清华大学微积分高等数学课件第16讲定积分一.ppt

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1、P166 习题6.2 1(1)(5).2(2).3(1)(3).4(4)(5).5(1).复习：P158166 作业预习：P1681746/10/2023 1第十六讲 定积分（一）二、定积分的概念三、可积性条件与可积类一、两个典型例子四、定积分的基本性质6/10/2023 2例1 曲边形的面积问题一、两个典型例子曲边梯形6/10/2023 3(1)细分:(2)取近似：6/10/2023 4(4)取极限:(3)求和:6/10/2023 5例2 变速直线运动的路程问题(1)细分：(4)取极限:以匀速近似变速(2)取近似：(3)求和：6/10/2023 6二、定积分的概念（一）黎曼积分定义：6/10

2、/2023 7记作:积分上限积分下限称为积分区间定积分是:积分和式的极限例1曲边梯形的面积例2变速直线运动的路程6/10/2023 8（二）定积分的几何意义6/10/2023 9证6/10/2023 10证6/10/2023 1 1定理1：三、可积性条件与可积函数类证明思路：反证法。假设 f(x)在a,b上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾.定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的.另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。6/10/2023 12定理3：定理4：定理2：6/10/2023

3、13四、定积分的基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质一：线性性质性质二：关于区间的可加性6/10/2023 14注意1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即注意2 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则，做如下规定:关于区间可加性的推广6/10/2023 15性质三：积分的不等式性质（证明：利用极限的保序性质）性质四：积分的保号性6/10/2023 16性质五：积分的不等式性质注意性质六：积分的估值性质6/10/2023 17性质七：积分中值定理性质八：广义积分中值定理6/10/2023 18平均高度函数平均值6/10/2023 19证由假设条件，可以证明6/10/2023 206/10/2023 21例16/10/2023 22线性可加性证6/10/2023 23解 6/10/2023 246/10/2023 25证 利用估值定理6/10/2023 26证 6/10/2023 276/10/2023 28