数学建模两个综合模型案例分析课件.ppt

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1、这时要考虑两方面因素：一是当零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高,试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1，x2，x7）决定，经验公式为6/10/2023 1y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当y偏离y00.3时产品为废品，损失为9000（元）。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%,B等为5%，C等为

2、10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如表1（符号/表示无此等级零件）。6/10/2023 2表16/10/2023 3现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。6/10/2023 4 二、模型的假设及符号说明（1）模型的假设 假设各零件的参数为随机变量，且是相互独立的，它们都服从以零件标定值为均值，容差

3、的三分之一为均方差的正态分布。(假设生产1000个批量产品时，每个零件参数只按一种容差等级进行生产，7个零件可以按不同的容差等级进行组合生产。6/10/2023 5 考虑到题目所给条件，产品参数y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000元，y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9000元，可假设产品参数y偏离目标值y0造成的单件产品质量损失函数L（y）与（y-y0）2成正比即（1）易见6/10/2023 6（2）符号说明第i个零件的参数，它是随机变量；第i个零件的标定值，即xi的期望值；第i个零件的均方差；第i个零件的容差，即第i个零件的相对容差，即；6/10/2023 7y0：产品质

4、量参数的目标值；y：产品质量参数，它是随机变量；y：y的均方差；ai：标定值xi0的取值下限（已知的）bi：标定值xi0的取值上限（已知的）x0=（x10，x20，x70）标定值向量t=（t1，t2，t7）：相对容差向量6/10/2023 8 三、问题的分析及数学模型（1）问题的分析问题的目标函数是总费用函数最小，而总费用是由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和产品的成本费用两部分组成。一般来说，标定值设计不合理或容差设计得太大，会使产品参数远离目标值，造成质量损失；而容差设计得太小，又会增加零6/10/2023 9零件制造成本，综合考虑产品质量损失费和成本费是问题的关键。由题目所给条件知，

5、单件产品的零件成本取决于相对容差等级，第种零件的成本记作，于是单件产品的成本，即7个零件的总成本为（2）产品参数y由决定，6/10/2023 10记作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7），而xi是随机变量，且xiN（xi0，i2），所以产品参数y也是随机变量。进行成批生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用损失函数L（y）的期望来度量，它取决于零件参数标定值x0和容差t，记为：6/10/2023 11由(2)式为了得到的简单表达式，在处对作Taylor展开，并略去二阶及二阶以上项，有6/10/2023 12其中于是所以6/10/2023 13通过以上分析讨论可知，成批生产时平均每

6、件产品的总费用可表示为（2）数学模型问题的目标函数是总费用函数Z（x0，t）达到最小，且约束条件是标6/10/2023 14定值x0落在给定的容许范围内，所以该问题的数学模型为：（3）6/10/2023 15 四、模型的分析及求解1.模型的分析注意到在模型（3）中，决策变量x0是连续的，t是离散型的，而且t的取值共有23332=108种，对每种固定的t值，求解如下一系列子问题：（4）6/10/2023 16得到最优解和最优值，然后对108个t比较（5)得到全局最优解和最优值。子问题（4）是非线性规划问题，它的计算量是很大的，为了减少计算子问题的次数，在程序设计时，每解出一个子问题，由（5）式算

7、出当前的最优值，对待求解的子问题，先判断是否成立，若成立，则该子问题不必再解。6/10/2023 172.模型的求解按照上面对模型（3）的分析，下面设计在MATLAB中计算模型（3）的程序。为了方便起见，记6/10/2023 18分别建立函数文件v.m，u.m，fy.mfunctionv=fun(x)v=1-0.36*x(2)0.56*x(4)(-0.56);functionu=fun(x)u=1-2.62*v(x)1.5*(x(4)/x(2)1.16;functionfy=fun(x)fy=174.42*(x(1)/x(5)*(x(3)/(-x(1)+x(2)0.85*sqrt(u(x)/(

8、x(6)*x(7);6/10/2023 19分别建立函数u(x)对x2,x4的偏导数函数文件uu2.m,uu4.mfunctionuu2=fun(x)uu2=0.792288*v(x)0.5*x(2)(-1.6)*x(4)0.6+3.0392*v(x)1.5*x(2)(-2.16)*x(4)1.16;functionuu4=fun(x)uu4=(-0.792288)*v(x)0.5*x(2)0.6*x(4)(-0.4)-3.0392*v(x)1.5*x(2)(-1.16)*x(4)0.16;6/10/2023 20分别建立函数fy(x)对x1,x2,x7的偏导数函数文件y11.m,y21.m,

9、y71.mfunctiony11=fun(x)y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1);functiony21=fun(x)y21=fy(x)*(-0.85)/（x(2)-x(1)+0.5*(1/u(x)*uu2(x);functiony31=fun(x)y31=fy(x)*(0.85/x(3);6/10/2023 21functiony41=fun(x)y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x);functiony51=fun(x)y51=fy(x)*(-1/x(5);functiony61=fun(x)y61=fy(x)*(-0.5/x(6);fun

10、ctiony71=fun(x)y71=fy(x)*(-0.5/x(7);6/10/2023 22建立子问题（4）的目标函数文件ch721.mfunctionch721.g=ch721(x,p2,p3,p4,p6,p7)ch81=100000*(fy(x)-1.5)2+(100000/9)*(y11(x)*x(1)*0.05)2+(y21(x)*x(2)*p2)2+(y31(x)*x(3)*p3)2+(y41(x)*x(4)*p4)2+(y51(x)*x(5)*0.1)2+(y61(x)*x(6)*p6)2+(y71(x)*x(7)*p7)2;g=-x(1);6/10/2023 23用MATLA

11、B语言设计计算模型（7-8）的程序，可存为M文件ch722.mtic%启动计时器p2=0.1;p3=0.1;p4=0.1;p6=0.1;p7=0.05;%原设计方案的相对容差x0=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%原设计方案的标定y0=fy(x0);%原设计方案产品的参数值6/10/2023 24Q0=ch81(x0,p2,p3,p4,p6,p7);%原设计方案的质量损失费Z0=Q0+200;%原设计方案的总费用Zmin=Z0;%原设计方案的总费用作为优化初值t1(2)=0.05;%对各等级零件相对容差赋值t2(2)=0.05;t2(3)=0.1;t3(1)=0.01;

12、t3(2)=0.05;t3(3)=0.1;6/10/2023 25t4(1)=0.01;t4(2)=0.05;t4(3)=0.1;t5(3)=0.1;t6(1)=0.01;t6(2)=0.05;t6(3)=0.1;t7(1)=0.01;t7(2)=0.05;c2(2)=50;c2(3)=20;c3(1)=200;c3(2)=50;c3(3)=20;c4(1)=500;c4(2)=100;c4(3)=50;c6(1)=100;c6(2)=25;c6(3)=10;c7(1)=100;c7(2)=25;6/10/2023 26fori2=2:3fori3=1:3fori4=1:3fori6=1:3f

13、ori7=1:2C=75+c2(i2)+c3(i3)+c4(i4)+c6(i6)+c7(i7);%计算单件产品的成本p2=t2(i2);p3=t3(i3);p4=t4(i4);p6=t6(i6);p7=t7(i7);6/10/2023 27ZminifC=Zminx0=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%优化的初始值v1b=0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625%变量x的下界vub=0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935%变量x的上界options=;%优化中的参数均采用缺省值 6/10/202

14、3 28jacob=;%将空阵赋给雅可比阵x,options=constr(ch81,x0,options,vlb,vub,jacob,p2,p3,p4,p6,p7);%计算非线性规化问题（7）Z=C+cs97(x,p2,p3,p4,p6,p7);%当t值给定时的最小总费用ifZ=ZminZmin=Z;%当前的最小总费用j2=i2;j3=i3;j4=i4;j6=i6;j7=i7;Xmin=x;6/10/2023 29Cmin=C;Qmin=ch81(x,p2,p3,p4,p6,p7);y=fy(x)endendendendendendend6/10/2023 30T=0.05,t2(j2),t

15、3(j3),t4(j4),0.1,t6(j6),t7(j7)%输出最优设计方案的相对容差Xmin%输出最优设计方案的标定值Cmin%输出最优设计方案的成本费Qmin%输出最优设计方案的质量损失费Zmin%输出最优设计方案的总费用6/10/2023 31y%输出最优设计方案产品的参数值Q0%输出原设计方案的质量损失费Z0%输出原设计方案的总费用y0%输出原设计方案产品的参数值toc%关闭计时器，并显示 程序运行时间6/10/2023 32注意：以上建立的一系列m文件一定要存盘。然后在MATLAB下键入ch722可得数值结果为：T=0.05000.05000.05000.10000.10000.0

16、5000.0500Xmin=0.07500.37500.12490.12500.126415.05670.7740Cmin=275Qmin=465.04956/10/2023 33Zmin=740.0495y=1.4969Q0=6.2946e+003Z0=6.4946e+003y0=1.7256elapsed_time=134.01006/10/2023 34endendifmjnumjnumjnum=mjnum;jno=mjno;ydian=-I,-j;jiao=h*18./pi;endendend6/10/2023 35end执行后输出问题一可利用井数jnum=4井号：24510移动值为-

17、0.3500，-0.1500问题二6/10/2023 36forj=1:39HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendfori=16:39forj=1:15HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendHH;6/10/2023 37 自动化车床管理 一、问题的提出 这是1999年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一6/10/2023 38零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100

18、次刀具故障记录（见表75），计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=200元/件；进行检查的费用t=10元/件；6/10/2023 39发现故障时进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）。未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/次。（1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。6/10/2023 40（2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合

19、格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。（3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。6/10/2023 41表756/10/2023 42 二、模型假设及符号说明（1）假设刀具的寿命用生产出的零件个数来衡量，刀具寿命的概率分布由所给100次故障记录确定。（2）假设检测零件时间和更换刀具时间忽略不计。（3）假设刀具每加工u个零件后定期更换，更换费用为k（已知）。（4）假设每生产n个零件后定期进行检查，检查费用为t（已知）。6/10/2023 43（5）假设在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记

20、作p。（6）假设检查时工序停止生产，若发现该零件为不合格品，则进行刀具更换，费用为d（已知）；否则继续生产。（7）对第一问假设工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95%。6/10/2023 44（8）记生产每件不合格品的损失费为f（已知）；生产每个零件的平均费用为L；生产每个零件刀具定期更换费为L1；生产每个零件检查费用为L2；工序故障造成不合格品的损失费为L3。三、问题分析及数学模型根据所给的实际问题，要对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略，也就是生产每个零件的成本6/10/2023 45最低，它等价于生产每个零件的平均费用L最小。生产每个零件的

21、平均费用L包括刀具定期更换费用L1，检查费用L2，工序故障造成不合格品的损失费用L3，易知:6/10/2023 46其中m为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时，n个零件中不合格品的平均数，c为工序的平均故障间隔，于是问题的数学模型为:（7-18）6/10/2023 47四、模型的分析与计算（1）模型中m的计算记事件A表示在相邻两次检查的后一次检查发现故障，它等价于在一个检查间隔内至少一个零件出现为不合格品，由假设（4）和假设（5）可知：6/10/2023 48记事件B表示在相邻两次检查，出现i件不合格品，即前n-i件合格，下一件不合格的事件，则由此可知，在相邻两次检查的后一次检查发现故障的条

22、件下，出现i件不合格品的概率为：6/10/2023 49于是由于6/10/2023 50所以其中由于很小（见后面计算结果），所以m近似等于，代入（7-18）得（7-19）6/10/2023 512.模型中c的计算首先，根据给出的100个数据算出无预防性更换时刀具故障平均间隔（即100个数据的平均值）为a0=600件，由假设知，刀具故障占95%，非刀具故障占5%，故非刀具故障平均间隔为。其次，为计算刀具每加工u个零件后定期更换时刀具故障的平均间隔，由100个数据统计出刀具6/10/2023 52故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组：6/10/2023 53对于给定的u，可确定刀具故障

23、的平均间隔a。如若u=300件，可知100次更换有7=1+1+1+2+2次故障，平均故障间隔为：一般地，记刀具完成件数为Ni，频率为fi，若对于给定的u有Nku，则计算刀具每加工u个零件后定期更换时 6/10/2023 54刀具故障的平均间隔为工序的平均故障间隔c由a（u）和b决定，易见满足，于是如果u=300件，则6/10/2023 553.模型的求解通过以上的分析可知，给定u，模型（7-19）中的c也确定，L（u,n）就变为是n的函数，且令，得6/10/2023 56即当时，L达到最小。比如步长取50，对于一系列的u=100，150，200，逐个求出L的极小值及相应的n值，其中使L最小者所

24、对应的u和n即为所求。下面给出MATLAB计算程序。%自动化车床管理ch751%文件名：ch751.m6/10/2023 57f=200;t=10;d=3000;k=1000;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;6/10/2023 58u=100,150,200,250,300,3

25、50,400,450,500,550,600,650,.700,750,800,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);end6/10/2023 59a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t/n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j

26、);forn=1:200L0=k/u(j)+t/n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;6/10/2023 60nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);good_u=u(j);good_n=nn(j);endend6/10/2023 61disp(生产每个零件的最小费用)min_Ldisp(更换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n执行后输出生产每个零件的最小费用min_L=5.13156/10/2023 62更换刀具的最优间隔数good

27、_u=400定期检查的最优间隔数good_n=15 五、问题的进一步讨论1.问题2的进一步讨论6/10/2023 63要考虑两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将使检查费用增加；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格品的损失费增加。此时效益函数为:（7-20）6/10/2023 64与问题1中的模型（7-19）式相比（7-20）式多了两项，其中是两次检查间工序正常的概率，是工序正常时的不合格品率，s=1500为第一种误判停机的损失费；w=40%是工序故障时的合格品率，是第二种误判增加的不合格品数。6/10/2023 65%自动化车床管理ch842%文件名：c

28、h842.mf=200;t=10;d=3000;k=1000;v=0.02;s=1500;w=0.4;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;6/10/2023 66u=100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,.700,750,8

29、00,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);end6/10/2023 67a(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.n*(w/(1-w)*(f/c(j)+d/c(j);forn=1:200L0=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.6/10/2023 68n*(w/(1-w)*(f/c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);6/10/2023 69good_u=u(j);good_n=nn(j);endenddisp(生产每个零件的最小费用)min_Ldisp(更换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n6/10/2023 70