 项 数.在 求 解 时,一 般 要 运 用 方 程 思 想.（2）求 通 项.q 和 d 是 等 差 数 列 的 两 个 基 本 元 素.（3）求 特 定 项.利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 或 等 差 数 列 的 性 质 求 解.（4）求 前 项 和.利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 直 接 求 解 或 利 用 等 差 中 项 间 接 求 解.【注 意】在 求 解 数 列 基 本 量 问 题

11、中 主 要 使 用 的 是 方 程 思 想,要 注 意 使 用 公 式 时 的 准 确 性 与 合 理 性，更 要 注 意 运 算 的 准 确 性.在 遇 到 一 些 较 复 杂 的 方 程 组 时，要 注 意 运 用 整 体 代 换 思 想，使 运 算 更 加 便 捷.题 型 二:等 差 数 列 的 判 定 与 证 明 例 7.（2022安 徽 月 考）设 数 列 囚,，,中 的 每 一 项 都 不 为.证 明：“,为 等 差 数 列 的 充 分必 要 条 件 是:对 任 何 N,都 有 丄+丄+=/.a a2a3 a+44+1例 8.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列

12、 凡 的 前 项 和 为 S“，q=4,=8,J g L Sn+2-2Sn+l+SB=4.（1）求 证:数 列%是 等 差 数 列;若“,S,14。成 等 比 数 列,求 正 整 数 例 9.（2022.四 川.成 都 市 锦 江 区 嘉 祥 外 国 语 高 级 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 首 项 为 2 的 数 列 4 满 足 g,+l,为 奇 数 2%,为 偶 数（1）求 证:数 列 是 等 差 数 列,并 求 其 通 项 公 式;（2）求 数 列 一 I-1的 前 10项 和 九 例 10.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）记 数 列 的 前 项 和 为 S“，q=-7

13、,=-6,a,用=姐+1（N*,&R）.证 明 数 列%为 等 差 数 列,并 求 通 项 公 式“”；例 U.（2022山 东 济 宁 二 模）己 知 数 列 q 满 足 4=2,+,凡+（夜）,为 奇 数,2,为 偶 数.设=”,证 明:数 列 图 为 等 差 数 列;求 数 列%的 前 2 项 和.例 12.（2022 辽 宁 沈 阳 市 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 数 列 4 的 前 项 和 S,=也 土,且。.证 明;数 列 q 为 等 差 数 列;若 bn=卫 2-,求 数 歹 也”的 前 项 和 Tn.+2例 13.（2022 辽 宁 实 验 中 学 模 拟

14、预 测）已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S,满 足:=,+i（e N）求 证;数 列 也 为 等 差 数 列；若=5,令，=:,数 列 出 的 前 项 和 为 小 若 不 等 式 45（&“-1）M-5 I对 任 意 e N 恒 成 立,求 实 数!的 取 值 范 围.例 14.（2022安 徽 阜 阳 高 三 期 末（文）记 数 列 4 的 前 项 和 为 S.,满 足 咯+9=+1 6,且。“2.（1）证 明;数 列 叫 是 等 差 数 列；设 数 列 也 满 足 bn=a+2,求 也 的 前 项 和.例 15.（2022安 徽 淮 南 模（文）已 知 数 列 叫 满 足 4%。“

15、=2-2”,eN*.(1)求 生 的 值 并 证 明 数 列(是 等 差 数 列;(2)求 数 列 4 的 通 项 公 式 并 证 明:1.例 16.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 叫 满 足,4=3,+l=3(n)设 数 列=力 求 证 数 列 我 为 等 差 数 列:(2)求 数 列 4 的 通 项 公 式:,+；,为 正 奇 数,例 17.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 数 列 加 满 足“=问 数 列 初 是 否 为 2+3 为 正 偶 数.1 5 2等 差 数 列 或 等 比 数 列?说 明 理 由;(2)求 证:数 列 祟 是 等

16、 差 数 列,并 求 数 列 4.的 通 项 公 式.例 18.(2022.内 蒙 古 呼 和 浩 特.高 三 阶 段 练 习(理)已 知 正 项 数 列 满 足 q=l,=2 且 对 任 意 的 正 整 数，1+*是 和 匕 2的 等 差 中 项.证 明:、是 等 差 数 列,并 求%的 通 项 公 式；若%=%,且=4,求 数 列 也 的 通 项 公 式.例 19.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 数 列 4 中,q=l,当 2 时,其 前 项 和 S“满 足;暁=(5“工).(1)求 证;数 列 是 等 差 数 列;3”(2)若&(;)+SM VO对 一 切 正 整 数 恒

17、成 立,求 实 数 的 最 大 值.例 20.(2022全 国 高 三 开 学 考 试(理)已 知 I 为 数 列。”的 前 项 的 积,且 q=；,S,为 数 列 亿 的 前 项 的 和,若?；+2S,R T=O(n N-2).(1)求 证:数 列 是 等 差 数 列；(2)求%的 通 项 公 式.【方 法 技 巧 与 总 结】方 法 解 读 适 合 题 型定 义 法%-4（“2,w N*）为 同 一 常 数 0 是 等 差 数 列 等 差 中 项 法 2a解 答 题 中 的 证 明 问 题 tt=at l+an_2(n 3 N)成 立=an 是 等 差 数 列 通 项 公 式 法 4=p

18、M q（p,为 常 数）对 任 意 的 正 整 数 都 成 立）是 等 差 数 列 选 择、填 空 题 中 的 判 定 问 题 前 项 和 公 式 法 验 证 5,=An2+Bn（A,B 为 常 数）对 任 意 的 正 整 数 n 都 成 立 Q 4 是 等 差 数 列【注 意】如 果 要 证 明 一 个 数 列 是 等 差 数 列,则 必 须 用 定 义 法 或 等 差 中 项 法.判 断 时 易 忽 视 定 义 中 从 第 2项 起,以 后 每 项 与 前 项 的 差 是 同 一 常 数,即 易 忽 视 验 证 s-0=d 这 关 键 条 件.题 型 三:等 差 数 列 的 性 质 例 2

19、1.（2022 全 国 髙 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 叫 的 前”项 和 为 S”,且%+2 4。+親=1 8,则 凡=（）A.74 B.81 C.162 D.148例 22.（2022.福 建 省 华 安 县 第 一 中 学 高 三 期 中）设 等 差 数 列 叫 的 前”项 和 为 S“，若 SMT=-2,Sm=0,S,2=3,则,等 于（）A.8 B.7 C.6 D.5例 23.（2022全 国 模 拟 预 测（理）已 知 等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S”,若 q+%+6=6 3,则 S$=（）A.60 B.75 C.90 D.105例 24（2022海 南

20、 海 口 二 模）设 公 差 不 为 的 等 差 数 列 q 的 前”项 和 为 S,已 知 S,=3（%+6+勺）,则 m=（）A.9 B.8 C.7 D.6例 25.（2022.青 海.海 东 市 第 一 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 等 差 数 列 中，牝,3是 方 程 V-6 x-2 1=0 的 两 根，则%的 前 2 1项 的 和 为（）A.6 B.30 C.63 D.126【方 法 技 巧 与 总 结】如 果 4 为 等 差 数 列,当 m+=。+4 时,am+an=ap+all（m,n,p,qeN）.因 此，出 现 4等 项 时,可 以 利 用 此 性 质 将 已 知 条

21、件 转 化 为 与（或 其 他 项）有 关 的 条 件;若 求 项,可 由,+,+）转 化 为 求 am-n+a+n 的 值.题 型 四:等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 例 26.（2022河 南 省 杞 县 高 中 模 拟 预 测（理）已 知 项 数 为 的 等 差 数 列 的 前 6项 和 为 1 0,最 后 6项 和 为 1 1 0,所 有 项 和 为 3 6 0,则=（）A.48 B.36 C.30 D.26例 27.（2022.河 南 省 杞 县 高 中 模 拟 预 测（文）已 知 等 差 数 列 为，%,生,，,前 6 项 和 为 10,最 后 6 项 和 为 1 1

22、0,所 有 项 和 为 3 6 0,则 该 数 列 的 项 数=（）A.26 B.30 C.36 D.48例 28.（2022安 徽 合 肥 市 第 八 中 学 模 拟 预 测（文）设 S“为 等 差 数 列 的 的 前 项 和，若 Sg=3，则 CoS（S7-S j=（）A.正 B.一 旦 C.I D.-2 2 2 2例 29.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）两 个 等 差 数 列 叫 和 也 的 前 项 和 分 别 为 S“、T l 且=、，则+九 等 于（）例 30.（2022四 川 凉 山 三 模（理）等 差 数 列 叫 满 足 q尸 1且 4产,q+%=l,若/（X）=V

23、,则 X-/（a j（%）3）/（%）=（）A.+421 B.221 C.22 D.-221例 31.（2022 全 国 髙 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 为 5”,若 S,=2,%=6,则 凡“=（）A.8 B.12 C.14 D.20例 32.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S,若 翦=謚+1且 q=3,则（A.an=2H+1 B.an=+lC.Sn=2n2+n D.Sn=42-n）例 33.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）设 等 差 数 列%与 等 差 数 列 他,的 前 项 和 分 别 为 S,

24、若 对 于 任 意 的 正 整 数”都 有 瑞 Sn=2H+1-,则 4=（）T1 1 3-I b9AA.-3-5-Dr.31 31 35-J J.-例 34.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）设 等 差 数 列“与 等 差 数 列 也 的 前 项 和 分 别 为 S Tn f若 对 任 意 自然 数 都 有=捐,则+的 值 为（）A.-B.-C.D.1例 35.（2022.全 国.模 拟 预 测）已 知 数 列%,他,均 为 等 差 数 列,其 前，?项 和 分 别 为,B“,且 会=备,则 使 字 恒 成 立 的 实 数 的 最 大 值 为（）A.B.-C.I D.22 3【方

25、法 技 巧 与 总 结】在 等 差 数 列 中,S M S2-S1 1,又,一 S,仍 成 等 差 数 列;也 成 等 差 数 列.题 型 五:等 差 数 列 前”项 和 的 最 值 例 36.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 q 为 等 差 数 列,其 前”项 和 为 5,且 l+&O的 的 最 大 值 为.例 37.（2022浙 江 高 三 阶 段 练 习）设 公 差 为 d 的 等 差 数 列 的 前 项 和 为 S1,若 OI=1,一 吉“得，则 当 S“取 最 大 值 时,n 的 值 为.例 38.（2022江 西 高 三 单 元 测 试（文）等 差 数 列

26、%中，S“是 它 的 前”项 之 和,且 S6 S,则:数 列 的 公 差 d 0,S2022 0,则 使 得 前 项 和 S“取 得 最 大 值 时 的 值 为（）A.2022 B.2021 C.1012 D.1011例 4 3.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（文）设 S“为 等 差 数 列%的 前 项 和，（+1）S,“S,H（N*）.若”-1,aI则（）A.S”的 最 大 值 是&B.S的 最 小 值 是 S,C.S”的 最 大 值 是 邑 D.S,的 最 小 值 是 邑 例 44.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S”

27、,且 S,S8,58=S9 S1 4 C,d（）,即 0,S5=S1 2 则 当 S“取 得 最 大 值 时,的 值 为（）A.7 B.8 C.9 D.8 或 9例 47.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）等 差 数 列%的 前 项 和 为 S“，若 V”eN*,S S7.则 数 列 4 的 通 项 公 式 可 能 是（）A.an=3n-5 B.an=17-3/?C.c n=n-l D.an=5-2n例 48.（2022海 南 嘉 积 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 S 是 等 差 数 列,J前 项 和,=-8,=-2 当 S,取 得 最 小 值 时=（）.A.2 B.14

28、C.7 D.6 或 7例 49.（2022青 海 玉 树 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 等 差 数 列 的 公 差 是,且 4+的+。=3 6,则 q d 的 最 大 值 为.例 50.（2022,全 国 咼 专 题 练 习）记 S“为 数 列 4 的 前 项 和.己 知-+n-2an+1.（1）证 明:%是 等 差 数 列;（2）若%,%,晶 成 等 比 数 列,求 S”的 最 小 值.例 51.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（文）在 匂=2同，=一!一，=（-1）S“这 三 个 条 件 中 任 选 a an+l个,补 充 到 下 面 的 问 题 中，并 解 答.设 等 差

29、数 列 叫 的 前 项 和 为 S,且 为=5,S 5=5.求 S”的 最 小 值;（2）若 数 歹 圾 满 足,求 数 列 也 的 前 10项 和.例 52.（2022福 建 泉 州 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 数 列,J,x=（all+l,-2）,=（1,）,且】丄;，%+2是生 与 4 的 等 差 中 项.(1)求 数 列 q 的 通 项 公 式;若=13+2 IOg“，S i+2,求 Sz,的 最 大 值.例 53.(2022,辽 宁 葫 芦 岛 模)记 SI,为 等 差 数 列 4 的 前 项 和,已 知 0.+%=10,S8=O.求“的 通 项 公 式;(2)求 S”,并

30、求 S“的 最 大 值.【方 法 技 巧 与 总 结】求 等 差 数 列 前 项 和 Sn最 值 的 2 种 方 法(1)函 数 法;利 用 等 差 数 列 前 n项 和 的 函 数 表 达 式 S,=an2+bn,通 过 配 方 或 借 助 图 象 求 二 次 函 数 最 值 的 方 法 求 解.(2)邻 项 变 号 法;若 q 0,d 0 则 满 足 卜。人 的 项 数 加 使 得 S“取 得 最 大 值 匯；l,l 若 4 0,则 满 足 的 项 数 加 使 得 S“取 得 最 小 值 S,“.IArM 题 型 六:求 数 列 的 通 项 对 例 54.(2022河 南 模 拟 预 测(

31、理)已 知 等 差 数 列 的 各 项 均 为 正 数,其 前 项 和 S”满 足 T=F，则 其 通 项 4“=.例 55.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)记 5“为 数 列 的 前 项 和,已 知=1,11 是 公 差 为 g 的 等 差 数 列.(1)求“的 通 项 公 式；(2)证 明；+2.a 2 an例 56.(2022广 东 惠 州 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S“，N,现 有 如 下 三 个 条 件 分 别 为;条 件%=5;条 件%“-4,=2:条 件 S?=-4；请 从 上 述 三 个 条 件 中 选 择 能 够 确 定 一

32、个 数 列 的 两 个 条 件,并 完 成 解 答.您 选 择 的 条 件 是 和.求 数 列 4 的 通 项 公 式；(2)设 数 列 也 满 足=-求 数 列 b,l 的 前 项 和.an,an+i例 57.(2022浙 江 绍 兴 模 拟 预 测)已 知 非 零 数 列 满 足 弓=L q,&2)=,山(*-2),wN*.(1)若 数 列 4 是 公 差 不 为 的 等 差 数 列,求 它 的 通 项 公 式；(2)若%=5,证 明:对 任 意 WN,。+。3:-卜 3 2.例 58.（2022江 苏 南 京 外 国 语 学 校 模 拟 预 测）已 知 数 列 q,各 项 都 不 为 O

33、,4=1吗=3且 满 足 4 M=4S,-1,.an-1（1）求 的 通 项 公 式;（2）若 d=亠,的 前 项 和 为 7；,求 7L取 得 最 小 值 时 的 的 值.14例 59.（2022福 建 厦 门 双 十 中 学 模 拟 预 测）等 差 数 列 的 前 项 和 为 S,己 知 q=9,为 整 数,且 5,求 4 的 通 项 公 式;（2）设 d=,求 数 列 出 的 前 项 和“M J+1题 型 七:关 于 奇 偶 项 问 题 的 讨 论 例 60.（2022山 东 聊 城 高 三 期 末）己 知 数 列 满 足:+2+（-1）=3,4=1,=2.记 仇=“2,一,求 数 列

34、的 通 项 公 式;记 数 列 的 前 项 和 为 5,求 右.例 61.（2022河 南 罗 山 县 教 学 研 究 室 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 数,其 前 项 和 为 5“，且 片=4S,-2 L 求 4,S（I；-l=雪=为 奇 数,设 勿=+1+用+5,求 数 列 也 的 前 8 项 和 S,-S,一,为 偶 数 例 62.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）数 列 中，al=1,2=前 项 和 S“满 足 S,+S用=+2（e N*）.（1）证 明:4“为 等 差 数 列；（2）求.例 63.（2022广 东 深 圳 高 三 阶 段

35、练 习）已 知 数 列 中，q=l,生=2,=（-1+2,则%=（）a 9A.3 B.C.D.13 13 19%+1 一（+1），为 奇 数 例 6 4.（2022江 苏 无 锡 模 拟 预 测）已 知 数 列 满 足:%二 2、一 田 荘 5 N）一,为 偶 数 2 求 生、。3、。5；（2）将 数 列%中 下 标 为 奇 数 的 项 依 次 取 出,构 成 新 数 列 九（N）,证 明:当 是 等 差 数 列;设 数 列,的 前 机 项 和 为 S,求 证:S,1.也+J 2例 65.（2022 四 川 成 都 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 数 列 的 通 项 公 式 为 q=2+2

36、,为 奇 数,n+为 偶 数.（D求 数 列 的“）的 前”项 和 5“；设 n=-1,求 数 列 3-的 前 项 和 Tn.例 66.（2022天 津 静 海 高 三 阶 段 练 习）已 知 等 比 数 列 4 的 各 项 均 为 正 数,2%,4 4 成 等 差 数 列,且 满 足 4=4 0 等 差 数 列 数 列 4 的 前 八 项 和%+%=6,S4=IO 求 数 列%和 圾 的 通 项 公 式:(2)设 cn=(3)设 4脑“、（为（“奇 为 数 蕊）求 数 列,1的 前 项 和 a“,e N*,的 前 八 项 和 T”,求 证:Tt,2+。2+3 3例 67.（2022.四 川.

37、树 德 中 学 高 阶 段 练 习）数 列 满 足&I+（德。=+1,则 伍,前 4 0项 的 和.例 68.（2022四 川 省 内 江 市 第 六 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 数 列 满 足 4=2,a2=4,t2-=（-l）+3,则 数 列%的 前 2 0项 和 为.【方 法 技 巧 与 总 结】对 于 奇 偶 项 通 项 不 统 一 的 数 列 的 求 和 问 题 要 注 意 分 类 讨 论.主 要 是 从 为 奇 数、偶 数 进 行 分 类.题 型:对 于 含 绝 对 值 的 数 列 求 和 问 题 例 69.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习（文）记 S“为 等 差

38、 数 列 4 的 前 项 和，SU=OM7=2.求 数 列 E 的 通 项 公 式:（2）求 工 同 的 值.例 70.（2022.山 西 大 附 中 三 模（文）已 知 数 列 的 前 项 和 为=1,23,从 条 件、条 件 和 条 件 中 选 择 两 个 能 够 确 定 一 个 数 列 的 条 件，并 完 成 解 答.（条 件：a5=5 5 条 件：”,+-,=2;条 件：S2=-4.）选 择 条 件 和.求 数 列 的 通 项 公 式;设 数 列 也 满 足 也,=,并 求 数 列 也 的 前 项 的 和“例 71.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）记 数 列 4 的 前 项

39、和 为 S“，=-7,=-6,+l=+l（n N,R）.（1）证 明 数 列 为 等 差 数 列,并 求 通 项 公 式 凡；（2）记 聳=l+02+re 求 0.例 72.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 数 歹 4 的 前 项 和 S,=33.求 q 的 通 项 公 式.（2）,的 前 多 少 项 和 最 大?（3）设。=an,求 数 列 出 的 前 n 项 和 S.【方 法 技 巧 与 总 结】由 正 项 开 始 的 递 减 等 差 数 列 的 绝 对 值 求 和 的 计 算 题 解 题 步 骤 如 下:（1）首 先 找 出 零 值 或 者 符 号 由 正 变 负

40、的 项 金（2）在 对 进 行 讨 论,当 4%时,T1 1=S11,当 即 时,T,l=2Sn-S1 1题 型 九:利 用 等 差、等 比 数 列 的 单 调 性 求 解 例 73.（2022上 海 市 实 验 学 校 高 三 阶 段 练 习）已 知 等 差 数 列 是 递 增 数 列,且 q+4+生 3,%-3%8,则 4的 取 值 范 围 为.例 74.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 递 增 数 列 叫 的 前 项 和 为 S,且 满 足 S“+Se=2+（e N*），则 首 项 4 的 取 值 范 围 为.例 75.（2022.上 海 徐 汇.高 三 阶 段 练

41、习）已 知 等 差 数 列 q 的 公 差 d=3,S“表 示 伍”的 前 项 和,若 数 列 是 递 增 数 列,则 外 的 取 值 范 围 是.例 7 6.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 4 的 首 项 为 4=1,a2=a f且 4+1+。“=2z+1 5 2,N*）,若 数 列 单 调 递 增,则。的 取 值 范 围 为（）A.a2 B.2 3 3 5 C l 3C.a D.a 0 B.d 0 D.ald 0”是“数 列 4 为 单 调 递 增 数 列 的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C,充 分 必 要 条 件 D.既 不

42、 充 分 也 不 必 要 条 件 例 80.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 叫 是 首 项 为“,公 差 为 1的 等 差 数 列，数 列 他,满 足 勿=丄.a 若 对 任 意 的 N*,都 有 d 成 立,则 实 数。的 取 值 范 围 是（）A.6,5 B.（-6,-5）C.-5,4 D.（5,-4）【方 法 技 巧 与 总 结】（1）在 处 理 数 列 的 单 调 性 问 题 时 应 利 用 数 列 的 单 调 性 定 义,即“若 数 列 q 是 递 增 数 列 0+l%恒 成 立（2）数 列=/（）的 单 调 性 与 y=F（）,x l,y）的 单 调 性

43、 不 完 全 一 致.一 般 情 况 下 我 们 不 应 把 数 列 的 单 调 性 转 化 为 相 应 连 续 函 数 的 单 调 性 来 处 理.但 若 数 列 对 应 的 连 续 函 数 是 单 调 函 数,则 可 以 借 助 其 单 调 性 来 求 解 数 列 的 单 调 性 问 题.即“离 散 函 数 有 单 调 性 台 连 续 函 数 由 单 调 性;连 续 函 数 有 单 调 性=离 散 函 数 有 单 调 性 题 型 十:等 差 数 列 中 的 范 围 与 最 值 问 题 例 81.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 等 差 数 列 叫 的 公 差 为 d,若 数

44、列 的,为 递 减 数 列,则（）A.d 0 C.ald 0 D.ald。,邑。,若 数 列 凡 满 足+1 O,则 当 S,0,l a2022 0 则 使 数 列 叫 的 前 n项 和 5,0成 立 的 最 大 正 整 数 是（）A.2021 B.4044 C.4043 D.4042例 85.（2022江 苏 淮 安 模 拟 预 测）己 知 等 差 数 列（4 的 前 项 和 为 S,若 S7O,S8 0 则 的 取 值 范 围 d是（）A.(-3,+)B.一 8,一（一 3,+8）卜 C.3D.7-0 0,-2例 86.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）设 等 差 数 列 q 的

45、 公 差 为 d,其 前 项 和 为 S）,且 Ss=S 3,+0,则 使 得 5“0,(_ S J(品 _ S j v O,则()A.”=0 B.k J=1 4 2 1C.IaU l|&|D.l l 例 88（2022 河 南 鹤 壁 高 中 模 拟 预 测（文）设 正 项 等 差 数 列 4 的 前 项 和 为 S,若 5刈 3=2 0 1 3,则 一+-的 最 小 值 为（）a2“2012A.I B.2 C.4 D.8例 89.（2022河 南 模 拟 预 测（文）记 S,为 等 差 数 列%的 前 项 和,且 S,=S e K O,则（）A.a5=O B.a4+a60 C.SIO=O

46、D.5,+S1 1 O,S9 0,Tn=ala2+a2a3+-+anan+t,若 对 任 意 的 正 整 数,恒 有?；,q,则 正 整 数 k 的 值 是（）A.1 B.4 C.7 D.10例 91.（2022 北 京 丰 台 模）设 等 差 数 列 4 的 前 n 项 和 为 S,.S2 S3 O,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.%B.a2-al0C.a2+a3 ya3 a5例 92.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 公 差 非 零 的 等 差 数 列 4 满 足|%|=L I,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.S11=O B.S=S1 1.,（1

47、H 1 0,H N*）C.当 S1 1 0时,Sn S5 D，当 S1 1 0,71 B.5 bs C.1 7例 95.（2022.广 东 广 州.模 拟 预 测（理）首 项 为 2 1的 等 差 数 列 从 第 8 项 起 开 始 为 正 数,则 公 差”的 取 值 范 围 是（）A.小 3 B.d-C.3 d-D.3 1,-l 0,7 1成 立 的 最 大 自 然 数 的 值 为（）au-A.9 B.IOC.18 D.19例 97.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 S“是 等 差 数 列 的 前 项 和,且 S 6 S 7 S 5,给 出 下 列 五 个 命 题:公 差 d

48、 0；（2）S1 l 0;数 列 中 的 最 大 项 为 S11;|%|其 中 正 确 命 题 的 个 数 是（）A.2 B.3 C.4 D.5例 98.（2022 湖 北 武 汉 高 三 期 末（理）若 S“是 等 差 数 列 q 的 前 项 和,其 首 项 0,99+0,9 x）0成 立 的 最 大 自 然 数 是（）A.198 B.199 C.200 D.201例 99.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 等 差 数 列 中,其 前 项 和 是 S”,若 S g 0,Sn）0,则 在，,区,邑 q 2 旬 中 最 大 的 是（）S.Sii S5 Sl）A.B.C.-D.a“8

49、”9例 100.（2022 全 国 高 二 课 时 练 习）等 差 数 列 的 前 项 和 为 5“,若 凡 0,则 此 数 列 中 绝 对 值 最 小 的 项 所 在 的 项 数 为（）.A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.无 法 确 定 例 101.（2022全 国 高 二 课 时 练 习）在 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列%中,S1为 其 前”项 和,S7=1 4,则 t=一+的 最 小 值 为（）a2%A.9 B.-C.-D.2【过 关 测 试】、选 择 题:本 题 共 8 小 题,每 小 题 5 分,共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项

50、 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.（2022 河 南 睢 县 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 等 差 数 列 4,满 足+/+%=,+a11+,2=2 4,则 a,J 的 前 13项 的 和 为（）A.12 B.36 C.78 D.1562.（2022.内 蒙 古.海 拉 尔 第 二 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 等 差 数 列%中,其 前 5 项 的 和 Ss=2 5,等 比 数 列 中,=2,九=8,则 嘗=（）A.-W 或 之 B.-C.-D.3.（2022全 国 福 三 专 题 练 习）已 知 等 差 数 列 q 中,前 4 项 为 1