新高考数学必会基础复习讲义 考点13 等差数列（教师版含解析）.docx

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1、考 点 13 等 差 数 列知 识 理 解一 等 差 数 列 的 有 关 概 念1.定 义：如 果 一 个 数 列 从 第 2 项 起，每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 都 等 于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等差 数 列 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差，符 号 表 示 为 an 1 an d(n N*，d 为 常 数2.数 列 的 单 调 性：d 0 递 增 数 列，d=0 常 数 数 列，d 0 递 减 数 列二 等 差 数 列 的 有 关 公 式1.通 项 公 式：a n a1(n 1)d n d(a1 d)当 d0 时，a n

2、是 关 于 n 的 一 次 函 数 通 项 公 式 的 推 广：a n a m(n m)d(n，m N*)2.前 n 项 和 公 式：2 1 nn 1 1a a n(n 1)d dS na d n(a)n2 2 2 2（）n当 d0 时，S n 是 关 于 n 的 二 次 函 数，且 没 有 常 数 项 三 等 差 数 列 的 性 质1.中 项 性 质(1)数 列 a，A，b 成 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 A a b2，其 中 A 叫 做 a，b 的 等 差 中 项(2)多 项 数 列 的 中 项 性 质1m n p q tm n p q 2td aa a a a 2a 下 标

3、和 相 同项 数 相 同1m n p q t m nm n p q 2td aa a a a 2a=a 下 标 和 相 同项 数 同 或 不 同2.前 n 项 和 的 性 质(1)S n，S 2 n S n，S 3 n S 2 n，也 成 等 差 数 列，公 差 为 n2d(2)若 a n 是 等 差 数 列，则S nn 也 成 等 差 数 列，其 首 项 与 a n 首 项 相 同，公 差 是 a n 公 差 的12.n n n n2n 1 n 2n 1 n2n-12m 1 m 2n 1 n(S T a b nS(2n 1)a S(2n 1)aS=(2)T(2m 1)b T(2n 1)b 特

4、 例n(3)数 列 项 数 为 奇 数 2n-1 时、分 别 是 等 差 数 列、的 前 项 和）(2n-1)a考 向 分 析考 向 一 等 差 数 列 基 本 运 算【例 1】(1)(2020 广 东 广 州 市 高 三 月 考)设 na 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列，若25 a，1 316 a a，则12a()A 12 B 35 C 75 D 90(2)(2020 宁 夏 银 川 九 中 高 三 月 考)设 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n，若 a4 4，S9 72，则 a10()A 20 B 23 C 24 D 28【答 案】(1)B(2)D【解 析】

5、(1)设 公 差 为 d，则11 15(2)16a da a d，0 d，故 解 得123ad，122 11 3 35 a 故 选：B(2)设 等 差 数 列 a n 的 公 差 为 d,由 a4 4，S9 72，得113 49 89 722a da d,解 得184ad,10 19 8 36 28 a a d,故 选：D.【举 一 反 三】1(2020 四 川 省 广 元 市 川 师 大 万 达 中 学 高 三 月 考)等 差 数 列 na 中，若26 a，43 a，则5a()A 32B 92C 2 D 9【答 案】A【解 析】设 公 差 为 d，则4 23 6 34 2 2 2a ad，所

6、 以5 43 332 2a a d.故 选：A2(2020 冷 水 江 市 第 一 中 学 高 三 期 中)记nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和，若5 42 S S，2 48 a a，则5a 等于()A 6 B 7 C 8 D 10【答 案】D【解 析】设 数 列 na 的 首 项 为1a，公 差 为 d，则 由5 42 S S，2 48 a a，得：1 11 15 4 4 35 2 42 23 8a d a da d a d，即 113 2 02 4a da d，解 得：123ad，5 14 2 4 3 10 a a d.故 选：D.3(2020 广 西 玉 林 市 高 三 其

7、他 模 拟)若 等 差 数 列 a n 满 足 a2=20，a5=8，则 a1=()A 24 B 23 C 17 D 16【答 案】A【解 析】根 据 题 意，5 28 2045 2 5 2a ad，则1 220(4)24 a a d，故 选：A.4(2020 梅 河 口 市 第 五 中 学 高 三 月 考)已 知 数 列 na 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列，其 前n项 和 为nS，若71 707Sa a，则56aS()A 3 B 13C-3 D 13【答 案】D【解 析】设 数 列 na 是 公 差 为 d，0 d，首 项 为1a，因 为71 707Sa a 所 以 11 10

8、777 1726 a aa dd，所 以13 9 0 a d，所 以13 a d 所 以 5 1614 16 6 1 3 362a a d dS da d 故 选：D考 向 二 等 差 数 列 中 项 性 质【例 2】(1)(2020 全 国 高 三 其 他 模 拟)1，3 的 等 差 中 项 是()A 1 B 2 C 3 D 4(2)(2020 福 建 高 三 学 业 考 试)在 等 差 数 列 na 中，若2a=4，4a=2，则6a=()A-1 B 0 C 1 D 6(3)(2020 贵 州 贵 阳 一 中 高 三 月 考)已 知 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，3a=5

9、，则5S=()A 5 B 25 C 35 D 50【答 案】(1)B(2)B(3)B【解 析】设 1 和 3 的 等 差 中 项 为x，则1 3 2 x，解 得 2 x，故 选：B.(2)等 差 数 列 na 中，4 2 62 a a a，则62 2 4 0 a 故 选：B(3)由 题 意 可 知，na 为 等 差 数 列，所 以1 5 355()5 2 5 2 5252 2 2a a aS 故 选：B【举 一 反 三】1(2020 上 海 市 七 宝 中 学 高 三 期 中)已 知 数 列 na 为 等 差 数 列，且1 91,25 a a，则5a _.【答 案】-12【解 析】由 等 差

10、数 列 的 性 质，得 5 1 91122a a a.故 答 案 为：12.2(2020 贵 溪 市 实 验 中 学 高 三 月 考)在 等 差 数 列 na 中，若3 4 10 112020 a a a a，则5 7 92 a a a _.【答 案】2020【解 析】由 等 差 中 项 的 性 质 可 得3 4 10 11 74 2020 a a a a a，可 得7505 a，因 此，5 7 9 72 4 2020 a a a a.故 答 案 为：2020.3(2020 天 津 经 济 技 术 开 发 区 第 一 中 学 高 三 期 中)设 等 差 数 列 na 的 前n项 之 和 为nS

11、，已 知10100 S，则4 7a a()A 12 B 20 C 40 D 100【答 案】B【解 析】10 110 45 100 S a d，12 9 20 a d，4 7 12 9 20 a a a d.故 选：B.4(2020 静 宁 县 第 一 中 学 高 三 月 考)已 知 正 项 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为 nS n N，25 7 6a a a，则11S的 值 为()A 11 B 12 C 20 D 22【答 案】D【解 析】因 为25 7 6a a a，数 列 na 是 正 项 等 差 数 列，所 以26 62 a a，解 得62 a 或 0(舍 去)，则 1 11

12、11 61111 222a aS a，故 选：D.5(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 na 满 足12n na a 且2 4 69 a a a，则3 5 7 9log()a a a()A-3 B 3 C 13 D 13【答 案】B【解 析】1 12 2n n n na a a a,数 列 na 是 以 2 为 公 差 的 等 差 数 列，7 9 2 2 4 6 4 6 53 3 3 9 a a a a d a d a d a a a d，2 49ba a a，5 7 99 9 2 27 a a a，3 5 7 9 3log log 27 3 a a a，故 选：B.考

13、 向 三 等 差 数 列 前 n 项 和 性 质【例 3】(1)(2020 广 东 高 三 月 考)已 知 等 差 数 列 na 的 前 n 项 为nS，26nS，312nS，则nS 的 值 为()A 2 B 0 C 3 D 4(2)(2020 石 嘴 山 市 第 三 中 学 高 三 期 中)两 等 差 数 列 na，nb 的 前 n 项 和 分 别 为nS，nT，若2 33 1nnSnT n，则77ab()A 3346B 1722C 2940D 3143(3)(2021 天 津 红 桥 区 高 三 期 末)设nS 是 等 差 数 列 na 的 前n项 和，若5359aa，则95SS()A 5

14、9B 95C 8125D 1(4)(2021 海 南 省)已 知nS 是 等 差 数 列 na 前n项 和，38 a，62 a，当nS 取 得 最 小 值 时n()A 2 B 14 C 7 D 6 或 7(5)(2020 湖 北 武 汉 市 高 三 期 末)若nS 是 等 差 数 列 na 的 前n项 和，其 首 项10 a，99 1000 a a，99 1000 a a，则 使 0nS 成 立 的 最 大 自 然 数n是()A 198 B 199 C 200 D 201(6)(2020 新 疆 高 三 二 模)在 等 差 数 列 na 中，12018 a，其 前 n 项 和 为nS，若10

15、12212 10S S，则2020S()A-4040 B-2020 C 2020 D 4040【答 案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C【解 析】(1)因 为nS，2 n nS S，3 2 n nS S 成 等 差 数 列，故 有 2 6 12 6n nS S，解 得 2nS.故 选：A.(2)数 列,n na b 是 等 差 数 列，则1 137 7 1 13 137 7 1 13 131 1313()2 2 13 3 292132 3 13 1 40()2a aa a a a Sb b a b Tb b 故 选：C(3)因 为 na 为 等 差 数 列，所 以1 991 5

16、59()25()2a aSa aS539 9 515 5 9aa.故 选：D(4)设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d，38 a，62 a，12 8 a d，15 2 a d，联 立 解 得：112 a，2 d，12 2(1)2 14na n n，令 2 14 0na n，解 得 7 n 当nS 取 得 最 小 值 时 6 n 或 7 故 选：D(5)99 1000 a a，99a 和100a 异 号；1 99 1000,0 a a a，99 1000,0 a a，有 等 差 数 列 的 性 质 可 知，等 差 数 列 na 的 公 差 0 d，当 99,*n n N 时，0na；当

17、100,*n n N 时，0na；又 1 198 99 100198198 19802 2a a a aS，1 199199 100199199 02a aS a，由 等 差 数 列 的 前n项 和 的 性 质 可 知，使 前n项 和 0nS 成 立 的 最 大 自 然 数n是198.故 选：A(6)设 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为2+nS A n B n，则+nSA n Bn，所 以nSn 是 等 差 数 列 因 为10 12212 10S S，所 以nSn 的 公 差 为1，又1 120181 1S a，所 以nSn 是 以 2018 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数

18、 列，所 以20202018 2019 1 12020S，所 以20202020 S 故 选：C【举 一 反 三】1(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)等 差 数 列 na 的 前 m m N 项 和 为 30，前 2 m 项 和 为 100，则 前 3 m 项 和为()A 130 B 170 C 210 D 260【答 案】C【解 析】na 为 等 差 数 列，2 3 2,m m m m mS S S S S 成 等 差 数 列，即330,70,100mS 成 等 差 数 列，330 100 70 2mS，解 得3210mS.故 选：C.2(2020 重 庆 高 三 其 他 模 拟)

19、等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，已 知312 S，651 S，则9S 的 值 等 于()A 66 B 90 C 117 D 127【答 案】C【解 析】等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS,由 题 意 可 得6 3 9 6 3,S S S S S 成 等 差 数 列，故 3 6 3 9 62 S S S S S，代 入 数 据 可 得 92 51 12 1 1 2 5 S，解 得9117 S 故 选 C3(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)等 差 数 列 a n 与 b n 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 T n，若nnST3 22 1nn，则77ab

20、等 于()A 3727B 3828C 3929D 4030【答 案】A【解 析】77ab7722ab1 131 13a ab b 1 131 13132132a ab b1313ST3 13 22 13 1 3727.故 选：A.4(2020 湖 南 怀 化 市 高 三 期 中)设nS 是 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和，若741413aa，则137SS()A 2 B 12C 1413D 1314【答 案】A【解 析】由 题 意，1 1313 71 77 413()13 13 14227()7 7 132a aS aa aS a 故 选：A 5(2021 河 北 承 德)在 等 差

21、数 列 na 中，公 差 0 d，nS 为 na 的 前n项 和，且5 7S S，则 当n为 何 值 时，nS 达 到 最 大 值.()A 8 B 7 C 6 D 5【答 案】C【解 析】因 为 在 等 差 数 列 na 中，5 7S S，所 以6 7 7 50 a a S S，又 公 差 0 d，所 以6 7a a，故6 70,0,a a 所 以 数 列 na 的 前 6 项 为 正 数，从 第 7 项 开 始 为 负 数；因 此，当 6 n 时，nS 达 到 最 大 值.故 选 C6(2020 全 国 高 三 其 他 模 拟)等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，其 中352a，4

22、14 S，则 当nS 取 得 最 大 值时n的 值 为()A 4 或 5 B 3 或 4 C 4 D 3【答 案】C【解 析】设 na 公 差 为 d，由 题 意 知115224 6 14a da d，解 得11322ad，由 等 差 数 列 前n项 和 公 式，知2152nS n n，对 称 轴 为154n，所 以 当 4 n 时，nS 最 大 故 选：C7(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)在 等 差 数 列 na 中，nS 为 其 前n项 和.若20202020 S，且2020 2020002020 20S S，则1a 等 于()A 2021 B 2020 C 2019 D 20

23、18【答 案】D【解 析】na 是 等 差 数 列，nS 为 其 前n项 和，设 公 差 为 d，1(1),2nnS n a n d 112nS da nn，11 2n nS S dn n，所 以 数 列nSn 是 以1a 为 首 项 以2d为 公 差 的 等 差 数 列，则 2020 201 12020 1 20 12020 20 2 2S S d da a 1000 2000 d，解 得 2 d.又 20202020 S，202012020 21 2020 12020 2020 2Sa，12018 a.故 选：D考 向 四 等 差 数 列 定 义 运 用【例 4-1】(2021 吉 林 长

24、 春 市 高 三 二 模 节 选)已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为 2 11na n.，求 证：数 列 na 是等 差 数 列；【答 案】见 解 析【解 析】2 11na n，12 1 11 2 11 2n na a n n(*n N)，数 列 na 为 等 差 数 列【例 4-2】(2021 青 海 西 宁 市 节 选)已 知 数 列 na 满 足 1 12,2 2 2nn na a a n，证 明：数 列2nna 为 等差 数 列，并 求 na 的 通 项 公 式；【答 案】=2nna n【解 析】1=2 2nn na a，两 边 同 时 除 以2n，可 得：1112 2n n

25、n na a 1112 2n nn na a，又1112a，数 列2nna 是 以 1 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列；=1 1 12nnan n，=2nna n.【方 法 总 结】等 差 数 列 的 判 定 与 证 明 方 法方 法 解 读 适 合 题 型定 义 法对 于 数 列 a n，a n a n 1(n 2，n N*)为 同 一 常 数 a n 是 等 差 数列 解 答 题 中 的证 明 问 题等 差 中 项 法 2 a n 1 a n a n 2(n 3，n N*)成 立 a n 是 等 差 数 列通 项 公 法 前 n项 和a n p n q(p，q 为 常 数)

26、对 任 意 的 正 整 数 n 都 成 立 a n 是 等 差 数列选 择、填 空题 中 的 判 定问 题项 和 公 式 法验 证 S n A n2 B n(A，B 为 常 数)对 任 意 的 正 整 数 n 都 成 立 a n 是等 差 数 列【举 一 反 三】1(2020 全 国 高 三 月 考 节 选)已 知 数 列 na 满 足12 a，12 2(*)nn na a n N，判 断 数 列 2nna 是 否为 等 差 数 列，并 说 明 理 由；【答 案】是 等 差 数 列；详 见 解 析【解 析】设 2nn nb a，则11 12nn nb a，则 11 1 12 2 2n n nn

27、 n n n n nb b a a a a，*2 2 2 2n nn na a n N，所 以，数 列 2nna 是 首 项 为 0，公 差 2 d 的 等 差 数 列.2(2021 山 西 运 城 市 高 三 期 中)已 知 数 列 na 中，12 a，12 2nn na a，设2nn nab，求 证：数 列 nb 是等 差 数 列；【答 案】证 明 见 解 析【解 析】证 明：当 2 n 时，11 1112 2 12 2 2 2 2 nn n n nn nn n n na a a ab b，11 b，所 以 nb 是 以 1 为 首 项，12为 公 差 的 等 差 数 列；3(2021 山

28、 东 高 考 模 拟 解 析)已 知 数 列 na 满 足1 11,2 2nn na a a 判 断 数 列 2nna 是 否 为 等 差 数列，并 说 明 理 由；【答 案】见 解 析【解 析】12 2nn na a，112 2 2n nn na a，数 列 2nna 为 公 差 为 2 的 等 差 数 列4(2020 江 西 丰 城 九 中 高 三 期 中 节 选)数 列 na 满 足*1 11,(1)(1),n na n a n a n n n N，证 明：数列nan 是 等 差 数 列；【答 案】证 明 见 解 析；【解 析】1(1)(1)n nna n a n n，111n na a

29、n n，111n na an n，数 列nan 是 以 1 为 首 项，以 1 为 公 差 的 等 差 数 列；5(2020 湖 北 武 汉 市 华 中 师 大 一 附 中 节 选)在 数 列 na，nb 中，1n na b n，1n nb a，证 明：数 列 3n na b 是 等 差 数 列；【答 案】证 明 见 解 析【解 析】证 明：由 题 意，将 1n nb a 代 入 1n na b n，可 得 1 1n na a n，即 2 2na n，22nna，21 12 2n nn nb a，2 33 12 2n nn na b n 1 13 3 1 1 1 1n n n na b a b

30、 n n，数 列 3n na b 是 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 强 化 练 习一 单 选 题1(2020 黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 高 三 期 中)在 等 差 数 列 na 中，首 项10 a，公 差 0 d，nS 是 其 前n项 和，若6 ka S，则 k()A 15 B 16 C 17 D 18【答 案】B【解 析】由6 ka S 得1 16 5(1)62a k d a d，将10 a 代 入 得(1)15 k d d，因 为 0 d，所 以 1 15 k，得 16 k.故 选：B2(2020 河 南 开 封 市 高 三 一 模)记nS 为 等 差 数 列 na 的

31、 前n项 和，10 a，4 60 a a，则64SS()A 910 B 910C 109D 3922【答 案】B【解 析】在 等 差 数 列 na 中，4 60 a a，所 以14 a d，所 以6 14 16 15 94 6 10S a dS a d，故 选：B3(2020 全 国 高 三 其 他 模 拟)设 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，且7 112 4 a a，则5S()A 15 B 20 C 25 D 30【答 案】B【解 析】设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d，则 由 已 知 可 得 1 1 12 6 10 2 4 a d a d a d，所 以 5 1 1

32、5 45 5 2 5 4 202S a d a d 故 选：B4(2020 甘 肃 省 永 昌 县 第 一 高 级 中 学 高 三 月 考)已 知 数 列 na 为 等 差 数 列，2 628 a a，5 943 a a，则10a()A 29 B 38 C 40 D 58【答 案】A【解 析】因 为 na 为 等 差 数 列，所 以2 6 42 28 a a a,414 a.由5 9 4 10a a a a 43,得1029 a,故 选：A.5(2020 沙 坪 坝 区 重 庆 一 中 高 三)正 项 等 差 数 列 na 的 前n和 为nS，已 知22 8 58 0 a a a，则9S()A

33、 35 B 36 C 45 D 54【答 案】B【解 析】由 题 意，可 得2 8 52 a a a，所 以25 52 8 0 a a，解 得52 a 或54 a，因 为 0na，所 以52 a 舍 去，只 有54 a 符 合 题 意，所 以 9 1 9 599 9 4 362S a a a.故 选：B.6(2020 河 北 邯 郸 市 高 三 月 考)已 知x，y均 为 正 数，且1x，12，2y成 等 差 数 列，则x y 的 最 小 值 为()A 4 B 3 C 2 2D 3 2 2【答 案】D【解 析】解 析：由 题1 21x y，1 2 2()3 3 2 2x yx y x yx y

34、 y x(当 且 仅 当2,2 1,2 2 y x x y 时 等 号 成 立).故 选：D7(2020 宁 夏 高 三 其 他 模 拟)nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和，若150 S，则8a().A-1 B 0 C 1 D 2【答 案】B【解 析】因 为 1 15 815 815+15 215 02 2Sa a aa，所 以80 a，故 选：B.8(2020 湖 北 黄 冈 市 黄 冈 中 学 高 三)已 知 数 列 na 为 等 差 数 列，nS 为 其 前n项 和，6 3 53 a a a，则7S()A 42 B 21 C 7 D 3【答 案】B【解 析】由 等 差 数 列

35、 的 性 质 可 得6 3 5 4 5 53 a a a a a a，1 7 477 7 27 3 212 2a a aS.故 选：B.9(2020 山 西 高 三 月 考)设 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，且927 S，则2 4 9a a a()A 9 B 6 C 3 D 0【答 案】A【解 析】因 为9 59 27 S a，所 以53 a，从 而2 4 9 1 5 9 5+3 9 a a a a a a a.故 选：A 10(2020 舒 兰 市 实 验 中 学 校 高 三 学 业 考 试)在 等 差 数 列 na 中，已 知4 826 a a，则 该 数 列 前 11

36、 项 和11S()A 58 B 88 C 143 D 176【答 案】C【解 析】因 为 na 是 等 差 数 列，所 以4 8 62 26 a a a，613 a，1 1111 611()11 11 13 1432a aS a 故 选：C 11(2020 河 南 高 三 月 考)nS 是 等 差 数 列 na 的 前n项 和，若721 S.则3 4 5a a a()A 9 B 12 C 15 D 18【答 案】A【解 析】由 等 差 数 列 前n项 和 公 式 得 1 777212a aS，即1 76 a a 又 由 等 差 数 列 性 质 知：1 7 42 a a a，即43 a 3 4

37、5 43 9 a a a a.故 选：A.12(2020 黄 梅 国 际 育 才 高 级 中 学 高 三 期 中)设 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，若7 916 a a，则15S()A 60 B 120 C 160 D 240【答 案】B【解 析】因 为7 916 a a，所 以 由 等 差 数 列 的 性 质 得9 7 82 16 a a a，解 得88 a，所 以 1 1515 81515 15 8 1202a aS a 故 选：B13(2020 河 北 张 家 口 市 高 三 月 考)已 知 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，且3 10 179 a a a，则

38、19S()A 51 B 57 C 54 D 72【答 案】B【解 析】3 17 102 a a a 103 9 a，即103 a 1 19 101919 19 219 3 572 2a a aS 故 选：B14(2020 湖 南 衡 阳 市 八 中 高 三 月 考)在 等 差 数 列 na 中，3 5 8 9 133 2 24 a a a a a，则 此 数 列 前13 项 的 和 是()A 13 B 26 C 52 D 56【答 案】B【解 析】由 等 差 数 列 的 性 质，可 得3 5 42 a a a，8 9 13 7 10 13 103 a a a a a a a，因 为 3 5 8

39、 9 133 2 24 a a a a a，可 得4 103 2 2 3 24 a a，即4 104 a a，故 数 列 的 前 13 项 之 和 1 13 4 101313 1313 4262 2 2a a a aS 故 选：B.15(2020 湖 北 高 三 月 考)设 数 列 na 的 前n项 和 为nS，且nSn 是 等 差 数 列，若3 53 a a，则59SS()A 95B 59C 53D 275【答 案】C【解 析】因 为nSn 是 等 差 数 列，设nSn 的 公 差 为 d，111nS an dn，即 11nS n a n n d，所 以 1 1 1 11 1 2 1 1 2

40、n n na S S n a n n d n a n n d a n d，即 11 2na a n d 1 1 12 1 2 2n na a a n d a n d d 所 以 na 是 等 差 数 列，1 5 35 35 1 9 9 55 5 25 5 52 239 2 9 9 9 322a a aS aa a a S a，故 选：C16(2020 福 建 省 平 和 第 一 中 学 高 三 期 中)已 知 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，3 15 67 a a a，则23S()A 121 B 161 C 141 D 151【答 案】B【解 析】因 为3 15 67 a a a

41、，所 以15 6 37 a a a，所 以153 7 a d，所 以153 7 a d，即127 a 所 以23 1223 161 S a 故 选：B17(2020 云 南 高 三 期 中(理)已 知 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，且3 75,3 a a，则9S()A 36 B 18 C 10 D 8【答 案】A【解 析】因 为 在 等 差 数 列 na 中，3 75,3 a a，所 以3 7 1 98 a a a a，所 以 1 999362a aS，故 选：A18(2020 河 津 中 学 高 三 月 考)在 等 差 数 列 na 中，1 72,35 a S，则10a(

42、)A 5 B 8 C 11 D 14【答 案】C【解 析】1 7 477 7 2352 2a a aS，45 a.na 为 等 差 数 列，1 4 7 102,5,8,11 a a a a.故 选：C 19(2020 全 国 高 三 月 考)已 知 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，若936SS，则612SS()A 177B 83C 143D 103【答 案】D【解 析】已 知 等 差 数 列 na 的 前 项 和 为nS，3S，6 3S S，9 6S S，12 9S S 构 成 等 差 数 列，所 以 6 3 3 9 62 S S S S S，且936SS，化 简 解 得6 33

43、 S S.又 9 6 6 3 12 92 S S S S S S，3 1210 S S，从 而126103SS.故 选：D21(2020 河 北 衡 水 市 衡 水 中 学 高 三)两 个 等 差 数 列 的 前n项 和 之 比 为5 102 1nn，则 它 们 的 第 7 项 之 比 为()A 4513B 31C 8027D 21【答 案】B【解 析】设 两 个 等 差 数 列 分 别 为 na，nb，它 们 的 前n项 和 分 别 为nS，nT，则5 102 1nnS nT n，1 137 7 131 137 7 131313 752313 25132a aa a Sb bb b T 故

44、选：B 22(2020 四 川 高 三 一 模)设 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n，且 a n0，若 a5=3 a3，则95SS()A 95B 59C 53D 275【答 案】D【解 析】依 题 意，1 99 51 55 3992552a aS aa aS a，又533aa，959 2735 5SS，故 选：D.23(2020 广 东 肇 庆 市 高 三 月 考)等 差 数 列 na 中，511 a，1210 a，nS 是 数 列 na 的 前 n 项 和，则()A 1 161 a a B 6S 是 nS 中 的 最 大 项C 9S 是 nS 中 的 最 小 项 D 8

45、 9a a【答 案】A【解 析】在 等 差 数 列 na 中，511 a，1210 a，所 以12 537a ad，5(5)3 26na a n d n，A.因 为5 12 1 161 a a a a，故 正 确；B.因 为6 78 0,5 0 a a，所 以6S 不 是 nS 中 的 最 大 项，故 错 误；C.因 为 0 d，所 以9S 不 是 nS 中 的 最 小 项，故 错 误；D.因 为8 92 0,1 a a，所 以8 9a a，故 错 误；故 选：A24(2020 西 藏 拉 萨 市 拉 萨 那 曲 第 二 高 级 中 学)在 数 列 na 中，1 11,2n na a a，则5

46、1a()A 101 B 100 C 99 D 98【答 案】A【解 析】11 a，12n na a，数 列 na 是 首 项 为 1，公 差 2 d 的 等 差 数 列，51 151 1 101 a a d.故 选：A.二、多 选 题25(2020 辽 宁 高 三 期 中)记nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和.已 知40 S，55 a，则()A 2 5na n B 3 10na n=-C 24nS n n D 2122nS n n【答 案】AC【解 析】设 首 项 为1a，公 差 为 d，由40 S，55 a，可 得114 54 34 02a da d，解 得13 a，2 d，3

47、2(1)2 5na n n，2(3 2 5)42nn nS n n.故 选：AC.26(2020 河 北 沧 州 市 高 三 期 中)已 知 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，公 差 为 d，且35 a，73 a，则()A 12d B 12d C 918 S D 936 S【答 案】BD【解 析】因 为1 9 3 75 3 8 a a a a，所 以 1 9999 8362 2a aS 因 为35 a，73 a，所 以 公 差7 317 3 2a ad 故 选：BD27(2020 全 国 高 三 其 他 模 拟)已 知 递 减 的 等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，

48、5 7S S，则()A 60 a B 6S 最 大C 130 S D 110 S【答 案】ABD【解 析】因 为5 7S S，所 以7 50 S S，即6 70 a a，因 为 数 列 na 递 减，所 以6 7a a，则60 a，70 a，故 A 正 确；所 以6S 最 大，故 B 正 确；所 以 1 1313 71313 02a aS a，故 C 错 误；所 以 1 1111 61111 02a aS a，故 D 正 确.故 选：ABD.28(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)等 差 数 列 a n 中，若 S6 S7 且 S7 S8，则 下 面 结 论 正 确 的 是()A a1

49、 0 B S9 S6 C a7 最 大 D(S n)m a x S7【答 案】ABD【解 析】根 据 题 意，等 差 数 列 a n 中，若 S6 S7 且 S7 S8，则 a7 S7 S6 0，a8 S8 S7 0，则 有 d a8 a7 0，对 于 A，必 有 a1 a8 7 d 0，A 正 确；对 于 B，S9 S6 a7+a8+a9 3 a8 0，必 有 S9 S6，B 正 确；对 于 C，等 差 数 列 a n 中，d 0，数 列 a n 为 递 减 数 列，故 a1 最 大，C 错 误；对 于 D，数 列 a n 为 递 减 等 差 数 列，a7 0，a8 0，故 必 有(S n)

50、m a x S7，D 正 确；故 选：ABD29(2020 全 国 高 三 专 题 练 习)等 差 数 列 na 的 前n项 和 为nS，若90 a，100 a，则 下 列 结 论 正 确 的 是()A 10 9S S B 170 S C 18 19S S D 190 S【答 案】ABD【解 析】根 据 题 意 可 知 数 列 为 递 增 数 列，90 a，100 a，前 9 项 的 和 最 小，故A正 确；1 17917 9172 1717 02 2a aaS a，故 B 正 确；1 191019 10192 1919 02 2a aaS a，故 D 正 确；190 a，18 19 19S