线性代数第五章特征值与特征向量课件.ppt

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1、5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量2.2.求特征值和特征向量的方法求特征值和特征向量的方法3.3.性质性质 (是阶方阵）是阶方阵）5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵一一.相似矩阵定义相似矩阵定义二二.相似矩阵的性质相似矩阵的性质三三.相似对角化问题（方阵何时与对角阵相似）相似对角化问题（方阵何时与对角阵相似）5.3 5.3 实对称阵的对角化实对称阵的对角化如果特征值是单根如果特征值是单根如果特征值是单根如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有对应线性无关的特征向量只有对应线性无关的特征向量只有对应线性无关的特征向量只有一个，将它单位化一个，将它单位化一个，将它单位化

2、一个，将它单位化;如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特征如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特征如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特征如果特征值是二（多）重根，对应线性无关的特征向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法，将其向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法，将其向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法，将其向量有二（多）个，则先用施密特正交化方法，将其正交化，然后单位化。正交化，然后单位化。正交化，然后单位化。正交化，然后单位化。求正交阵求正交阵求正交阵求正交阵P P P P的方法与步骤（一定要掌握）的方法与步骤（一定要掌握）的方法与步骤（一定要掌握）的方法与步骤（一定

3、要掌握）求出求出求出求出A A的特征值与特征值对应的特征值与特征值对应的特征值与特征值对应的特征值与特征值对应线性无关线性无关线性无关线性无关的特征向量。的特征向量。的特征向量。的特征向量。将这些正交单位向量构成正交阵将这些正交单位向量构成正交阵将这些正交单位向量构成正交阵将这些正交单位向量构成正交阵P P P P（注意对角阵的注意对角阵的注意对角阵的注意对角阵的主对角线上元素（即主对角线上元素（即主对角线上元素（即主对角线上元素（即A A A A的特征值）的排列次序与正交的特征值）的排列次序与正交的特征值）的排列次序与正交的特征值）的排列次序与正交阵的列向量的排列次序对应阵的列向量的排列次序

4、对应阵的列向量的排列次序对应阵的列向量的排列次序对应）。）。）。）。注意：正交阵注意：正交阵注意：正交阵注意：正交阵P P P P不唯一。不唯一。不唯一。不唯一。第六章第六章 二次型二次型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示.6.2 二次型的标准形和规范形二次型的标准形和规范形2.2.化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法（1 1）正交变换法）正交变换法求求求求A A A A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，经过经过经过经过正交正交正交正交单位单位单位单位化，求出正交矩阵化，求出正交矩阵化，求出正交矩阵化，求出正交矩阵P P。(参见上一节参见上一节参见上一节参见上一节)写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵A A（A A为实对称矩阵）；为实对称矩阵）；为实对称矩阵）；为实对称矩阵）；（2 2）配方法）配方法（了解）（了解）惯性定理惯性定理6.3 6.3 正定二次型正定二次型定义定义