2023届高考数学一轮讲义- 立体几何与空间向量第4节 空间直线、平面的垂直.pdf

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1、第 4 节 空 间 直 线、平 面 的 垂 直 考 试 要 求 从 定 义 和 基 本 事 实 出 发，借 助 长 方 体，通 过 直 观 感 知，了 解 空 间 中 直 线 与 直 线、直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 的 垂 直 关 系.知 识 诊 断 基 础 夯 实 知 识 梳 理 1.直 线 与 平 面 垂 直(1)直 线 和 平 面 垂 直 的 定 义 如 果 直 线/与 平 面 a 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直，我 们 就 说 直 线/与 平 面 a 互 相 垂 直.(2)判 定 定 理 与 性 质 定 理 2.直 线 和 平 面 所 成 的 角 文 字 语 言

2、 图 形 表 示 符 号 表 示 判 定 定 理 如 果 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 垂 直，那 么 该 直 线 与 此 平 面 垂 直 7l a、IL baCb=Oau abu a,=/_L a性 质 定 理 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平 行 1,6z_La(=a/b(1)定 义：平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 角 叫 做 这 条 直 线 和 这 个 平 面 所 成 的 角，一 条 直 线 垂 直 于 平 面，则 它 们 所 成 的 角 是 鹭；一 条 直 线 和 平 面 平 行 或

3、 在 平 面 内，则 它 们 所 成 的 角 是 0。.范 围：0,3.二 面 角(1)定 义：从 一 条 直 线 出 发 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角.(2)二 面 角 的 平 面 角 若 有 OW/；OAua,O B u B；OA，/,O B M,则 二 面角 a-l-i的 平 面 角 是 NAQB.(3)二 面 角 的 平 面 角 a 的 范 围：0a/a/_La/u,|常 用 结 论 1.三 个 重 要 结 论(1)若 两 平 行 线 中 的 一 条 垂 直 于 一 个 平 面，则 另 一 条 也 垂 直 于 这 个 平 面.(2)若 一 条 直

4、线 垂 直 于 一 个 平 面，则 它 垂 直 于 这 个 平 面 内 的 任 何 一 条 直 线(证 明 线 线 垂 直 的 一 个 重 要 方 法).(3)垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行.2.三 种 垂 直 关 系 的 转 化 线 线 垂 直 七 钎 线 面 垂 直 F T 面 面 垂 直 诊 断 自 测 1.思 考 辨 析(在 括 号 内 打“J”或“X”)直 线/与 平 面 a 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直，则)垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 平 面 平 行.()(3)若 两 平 面 垂 直，则 其 中 一 个 平 面 内 的 任 意 一

5、条 直 线 垂 直 于 另 一 个 平 面.()(4)若 平 面 a 内 的 一 条 直 线 垂 直 于 平 面 厂 内 的 无 数 条 直 线，则)答 案(1)X(2)X(3)义(4)X解 析(1)直 线/与 平 面 a 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直，则 有/J_a或/与 a 斜 交 或 仁。或/a,故(1)错 误.(2)垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 平 行 或 相 交，故(2)错 误.若 两 个 平 面 垂 直，则 其 中 一 个 平 面 内 的 直 线 可 能 垂 直 于 另 一 平 面，也 可 能 与 另 一 平 面 平 行，也 可 能 与 另 一 平

6、面 相 交，也 可 能 在 另 一 平 面 内，故(3)错 误.(4)若 平 面 a 内 的 一 条 直 线 垂 直 于 平 面 内 的 所 有 直 线，则 故(4)错 误.2.(2022 百 校 大 联 考)若 机，n,/为 空 间 三 条 不 同 的 直 线，a,夕，了 为 空 间 三 个 不 同 的 平 面，则 下 列 为 真 命 题 的 是()A.若 z_L/,_!_/,则 加 B.若 机 _1_夕，?a,则 a_LgC.若 a_Ly,尸 L y,则 a 夕 D.若 aCy=2,pCy=n,m/n,则 a 4答 案 B解 析 A 中，加，可 能 平 行，相 交 或 异 面；C 中，a

7、与 4 可 能 平 行 或 相 交；D 中，a 与 夕 可 能 平 行 或 相 交.故 选 B.3.(多 选)已 知 两 条 不 同 的 直 线 I,m 和 不 重 合 的 两 个 平 面 a,%且 I邛,下 面 四 个 命 题 正 确 的 是()A.若 z_L尸，则/加 B.若 a 4，则/_LaC.若 a_L/,则/a D.若 则 机 尸 答 案 AB解 析 对 于 A,由/_1_4，m 邛,可 得/机，故 A 正 确；对 于 B,若/_LQ,a“，可 得/La,故 B 正 确；对 于 C,若/_LQ,a,夕，贝 i/a或/u a,故 C 错 误；对 于 D,若/_!_尸，I V m,则

8、m 4或 故 D 错 误.4.(2021浙 江 卷)如 图，已 知 正 方 体 ABCO-AiBiCOi,M,N 7 f分 别 是 4。，的 中 点，则()Al rA.直 线 A Q 与 直 线 OiB垂 直，直 线 M N 平 面 ABC。B.直 线 4。与 直 线 O iB平 行，直 线 MALL平 面 80D131C.直 线 4。与 直 线 相 交，直 线 MN 平 面 ABC。D.直 线 AD与 直 线 DB异 面，直 线 MNJ_平 面 BDDiBi答 案 A解 析 连 接 ADi（图 略），则 易 得 点 M 在 A D i上，且 M 为 A D i的 中 点，A D ilA iD

9、.因 为 AB_L平 面 A4i。，A iD u平 面 A A IQ I。，所 以 A 8 L 4 Q,又 A 3 n A O i=A,AB,A O iu平 面 ABOi,所 以 A iD l.平 面 A B D i,又 BDiU平 面 48，显 然 4。与 B D i异 面，所 以 4。与 BD异 面 且 垂 直.在 中，由 中 位 线 定 理 可 得 MN AB,又 MNQ平 面 ABCD,A Bu平 面 A8CD,所 以 MN 平 面 A8CD易 知 直 线 A 3与 平 面 B B Q iO成 45。角,所 以 M N与 平 面 3 8 0。不 垂 直.所 以 选 项 A 正 确.5.

10、（多 选）如 图，P A垂 直 于 以 为 直 径 的 圆 所 在 平 面，C 为 圆 上 异 于 A,B 的 任 意 一 点，A E 1 P C,垂 足 为 E,点 尸 是 P B上 一 点，则 下 列 判 断 中 正 确 的 是（）A.8 U L平 面 PACB.AEEFC A C L P BD.平 面 A E/L平 面 PBC答 案 ABD解 析 对 于 A,P A 垂 直 于 以 A B 为 直 径 的 圆 所 在 平 面，而 B C u底 面 圆 面，则 P A 1B C,又 由 圆 的 性 质 可 知 A C L 8 C,且 P A A A C=A,PA,A C u平 面 PAC,

11、则 8C_L平 面 P A C,所 以 A 正 确；对 于 B,由 A 项 可 知 BCLAE,由 题 意 可 知 A E L P C,JL B C Q P C=C,BC,PG=平 面 PC3,所 以 AE_L平 面 PCB.而 Ebu平 面 PCB,所 以 AE_LEE,所 以 B 正 确；对 于 C,由 B 项 可 知 AE_L平 面 P C B,因 而 A C与 平 面 PC B不 垂 直，所 以 AC_LPB不 成 立，所 以 C 错 误；对 于 D,由 B 项 可 知，AE_L平 面 PCB,AEu平 面 AEF,由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 平 面 AE _ L平

12、 面 PBC,所 以 D 正 确.6.在 三 棱 锥 P-A B C 中，点 P 在 平 面 A B C 中 的 射 影 为 点 0.(1)若 PA=P B=P C,则 点 0 是 A3C 的 心.(2)若 PA_LPB,PBVPC,PC PA,则 点。是 ABC 的 心.答 案 外 垂 解 析(1)如 图 1,连 接 OA,OB,OC,0P,图 1在 RtZPOA,RtaPOB 和 R taPO C 中，PA=P B=P C,所 以 O A=O B=O C,即 0 为 ABC的 外 心.(2)如 图 2,延 长 AO,BO,C。分 别 交 BC,AC,AB 于，D,G.因 为 PCLPA,P

13、BLPC,P A Q P B=P,所 以 P C,平 面 PA8.又 ABu平 面 PA3,图 2所 以 PC LA A因 为 POAB,P O C P C=P,所 以 A 3,平 面 P G C,又 CGu平 面 P G C,所 以 A B L C G,即 C G为 ABC边 A B上 的 高 洞 理 可 证 8。，A H分 别 为 ABC边 AC,8 C上 的 高，即。为 ABC的 垂 心.口 考 点 突 破 题 型 剖 析 考 点 一 直 线、平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 1 如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，底 面 ABCD,ABLAD,AC LCD

14、,ZABC=6Q,PA=AB=BC,E 是 PC 的 中 点.证 明：(1)CDA；(2)P。，平 面 ABE.证 明(1)在 四 棱 锥 一 ABC。中，PA，底 面 ABC。，COu平 面 ABC。,A P A I CD.VACCD,PAQAC=A,.CDJ_ 平 面 PAC.而 AEu平 面 PAC,.C D 1AE.(2)由 PA=4?=B C,ZABC=60,可 得 AC=PA.E 是 PC 的 中 点，：.AE1PC.由(1)知 A E L C O,且 PCQCO=C,平 面 PCD.而 PDu平 面 PCD,：.AEPD.P A,底 面 ABC。，：.PALAB.又.,ABLA。

15、且 PACAO=A,.A 3,平 面 P A O,而 PO u平 面 PA。,C.ABA.PD.又 YABnAEMA,.)!.平 面 ABE.感 悟 提 升(1)证 明 线 面 垂 直 的 常 用 方 法：判 定 定 理；垂 直 于 平 面 的 传 递 性；面 面 垂 直 的 性 质.(2)证 明 线 面 垂 直 的 关 键 是 证 线 线 垂 直，而 证 明 线 线 垂 直，则 需 借 助 线 面 垂 直 的 性 质.训 练 1 如 图，在 四 棱 锥 P ABC。中，四 边 形 ABCD是 矩 形,AM B4 8,平 面 PAD,AD=AP,E 是 P。的 中 点，M,N 分 别 在 AB

16、,P C 上，且 MNLAB,MNLPC.证 明：AE/MN.证 明 平 面 PAD,AEu平 面 PAD,：.AELAB.入 ABH CD、J.AELCD.：AD=AP,E 是 PO 的 中 点，：.AEPD.又 CDCPD=D,CD,PO u平 面 PC。，.A E,平 面 PCD.：MNAB,AB/CD,:.MN 工 CD.又,：MNLPC,PCHCD=C,PC,COu平 面 PC。，平 面 PC。，J.AE/M N.考 点 二 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 2(2021.全 国 乙 卷)如 图，四 棱 锥 P-A B C D的 底 面 是 矩 形,底 面 AB

17、C。，M 为 3 C 的 中 点，且 P8LAM.(1)证 明：平 面 PAM_L平 面 P8D；(2)若 PD=D C=,求 四 棱 锥 P-A B C D的 体 积.证 明./。，平 面 4 8。，AMu平 面 A8CO,：.PDAM.,：P B L A M,且 PBCPD=P,PB,PDu平 面 PBD,.AM，平 面 PBD.又 AMu平 面 PAM,二 平 面 P A M,平 面 PBD.(2)解：M 为 B C的 中 点，B M A D.由 题 意 可 知 A 8=O C=1.工 加 工 平 面;。，BDu平 面 PBD,：.AM BD,由 ZBAM+ZMAD=90,ZM AD+Z

18、AD B=90,得 N B A M=N A D B,易 得匕 j-I“BAMB=AABD,a即 n-2_/仔 0 AD=y)2f-,所 以 S m彩 ABCD=A D D C=P X 1=也，则 四 棱 锥 P-A B C D 的 体 积 VP 4BC D=1 S 短 彩 ABC P Q=；X 啦 X 1=芈.感 悟 提 升(1)面 面 垂 直 判 定 的 两 种 方 法 与 一 个 转 化 两 种 方 法：面 面 垂 直 的 定 义：(ii)面 面 垂 直 的 判 定 定 理(a_L夕，aua=a_L).一 个 转 化：在 已 知 两 个 平 面 垂 直 时，一 般 要 用 性 质 定 理

19、进 行 转 化.在 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线，转 化 为 线 面 垂 直，然 后 进 一 步 转 化 为 线 线 垂 直.(2)面 面 垂 直 性 质 的 应 用 两 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 是 把 面 面 垂 直 转 化 为 线 面 垂 直 的 依 据，运 用 时 要 注 意“平 面 内 的 直 线”.两 个 相 交 平 面 同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面，它 们 的 交 线 垂 直 于 第 三 个 平 面.训 练 2 如 图，在 三 棱 柱 ABC 中，ZACB=ZA4iC=90,平 面 A 4cle_L 平 面 ABC.求 证：A4iAiB；B(2)

20、若 AAi=2,BC=3,ZAiAC=60,求 点。到 平 面 AiABBi 的 距 离.证 明 因 为 平 面 A 4 C C，平 面 A B C,平 面 AACiCn 平 面 ABC=AC,BCLAC,所 以 BC_L平 面 44iGC.又 A4iu平 面 A41C1C,所 以 BCA4i.因 为 N44C=90。，所 以 A4 4C.又 因 为 BCHAiC=C,所 以 A4i_L平 面 4BC.又 A B u 平 面 AiBC,所 以 A41L41B.(2)解 由(1)可 知 4Al.平 面 4BC,4 A u 平 面 A1AB81,所 以 平 面 平 面 A iA B B,且 交 线

21、 为 4 3,所 以 点 C 到 平 面 的 距 离 等 于 C 4 B 的 4 8 边 上 的 高，设 其 为 h.在 R tA 4 C 中，AA=2,Z A iA C=6 0,则 AiC=2小.由(1)得 8 C L 4 C,所 以 在 RtA C B 中，BC=3,A i B=p,BCAC 6-J3 674 8 一 5-7-故 点 C 到 平 面 4 A 881的 距 离 为 耳 考 点 三 平 行、垂 直 关 系 的 综 合 应 用 例 3 如 图，在 四 棱 锥 P A8CO中，底 面 ABC。为 矩 形，平 面 PAO_L 平 面 ABC。，PAPD,PA=PD,E,F 分 别 为

22、 AO,P B的 中 点.求 证：(I)P E IB C；(2)平 面 平 面 PCD；(3)下 平 面 PCD.证 明(1)因 为 PA=PO,E 为 的 中 点，所 以 PELAD.因 为 底 面 A3CQ为 矩 形，所 以 3C A。，所 以 PEA.BC.(2)因 为 底 面 ABCD为 矩 形，所 以 ABLAD又 因 为 平 面 PADJ.平 面 A B C D,平 面 PAOC平 面 ABCD=AD,ABu平 面 ABCD,所 以 AB_L平 面 PAD.又 PD u平 面 P A D,所 以 AB_LPD又 因 为 PA_LPO,且 PACAB=A,所 以 平 面 PAB.又

23、PO u平 面 PCD,所 以 平 面 PAB_L平 面 PCD.(3)如 图，取 P C 中 点 G,连 接 EG,DG.因 为 R G 分 别 为 PB,P C的 中 点，所 以 EG BC,FG=BC.因 为 ABC。为 矩 形，且 E 为 A。的 中 点，所 以。石 BC,DE=BC,所 以 DE FG,DE=FG,所 以 四 边 形 OEFG为 平 行 四 边 形，所 以 EF/DG.又 因 为 ERI平 面 PCD,OGu平 面 PC。，所 以 EF 平 面 PCD.感 悟 提 升 三 种 垂 直 的 综 合 问 题，一 般 通 过 作 辅 助 线 进 行 线 线、线 面、面 面

24、垂 直 间 的 转 化.求 解 时 应 注 意 垂 直 的 性 质 及 判 定 的 综 合 应 用.如 果 有 平 面 垂 直 时，一 般 要 用 性 质 定 理，在 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线，使 之 转 化 为 线 面 垂 直，然 后 进 一 步 转 化 为 线 线 垂 直.训 练 3 如 图，在 四 棱 锥 产 一 A8C。中，底 面 A8C。是 矩 形，木、点 E 在 棱 P C上(异 于 点 P,O，平 面 ABE与 棱 交 于 点 连、F.A B 求 证：AB/EF-,(2)若 A F J_ E F,求 证：平 面 PA。，平 面 A8CD证 明(1)因 为 四 边

25、 形 ABC。是 矩 形，所 以 AB CD又 ABC平 面 PDC,COu平 面 尸 DC,所 以 4?平 面 PDC.又 因 为 ABu平 面 A B E,平 面 A8EA平 面 所，所 以(2)因 为 四 边 形 A3CO是 矩 形，所 以 ABLAD因 为(1)中 已 证 AB EF,所 以 A BLAF.X ABLAD,由 点 E 在 棱 P C上(异 于 点。，所 以 点 尸 异 于 点。，所 以 AF,AOu平 面 PAO,所 以 AB_L平 面 PAD.又 ABu平 面 ABCD,所 以 平 面 平 面 ABCD.微 点 突 破/几 何 法 求 空 间 角 一、几 何 法 求

26、线 面 角 求 线 面 角 的 三 个 步 骤：一 作(找)角，二 证 明，三 计 算，其 中 作(找)角 是 关 键，先 找 出 斜 线 在 平 面 上 的 射 影，关 键 是 作 垂 线，找 垂 足，然 后 把 线 面 角 转 化 到 三 角 形 中 求 解.K例 1 如 图，A 3是。的 直 径，PA垂 直 于。所 在 的 平 面，C 一 是 圆 周 上 不 同 于 A,8 的 一 动 点.(1)证 明：P 8 C是 直 角 三 角 形；(2)若 P A=A 8=2,且 当 直 线 P C 与 平 面 ABC所 成 角 的 正 切 值 为 啦 时，求 直 线 A B与 平 面 PBC所

27、成 角 的 正 弦 值.(1)证 明.AB是 的 直 径，C 是 圆 周 上 不 同 于 A,8 的 一 动 点.：.BCAC.P A,平 面 ABC,：.PALBC.X PAHAC=A,PA,ACu平 面 PAC,.8C_L平 面 PAC,:U P C,.BPC是 直 角 三 角 形.(2)解 如 图，过 A 作 A”,P C 于 H,连 接 BH,.8C_L 平 面 PAC,J.BCLAH.又 PCCBC=C,PC,BCu平 面 PBC,.A”_ L 平 面 PBC,：.N A 3H是 直 线 AB与 平 面 PBC所 成 的 角.平 面 ABC,：.Z P C A是 直 线 P C与 平

28、 面 ABC所 成 的 角,PA tan N PCA=.=y/2,AC又 PA=2,：.AC=小,.在 RtZXPAC 中，A H=PA-AC 23y/PA2+A C23，2 s二 在 R A B H 中,sinN A 8=翳=4=坐 故 直 线 AB与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 为 坐 二 几 何 法 求 二 面 角 作 二 面 角 的 平 面 角 的 方 法:作 二 面 角 的 平 面 角 可 以 用 定 义 法，也 可 以 用 垂 面 法，即 在 一 个 半 平 面 内 找 一 点 作 另 一 个 半 平 面 的 垂 线，再 过 垂 足 作 二 面 角 的 棱 的 垂 线

29、，两 条 垂 线 确 定 的 平 面 和 二 面 角 的 棱 垂 直，由 此 可 得 二 面 角 的 平 面 角.例 2 如 图，在 四 棱 锥 一 ABC。中，四 边 形 A8CD是 边 长 为 2 的 正 方 形，PBC为 正 三 角 形，M,N 分 别 为 PD,8 c 的 中 点，PNLAB.(1)求 三 棱 锥 P-A M N 的 体 积;(2)求 二 面 角 M-A N-D 的 正 切 值.解(iy；PB=PC,：.PN1BC,又,：PNLAB,ABQBC=B,AB,BCu平 面 ABC。,.PALL平 面 ABCD.:A B=B C=P B=P C=2,M 为 PO 的 中 点，

30、：.PN=yj3,V p A M N=VD-AMN=VM-ADN,/.VP-AMN=V P-ADN=V P-ABCD=X X 4 X布=孝.(2)如 图，取 O N的 中 点 区 连 接 ME,E 分 别 为 P。，O N的 中 点,J.ME/PN.PN1.平 面 ABCD,：.M EY 平 面 ABCD.过 E 作 E Q L A N,连 接 MQ,又 MELAN,EQCME=E,.AN_L 平 面 ME。，：.ANM Q,N M Q E即 为 二 面 角 M-A N-D 的 平 面 角,tan/M Q E=冕 后,:PN=小,：.M E=-.,:AN=DN=木,AD=2,2X2 2小 V

31、T=5QE=Xtan Z MQE=即 该 二 面 角 的 正 切 值 为 中 5I 分 层 训 练 巩 固 提 升|A级 基 础 巩 固 1.（2021北 京 丰 台 区 二 模）已 知 a,尸，y是 三 个 不 同 的 平 面，a,Z?是 两 条 不 同 的 直 线，下 列 命 题 中 正 确 的 是（）A.若 a_Ly,_!_/则 a 08.若 _1仪，b.La9 贝 lja hC.若 a a,b/a,则 a bD.若 a a,a B，则 a 4答 案 B解 析 A 中，若 a J _ y,4 Ly，a,夕 可 能 相 交 也 可 能 平 行，错 误；B 中，6?a,h.La9根 据 线

32、面 垂 直 的 性 质 可 判 断。儿 正 确；C 中，若%b/a,a,人 的 位 置 不 定，错 误；D 中，若。a,a B、a，可 能 相 交 也 可 能 平 行，错 误.2.（2022 广 州 一 模）已 知 a,夕 是 两 个 不 同 的 平 面，I,m,九 是 三 条 不 同 的 直 线，下列 条 件 中，可 以 得 到/，a 的 是（）A./m,/JL,ma a,u aB./_L机,m/aC.aj3,/D.l/m,ml.a答 案 D解 析 对 于 A,/m,IL?,mu a,nu a,贝!/与 a 相 交、平 行 或/u a,故 A错 误；对 于 B,l-Lm,m/a,则/与 a

33、相 交、平 行 或/u a,故 B 错 误；对 于 C,a邛,l/i,则/与 a 相 交、平 行 或/u a,故 C 错 误；对 于 D,I/m,m L a,贝！I/_ L a,故 D 正 确.3.在 正 方 体 ABC。一 A IB G Q I 中，E,尸 分 别 为 AB,B C 的 中 点，则 E F与 平 面 A8CO所 成 角 的 正 切 值 为（）A.2 B.啦 C.1 D.乎 答 案 D解 析 如 图，取 8 c 的 中 点。，连 接 OE,OF,O F是 3 c 的 中 点,OF/BB,.尸 0 1.平 面 ABCD,：.Z F E O 是 E F与 平 面 A3CD所 成 的

34、 角.设 正 方 体 的 棱 长 为 2,则/。=1,E O=巾,.E F与 平 面 A8CO所 成 的 角 的 正 切 值 为 为 4.如 图，在 斜 三 棱 柱 ABC-ABC中，ZBAC=90,BCLAC,则 C i在 底 面 ABC上 的 射 影“必 在（）A.直 线 AB上 B.直 线 8 C上 C.直 线 AC上 D.4A B C内 部 答 案 A解 析 由 AC_LA8,ACBC,得 AC，平 面 ABC.因 为 ACu平 面 ABC,所 以 平 面 ABCi_L平 面 ABC,所 以 C i在 平 面 ABC上 的 射 影“必 在 两 平 面 的 交 线 AB上.5.（多 选）

35、（2021南 京 二 模）在 正 方 体 ABCD 4向 C D i中,设 M 为 B C的 中 点，则 下 列 说 法 不 正 确 的 是（）A M L B DB.A1M 平 面 CCDDCAMA_ABD.4M_L 平 面 ABC1O1答 案 ABD解 析 如 图，在 正 方 体 ABCO A iB iG 中，口 _ c,对 于 A,假 设 A x M L B D,因 为 A iA,平 面 ABCD,所 以 人 律、A A A.B D,又 A iA A 4M=4,所 以 8。_ 1 _平 面 A A M,所 以，微 而 8 D L A C,所 以 AM A C,显 然 不 正 确，故 A 不

36、 正 忆 A B确；对 于 B,假 设 4 M 平 面 CCIDID,因 为 平 面 AiMCDiC平 面 CCDD=CD,4MQ平 面 CGOi。，所 以 4 M COi.因 为 Ai3 C D i,所 以 显 然 不 正 确，故 B 不 正 确；对 于 C,因 为 M 3,平 面 所 以 M3_LAB.又 所 以 A3_L平 面 A iB M,所 以 A 1M L 431,故 C 正 确；对 于 D,假 设 平 面 ABC。，因 为 4DLAD1,A x D V A B,且 A3nAOi=A,所 以 4 0,平 面 A B G O i,所 以 4 M A iO,显 然 不 成 立，故 D

37、不 正 确.6.（多 选）（2021 广 州 调 研）如 图，在 长 方 体 A B C O-A iB G O i中，A 4i=A B=4,BC=2,M,N 分 别 为 棱 CD,CCi 的 中 点，则 D（）A.A,M,N,8 四 点 共 面 B.平 面 A D M,平 面 CO。BC.直 线 B N与 B M所 成 的 角 为 60D.BN 平 面 ADM答 案 BC解 析 如 图 所 示，对 于 A 中，直 线 AM,BN是 异 面 直 线，故 A,夕 _ D iM,N,B 四 点 不 共 面，故 A 错 误；B对 于 B 中，在 长 方 体 ABCD-ABCD中，可 得 AO_L平 面

38、：/a一/DCDDC,所 以 平 面 平 面 C D D C i,故 B 正 确；/V对 于 C 中，取 CO的 中 点。，连 接 3 0,O N,则 所 以 B-C直 线 BN与 所 成 的 角 为 N N 30.易 知 三 角 形 3 0 N为 等 边 三 角 形，所 以 NNB0=6 0,故 C 正 确；对 于 D 中，因 为 BN 平 面 M，显 然 BN与 平 面 AOM不 平 行，故 D 错 误.7.已 知 平 面 a,B 和 直 线 m,给 出 以 下 条 件：(1)旭 a；(2)/w_La；(3)?u a；(4)a_L4；(5)a 4，当 条 件 成 立 时，有 m 卜,当 条

39、 件 成 立 时，有 2,以 填 所 选 条 件 的 序 号)答 案(3)(5)(2)(5)解 析 根 据 面 面 平 行 的 特 征 可 得，若?u a,a,贝!2 夕；根 据 线 面 垂 直 以 及 面 面 平 行 的 特 征 可 得，若 z_La,a 夕，则?_ 1 _ 夕.8.如 图，三 棱 柱 A B C-A iB iC i的 底 面 是 边 长 为 2小 的 正 三 角 形，A4i=3,AAilAC,D 为 AiCi的 中 点，BD=34,则 二 面 角 A i-A C-B 的 正 切 值 为 答 案 一 小 解 析 取 A C的 中 点 E,连 接 ED,EB.。为 4 G 的

40、中 点,ABC是 边 长 为 2小 的 正 三 角 形,：.DE=AAi=3,BE=3,DELAC,BE1AC,:./BED为 二 面 角 A-AC-B 的 平 面 角.在 BED 中，DE=3,BE=3,BD=3小,由 余 弦 定 理 得 cos N BED32+32-（3小）22X3X312：.ZBED=120,：.tanZBED=-y3.9.如 图，在 直 三 棱 柱 ABC 4 B C i中，侧 棱 长 为 2,AC=BC=l,Z A C B=9 0,。是 的 中 点，尸 是 3 8 上 的 动 点，ABlt D F 交 于 点 E，要 使 A B，平 面 G O F,则 线 段 8

41、F 的 长 为.答 案|解 析 设 BF=x,因 为 AB J_平 面 CDF,O Fu平 面 CDF,所 以 AB LOF.由 已 知 可 得 AiBi=也，设 RtAAiBi斜 边 上 的 高 为/?,则 DE=h.所 以。=*，D E=g由 A Bm 的 面 积 相 等 得 我/乂 噂(当=9 冬,得 尤 毛 10.如 图，平 面 A3C。，平 面 A B E,且 四 边 形 A 3C 0为 正 方 形,AE=2AB=2,ZBAE=60,/为 AC 的 中 点.(1)求 证：AC_L平 面 8EB(2)求 直 线 A D 与 平 面 ACE所 成 的 角 的 正 弦 值.证 明 因 为

42、AE=2AB=2,ZBAE=60,由 余 弦 定 理 得 BE=IA B2+AE22AB-AE-COS 60=小,所 以 AB2+BE1=AE1,所 以 BELAB.由 于 平 面 ABC。_L平 面 A B E,且 两 个 平 面 相 交 于 AB,所 以 BEA.平 面 A B C D,所 以 BELAC.又 因 为 AC_LBE BECBF=B,BE,B Fu平 面 BEF,所 以 AC_L平 面 BEF.(2)解 根 据 VD-ACE=V E-ACD,S CD=,AC=啦，EA=EC=2,s贝 U S“CE=2 1因 为 VD-ACE=VE-ACD,设。到 平 面 A C E的 距 离

43、 为 人,则 1S AACE-Z I=S ACDBE,解 得 人=呼.设 直 线 A D 与 平 面 A C E所 成 的 角 为 仇 贝 I sin 8=磊=.Z ljL x/所 以 直 线 A O 与 平 面 A C E所 成 的 角 的 正 弦 值 为 早.11.如 图，在 四 棱 锥 P A8C。中，底 面 A 8C D为 四 边 形，ABO是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，BCCD,BC=CD,P D A B,平 面 平 面 ABCD.(1)求 证：平 面 ABC。；(2)若 二 面 角 C-P B-D 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 平，求 P D 的 长.(1)证 明

44、如 图 所 示，E 为 B O 的 中 点，连 接 AE,/XAB。是 正 三 角 形，则 AE_LBD.平 面 尸 8。,平 面 A B C O,平 面 P B D A平 面 ABCD=BO,AEu平 面 ABCD,故 AE_L平 面 PBD.。(=平 面;。，故 A ELPO.：PD LA B,AEHAB=A,AE,ABu平 面 ABC。，故 P。，平 面 ABCD.(2)解 如 图 所 示，过 点 E 作 E F L P B 于 点 F,连 接 C E：B C LC D,BC=CD,E 为 8。的 中 点，故 E C L 3。，故 EC，平 面 PB。，：.C E L P B.又 EF上

45、 PB，；.PB _ L 平 面 CEF,：.C F L P B,故 N E/C 为 二 面 角 C-P B-D 的 平 面 角.；cos N E F C=幸,o故 t a n/EF C=事,又 EC=I,故 坐,E F、后 1sin Z P B=7=27-,ta n Z P B D=,zso J 2嚼 0,则 P D=L|色 级 能 力 提 升 12.（多 选）（2021.新 高 考 II卷）如 图，在 正 方 体 中，。为 底 面 的 中 心，P 为 所 在 棱 的 中 点，M,N 为 正 方 体 的 顶 点，则 满 足 M N L O P的 是（）C D答 案 BC解 析 设 正 方 体

46、 的 棱 长 为 2.对 于 A,如 图（1）所 示，连 接 A C,贝 I MN A C,故 N PO C（或 其 补 角）为 异 面 直 线 OP,M N所 成 的 角.在 直 角 三 角 形 O P C中，。=啦，C P=,故 tan Z P O C=J_啦 2，故 M N L 0 p 不 成 立，故 A 错 误;SNMJA B图(1)对 于 B,如 图(2)所 示，取 M T的 中 点 为。，连 接 PQ,0 Q,则 0Q上 MN,P Q 1 M N,所 以 MN_L平 面 O P Q,又 OPu平 面 O P Q,故 M N L O P,故 B 正 确;图 对 于 C,如 图(3),

47、连 接 B D,则 BD/MN,由 B 的 判 断 可 得 故 O P 1 M N,故 C 正 确;图 对 于 D,如 图(4),取 A O的 中 点。，的 中 点 K,连 接 AC,PQ,OQ,PK,O K,则 AC MN.因 为。P=P C,故 尸。A C,故 PQ M N,所 以 NQPO(或 其 补 角)为 异 面 直 线 PO,MN所 成 的 角.图 因 为 正 方 体 的 棱 长 为 2,故 PQ=AC=y/2,OQ=yjAO2+AQ2=-/l+2=V 3,/0=、/烂+0心=、4+1=小,QOPQ1+OP2,故 NQPO 不 是 直 角，故 PO,M N不 垂 直，故 D 错 误

48、.13.（多 选）（2022海 南 模 拟）棱 长 为 1的 正 方 体 ABC。-4 5 1 G o i中，E,F,G分 别 是 AB,BC,BICI 的 中 点.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.P点 在 直 线 3 G 上 运 动 时，三 棱 锥 AU P C体 积 不 变 B.Q点 在 直 线 E尸 上 运 动 时，直 线 GQ始 终 与 平 面 4 4 C C 平 行 C.平 面 平 面 ACD3D.三 棱 锥 D-E F G的 体 积 为 a答 案 ABC解 析 对 于 A,P 在 直 线 8 a 上 运 动 时，的 面 积 为 矩 形 ABCQi的 面 积 的 一 半，C 到

49、 平 面 A BCD i的 距 离 不 变,又 以-D/C=M C-%P,则 三 棱 锥 ADiPC的 体 积 不 变，故 A 正 确；对 于 B,Q在 直 线 E F上 运 动 时，由 E,F,G分 别 是 AB,BC,8 1 cl的 中 点，可 得 EF/AC,G尸 G C.又 EFCGF=F,A C A C iC=C,所 以 平 面 GEF 平 面 4 4 C 1 C又 GQu平 面 G E E 则 G Q始 终 与 平 面 A 4 C C 平 行，故 B 正 确；对 于 C,由 ACLB。，A C l B B i,可 得 ACJ_平 面 B B D iO,又 ACu平 面 ACOi,即

50、 有 平 面 平 面 A C D i,故 C 正 确；对 于 D,SADEF=1 1 1=1,利 用 等 体 积 法 知 VD-EFGZ Z 乙 乙 乙 乙 乙 o1 1 3 1=VG-DEF=Q。S&JDOEF GF=oX-xX 1=g,故 D 错 误.14.如 图，在 四 棱 锥 S ABC。中，四 边 形 A8CO是 边 长 为 2 的 菱 形，NABC=60。，SA。为 正 三 角 形.侧 面 SA。，底 面 ABC。，E,F 分 别 为 棱 AD,S 3的 中 点.（1）求 证：AF 平 面 SEC；(2)求 证：平 面 A S 8,平 面 CS&(3)在 棱 S 3上 是 否 存