第18章 平行四边形期末压轴题训练 人教版八年级数学下册.docx

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1、第18章 平行四边形 期末压轴题训练1如图，在Rt 中，动点从点A开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向 点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为s(1)当为何值时，是等边三角形?(2)当为何值时，是直角三角形?(3)过点作于点，连接；求证：四边形AFDP是平行四边形；当 为何值时， 的面积是面积的一半？2如图，在四边形中，/，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开始：(1)当运动，判断此时：四边形的形状，并证明(2)当时，求长(3)当时，需经过多少时间？3（1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜

2、边作，求证：（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，作交的延长线于点H，与交于点O求证：；求的度数（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明4在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作(1)如图1，求证：是菱形；(2)如图2，若，连接，交于点，连接，求的长；(3)如图3，若，连接，求的度数5（1）【问题探究】如图，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形请你完善以下证明过程：是的中线_=_四边形是平行四边形（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），

3、过点M、点C分别作，连接求证：四边形是平行四边形（3）【灵活应用】如图，在中，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，当取最小值时，求线段的长6如图，在平行四边形中，对角线、交于点，过点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于、两点，连接、(1)求证：不论动点在线段何处（不与点重合），四边形都是平行四边形(2)当四边形是菱形时，求平行四边形边上的高(3)在（2）条件下，若，求的长7如图，正方形中，点E在边上运动（不与点C、D重合）过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求线段的长；(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不

4、变，求出该值，若改变请说明理由8如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上点C的坐标为，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒(1)求菱形ABCD的面积；(2)当t3时，问线段AC上是否存在点E，使得最小，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)点P至AC的距离为1时，直接写出点P的运动时间t的值9已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，(1)如图1，若H为CF的中点，且，求线段AB的长；(2)如图

5、2，若，过点B作于点I，求证：；(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值10在菱形ABCD中，E为对角线BD上一动点，连接AE(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值11如图，已知菱形ABCD，ABC60，点P是射线BD上的动点，以AP为边向

6、右侧作等边APE，连接PC(1)如图1，点P在线段BD上，求证：PCPE(2)如图2，当C，P，E三点共线时，连接DE，求证：四边形APDE是菱形(3)当CPPE时，求的值12问题提出：如图1，在四边形ABCD中，若E，F分别为AB，CD的中点，则(1)问题探究：小明同学进行了如下的推理：连接AF并延长AF交BC的延长线于点G由AB=CD，AD=BC，根据定理，可得四边形ABCD是平行四边形，DAF=G，又DF=CF，又AE=BE，根据定理有，请补全问题探究：定理是_，定理是_（请将正确答案前面的序号填写在横线上）A三角形的中位线等于第三边的一半；B两组对边分别平行的四边形是平行四边形；C三角

7、形的中位线平行于第三边；D两组对边分别相等的四边形是平行四边形(2)拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，E，F分别AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由如图3，已知直线l，且这两条平行线间的距离为4，点P为直线l上一动点，连接BP，点C为BP的中点，连接AC，作交直线l于点D，连接AD设的面积为S，当时，直接写出线段AD长度的取值范围13如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是，点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，OC是矩形OBCA的对角线，OE平分交BC于点E，CF平分交OA于点F(1)求证：四边形OECF是平行四边形；(2)当四边形OECF

8、为菱形时，求点B的坐标；(3)过点E作，垂足为点G，过点F作，垂足为点H，当点G，H将对角线OC三等分时，求点B的坐标14（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，直接写出PB的长_15我们知道：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半请解决下列问题：(1)如图1，已知点D是ABC边AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点

9、E求证：点E是AC的中点；(2)如图2，ABC的顶点A、B、C在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长为1，在网格内仅用不带刻度的直尺作出ABC的一条中位线；(3)在如图2中，以边AB的中点O为坐标原点，以水平向右的方向为x轴的正方向，铅直向上的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，过A、B作y轴的垂线，分别与反比例函数（k0）的图像交于点M、N若四边形AMBN的面积为10，直接写出k的值为_16在正方形中，为对角线、的交点(1)如图1，延长，使，作正方形，使点落在的延长线上，连接、求证：；(2)如图2，将问题（1）中的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，连接、.求点到的距离17已知ABC

10、是等腰直角三角形，BAC90，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF(1)初步尝试如图1，当点D在线段BC上时，求证：ACFABD；(2)深入探究如图2，当点D在线段CB的延长线上时，求证：CDABCF；(3)延伸拓展如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接CE若AB4，FG2时，求CE的长18【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：如图，正方形的边长为2，为边上一动点 ，垂足为，求证： 请你帮助小明完成证明； 【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究 如图2，点在的延长线上，且满

11、足 连接， 求证：；判断、的数量关系，并说明理由；【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_ 试卷第9页，共10页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1(1)时，是等边三角形(2)或时，是直角三角形(3)证明见解析当时，的面积是面积的一半【分析】（1）由等边三角形的判定与性质得出答案；（2）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质列出方程可得出答案；（3）证出PD=AF，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出结论；根据题意，列出关于t的方程，解方程即可得出结果【解析】（1）证明: 由题意可得: ， 当时，是等边三角形即 时，

12、是等边三角形（2）当 时，即 当 时，即 当或时，是直角三角形（3）PDBC，C=90-60=30，四边形是平行四边形；在 Rt 中，由勾股定理可得 在 Rt 中，由勾股定理可得 解得 或（舍去），当时，的面积是面积的一半【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键2(1)四边形PQCD为平行四边形，理由见解析；(2)(3)6s或7s【分析】（1）由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t，运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm，证出PD=CQ，由平行四边形的判定可得出答案；（2）证明四

13、边形APQB为矩形，由矩形的性质得出BQ=AP，求出AP的长，由勾股定理可得出答案；（3）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，过点P作PSCD，PMBC于M，证出QM=MS=2，可得3t=4+24-t，解此方程即可求得答案(1)解：四边形PQCD为平行四边形，证明：由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t，运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm，又AD=24cm，PD=AD-AP=18cm=CQ，ADBC，PDCQ，PD=CQ，四边形PQCD为平行四边形；(2)解：当PQ=8cm时，PQ=AB=8cm，又B=90

14、，四边形APQB为矩形，BQ=AP，即26-3t=t，AP=t=6.5，AQ=；(3)解：若PQ=DC，分两种情况：PQDC，由（1）可知，t=6，PQ与CD不平行，过点P作PSCD，PMBC于M，由四边形PDCS为平行四边形得，PD=CS=24-t，PS=CD，由四边形ABMP为矩形得，BM=AP=t，MS=26-24=2，PQ=PS=CD，QM=MS=2，3t=4+24-t，解得：t=7综上所述，满足条件的t的值为6或7【点评】此题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理注意掌握数形结合思想与方程思想的应用3（1）见解析；（2）见解析；60

15、；（3）PF=PG，证明见解析【分析】（1）由三角形中位线定理得，再根据30角所对直角边等于斜边一半可得，从而可得结论；（2）证明ACGHCE，得AG=EH，再证FAG=DEH，可证明AFGEDH，从而可得结论；取FG与EH的交点为I，取AG与EH的交点为J，由三角形外角的性质可得结论；（3）如图，证明PGDH且PG=即可得出结论【解析】解：（1）DE是的中位线， 在中， （2）如图2中， 点E是AC的中点，又ACGHCE，AG=EHFAG=FAB+CAG+BAC=BAC，DEH=CED+CEH=BAC+，FAG=DEH又AF=EDAFGEDH(SAS) FG=DH取FG与EH的交点为I，取A

16、G与EH的交点为JFOD是OHI的外角，FOD=OHI+OIJ=IGJ+GIJ=AJE=（3）如图,由（2）得ACGHCEAC=HC， CG=，即点G为CH的中点，又CD= ，即点P为CD的中点PG是CDH的中位线，PGDH且PG=PGF=DOF=，FPG=，PFG=PFPG且PF=PG【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，30角所对直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握中位线定理是解答本题的关键4(1)见解析(2)(3)60【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义可证BE=BF，可得结论；（2）由勾股定理可求AC的长，由“SAS”可证ABOCEO，可得AO=CO

17、，AOB=COE，由等腰直角三角形的性质可求解；（3）先证四边形BFHC是平行四边形，四边形AFHD是菱形，可得BF=CH=FG，AF=FH=DH=AD，AFH=ADH=60，可证FAGHAC，可得FAG=HAC，即可求解（1）解：证明：四边形ABCD是平行四边形，AFDC，BCAD，AFD=CDF，ADF=BEF，DF平分ADC，ADF=CDF，AFD=ADF=BEF，BE=BF，又四边形BFGE是平行四边形，BFGE是菱形；（2）解：BAD=90，四边形ABCD是矩形，ABC=90，AC=，CBF=90，菱形BEGF是正方形，BO=OE，OBE=OEB=45，BOE=90，ABO=135=

18、OEC，BEF=45=DEC，DEC=EDC=45，CD=EC，EC=AB，ABOCEO（SAS），AO=CO，AOB=COE，AOC=BOE=90，AC=AO，AO=；（3）解：如图3，延长FG，DC，交于点H，连接AH，四边形ABCD是平行四边形，BAD=120，ABCD，ADBC，ABC=60，四边形BEGF是菱形，BE=BF=FG，BEFG，BFEG，ADBCFG，ABEGCD，四边形BFHC是平行四边形，四边形AFHD是平行四边形，ABC=AFH=60，BF=CH=FG，ADF=DFA，AF=AD，四边形AFHD是菱形，AF=FH=DH=AD，AFH=ADH=60，AFH是等边三角形

19、，ADH是等边三角形，AF=AH，AFH=AHC=FAH=60，FAGHAC（SAS），FAG=HAC，GAC=FAH=60【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键5（1），；（2）见解析；（3）【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；（2）延长至点F，使，连接CF，同（1）证四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，推出，即可证明；（3）作辅助线（见解析），同（2）可证四边形是平行四边形，得出，同（1）可证四边形是平行四边形，得到，； 时，MC取最小值，取最小值，利

20、用三角形等面积法求出MC，再利用勾股定理即可求出CE【解析】（1）解：是的中线，四边形是平行四边形故答案为：，；（2）证明：如图，延长至点F，使，连接CF，BF，是的中线，四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形（3）解：如图所示，连接AE，BM，延长DM至点N，使，连接CN，BN点D是的中点，又，同（2）可证，四边形是平行四边形，当MC取最小值时，取最小值，时，MC取最小值同（1）可证四边形是平行四边形，即，又在中，故线段CE的长为【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是应用第（1）（2）问的结论，利

21、用等面积法求出MC6(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，ABCD，由平行线的性质得出MAO=NCO，证明MAONCO（ASA），由全等三角形的性质得出OM=ON，根据平行四边形的判定可得出结论；（2）求出DN，由菱形的面积公式可得出答案；（3）过点B作BPCD交DC的延长线于点P，由勾股定理求出CP和NP，则可求出答案（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，ABCD，MAO=NCO，在MAO和NCO中，MAONCO（ASA），OM=ON，又OB=OD，四边形DMBN是平行四边形；（2）解：当四边形DMBN是菱形时，MNBD

22、，OD=4，ON=3，DN=5，设菱形DMBN的边DN上的高为h，则其面积为S菱形DMBN=DBMN=DNh，即86=5h，h=，即平行四边形ABCD的边CD上的高为；（3）解：过点B作BPCD，交DC的延长线于点P，由（2）知BP=，CP=，BN=DN=5，NP=，NC=NP-CP=，DC=6【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键7(1)见解析(2)(3)点E在边上运动过程中，的大小不改变，且【分析】（1）根据正方形的性质，得出，再根据，即可证明四边形是平行四边形；（2）根据正方形的性

23、质，结合勾股定理，求出，再根据平行四边形的面积求出EF的长即可；（3）在DN上截取DG=BN，连接CG，根据“SAS”证明，得出CG=NC，说明GCN为等腰直角三角形，即可得出结果【解析】（1）证明：四边形ABCD为正方形，即，四边形是平行四边形（2）解：四边形ABCD为正方形，在RtADE中根据勾股定理得：，（3）解：点E在边上运动过程中，的大小不改变；在DN上截取DG=BN，连接CG，如图所示：DNAE，在DGC和BNC中，（SAS），CG=NC，【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关

24、键8(1)菱形的面积为；(2)存在，的最小值为；(3)或或或【分析】（1）根据菱形的面积底高求解即可；（2）如图所示：在菱形中，点关于的对称点为，连接交于点，连接，则求出，从而得到的最小值；（3）分为当点在上，点在上、点在上、点在上四种情况求解即可例如当点在上时，可过点作，由含直角三角形的性质求得的长，从而求得的值（1）解：，四边形为菱形，菱形的面积；（2）解：存在，如图1所示：在菱形中，点关于的对称点为，连接交于点，连接，四边形为菱形，在中，的最小值为；（3）解：如图2所示：当点在上时，过点作，垂足为，由菱形的性质可知：，当点在上时，如图3所示：由菱形的性质可知：，如图4所示：当点在上时由菱

25、形的性质可知：，如图5所示；点在上时由菱形的性质可知：，综上所述，当或或或时，点到的距离是1【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键9(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，设正方形的边长为，可得，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解；（2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证；（3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当

26、三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为（1）解：四边形是正方形， H为CF的中点，设正方形的边长为，可得，在中，即，解得，；（2）如图，过点作于点，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即；（3）如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，是直角三角形，将沿BC翻折得，是直角三角形，当时，的面积最大，是的中点，是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，此时如图乙所示，则点与重合，三点共线时，取得最小值，则四边形是矩形，即的最小值为【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握

27、以上知识是解题的关键10(1)30；(2)AE2AH，证明见解析；(3)【分析】（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得ABDADB30，EADBADBAE90，根据直角三角形斜边上的中线得AFDF，即可得FADADB30；（2）延长DA至F点，使得AFDA，连接AM，CE，FM，证明AMBCEB（SAS），根据全等三角形的性质得AMCE，MABECB，可得出FAMECA，再证FAMACE（SAS），可得MFAE，根据三角形中位线定理即可得出结论；（3）连接NC、PC、NP，证明AMBAPC（SAS），可得PCBMBE，PCABMA30，根据等边三角形的性质得CNAD，ACNDCN30，则

28、PCNPCAACN60，在点E运动过程中，当NPPC时，PN长度最短，根据含30角的直角三角形的性质即可求解【解析】（1）解：四边形ABCD为菱形，ABC60，ABAD，ABDADB30，BAD120，BEAE，ABEBAE30，EADBADBAE90，点F为DE的中点，AFDFDE，FADADB30；（2）AE2AH，证明：延长DA至F点，使得AFDA，连接AM，CE，FM，ABC60，ABBC，ABC是等边三角形，ACB60，BEM是等边三角形，ABM十ABEABEEBC60，MBBE，ABMEBC，AMBCEB（SAS），AMCE，MABECB，ADDC，且ADCABC60，ADC为等边

29、三角形，ADAC，ADAF，AFAC，FAB180BAD60，FABACB60，FAMFABMABACBECBECA，FAMACE（SAS），MFAE，FAAD，H为DM的中点，AHMF，AEMF2AH；（3）连接NC、PC、NP，AMP为等边三角形，MAP60，AMAP，四边形ABCD为菱形，ABC60，ABBCCDAD，ABC为等边三角形，ADC为等边三角形，BAC60，ABACCD，ACD60，MABMAPBAPBACBAPPAC，AMBAPC（SAS），PCBMBE，PCABMA30，ACCD，N为AD的中点，CNAD，ACNDCN30，PCNPCAACN60，在点E运动过程中，当NP

30、PC时，PN长度最短，AD，DNAD，NCDN3，PCN60，NPPC，PNC30，PCNC，PNPC，即PN的最小值为【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键11(1)见解析(2)见解析(3)或【分析】（1）首先证明BPABPC，可推导PC=PA，再结合等边三角形的性质可证明PCPE；（2）结合（1）可知，BPABPC，C，P，E三点一直线，易得，在结合菱形的性质，推导PDE是等边三角形，进一步证明四边形APDE是菱形即可；（3）分两种情况讨论：点P在线段BD上时或点P在线段BD

31、的延长线上时，过点P作PHAB（或AB的延长线）于点H依次计算ABP=30、，在和中利用勾股定理计算BH、AH、AP与PH的长度关系，再计算的值即可【解析】（1）解：（1）四边形ABCD是菱形，又，BPABPC（SAS），PC=PA， APE是等边三角形，PAPE，PCPE；（2）等边APE，AP=AE=PE，APE60，结合（1）可知，BPABPC，又C，P，E三点一直线，四边形ABCD是菱形，ABC60，PDC30，PC=PD，由（1）可知，PC=PE，PE=PD，PDE是等边三角形，PD=DE=PE，AP=AE=PD=DE，四边形APDE是菱形；（3）当CPPE时，分两种情况： 如图4，

32、点P在线段BD上时，过点P作PHAB CPPE，APE=60，BD是菱形ABCD的对称轴，APB=CPB=105ABP=30，BH=PH，AP=PH，PH=AH；如图5，点P在线段BD的延长线上时，过点P作PHAB 交BA延长线于点HCPPE，APE=60，APB+BPC=30，BD是菱形ABCD的对称轴，APB=BPC=15，ABP=30，PAH=45，BH=PH，AP=PH，PH=AH，综上所述，的值为或【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，读懂题意并

33、灵活运用所学知识是解题关键，还要注意用分类讨论的思想分析问题12(1)D；A(2)，理由见解析；【分析】（1）利用平行四边形的判定定理与性质及三角形中位线定理，即可得到答案（2）中的解题思想是类比（1），连接AF并延长交BC的延长线于点G，证，再利用三角中位线定理，即可得到答案设点E为AD的中点，连接CE，根据的面积取值范围求出DP的取值范围，利用（2）中可知，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得到AD的取值范围（1）解：由题意可知：D，A；（2）解：理由如下：如图a，连接AF并延长交BC的延长线于点G，又，在与中，即，又，由题意可知，如图b，点C到直线的距离为2，则，设点E为A

34、D的中点，连接CE，由（2）中可知：，又为直角三角形，则，故【点评】此题考查了平行四边形的判定定理与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等相关知识，熟练掌握相关内容并运用类比的方法是解题关键，此题属于信息类题目13(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）根据四边形OBCA为矩形得到，根据OE平分，CF平分得到，进而证明，故可证明四边形OECF是平行四边形；（2）根据四边形OECF是菱形得到，可证明，根据点A的坐标是，得到，设，在中，列出方程可解得，于是利用勾股定理即可求出，进而得到点坐标；（3）分两种情况：当点G在点O，H之间时，当点H在O，G之

35、间时讨论即可（1）证明：如图4，四边形OBCA为矩形，又OE平分，CF平分，又在矩形OBCA中，四边形OECF是平行四边形（2）解：四边形OECF是菱形，又，又点A的坐标是，设，在中，得，点B的坐标是（3）解：OE平分，又，同理而，当点G在点O，H之间时，如图5：点G，H将对角线OC三等分，设，则，在中，解得，点B的坐标是；当点H在O，G之间时，如图6，同理可得设，则，在中，解得，点B的坐标是，满足条件的点B的坐标为或【点评】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的性质菱形的性质，勾股定理，解题的关键是理清题意，灵活应用定理14（1）证明见解析；（2）DMBMBF；（3）【分析】（1）由“ASA”

36、可证CDECBF，可得CECF；（2）由“AAS”可证DMEHMF，可得DMMH，可得结论；（3）由直角三角形的性质可得AFAE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，DCBC，DABCDCB90，CBF180ABC90，CFCE，ECF90，DCBECF90，DCEBCF，在CDE和CBF中， CDECBF（ASA），CECF；（2）DMBMBF，理由如下：如图，过点F作FHAF，交DB的延长线于H，CDECBF，DEBF，四边形ABCD是正方形，ABDCBD45，FBH45，FHAB，FBHH45，BFFHDE，BHBF，EDMH45，EMD

37、HMF，DEFH，DMEHMF（AAS），DMMH，EMMF，DMMBBHMBBF；（3）连接EP，DME15，ABD45，AFE30，AFAE，ABBF（ABDE），AB3，AB，AE，AF6，ECCF，ECF90，EMMF，CP是EF的垂直平分线，EPPF，PE2AE2AP2，PF224（6PF）2，PF4，PB，故答案为：【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键15(1)见解析(2)见解析(3)或【分析】（1）过点B作，交ED的延长线于点F，证明四边形ECBF为平行四边形，得出，再根据“AAS

38、”证明，得出，即可证明结论；（2）连接EF交BC于点M，连接GH交BC于点N，连接MN，即可得出ABC的中位线；（3）先根据题意得出A、B两点的坐标，并用k表示出点M、N的坐标，根据题意证明四边形AMBN为平行四边形，根据四边形的面积列出关于k的方程，解方程即可（1）证明：过点B作，交ED的延长线于点F，如图所示：，四边形ECBF为平行四边形，D是ABC边AB的中点，（AAS），点E是AC的中点（2）连接EF交BC于点M，连接GH交BC于点N，连接MN，则MN为ABC的中位线，如图所示：（3）根据题意建立如图所示的坐标系，则点，点M、N在过点A、B，且垂直y轴的直线上，且点M、N在反比例函数上

39、，点M的坐标为：，点N的坐标为：，轴，轴，四边形AMBN为平行四边形，即，解得：或故答案为：或【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线，反比例函数，根据题意作出相关图形，作出辅助线，证明是解题的关键16(1)见解析；(2)3+【分析】(1)由“SAS”可证AOGDOE，得出AG=DE即可；(2)过点E作E MAC交AC的延长线于点M，过点A作ANGE于点N，则EMO= 90，求出OG = OE，可得出G E，则可得出答案（1）证明：四边形ABCD是正方形，O为对角线AC、BD的交点，OA= OD，OAOD，AOG=DOE=90；四边形OEFG是正方形， OG= OE，在AOG和DOE中， AOGDOE (SAS)，AG = DE；（2）过点E作E MAC交AC的延长线于点M，过点A作ANG E于点N，则E MO = 90，