专题42 概率与统计的综合应用（解析版）.docx

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1、专题42 概率与统计的综合应用 【题型归纳目录】题型一：决策问题题型二：道路通行问题题型三：保险问题题型四：概率最值问题题型五：放回与不放回问题题型六：体育比赛问题题型七：几何问题题型八：彩票问题题型九：纳税问题题型十：疾病问题题型十一：建议问题题型十二：概率与数列递推问题题型十三：硬币问题题型十四：自主选科问题题型十五：高尔顿板问题题型十六：自主招生问题题型十七：顺序排位问题题型十八：博彩问题【典例例题】题型一：决策问题例1（2022全国高三专题练习）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验

2、，且最多试验8次记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为(1)证明：；(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由【解析】（1）由题意，故分布列如下：12345678所以的数学期望，记，作差可得，则；（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品例2（2022陕西交大附中模拟预测（理）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考

3、生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，其中(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，依题意，则，该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3，随机变量的分布列：0123，因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，所

4、以的范围为：.例3（2022江苏南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应

5、选用哪个更合理？【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当时，费用的期望为：元，当时，费用的期望为：元，因为，所以选更适合.变式1（2022辽宁葫芦岛一模）葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产

6、业之一某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立(1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点；(2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求；以中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否

7、该对余下的所有钼矿进行检验？【解析】（1）20袋钼矿中恰有2件不达标的概率为因此令；得，当时，单调递增，时，单调递减，所以的最大值点（2）由（1）知，令表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知，故，又，即，所以若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2000元由于应该对余下的钼矿都进行检验变式2（2022安徽省舒城中学一模（文）某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n282930313233频数346674(1)若该蛋糕店

8、一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.【解析】(1)由题意可知，当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润.故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：，.由题意可得：日需求量n282930313233日利润545760606060频数346674则当天的利润不少于60元的概率；(2)由（1）可得甲的方案的30

9、天的日利润的平均数为（元），同理可得乙的利润关于当天需求量n的函数解析式为.由题意可得：日需求量n282930313233日利润535659626262频数346674可得乙的方案的30天的日利润的平均数.所以乙的方案收益更好.题型二：道路通行问题例4 某人某天的工作是，驾车从地出发，到，两地办事，最后返回地，三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表： 路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时现有如下两个方案：方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地；方案乙：上午从地

10、出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地（1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？【解析】解：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回地的时间为17点，因此若18点之前能返回地的充要条件是降水的路段数不超过1，记事件，分别表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，则所求概率：（2）设基本路段正常行驶时间为，降水概率为，则该路段行驶时间的分布列为： 行驶时间 概率 ，路段 正常行驶所需时间（小时） 上午 上午 下午下午 降水概率 行驶时间期望

11、值降水概率 行驶时间期望值 2 0.3 2.3 0.6 2.6 2 0.2 2.2 0.7 2.7 3 0.3 3.3 0.9 3.9设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为，则，采用甲方案更有利于办事之后能更早返回地例5 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的同一条道路去程与回程是否堵车相互独立假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学

12、和上班的都会迟到(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值【解析】(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1.(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，甲到乙遇到拥堵的概率是，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1，李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是0.7，所以李先生没有七成把握能够按时上班(3)依题意X可以取0,1,2.P(X0)，P(X1)；P(X2).分布列是：X012PE(X)012.例6

13、 2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求p的值。（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。【解析】由已知得由题意得的所有可能取值为，所以所以随机变量的分布列为故.变式3 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率

14、为；汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.【解析】解：（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p，得即3p1，则即p的值为（2）由题意知可能的取值为0，1，2，3 ， ， 的分布列为：E题型三：保险问题例7（2022全国高三专题练习）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保

15、险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【解析】（1）记表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”；表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”；表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；则，所以.（2）设表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.则，故.例8（2022全国高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，三类工种，从事三类工种的人数分

16、布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别赔付概率对于，三类工种，职工每人每年保费分别为元元元，出险后的赔偿金额分别为100万元100万元50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给

17、出选择合适方案的建议.【解析】(1)设工种，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，（单位：元），则，的分布列分别为，.所以，整理得.(2)方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为（元）.方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为（元）.因为，所以建议单位选择方案二.例9（2022辽宁沈阳二中二模）随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高汽车保险费是人们非常关心的话题保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数次以上（含次）下一年的保费倍率连续两年没有出险打折，连续三年没有出险打折经验表明新车

18、商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：，设由这组数据得到的回归直线方程为（1）求的值（2）某车主蔡先生购买一辆价值万元的新车估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到店询价，预计修车费用为元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）【解析】（1）（万元）（元），回归直线经过样本点的中心，即，所以（2）价值为万元的新车的商业车险保费预报值为（元）由于该车已出过一次险，若再

19、出一次险，则保费增加，即增加（元）因为，所以应该接受建议变式4（2022全国高三专题练习）2017年泰康集团成立.泰康集团成立后，保险、资管、医养三大业务蓬勃发展.为了回馈社会，2021年初推出某款住院险.每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年内住院，只要住院费超过元，则可以获得元的赔偿金.假定2021年有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.记投保的人中出险的人数为.投保的人在一年度内至少有一人出险的概率为.（1）求一投保人在一年度内出险的概率；（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，保险公司该项业务的利润为，为保证该项业务利润的期望不小于0，求

20、每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，投保的人中出险的人数服从二项分布，即（1）记 “保险公司为该险种至少支付元赔偿金”，则发生当且仅当， ，又，故；（2）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和；支出，盈利，盈利的期望为，由知，.时，（元）. 所以为保证该项业务利润的期望不小于0，每位投保人应交纳的最低保费为4元.题型四：概率最值问题例10（2022全国高三专题练习）中华人民共和国未成年人保护法是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则是：

21、两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为.(1)若，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；(2)当时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值.【解析】（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：甲答对两题，乙答对一题的事件B；甲答对一题，乙答对两题的事件C，甲、乙都答对两题的事件D，事件B、C、D互斥，又因为甲乙两人答题相互独立，所以该组获“优秀小组”的概率.（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：，又

22、，则， 当且仅当时，等号成立，而 ，于是有 ，因此，令 ，则，当且仅当时等号成立，所以该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值为.例11（2022重庆八中高三开学考试）某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0p1），且各局比赛互不影响.(1)若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)设小张在这5

23、天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.【解析】（1）由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.因为，所以，.故X的分布列为X2345P.（2）设一天得分不低于4分为事件A，则，则，则.当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.例12（2022全国高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.(1)若，求X的分布列与数学期望；(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?【解析】（1）当时，X的所有

24、可能取值为0，1，2，则，所以X的分布列为X012P.（2）的概率为，且.因为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的概率取最大值，最大值是.变式5（2022全国高三专题练习）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.

25、若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？【答案】(1)(2)【分析】若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再结合二项分布的概率公式，即可求解由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则X可取70，50，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解（1）记事件“此批零件检测未通过，恰好检测5次”则前4次有1次未通过，第5次未通过.即恰好检测5次未通过的概率为；（2）由题意可得

26、，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，设每件零件可获利X元，；50；，则， 解得，即：每件零件为合格零件的概率p的最小值为变式6（2022全国高三专题练习）随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，人类生态友好”的路线.当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进行评估若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复产该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考

27、虑到可持续发展，这种生态投入（以下简称生态投入）将逐年减少（a是常数，）亿元该县从2021年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为模型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束(1)若2021年该县生态变差的概率为，求该县2022年生态友好的概率；(2)若2021年该县生态变差概率为，生态投入是40亿元，a为何值时，从2021年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值【解析】（1）设“该县2021年生态友好”，“该县2022年生态友好”，该县2021年生态变差的概率为，即， 如果该县2021年生

28、态友好，那么它2022年生态友好的概率为，该县2021年变差，那么它2022年友好的概率为因为“该县2021年生态友好，那么它2022年生态友好”与“该县年生态变差，而年生态友好”是互斥事件，所以，,所以，该县2022年生态友好的概率为（2）设该县2021年生态变差的概率为,同（1）可得，该县年生态友好的概率为，该县年生态变差的概率为，该县年生态变差的概率为，该县从年开始的第年生态变差的概率为,若从年开始到生态投入结束共有年，则，即,，对该县总生态投入额,若，则，单调递减；若，则，单调递增,由于时，所以，当时，最小，且最小值是亿元,也就是说，当时，对该县总生态投入额最小，最小值为亿元题型五：放

29、回与不放回问题例13（2022福建宁德市高级中学高三阶段练习）已知一个袋子里装有颜色不同的个小球，其中红球个，黄球个，现从中随机取球，每次只取一球(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取球结束时一共取球次，求随机变量的分布列与期望【解析】（1）连续取球三次，记取得红球的次数为，则，则（2）随机变量的所有可能取值为，所以随机变量的分布列为 所以随机变量的期望为例14（2022湖北高三开学考试）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当

30、两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:(1)的值;(2)随机变量的概率分布列和数学期望.【解析】（1）由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，所以（2）随机变量可取的值为 得随机变量的概率分布列为:234P随机变量的数学期望为：例15（2022全国高三专题练习）在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品(1)若从这10件产品中任意抽取1件，设抽取到一等品的件数为，求的分布列(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，设抽取到一等品的件数为

31、，求的分布列，(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，设抽取到一等品的件数为X，求X的分布列；抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率【解析】（1）由题意知的可能取值为0，1，所以服从两点分布，则，因此的分布列为01P（2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此，它的分布列为，1，2，3，如表：0123P（3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，且1次抽取了3件，因此一等品件数X服从超几何分布，所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有m件一等品的概率为，1，2，3所以X的分布列为X0

32、123P设事件“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”，“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”，“抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”，“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件，彼此互斥，且因为，所以，即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为变式7（2022江苏南京高三阶段练习）现有三个白球，十五个红球，且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球，求小明取出两个白球的概率；(2)若甲盒中有三个白球，小明先从甲盒中取出一个球，再从乙盒中取出一个球，最后再从丙盒中取出一个球，如此循环，直至取

33、出一个白球后停止取球，且每次取球均不放回若小明在第次取球时取到白球，求的概率分布和数学期望【解析】（1）因为甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，从一个盒中取出一个球是白球的概率为，所以小明取出两个白球的概率为；（2）由题可知可取1,4,7,10，则，所以的概率分布为：14710所以.变式8（2022广东汕头高三阶段练习）在一个口袋中装有编号分别为，的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片次.(1)求次摸出卡片的数字之和为奇数的概率：(2)记这次中摸出卡片的最大编号数为随机变量，求的分布列及数学期望.【解析】（1）依题意摸一次编号为奇数的概率为，编号为偶数的概率为，要使次

34、摸出卡片的数字之和为奇数，则有次或次摸出的为奇数卡片，所以概率；（2）依题意的可能取值为、，所以，所以的分布列为：所以题型六：体育比赛问题例16（2022广东河源市河源中学高三阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部进行体育运动和文化项目比赛，由部部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若部部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.(1)记第一天需要进行的比赛局

35、数为.（i）求，并求当取最大值时的值；（ii）结合实际，谈谈（i）中结论的意义；(2)当时，记一共进行的比赛局数为，求.【解析】（1）可能取值为2，3；故，即，则当时，取得最大值结合实际，当时，双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多（2）当时，双方前两天的比分为或的概率均为；比分为或的概率均为2121212=14则或即获胜方两天均为获胜，故P(Y=4)=21414=18；即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，故P(Y=5)=2(14142+1414212)=38所以例17（2022山东师范大学附中高三阶段练习）某选手参加套圈比赛，共有次机会，满足“假设第次套中的概率为.当

36、第次套中时，第次也套中的概率仍为：当第次未套中时，第次套中的概率为.”已知该选手第次套中的概率为.(1)求该选手参加比赛至少套中次的概率；(2)求该选手本次比赛平均套中多少次?【解析】（1）设事件该选手参加比赛至少套中次，则，故.（2）设为套中的次数，则的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.即该选手本次比赛平均套中次.例18（2022四川南江中学高三阶段练习（理）甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，本次比赛规定：先连胜两局者直接获胜，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者获胜(1)求比赛共进行5局且甲获胜的概

37、率；(2)记甲、乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望【解析】（1）记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A，说明甲前4局胜了2局且不是连胜，并且第5局甲胜，且只有胜负胜负胜或负胜负胜胜两种情况，所以比赛共进行5局并且甲获胜的概率为PA=223213223=16243（2）X的可能取值为2，3，4，5，记甲在第局获胜为事件，乙在第局获胜为事件，；，所以X的概率分布列为：X2345P故X的数学期望EX=259+329+41081+5881=22481变式9（2022浙江高三阶段练习）某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为

38、，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为.(1)在一场比赛中，求甲以3：1获胜的概率；(2)设一场比赛的总局数为，求的分布列与数学期望.【解析】（1）令事件为甲在第i局获胜，2，3.甲连胜两局的概率，所以.故在一场比赛中，甲以31获胜的概率为：.（2）X可能的值为3，4，5.，所以的分布列：X345所以E(X)=32564+4165512+5147512=1995512.变式10（2022全国高三专题练习）乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人. 为弘扬国球精神，传承乒乓

39、球文化，强健学生体魄，某中学举行了乒兵球单打比赛. 比赛采用7局4胜制，每局比赛为11分制，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛. 在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为后，每一个球就要交换一个发球权. 经过紧张的角逐，甲、乙两位选手进入了决赛.(1)若甲赢得每局比赛的概率为，求甲以赢得比赛的概率;(2)若在某一局比赛中，双方战成. 且甲获得了下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，求两人打了个球后，甲蠃得了该局比赛的概率.【解析】（1）甲以赢得比赛，则前4局中甲赢得了3局，第5局甲获胜，所以甲以赢得比赛概率

40、为.（2）因为，所以在该局比赛中，甲只可能以或获胜，故的可能取值为2，4，设甲赢得该局比赛的概率为，所以求两人打了 个球后甲贏得了该局比赛的概率为变式11（2022全国高三专题练习）年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为(1)如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概

41、率分布列和数学期望；(2)如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率【解析】（1）随机变量的所有可能取值为、，所以的分布列为所以数学期望.（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为、，则，、，因两队积分相等，所以，即，则，所以变式12（2022福建省福州第一中学高三开学考试）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆

42、心O的远近决定胜负某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响(1)求甲通过测试的概率；(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，【解析】（1）甲通过测试包括种情况：第一次得分，第二次得分，概率为；第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为；第一次得分，第二次得分，第三次

43、得分，概率为.所以甲通过测试的概率为.（2）的可能取值为，所以的分布列为：变式13（2022全国高三专题练习）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组