2022年高考数学考前30天题型突破专题7解析几何（新高考）新解析版.pdf

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1、2022年 高 考 数 学 考 前 30天 题 型 突 破 专 题 7：解 析 几 何 一、高 考 规 律 揭 秘 1.规 律 小 结 平 面 解 析 几 何 是 中 学 数 学 的 核 心 内 容，是 考 查 考 生 学 科 素 养 的 重 要 载 体。每 年 高 考 卷 的 必 考 题，T 殳 是 两 小 一 大，但 今 年 的 新 高 考 工 卷 和 全 国 甲 卷、乙 卷 是 三 小 一 大，这 样 增 加 了 其 分 值；从 题 目 位 置 看 相 比 往 年 难 度 适 当 降 低。分 析 近 三 年 高 考 试 题 不 难 发 现，高 考 对 解 析 几 何 的 考 查 一 般

2、以 课 程 学 习 情 境 与 探 索 创 新 情 境 为 主，注 重 数 学 知 识 的 基 础 性、综 合 性 和 应 用 性 的 考 查，侧 重 考 查 考 生 的 运 算 求 解 能 力 和 逻 辑 思 维 能 力。具 体 呈 现 以 下 规 律：(1)基 础 性：高 考 通 过 对 直 线 和 圆、圆 锥 曲 线 的 概 念 和 几 何 性 质 等 基 础 知 识、基 本 方 法 的 考 查，增 强 了 考 查 内 容 的 基 础 性；同 时 通 过 对 解 析 几 何 基 础 知 识、基 本 技 能、基 本 思 想 方 法、基 本 活 动 经 验 的 全 面 覆 盖，考 查 考 生

3、 逻 辑 思 维 能 力 和 运 算 求 解 能 力 等，从 而 促 进 学 科 素 养 的 提 升，提 高 考 生 从 数 学 角 度 发 现 和 提 出 问 题、分 析 和 解 决 问 题 的 能 力；同 时 今 年 高 考 题 解 析 几 何 的 小 题 难 度 适 当 降 低，并 且 打 破 了 传 统 的 解 析 几 何 解 答 题 以 椭 圆 为 首，抛 物 线 次 之，双 曲 线 再 次 之 的 认 知。(2)综 合 性 和 应 用 性：解 析 几 何 沙 及 知 识 点 多，高 考 通 过 综 合 设 计 试 题，将 多 个 知 识 点 街 接 起 来，如 将 直 线 与 圆

4、锥 曲 线 的 位 置 关 系、圆 锥 曲 线 的 概 念 和 几 何 性 质 相 结 合 考 查，或 者 结 合 平 面 向 量、函 数(三 角 函 数 不 等 式 等 学 科 内 容 进 行 考 查。要 求 考 生 从 整 体 上 把 握 各 种 现 象 的 本 质 和 规 律，能 综 合 应 用 所 学 知 识、原 理 和 方 法 来 分 析 和 解 决 问 题。(3)创 新 性 和 选 拔 性：创 新 意 识 是 理 性 思 维 的 高 层 次 表 现。分 析 近 三 年 高 考 题 发 现 其 重 点 考 蛰 的 学 科 素 养 是 理 性 思 维 和 数 学 探 索。高 考 数 学

5、 在 对 解 析 几 何 的 考 查 中，充 分 利 用 学 科 特 点，加 强 对 考 生 创 新 能 力 的 考 查。主 要 途 径 有：增 强 试 题 的 开 放 性 和 探 究 性，加 强 独 立 思 考 和 批 判 性 思 维 能 力 的 考 查；通 过 创 设 新 颖 的 试 题 情 境，创 新 试 题 呈 现 方 式，考 查 考 生 的 阅 读 理 解 能 力，体 现 思 维 的 灵 活 度；提 出 具 有 一 定 跨 度 和 挑 战 性 的 问 题，引 导 考 生 进 行 深 人思 考 和 探 究，展 现 考 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 思 维 过 程，以 考

6、查 考 生 数 学 应 用 与 数 学 探 索 学 科 素 养，体 现 选 拔 功 能。3.考 点 频 度 高 频 考 点：直 线 与 方 程、圆 与 方 程、椭 圆、抛 物 线、双 曲 线 的 概 念 及 几 何 性 质、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 及 其 综 合 问 题。4.备 考 策 略 从 近 三 年 的 高 考 数 学 来 看，本 专 题 考 查 内 容 覆 盖 直 线、圆、椭 圆、双 曲 线、抛 物 线，突 出 考 查 考 生 理 性 思 维、数 学 应 用、数 学 探 索 等 学 科 素 养.根 据 对 本 专 题 高 考 试 题 的 分 析，现 给 出 如

7、下 备 考 建 议：(1)回 归 教 材，注 重 基 础，建 构 知 识 网 络。高 考 中 对 解 析 几 何 的 基 础 知 识 考 查 全 面 且 综 合，如 直 线 和 圆 的 方 程、圆 锥 曲 线 定 义 和 几 何 性 质、直 线 与 曲 线 位 置 关 系 等，而 且 不 回 避 热 点，如 求 圆 的 方 程 问 题、椭 圆 和 双 曲 线 离 心 率 问 题、弦 长 问 题 等。仔 细 对 比 可 以 发 现，每 年 的 高 考 试 题 大 都 由 课 本 习 题 改 编 而 来，源 于 课 本，又 高 于 课 本。因 此 平 时 复 习 要 回 归 课 本，同 时 重 视

8、 课 本 题 目 的 引 申，使 考 生 了 解 知 识 的 发 生、发 展 和 应 用 过 程，夯 实 考 生 的 基 础 知 识，使 考 生 掌 握 解 决 问 题 的 一 般 方 法。(2)重 视 B1锥 曲 线 的 定 义 及 其 几 何 性 质，切 实 提 升 考 生 利 用 数 形 结 合 思 想 与 转 化 思 想 解 决 问 题 的 能 力。代 数 法(坐 标 法)是 解 决 解 析 几 何 问 题 的 通 性 通 法，但 解 析 几 何 问 题 的 本 质 是 几 何 问 题，利 用 题 干 图 形 的 几 何 性 质 解 答，往 往 能 避 开 繁 琐 的 代 数 运 算，

9、起 到 出 奇 制 胜、事 半 功 倍 的 效 果。纵 观 近 三 年 的 高 考 试 题，很 多 题 目 都 离 不 开 图 形 分 析，而 且 需 要 考 生 自 己 作 图。因 此 在 平 时 的 教 学 中，要 训 练 考 生 准 确 作 图 和 识 图 能 力，培 养 其 数 形 转 化 意 识，提 升 解 题 能 力 和 效 率。(3)多 角 度 审 视，注 重 一 题 多 解，把 握 问 题 的 本 质。解 析 几 何 的 试 题 一 般 人 口 较 宽，很 容 易 找 到 解 决 问 题 的 思 路，但 是 不 同 解 法 间 运 算 量 的 差 异 很 大，有 的 是“可 望

10、 而 不 可 及 二 为 此，在 复 习 过 程 中 要 特 别 注 重 对 不 同 方 法 的 分 析、比 较，研 究 图 形 的 几 何 特 征，以 掌 握 处 理 代 数 式 的 一 般 方 法，明 确 不 同 方 法 的 差 昇 和 联 系，使 每 位 考 生 找 到 自 己 最 擅 长 的 方 法。要 达 到 这 样 的 目 的，关 键 是 对 问 题 本 质 的 把 握。只 有 多 角 度 审 视，看 清 问 题 的 实 质，才 能 发 现 最 佳 的 突 破 口。(4)夯 实 基 本 技 能 和 基 本 方 法，提 升 学 科 核 心 素 养。高 考 复 习 不 仅 是 简 单

11、地“刷 题”，平 时 解 题 的 目 的 应 重 点 放 在 巩 固、加 深 对 概 念 的 理 解、训 练 和 提 升 基 本 技 能、熟 练 掌 握 基 本 方 法 上。例 如 圆 锥 曲 线 与 方 程 这 一 专 题 的 基 本 技 能 和 方 法 主 要 是 借 助 坐 标 系 用 代 数 方 法 表 示 和 研 究 曲 线，同 时 要 注 重 几 何 直 观 的 作 用 及 观 察 特 殊 情 况(斜 率 不 存 在 或 为 零 等 特 殊 情 况)猜 出 一 般 结 论 的 方 法,例 2021年 新 高 考 I 卷 第 21题 第 2 问 考 生 可 从 点 T在 x 轴 这

12、个 特 殊 位 置 下 得 出 两 直 线 斜 率 和 为 0,自 然 猜 想 一 般 情 况 下 也 有 这 样 的 结 论。利 用 的 知 识 技 能 方 法 包 括 数 形 转 化 以 及 向 量 转 化 等 知 识。(5)加 大 训 练 力 度，侧 重 培 养 考 生 逻 辑 思 维 能 力 和 运 算 求 解 能 力。根 据 高 考 评 价 体 系 的 整 体 框 架，高 考 数 学 学 科 提 出 了 五 大 关 键 能 力：逻 辑 思 维 能 力、运 算 求 解 能 力、空 间 想 象 能 力、数 学 建 模 能 力 和 创 新 能 力。解 析 几 何 问 题 是 中 学 数 学

13、 的 综 合 应 用 问 题。对 于 逻 辑 思 维 能 力 和 运 算 求 解 能 力 要 求 较 高。好 的 思 路 是 通 过 一 定 的 运 算、推 理 等 数 学 语 言 表 达 出 来 的.因 此 在 平 面 解 析 几 何 专 题 复 习 过 程 中，提 升 考 生 的 逻 辑 思 维 能 力 和 运 算 求 解 能 力 尤 为 重 要。因 此 平 时 要 引 导 考 生 进 行 以 运 算 为 主 的 练 习 和 规 范 严 密 的 思 维 分 析 训 练。在 运 算 时 注 重 一 题 多 解 的 方 法,选 取 恰 当 的 解 法 能 起 到 事 半 功 倍 的 效 果，以

14、 便 使 考 生 在 考 场 上 尽 可 能 多 得 分。二、高 考 试 题 精 练 1.(2 0 2 1年 全 国 新 高 考 I 卷 数 学 3】已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 0,其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆,则 该 圆 锥 的 母 线 长 为（）A.2 B.2 a c.4 D.4&【答 案】B【解 析】【分 析】设 圆 锥 的 母 线 长 为/,根 据 圆 锥 底 面 圆 的 周 长 等 于 扇 形 的 弧 长 可 求 得/的 值，即 为 所 求.【详 解】设 圆 锥 的 母 线 长 为/,由 于 圆 锥 底 面 圆 的 周 长 等 于 扇 形 的 弧 长，则 用

15、=2解 得 1=2垃.故 选：B.2 22.【2021年 全 国 新 高 考 I 卷 数 学 5】已 知 耳，B 是 椭 圆 C：二+2-=1 的 两 个 焦 点，点 加 9 4在。上，贝 用 的 最 大 值 为（）A.13 B.12 C.9 D.6【答 案】C【解 析】【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 至 居 卜 2a=6,借 助 基 本 不 等 式 I耳 周 即 可 得 到 答 案.、2【详 解】由 题，“2=9/2=4,贝 1|町|+|咋|=2。=6,所 以 附/讣 悭 用/幽 土 四=9（当 且 仅 当|g|=|M段=3时，等 号 成 立）.1 2,故 选：C.【点

16、 睛】桶 圆 上 的 点 与 椭 圆 的 两 焦 点 的 距 离 问 题，常 常 从 椭 圆 的 定 义 入 手，注 意 基 本 不 等 式 得 灵 活 运 用，或 者 记 住 定 理：两 正 数，和 一 定 相 等 时 及 最 大，积 一 定，相 等 时 和 最 小，也 可 快 速 求 解.3.2021年 全 国 新 高 考 1 卷 数 学 M l.已 知 点 P 在 圆（x 5）2+（y 5）2=1 6 上,点 A（4,0）、3（0,2）,则（）A.点 尸 到 直 线 A B 的 距 离 小 于 1()B.点 P 到 直 线 A B 的 距 离 大 于 2C.当 N P B A 最 小 时

17、，|PB|=372D.当 NP8A最 大 时，|尸 耳=3【答 案】ACD【解 析】【分 析】计 算 出 圆 心 到 直 线 的 距 离，可 得 出 点 P 到 直 线 A B 的 距 离 的 取 值 范 围，可 判 断 AB 选 项 的 正 误；分 析 可 知，当 NPBA最 大 或 最 小 时，P3与 圆 M 相 切，利 用 勾 股 定 理 可 判 断 CD 选 项 的 正 误.【详 解】圆(x 5)2+(y 5)2=16的 圆 心 为 例(5,5),半 径 为 4，直 线 A B 的 方 程 为 5+5=1，即 x+2y-4=0,圆 心 M 到 直 线 A B 的 距 离 为 6+2、=

18、M=4,彳 百 V5 5所 以，点 尸 到 直 线 A 8 的 距 离 的 最 小 值 为 止 5-4 2,最 大 值 为 小 6+410,A 选 项 5 5正 确，B 选 项 错 误;如 下 图 所 示:当 NPBA最 大 或 最 小 时，PB与 圆 M 相 切，连 接 M P、B M,可 知 P W L P B，忸 A1|=J(0-51+(2-5)2=庖,MP=4,由 勾 股 定 理 可 得 BP=3 0,CD选 项 正 确.故 选：ACD.【点 睛】结 论 点 睛：若 直 线/与 半 径 为/的 圆 C 相 离，圆 心 C 到 直 线/的 距 离 为 则 圆 C上 一 点 P 到 直 线

19、/的 距 离 的 取 值 范 围 是 一 厂,1+r.4.【2021年 全 国 新 高 考 1卷 数 学】14.已 知。为 坐 标 原 点，抛 物 线 C：丁=2庶(。)的 焦 点 为 八 P 为 C 上 一 点，P E 与 x 轴 垂 直，。为 轴 上 一 点，且 若|广。|=6,则 C 的 准 线 方 程 为.3【答 案】x=一 二 2【解 析】【分 析】先 用 坐 标 表 示 P，Q,再 根 据 向 量 垂 直 坐 标 表 示 列 方 程，解 得。，即 得 结 果.【详 解】抛 物 线 C：y2=2px(P 0)的 焦 点:P为 C 上 一 点,尸 产 与 x 轴 垂 直，所 以 P 的

20、 横 坐 标 为 R,代 入 抛 物 线 方 程 求 得 P 的 纵 坐 标 为 土，2不 妨 设 P(P),因 为 Q为 x 轴 上 一 点，且 所 以。在 F 的 右 侧，又 v l/Q b G,nu m n.Q(6+g,0),.P Q=(6,-p)因 为 P Q _ L O P,所 以 而 丽=x 6 p 2=0,Q p 0,/.p=3,3所 以。的 准 线 方 程 为 了=一 二 23故 答 案 为：x=.2【点 睛】利 用 向 量 数 量 积 处 理 垂 直 关 系 是 本 题 关 键.5.【2021年 全 国 新 高 考 I 卷 数 学 14】已 知。为 坐 标 原 点，抛 物 线

21、 C：尸=2 无(，()的焦 点 为 尸，P为。上 一 点，P F与 x轴 垂 直，。为 x轴 上 一 点，且 P Q L O P,若 忻。|=6,则 C 的 准 线 方 程 为.3【答 案】x=-一 2【分 析】先 用 坐 标 衣 示 P，Q，再 根 据 向 量 垂 直 坐 标 表 示 列 方 程，解 得，即 得 结 果.【详 解】抛 物 线 C：y2=2px(P 0)的 焦 点 呜,0)为。上 一 点，P F 与 x轴 垂 直，所 以 P的 横 坐 标 为“，代 入 抛 物 线 方 程 求 得 P的 纵 坐 标 为 土 P,2不 妨 设 P(弓,p),因 为 Q为 x轴 上 一 点，且 尸

22、 Q L O P,所 以 Q在 F的 右 侧，又 v|FQ I=6,nn u m.Q(6+g,0),.PQ=(6,p)因 为 P Q _L O P,所 以 项 丽=x 6 p2=0,Q p 0,:.p=3,3所 以。的 准 线 方 程 为 工 二 一 一 23故 答 案 为：x=.2【点 睛】利 用 向 量 数 量 积 处 理 垂 直 关 系 是 本 题 关 键.6.【2021年 全 国 新 高 考 1卷 数 学 21】在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，己 知 点 耳 卜 万,0)、鸟(丁 万,0月“周 一|加 用=2,点 知 的 轨 迹 为 口(1)求。的 方 程；(2)设 点 T在

23、 直 线 x=!上，过 T 的 两 条 直 线 分 别 交。于 A、B两 点 和 产，。两 点，且 2|力 4卜 TB=TP-TQ,求 直 线 A B 的 斜 率 与 直 线 P Q 的 斜 率 之 和.v2【答 案】（1）x2-=l（xl）；（2）0.【解 析】【分 析】（1）利 用 双 曲 线 的 定 义 可 知 轨 迹 C 是 以 点 片、尸 2为 左、右 焦 点 双 曲 线 的 右 支，求 出“、匕 的 值，即 可 得 出 轨 迹 C 的 方 程；（2）设 点 设 直 线 A B 的 方 程 为=设 点 A（x，y）、3（%,%），联 立 直 线 A B 与 曲 线 C 的 方 程，列

24、 出 韦 达 定 理，求 出|力 味|7|的 表 达 式，设 直 线 P Q 的 斜 率 为 42,同 理 可 得 出 17H 忸。|的 表 达 式，由|刀 仆|用=|7斗 忸。|化 简 可 得 K+&2的 值.【详 解】因 为|昭|一|此|=2 0/0）,则 2=2,可 得。=1,=J 1 7-=4,2所 以，轨 迹 C 的 方 程 为 V 21=1（x21）；16 1）（2）设 点 若 过 点 T 的 直 线 的 斜 率 不 存 在，此 时 该 直 线 与 曲 线 C 无 公 共 点，不 妨 直 线 的 方 程 为=即,=女 声+/_（且由 韦 达 定 理 可 得 k1 2k f t kt

25、 j+16乒 百 I 所 以,同 附=（1+6）卜 一 扑 2寸=（1+6）卜 2 詈+p+：”；）,仔+12）（1+娟 设 直 线 P Q 的 斜 率 为 42，同 理 可 得 17PH7。|=-卢 16因 为|力 4卜|!8上|研 17。|,即（/+（1+特）片-16后 16整 理 可 得 片=后,（+12）（1+6）即（4 _&）（4+&）=o,显 然。一 网）0,故 c+&2=o.因 此，直 线 A B 与 直 线 P Q 的 斜 率 之 和 为 0.【点 睛】方 法 点 睛：求 定 值 问 题 常 见 的 方 法 有 两 种：（1）从 特 殊 入 手，求 出 定 值，再 证 明 这

26、个 值 与 变 量 无 关；（2）直 接 推 理、计 算，并 在 计 算 推 理 的 过 程 中 消 去 变 量，从 而 得 到 定 值.7.【2021年 全 国 新 高 考 2 卷 数 学 3】抛 物 线 y2=2px（p 0）的 焦 点 到 直 线 y=x+l的 距 离 为 也,则 夕=（）A.1 B.2 C.2 0 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】首 先 确 定 抛 物 线 的 焦 点 坐 标，然 后 结 合 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 的 值.【详 解】抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 I，7其 到 直 线 x y+l=0 的 距 离：dK-0+12VT+T厅

27、解 得：=2（=一 6 舍 去）故 选：B.8.【2021年 全 国 新 高 考 2 卷 数 学 1 1.己 知 直 线/：以+刀 一，=。与 圆。：/+,2=产 点 A（a,加，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 点 A在 圆 C上，则 直 线/与 圆 C相 切 B.若 点 A在 圆 C 内，则 直 线/与 圆 C相 离 C.若 点 A在 圆 C 外，则 直 线/与 圆 C相 离 D.若 点 A在 直 线/上，则 直 线/与 圆 C相 切【答 案】ABD【解 析】【分 析】转 化 点 与 圆、点 与 直 线 的 位 置 关 系 为/+/,产 的 大 小 关 系，结 合 点 到 直

28、线 的 距 离 及 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 即 可 得 解.【详 解】圆 心 c（o,o）到 直 线/的 距 离=r2Ja2+b2若 点 A（a,。）在 圆 C上，则/+从=,，所 以 Q=:y a2+b2则 直 线/与 圆 C相 切，故 A 正 确;若 点 A（a,b）在 圆 C 内,则 yja2+b2所 以 d川，则 直 线/与 圆 C相 离，故 B正 确;若 点 A（a,8）在 圆 C 外，则+，所 以=二=比 la-+b-则 直 线/与 圆 C相 交，故 c 错 误；若 点 A（a 在 直 线/上，则+U r=0 即/+寸 2,所 以 d=直 线/与 圆 C相 切，故 D

29、正 确.V 7 7 F 1 1故 选：ABD.2 29.【2021年 全 国 新 高 考 2 卷 数 学 1 3.已 知 双 曲 线 与 一 今=1（“0/（）的 离 心 率 为 2,则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为【答 案】y=/3x【解 析】【分 析】由 双 曲 线 离 心 率 公 式 可 得 b27=3,再 由 渐 近 线 方 程 即 可 得 解.【详 解】x2因 为 双 曲 线。=l(a0/0)的 离 心 率 为 2 所 以 所 以 4=3,则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y=-x=V3x.a-a故 答 案 为：y-/3x.10.【2021年 全 国 新

30、高 考 2 卷 数 学 20.】已 知 椭 圆。的 方 程 为=+=1（。/7 0）,右 焦 C T b 点 为 F（虚,0）,且 离 心 率 为 逅.3（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）设 M,N 是 椭 圆 C 上 的 两 点，直 线 M N 与 曲 线 f+y2=b2（x（）相 切.证 明：M,N,产 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是|M N|=百.【答 案】（1）+/=1；（2）证 明 见 解 析.3【解 析】【分 析】（1）由 离 心 率 公 式 可 得 a=当，进 而 可 得 从，即 可 得 解；（2）必 要 性：由 三 点 共 线 及 直 线 与 圆 相 切 可 得

31、直 线 方 程，联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 可 证|N|=6;充 分 性：设 直 线 脑 7:卜=依+反（例 0）,由 直 线 与 圆 相 切 得 从=左 2+1，联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 结 合 弦 长 公 式 可 得=进 而 可 得&=土 1,即 可 得 解.1+3公【详 解】（1）由 题 意，椭 圆 半 焦 距 c=女 且 e=Y 6,所 以 a=J3,a 3v.2又。2=一 c2=l，所 以 椭 圆 方 程 为 二+丁=1；3（2）由（1）得，曲 线 为 f+J=1（0）,当 直 线 M N 的 斜 率 不 存 在 时，直 线 MN:x=l,不 合 题 意;当 直 线

32、 的 斜 率 存 在 时，设 M（x，x）,N（X2，y2），必 要 性:若 M,N,尸 三 点 共 线，可 设 直 线 MN:y=Z:（x忘）即 区-y 一 标:=（）,由 直 线 M2V与 曲 线 d+y2=1（尤 0）相 切 可 得 部=1，解 得 f/F7T联 立 y=(x-伺,3 0 3%2 可 得 4 2一 6&x+3=0，所 以 芯+/=;,x,-x2=-+y2=2 4I 3 所 以|MN|=VT+T-1J(XI+X2)2-4 XI-X2=G,所 以 必 要 性 成 立；充 分 性：设 直 线 肱 V:y=依+。,（初 0）即-y+=0,由 直 线 M N 与 曲 线 x2+y2

33、=l（x（）相 切 可 得/L=l,所 以=左 2+1，+1联 立 y=kx+bx2 2 可 得(1+3左+6妨 x+3Z?2-3=0,丁=匚 口“6kh 3b23所 以 i=-布 心 2=不 记 所 以=Jl+r J(尤+入 2)2-4%=J1+攵 26kb1+34 2I2“3b2-3I E化 简 得 39 21）2=0,所 以=土 1,k=(k=i所 以 工 友 或 yl,所 以 直 线 N：=夜 或=X+&所 以 直 线 M N 过 点 F(也,0),M,N,尸 三 点 共 线，充 分 性 成 立；所 以 M,N,尸 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是|M N|=Q.【点 睛】关 键

34、 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 及 韦 达 定 理 的 应 用，注 意 运 算 的 准 确 性 是 解 题 的 重 中 之 重.三、知 识 点 精 讲 1.直 线(1)直 线 的 倾 斜 角(1)定 义：x 轴 正 向 与 直 线 向 上 方 向 之 间 所 成 的 角 叫 做 这 条 直 线 的 倾 斜 角.当 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时，规 定 它 的 倾 斜 角 为 0.(2)倾 斜 角 的 范 围 为 0,n).直 线 的 斜 率(1)定 义：一 条 直 线 的 倾 斜 角。的 正 切 值 叫 做 这 条 直 线

35、 的 斜 率，斜 率 常 用 小 写 字 母 A 表 示，即 4=tan_a,倾 斜 角 是 90的 直 线 没 有 斜 率.(2)过 两(2)点 的 直 线 的 斜 率 公 式：经 过 两 点 片(不，珀，月(尼，)(为/用)的 直 线 的 斜 率 公 式 为 4=匕=匕 二 左 X2 X X X 2(3)直 线 方 程 点 斜 式 y%=A(xxo)斜 截 式 y=4x+6 两 点 式“一=y iy xixX V截 距 式 一+q=1 一 般 式 力 x+%+g o a,6 不 全 为 0)a b2.圆 的 方 程(1)圆 的 标 准 方 程：(%-a)2+(y-)2=?(r0),圆 心

36、为(a,6),半 径 为 工(2)圆 的 一 般 方 程：x+y+/Z+y+/=0 4户 0),圆 心 为(一 不 一、力+/4/2,半 径 为 r=3.直 线 与 圆 相 关 问 题 的 两 个 关 键 点(1)三 个 定 理：切 线 的 性 质 定 理，切 线 长 定 理，垂 径 定 理.(2)两 个 公 式：点 到 直 线 的 距 离 公 式 d 当 誓 弦 长 公 式|力。=2产 二 7(弦 心 距 d).4.圆 锥 曲 线 的 定 义(1)椭 圆：/后；双 曲 线：|姐|一|曲|=2a(2aV|；抛 物 线：I 1=d(d为 点 到 准 线 的 距 离).5.圆 锥 曲 线 的 标

37、准 方 程 2 2 2 2 椭 圆：2+6=1(a60)(焦 点 在 x 轴 上)或 4+1=1(a60)(焦 点 在 ya b a b轴 上)；2 2 2 2 双 曲 线：2 一 卷=l(a0,60)(焦 点 在 x 轴 上)或 5 萤=1(a0,60)(焦 a b a b点 在 y 轴 上)；(3)抛 物 线：y=2px,y=-2px,x=2py,/=-2py(/?0).6.圆 锥 曲 线 的 几 何 性 质(1)椭 圆：e=-=/14.a 1 a(2)双 曲 线：e=/l+2；a aA 2 渐 近 线 方 程：产=-矛 或=工 储 a b(3)抛 物 线：设/=2px(p0),以 为，y

38、,),D(xz,为 抛 物 线 上 的 点，Z7为 其 焦 点.焦 半 径 I CF=i+p 过 焦 点 的 弦 长 I CD=xx+x2+p-,（）x1X2=,yyi=p.四、高 考 试 题 精 练 1.【2021年 全 国 新 高 考 1卷 数 学】已 知 曲 线+即 2=1.()A.若 m 0,则 C是 椭 圆，其 焦 点 在 y 轴 上 B.若 m=n 0,则 C是 圆，其 半 径 为 C,若 m n=旧”D.若 m-O,n0,则 C是 两 条 直 线【答 案】ACD 析】【分 析】结 合 选 项 进 行 逐 项 分 析 求 解，?()时 表 示 椭 圆，/=0 时 表 示 圆，2 0

39、 时 表 示 两 条 直 线.【详 解】对 于 A,若 机 0,贝 1 小 2+2=1可 化 为 工+工 m n因 为 机 0,所 以 m n即 曲 线。表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆，故 A 正 确；对 于 B,若 加=力(),则 加/=1可 化 为 f+),2=j_,n此 时 曲 线。表 示 圆 心 在 原 点，半 径 为 亚 的 圆，故 B不 正 确；n2 2r_ _ 12y-_ _ I1对 于 C,若 加 0,则 如=1可 化 为,2=一,ny=,此 时 曲 线。表 示 平 行 于 X轴 的 两 条 直 线，故 D 正 确：n故 选：ACD.【点 睛】本 题 主 要 考 查

40、 曲 线 方 程 的 特 征，熟 知 常 见 曲 线 方 程 之 间 的 区 别 是 求 解 的 关 键，侧 重 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.2.【2021年 全 国 新 高 考 1 卷 数 学】斜 率 为 百 的 直 线 过 抛 物 线 C：必=4x的 焦 点，且 与 C交 于 4 8 两 点，则|A=.【答 案】3【解 析】【分 析】先 根 据 抛 物 线 的 方 程 求 得 抛 物 线 焦 点 坐 标，利 用 点 斜 式 得 直 线 方 程，与 抛 物 线 方 程 联 立 消 去 y 并 整 理 得 到 关 于 x 的 二 次 方 程，接 下 来 可 以 利 用 弦 长

41、公 式 或 者 利 用 抛 物 线 定 义 将 焦 点 弦 长 转 化 求 得 结 果.【详 解】,抛 物 线 的 方 程 为 2=4 x,.,.抛 物 线 的 焦 点 F坐 标 为 尸(1,0),又 1直 线 A8过 焦 点 尸 且 斜 率 为 百，直 线 A 8的 方 程 为：y=K(x-1)代 入 抛 物 线 方 程 消 去 y并 化 简 得-1 Ox+3=0，解 法 一：解 得 玉=1,%=33所 以 I ABI=J i T F 玉 一 9 1=1 3-g|=当 解 法 二：=1(X)36=64 0设&M，凶),8(2，%)，则%+%2=5，过 A 5 分 别 作 准 线=-1 的 垂

42、 线，设 垂 足 分 别 为 C,。如 图 所 示.|ABH AF|+1 5 F H AC|+1 5|=%,+l+x2+1=x1+x2+2=y【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 焦 点 弦 长，涉 及 利 用 抛 物 线 的 定 义 进 行 转 化，弦 长 公 式，属 基 础 题.312021年 全 国 新 高 考 1 卷 数 学】已 知 椭 圆 C：?+点=1(。0)的 离 心 率 为 乎，且 过 点 A(2,l).(1)求 C 的 方 程：(2)点 M，N 在 C 上，且 AML4 V,A D L M N,。为 垂 足.证 明：存 在 定 点。，使 得 为 定 值.【答 案】(1)三+$

43、=1；(2)详 见 解 析.6 3【解 析】【分 析】(1)由 题 意 得 到 关 于 4 C 的 方 程 组，求 解 方 程 组 即 可 确 定 椭 圆 方 程.(2)设 出 点/，N 的 坐 标，在 斜 率 存 在 时 设 方 程 为 丫=+机，联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程,根 据 已 知 条 件，已 得 到 初 次 的 关 系，进 而 得 直 线 M N 恒 过 定 点，在 直 线 斜 率 不 存 在 时 要 单 独 验 证，然 后 结 合 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 确 定 满 足 题 意 的 点。的 位 置._ 也 a 24 1【详 解】（1）由 题 意 可

44、 得：+TT=1,解 得：a2=6,b2=c2=3,a ba2=b2+c2x故 椭 圆 方 程 为：土 2+二 v2=1.6 3 设 点 A/（X|,y）,N（X2，%），若 直 线 M N 斜 率 存 在 时，设 直 线 M N 的 方 程 为：y=kx+m,代 入 椭 圆 方 程 消 去 并 整 理 得：（1+2k2）f+4kmx+2加 2 _ 6=0,一,口 4km 2 m2 6可 得+W=-7,XX=-,-1+2K 1 2 1+2攵 2因 为 A M J _ 4 V,所 以 A A f A N=O,即（X 2）（马 一 2）+（%1）（%1）=。,根 据=例+加,为=/+加，代 入 整

45、 理 可 得：（攵 之+1）%工 2+（版 一 攵-2 乂 玉+%）+（加 一 1）2+4=0,所 以（卜 2+1）+（人 加 一 后 _2）（_）+（小 1）2+4=0,1十 乙 K V 1 I 乙 K 整 理 化 简 得（2 2+3加+1）（2攵+加 一 1）=0,因 为 A（2,l）不 在 直 线 M N 上，所 以 2月+-1x0,故 2%+3加+1=0,攵 工 1,于 是 M N 的 方 程 为=%（%W1）,所 以 直 线 过 定 点 直 线 过 定 点 当 直 线 M N 的 斜 率 不 存 在 时，可 得 N（X1,-y）,由 AATAN=0得:（石 一 2）（石 一 2）+（

46、.-1）（y-1）=0,2 2得 2）2+1 呼=0,结 合 五+2L=i 可 得：3$2一 8玉+4=0,解 得：玉=：或 2=2（舍）.此 时 直 线 M N 过 点.（4令。为 A P 的 中 点，即。,13 37若。与 产 不 重 合，则 由 题 设 知 A P 是 RtA4P的 斜 边，故|。0|=*4=咨 若。与 p 重 合，则|DQ|=J AP|,0,则 C 是 圆，其 半 径 为 血 C.若 mn0,则 C 是 两 条 直 线【答 案】ACD【解 析】【分 析】结 合 选 项 进 行 逐 项 分 析 求 解，时 表 示 椭 圆，加 二 0 时 表 示 圆，mn 0时 表 示 两

47、 条 直 线.【详 解】对 于 A,若 m 0,则 加/+盯 2=1可 化 为 工+工 m n因 为 桃 0,所 以-!(),则 加/+),2=1可 化 为+),2=j_,n此 时 曲 线。表 示 圆 心 在 原 点，半 径 为 亚 的 圆,n故 B 不 正 确;2 2J 匕=1对 于 C,若 则 加 f+y2=可 化 为 1 1m n此 时 曲 线 C 表 示 双 曲 线,由 九 炉+2=。可 得 y=j 3%,故 C 正 确;V n对 于 D,若 机=(),0,则 如=1 可 化 为 y?=一,ny=,此 时 曲 线 C 表 示 平 行 于 X 轴 的 两 条 直 线，故 D 正 确；n故

48、 选：ACD.【点 睛】本 题 主 要 考 查 曲 线 方 程 的 特 征，熟 知 常 见 曲 线 方 程 之 间 的 区 别 是 求 解 的 关 键，侧 重 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.14.斜 率 为 6 的 直 线 过 抛 物 线 C：y2=4x的 焦 点，且 与 C 交 于 A,B 两 点，则|人 却=.【答 案】3【解 析】【分 析】先 根 据 抛 物 线 的 方 程 求 得 抛 物 线 焦 点 坐 标，利 用 点 斜 式 得 直 线 方 程，与 抛 物 线 方 程 联 立 消 去 y 并 整 理 得 到 关 于 x 的 二 次 方 程，接 下 来 可 以 利 用 弦

49、 长 公 式 或 者 利 用 抛 物 线 定 义 将 焦 点 弦 长 转 化 求 得 结 果.【详 解】抛 物 线 的 方 程 为 2=4无，.抛 物 线 的 焦 点 F坐 标 为 f(1,0),又 直 线 AB过 焦 点 F且 斜 率 为 G，.直 线 AB的 方 程 为：j=V3(X-l)代 入 抛 物 线 方 程 消 去 y 并 化 简 得 3/-10 x+3=0，解 法 一：解 得 玉=g,%2=3所 以|AB 1=V 1 7 F I 玉 一 w h VI7?13 g 1=日 解 法 二：A=1(X)36=64 0设 4 王/),6(2，、2)，则 罚+%2=与，过 A 5 分 别 作

50、 准 线 x=-1的 垂 线，设 垂 足 分 别 为 c,D 如 图 所 示.|A F|+1 5 F H AC|+1 8。|=玉+1+1=%+x2+2=y【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 焦 点 弦 长，涉 及 利 用 抛 物 线 的 定 义 进 行 转 化，弦 长 公 式，属 基 础 题.2 221.已 知 椭 圆 C：5+与=l(ab0)过 点 M(2,3),点 A 为 其 左 顶 点，且 A M 的 斜 率 a b为 卜(1)求 c 的 方 程；(2)点 N 为 椭 圆 上 任 意 一 点，求 A M N 的 面 积 的 最 大 值.2 2【答 案】(1)L+工=1；(2)18.16