新高考数学必会基础复习讲义 考点33 幂函数（教师版含解析）.docx

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1、考点33 幂函数知识理解一幂函数的概念一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数(2)x的系数为1(3)只有一项二五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1，1)考向分析考向一 幂函数的定义【例1】(2021四川资阳市)已知幂函数的图象过点，则( )ABCD【答案】B【解析】幂函数的图象过点，则，解得：，故选：B.【举一反三】1(2020四川达州

2、市)如果幂函数的图象经过点，那么的值是( )ABCD【答案】D【解析】将点代入可得，即，可得：，解得：，故选：D2(2021福建三明市)若幂函数的图象过点，则的值为( )ABCD【答案】D【解析】设幂函数，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以，故选：D3(2021浙江丽水市)已知幂函数的图象经过点，则_.【答案】【解析】由函数为幂函数，可知，故，由函数图象经过点，所以，即，故，故答案为：考向二 幂函数的定义域值域【例2】(2020全国课时练习)(1)函数的定义域是_，值域是_；(2)函数的定义域是_，值域是_；(3)函数的定义域是_，值域是_；(4)函数的定义域是_，值域是_.【答案】

3、R 【解析】(1)的定义域是，值域是；(2)的定义域是，值域是；(3)的定义域是，值域是；(4)的定义域是，值域是；故答案为：；【举一反三】1(2020全国课时练习)在函数；中定义域与值域相等的有_个.【答案】3【解析】的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.故定义域与值域相等的有, 和故答案为：32(2020全国课时练习)已知幂函数，该函数的值域为_.【答案】【解析】根据幂函数的定义，得，函数为，由图象得函数的值域为，故答案为：3(2020全国高一课时练习)5个幂函数：；.其中定义域为的是( )A只有B只有C只有

4、D只有【答案】C【解析】的定义域为，的定义域为R，的定义域为，的定义域为R，的定义域为，故选：C.考向三 幂函数的性质【例3-1】(2021河北邯郸市)已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为( )ABC1D或1【答案】A【解析】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，故选：A【例3-2】(2020河南高三期中)已知幂函数为奇函数，则实数的值为( )A4或3B2或3C3D2【答案】D【解析】是幂函数，解得或3，当时，为奇函数；当时，为偶函数，.故选：D.【例3-3】(2021江苏南通市海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为( )ABCD【答案】D【解析】，因为在单调递增

5、，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，所以，即故选：D.【举一反三】1(2021繁昌县第一中学)已知幂函数是偶函数，则_.【答案】【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或.当时，函数为奇函数，不合题意；当时，函数为偶函数，所以.故答案为：.2(2021沙坪坝区重庆南开中学)已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数_.【答案】0【解析】为幂函数， ，解得：或；当时，是偶函数，满足题意；当时，是奇函数，不满足题意；综上所述：；故答案为：0.3(多选)(2020全国课时练习)已知幂函数(m，m，n互质)，下列关于的结论正确的是( )Am，n是奇数时，幂函数是奇函数Bm是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数

6、Cm是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D时，幂函数在上是减函数E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为【答案】ACE【解析】，当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.故选：ACE.4(2021江西景德镇市景德镇一中)已知，则的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】， ，,故选：B5(2021重庆九龙坡区高一期末)已知，则a，b，c，d的大小关系是( )ABCD【答案】B【

7、解析】因为为上的减函数，故，故，又为上的增函数，故，故，而为上的增函数，故，故，故，故选：B.考向四 幂函数的图像【例4】(2021山东滨州市)已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则( )ABCD【答案】B【解析】由图象可知，当时，则故选：B【举一反三】1(2021浙江)幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律已知函数，的图像如图所示，则( )ABCD【答案】A【解析】由图象可得曲线为对数函数，在定义域为为增函数，则，曲线为指数函数，为减函数，则 曲线为幂函数，在上为减函数，则 所以 故选：A2(2020福建宁德市)已知函数：；则下列函数图象(

8、第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )ABCD【答案】D【解析】：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，故选：D3(2021西安高新唐南中学)在同一直角坐标系中，函数的图象可能是( )ABCD【答案】D【解析】函数，与，选项A：没有幂函数图像；选项B：中，中，不符合；选项C：中，中，不符合；选项D：中，中，符合.故选：D.4(2020威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中)函

9、数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是( )ABCD【答案】C【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，A：0不一定成立，如；B：不一定成立，如；C：，成立；D：不成立，.故选：C.强化练习1(2021湖北鄂州市)“函数是幂函数”是“函数值域为”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“函数是幂函数”等价于：，即，故或，即取值集合为；“函数值域为”等价于：中，且，即，故，即取值集合为.故是的真子集，“或”是“”的必要不充分条件，即“函数是幂函数”是“函数值域为”的必要不充分条件.故选：B.2(2021渝中区重庆巴蜀中学高一期末)已知幂函数

10、在其定义域内不单调，则实数m=( )AB1CD【答案】A【解析】由幂函数定义，解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A3(2021陕西榆林市高三一模)下列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A1B2C3D4【答案】C【解析】函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.4(2020全国课时练习)设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为( )ABCD【答案】C【解析】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数

11、，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.故选：C.5(2020全国课时练习)已知幂函数的图像过点，则 的值域是( )ABCD【答案】D【解析】幂函数的图像过点，解得， 的值域是.故选：D.6(2021内蒙古包头市)已知函数(，且)的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是( )ABCD【答案】B【解析】由得，即定点为，设，则，所以，图象为B故选：B7(2021浙江温州市温州中学高三开学考试)在同一个直角坐标系下，函数，且)图象可能是( )ABCD【答案】B【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质

12、，可得：当时，函数为定义域上的单调的递减函数，函数为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD项不符合，B项符合；当时，函数为定义域上的单调的递增函数，函数为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD项都不符合.故选：B.8(2020湖北高三学业考试)已知函数，的图像如图所示，则( )A，B，C，D，【答案】D【解析】由的图象关于轴对称可知为偶函数，故，由的图象可知，为非奇非偶函数，故，由的图象关于原点对称可知为奇函数，故.故选：D9.(2021全国高一)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A，B，C，D，【答案】B【解析】对于图，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上

13、递增，故只有符合；对于图，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；对于图，函数的定义域为，且为增函数，故符合；对于图，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合.故选：B10(2021湖北武汉市高三月考)设，则()ABCD【答案】C【解析】，所以，故有.故选：C11(2021江苏南通市高三期末)已知，则，的大小关系为( )ABCD【答案】B【解析】，.故选：B.12(2021江西宜春市高安中学)设实数满足， 则的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】解：因为，函数在上为减函数，所以，因为在上为增函数，所以，因为在上为减函数，所以，所以，故选：B13(2021四川凉山彝族

14、自治州)已知幂函数，满足在为减函数，则的值为( )A或BCD【答案】C【解析】由于幂函数在为减函数，所以，解得.故选：C.14(2021云南玉溪市)已知幂函数，在上是减函数，则的值为( )ABCD或【答案】A【解析】因为幂函数，在上是减函数，所以，解得.故选：A.15(2021江西赣州市高三期末(理)若，其中为自然对数的底数，则( )ABCD【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，所以；，由时，即在单调递减，故，即，从而得故.故选：A16(2021吉林长春市长春外国语学校高一开学考试)若幂函数的图象经过点，则_.【答案】【解析】由题知：，所以.故答案为：.17(2021新疆乌苏市第一中学)若函

15、数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为_.【答案】【解析】函数是幂函数，则，解得，又，则，解得，即令，解得，则的单调增区间为故答案为：18(2021重庆高一期末)已知函数是幂函数，则实数=_.【答案】【解析】因为是幂函数，所以，解得，故答案为：19(2021上海上外浦东附中)已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是_【答案】【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，又，即，的图像关于轴对称，即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.20(2021山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为_.【答案】【解析】时，所以函数图象恒过定点故答案为：21

16、(2021沙坪坝区重庆一中)已知幂函数在区间上单调递减，则_.【答案】【解析】由题意，解得或，又函数在区间上单调递减，则，故答案为：22(2021湖南衡阳市八中高一期末)若幂函数在单调递减，则_【答案】【解析】为幂函数故，故或或在单调递减，故故答案为：23(2021贵溪市实验中学高三一模)函数是幂函数且为奇函数，则的值为_【答案】【解析】因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，是奇函数，满足条件；当时，是偶函数，不满足条件；故.故答案为：24(2020湖南娄底市)已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为_.【答案】【解析】根据幂函数的定义，可得，解得或，当时，函数，此时函数

17、为为偶函数，不符合题意；当时，函数，此时函数为奇函数，符合题意，又由不等式可转化为等价于，解得.即实数的值构成的集合为.故答案为：.259(2020上海高一课时练习)研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像(1)； (2)； (3)； (4)【答案】(1)定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2） 定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3） 定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；(4)定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析【解析】(1)，设，的定义域为，因为，所以值域为：显然，为偶函数，在中，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)，设，定义域：，由，所以值域：，由，所以奇函数，在中，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.(3)，设，所以定义域；R；值域：R；由，所以奇函数，在中，在上单调递增.(4)，设，由得定义域：值域：因为定义域：，所以非奇非偶函数；在中，定义域为，所以在上单调递增；