2023届高考数学一轮知识练习：空间向量的应用（含答案）.pdf

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1、2023届 高 考 数 学 一 轮 知 识 点 训 练：空 间 向 量 的 应 用 一、选 择 题(共 20小 题)1.直 线 1的 方 向 向 量 益=(1,3,5),平 面 a 的 法 向 量 元=(1,3,-5),则 有()A a B./1 aC 与 a 斜 交 口 那 么()A l a B.l/a C 在 平 面 a 内 D 与 a 斜 交 8.若 平 面 a,0 的 法 向 量 分 别 为 西=(2,3,5),荻=(3,1,4),则()A.a/p B.a _L 0C.a,0 相 交 但 不 垂 直 D.以 上 均 不 正 确 9.已 知 两 个 平 面 的 法 向 量 分 别 为 沅

2、=(0,1,0),n=(0,1,1),则 这 两 个 平 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 为()A.45 B.135 C.45 或 135 D.601 0.如 图 所 示，在 正 方 体 4 8 C D-&B 1 G D 1中，E 是 棱。劣 的 中 点，F 是 侧 面 CDDG 上 的 动 点,且 B iF 面&8 E,则 B/与 平 面 CD D iG所 成 角 的 正 切 值 构 成 的 集 合 是()A.2 B.|词 C.(t|2 t/2 D.t!V5 t 2V211.若 直 线 l 的 方 向 向 量 为 平 面 a 的 法 向 量 为 汇 则 可 能 使，a

3、 的 是()A.6=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.b=(1,3,5),n=(1,0,1)C.3=(0,2,1),n=(-1,0,-DD.h=(1,-1,3),n=(0,3,1)12.在 一 个 正 方 体 ABCD 4 B 1 G 5 中，P 为 正 方 形 为 B1GD1四 边 上 的 动 点，。为 底 面 正 方 形 48C。的 中 心，M,N 分 虽 为 AB,B C中 点，点 Q 为 平 面 48C。内 一 点，线 段。W 与 O P互 相 平 分，则 满 足 的=4而 的 实 数;I 的 值 有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 13.如 图，在 四 棱 锥

4、 P-4 B C D 中，侧 面 P 4 D 为 正 三 角 形，底 面 ABCD为 正 方 形，侧 面 PAD 1面 4BCD,M 为 底 面 4B C D内 的 一 个 动 点，且 满 足 MP=M C,则 点 M 在 正 方 形 4B C D内 的 轨 迹 为 下 图 中 的()14.在 空 间 直 坐 标 系。xyz 中，已 知 4(2,0,0),6(2,2,0),C(0,2,0),(1,1,V2),若 S S2,S3 分 别 表 示 三 棱 锥 D 4 B C 在 xOy,yOz,zOx坐 标 平 面 上 的 正 投 影 图 形 的 面 积，则()A.Sj=S2=S3 B.Si=S2

5、 且 S3 黄 SIC.S S3 且 S3 4 S?D.S2=S3 且 S4 S315.设 过=(2,2,t),G=(6,-4,4)分 别 是 平 面 a,0 的 法 向 量.若 a 1 0,则 t等 于()A.3 B.4 C.5 D.616.在 直 角 坐 标 系 中，4（-2,3）,5（3,-2）.沿 x 轴 把 直 角 坐 标 系 折 成 120。的 二 面 角，则 此 时 线 段 A B 的 长 度 为（）A.2V5 B.2V11 C.5V2 D.4企 17.已 知 正 方 形 A B C 0 的 面 积 为 2,点 P 在 边 A B 上，则 同 定 的 最 大 值 为（）A.B.2

6、 C.-D.V22 218.若 直 线 2的 方 向 向 量 为 日=（1,0,2）,平 面 a 的 法 向 量 为 正=（2,0,-4）,则（）A.l/a B.lla C.lc.a D 与 a 斜 交 19.若 平 面 a,0 的 法 向 量 分 别 为 元=（2,-3,5）,荻=（一 3,1,2）,则（）A.a/p B.a JL 夕 C.a,/?相 交 但 不 垂 直 D.以 上 均 不 正 确 20.在 四 棱 锥 P-A B C D 中，侧 面 P A D 为 正 三 角 形，底 面 A B C D 为 正 方 形，侧 面 PAD 1底 面 48CD,M为 底 面 A B C D 内

7、的 一 个 动 点，且 满 足 MP=M C,则 点 M 在 正 方 形 4 B C D 内 的 轨 迹 为（）二、填 空 题(共 8 小 题)21.已 知 点 4(1,一 2,3),B(l,3,2),(7(-5,0,4)和。(2,0,4),则 过 点 4,B 且 平 行 于 C O的 平 面 的 一 个 法 向 量 是 22.若 动 点 P 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 力 BCD-&B C D 1的 对 角 线 BO1上 一 点，记；1=登，则 当 N 4PC为 钝 角 时，4 的 取 值 范 围 为 23.在 空 间 直 角 坐 标 系。盯 z 中，已 知 平 面 a 的 一 个

8、法 向 量 是 五=(1,-1,2),且 平 面 a 过 点 4(0 3 1).若 P(x,y,z)是 平 面 a 上 任 意 一 点，则 点 P 的 坐 标 满 足 的 方 程 是.24.如 图 所 示，在 直 三 棱 柱 4BC-4 8 1 c l中，底 面 是 以 乙 4BC为 直 角 的 等 腰 三 角 形，AC=2a,BB1=3a,。是&C i的 中 点，点 E 在 棱 4 4 i上，要 使 CE _L平 面&D E,则 AE=.25.已 知 平 面 向 量 d,b 的 夹 角 为，且|a|=V3,b=2,在 A ABC中，AB=2a+2b,AC=2a-6 b,。为 B C 中 点，

9、则|而|=.26.已 知 空 间 四 个 点 4(1,1,1),5(-4,0,2),C(-3,-l,0),(-1,0,4),则 直 线 AD 与 平 面 4 8 c 所 成 的 角 的 度 数 为.27.在 正 方 体 ABCD-A/i G D i中，设 点 名 到 平 面 C D%的 距 离 为 a,点 名 到 平 面 CDBX的 距 离 为 b,点。到 平 面 A B iA的 距 离 为 c,则 a,b,c 的 大 小 关 系 是.28.已 知 直 三 棱 柱 S B C-Q 中，乙 4BC=90。，AC=A&=2四，AB=2,M 为 的 中 点，则 B 与 平 面 A C M 的 距 离

10、 为.三、解 答 题(共 6 小 题)29.如 图，正 三 棱 柱 A B C-4/i G 的 所 有 棱 长 均 为 2,D,E 分 别 是 B B i和 4 B 的 中 点.(1)证 明：AD 1 平 面 4 E C；(2)求 点.到 平 面 ArE C 的 距 离.30.如 图，在 正 方 体 4 G 中，。为 底 面 力 B C D 的 中 心，P 是 D A 的 中 点，设 Q 是 棱 C G 上 的 点，问:当 点 Q 在 什 么 位 置 时，平 面 2 B Q 平 面 P40?31.如 图，在 三 棱 柱 4BC-4181cl中，点 E,F 分 别 是 棱 C G，BB1上 的

11、点，点 M 是 线 段 4 C 上 动 点，EC=2FB=2,若 M 8 平 面 4 E F,试 判 断 点 M 在 何 位 置.32.如 图，在 直 三 棱 柱 A B C-4 81cl 中，AC=3,BC=4,48=5,AAt=4,点。是 AB 的 中 点.求 证：(1)AC 1 BC1；(2)AC 平 面 CDB 33.在 四 棱 锥 P ABCD中，P O l底 面 ABC。，底 面 力 BCD为 正 方 形，PD=DC,E,F 分 别 是 AB,P B 的 中 点.(1)求 证：EF 1 CD；(2)在 平 面 PA D内 求 一 点 G,使 G F 1平 面 P C 8,并 证 明

12、 你 的 结 论.34.已 知 椭 圆 G：+=l(a b 0)的 右 顶 点 与 抛 物 线 0：y2=2px(p 0)的 焦 点 重 合.Q 的 离 心 率 为 右 过 G 的 右 焦 点 尸 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 截 所 得 的 弦 长 为 4口.(1)求 椭 圆 Ci和 抛 物 线 C2的 方 程；(2)过 点 M(3,0)的 直 线/与 椭 圆 G 交 于 4,B 两 点，点 B 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 点 E,证 明：直 线 A E 过 定 点.答 案 1.B【解 析】由 五=一 记 知，n/a,则 有 1_La.2.A【解 析】因 为 同=(0,1,-1

13、),前=(1,0,-1),n-AB=(-1)x 0+(-1)x 1+(-1)x(-1)=0,n-AC=(-1)x 1+(-1)x 0+(-1)x(-1)=0,所 以 五 1 同，nJ.AC,又 AB n a c=A,所 以 元 是 平 面 a 的 一 个 法 向 量，又 因 为 平 面 a 与 平 面/?不 重 合，所 以 a/p.3.D【解 析】题 意 可 知，平 面 a 的 法 向 量 垂 直 于 向 量 4=(2,1,1)和 向 量 丽，而 丽=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4).(2,1,1).(0,-1,1)=0,(0,2,4).(0,-1,1)0,故 D 中 的 向

14、量 不 可 以 作 为 平 面 a的 法 向 量.4.C【解 析】由 于 方 转，因 此 大 与 看 不 平 行，又 近 电=2 x(-3)+3 x l+5 x(-4)=-2 3 R 0,所 以 人 与 布 不 垂 直，从 而 平 面 a,6 相 交 但 不 垂 直.5.C6.C7.B【解 析】直 线 I的 方 向 向 量 是 a=(-2,0,1),平 面 a 的 法 向 量 是 b=(2,0,4),所 以=4+0+4 0,所 以 直 线 I在 平 面 a 内 或 者 与 平 面 a 平 行.又 直 线 I上 有 一 点 P 不 在 平 面 a 上，所 以，a.故 选 B.8.C【解 析】由

15、题 意 知 近 与 它 不 平 行，又 因 为 汨 花=2 x(-3)+(-3)x l+5 x(-4)力 0,所 以 大 与 赧 不 垂 直，所 以 a 与 夕 相 交 但 不 垂 直.9.C10.C11.D12.C13.A14.D15.C【解 析】因 为 则 丘 讶=-2 x 6+2 x(-4)+4t=0,所 以 t=5.16.B【解 析】如 图，作 AC垂 直 x 轴，8。垂 直 y 轴，过 C 作 CD平 行 于 y 轴，与 B D交 于 D,则 就 是 二 面 角 的 平 面 角.A Z-ACD=1 2 0,连 接 P P J CD=2,BD=5,AC=3,在 4CD 中，AD=J9+

16、4-2 X 3 X 2 X(-1)=V19,:.AB=419+25=2711.17.C18.B19.C【解 析】由 题 意 可 得 平 面 a,0 的 法 向 量 分 别 为 为=(2,-3,5),五 2=(-，1,2),因 为 大 和 无 不 平 行，所 以 平 面 a 和 0 不 平 行；又 入 底=-6 3+10=1。0,所 以 平 面 a 和 0 不 垂 直.20.A【解 析】以。为 原 点，DA OC所 在 直 线 分 别 为、y 轴 建 系，如 图 所 示.设 M(x,y,0),设 正 方 形 的 边 长 为 a,则 P&0 w a),C(0,a,0),则|MC|=+(y a)2,

17、I MP 1=J(x-+y 2+俘 a),由 I MP|=|M C|,得 x=2 y,所 以 点”在 正 方 形 4B C D内 的 轨 迹 为 直 线 y=2 x 的 一 部 分.21.(0,1,5)22.g,l)23.%y+2z+1=024.Q 或 2Q【解 析】建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 当(0,0,3a),C(0,V2a,0).设 点 E 的 坐 标 为(&a,0,z),则 CE=(V 2a,-y 2 a,z),BE=(V 2 a,0,z-3a).因 为 BXD 1 CE,所 以 要 使 CE 1 平 面 8 i Q E,只 需 灌 1 瓦 百，所 以

18、2a2+z2 3az=0,解 得 z=a或 2 a,即 AE=a或 2a.25.2【解 析】因 为 AD=(而+硝=(2a+2b+2d-66)=2d-2b.所 以|iw|2=4(a b)=4(d2 2 d b+b2)=4 X(3-2 X 2 X V 5 XCOS2+4)=4.则|西=2.26.30【解 析】因 为 4(1,1,1),8(-4,0,2),。(-3,-1,0),。(-1,0,4),所 以 AD(2,1,3),AB(5,1,1)，AC=(4,-2,-1).设 平 面 4 B C的 法 向 量 为 记=Q,y,z),则(n-AB=-5%y+z=0,ri-C=-4 x-2y-z=0,取=

19、1,得 元=(1,一 3,2).设 直 线 与 平 面 4 8 c 所 成 的 角 为 氏 则 si.nny=AD n一 MDIInl_ 1-2+3+61 V4+1+9XV1+9+47=14_ 1 2,又 0。b c28.1【解 析】设/到 平 面 4 c M 的 距 离 为 h,则 01-财=,所 以:h SA4cM=X 2 X S”81M,h=1.29.(1)以 E 为 原 点，E B 为 x 轴，E C 为 y 轴，过 E 作 平 面 4BC的 垂 线 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 力(-1,0,0),D(l,0,1).4(-1,0,2),F(0,0,0),C(0,

20、V3,0),AD=(2,0,1).W=(-1,0,2),EC=(0,乃 0),因 为 亚 西=-2+2=0,AD-EC=0,所 以 AD 1 E&,AD 1 EC,因 为 E&n E C=E,所 以 4。1 平 面&EC.(2)Bi(1,0,2),两=(1,0,2),因 为 4。平 面 4EC,所 以 平 面 4 E C 的 法 向 量 同=(2,0,1),所 以 点 B到 平 面&E C 的 距 离 d=/旦=$=峥.tU V 3 330.如 图 所 示，分 别 以 DA,DC,DDi所 在 直 线 为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,设 正 方 体 的 棱 长

21、为 1,则。(金，0)，P(0,0,1).4(1,0,0),8(1,1,0),(0,0,1).设 Q(0,l,z)(0 W z W 1),则 而=(-浦,西=(一 1,一 1,1),所 以 加 西，所 以 OP BD,因 为 荏=(一 1。,BQ=(-1,0,z)-当 z=g 时，AP=BQ,B|J AP/BQ,有 平 面 P40 平 面 ZBQ,所 以 当 Q 为 棱 CCi的 中 点 时，平 面 DiBQ 平 面 P4。.31.若 M B 平 面 A E F,过 F,B,M 作 平 面 F B M N 交 4 E 于 N,连 接 MN,N F,如 图.因 为 BF 平 面 441GC,8

22、F u 平 面 F B M N,平 面 FBMN n 平 面 44iGC=MN,所 以 BF/MN.又 MB 平 面 4EF,MB u 平 面 FBMN,平 面 F8MN n 平 面 AEF=F N,所 以 MB FN,所 以 B F N M 是 平 行 四 边 形，所 以 MN/BF,M N=BF=1.而 EC/FB,EC=2FB=2,所 以 M N EC,M N=EC=1,故 M N 是 A A C E 的 中 位 线.所 以 M 是 4 c 的 中 点 时，M B 平 面 AEF.32.(1)因 为 直 三 棱 柱 4BC-&BiCi底 面 三 边 长 4C=3,BC=4,AB=5,所

23、以 AC,BC,G C 两 两 垂 直，从 而 以 C 为 坐 标 原 点，直 线 C 4 CB,C G 分 别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 C(0,0,0),4(3,0,0),G(0,0,4),8(0,4,0),(0,4,4),D(|,2,0).由 于 元=(-3,0,0),跖=(0,-4,4),所 以 前 西(=0,所 以 4 c l(2)设 CBi与 G B 的 交 点 为 点 E,则 F(0,2,2).因 为 屁=(一|,0,2),ACi=(-3,0,4),所 以 反=:碣，所 以 DE/ACr.又 因 为 A G C 平 面 OBiC,DE S

24、 平 面。&C,所 以 4 G 平 面 DBiC.33.(1)如 图，以 ZM,DC,O P 所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 AD=a,贝 i j 1(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,0),P(0,0,a),尸(，/号 FF=(-p0,|),DC=(0,a,0).因 为 丽 沆=0,所 以 而 1 尻，即 E F l CD.(2)设 G(x,0,z),则 同=(x2若 使 GF_L平 面 PCB,则 由 丽 丽=一 泉 一 5*力(1,0,0)=1(%9=0,得,由 同.而=.(O,_a,a

25、)=半+a(z-1)=0,得 z=0.所 以 G 点 坐 标 为 6,0,0),即 G 点 为 A D 的 中 点.34.(1)设 椭 圆 6 的 焦 距 为 2c,实 轴 长 为 2a,依 题 意 得 a=贝 i G：y2=4ax,将=c代 入，得 y2=4ac,即 y=2/ac,所 以 4y/ac=4A/2,la 2，la2=b2+c2.解 得 a=2,b=V3.所 以 椭 圆 G 的 方 程 为 9+?=l，抛 物 线 C2的 方 程 为 y2=8久.(2)由 已 知 条 件 可 知 直 线 A E 的 斜 率 存 在，设 其 方 程 为 y=+4(右,%)，E(x2,y2),则 8(孙

26、，一 月)，(y kx+m,1 1(3x2+4y2=12.得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由 4=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4fc2-m2+3)0,可 得 4九 2 一 TH?+3 0,.因 为 A,B,M 三 点 共 线，所 以 丽?丽.又 祠=(3-而=(3-孙，乃)，则%(3 Xi)+%(3 _尢 2)=。，所 以(kx2+m)(3%i)+(kx14-m)(3 x2)=0，所 以 2kxrx2 3k(%1+x2)+m(%i+x2)-6m=0,所 以 2人 黎 总+(m-3kA所 以 畔 空=0，6m=0.所 以 租=-:匕 经 验 证 满 足 式,所 以 直 线 A E 的 方 程 为 y=kx gk=k(:z-i 所 以 直 线 A E 过 定 点(0).