备战2023年上海高考黄金30题系列之数学解答题压轴题专题2 数列与不等式（含详解）.pdf

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1、专 题 2 数 列 与 不 等 式 1.(2022上 海 市 市 北 中 学 高 三 期 中)对 于 数 列 叫，若 存 在 正 数 使 得 q+T P”,对 任 意 n e N,都 成 立，则 称 数 列/为 拟 等 比 数 列 已 知”0 0,且 若 数 歹/和 也 满 足：4=岁，4=而 且。用=殳 箸，%=/瓦(e N*)；若 q=l,求 白 的 取 值 范 围；求 证：数 列 4-2(e N)是 拟 等 比 数 列；(2)已 知 等 差 数 列%的 首 项 为。，公 差 为 d,前 项 和 为 工，若。0,S4 M 3 0,S4(M4 0,且。是 拟 等 比 数 列，求。的 取 值

2、范 围(请 用。、d 表 示).2.(2022上 海 市 奉 贤 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 q 的 前 n 项 和 5满 足 条 件 3s“+4=4a,其 中 e N,.求 q,的 通 项 公 式；设 数 列 也 满 足，=log/4,又 她+/d+.+bbn+2 M 对 一 切”eN*恒 成 立，求 M 的 取 值 范 围.3.(2022上 海 市 实 验 学 校 高 三 阶 段 练 习)设 数 列“的 前 项 和 为 S”,且 S“=2 a-2,+l,数 歹 满 足=log，S，其 中 eN*.n+1 证 明 枭 为 等 差 数 列，求 数 列%的 通 项 公 式；(

3、2)求 使 不 等 式 1+-1+-1+2 巾 弧 二 对 任 意 正 整 数 都 成 立 的 最 大 实 数 I 4 八。3)I 2,1)?的 值；当 eN*时，求 证:屋+4+空+4 4 江 4 3 2n_ 瓦 2h+)4.(2022上 海 市 建 平 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 实 数 列 q 满 足：，点(可，4川)在 曲 2x+mx+4线 丁=(x w-4)上.当 f=2且 m=-l时，求 实 数 列%的 通 项 公 式;(2)在(1)的 条 件 下，若 口 表 示 不 超 过 实 数 r的 最 大 整 数，令 b“=(eN*),S.是 数 列 圾 的 前 八 项 和，求

4、 列 0 的 值;当 r=2,a.O（eN*）时，若 咧 氏=/存 在，且 出“一%用&对 eN*恒 成 立，求 证：%“+2%,（G N*）.5.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）科 学 数 据 证 明，当 前 严 重 威 胁 人 类 生 存 与 发 展 的 气 候 变 化 主 要 是 工 业 革 命 以 来 人 类 活 动 造 成 的 二 氧 化 碳 排 放 所 致.应 对 气 候 变 化 的 关 键 在 于“控 碳，其 必 由 之 路 是 先 实 现 碳 达 峰，而 后 实 现 碳 中 和.2020年 第 七 十 五 届 联 合 国 大 会 上，我 国 向 世 界 郑 重 承

5、诺 力 争 在 2030年 前 实 现 碳 达 峰，努 力 争 取 在 2060年 前 实 现 碳 中 和.2021年 全 国 两 会 的 政 府 工 作 报 告 明 确 提 出 要 扎 实 做 好 碳 达 峰 和 碳 中 和 的 各 项 工 作，某 地 为 响 应 国 家 号 召,大 力 发 展 清 洁 电 能，根 据 规 划，2021年 度 火 电 发 电 量 为 8 亿 千 瓦 时，以 后 每 年 比 上 一 年 减 少 20%,2021年 度 清 洁 电 能 发 电 量 为 4 亿 千 瓦 时，以 后 每 年 比 上 一 年 增 长 25%.（1）设 从 2021年 开 始 的 年 内

6、 火 电 发 电 总 量 为 S“亿 千 瓦 时，清 洁 电 能 总 发 电 量 为，亿 千 瓦 时，求 S“，7；（约 定=1时 为 2021年）；（2）从 哪 一 年 开 始，清 洁 电 能 总 发 电 量 将 会 超 过 火 电 发 电 总 量？6.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）己 知 无 穷 数 列,的 首 项 为 q,其 前 项 和 为%且/M其 中 d 为 常 数 且 dHO.（1）设 4=1,求 数 列 q 的 通 项 公 式，并 求!吧（1-,）的 值；（2）设=2,S,=-7,是 否 存 在 正 整 数 k使 得 数 列 S,中 的 项 八 演-,使 得 4=7d

7、.7.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 无 穷 数 列 满 足 q=，氏+i=2a-，.（1）若。=2；求 证：Tx+1+1；2 2（i（ii）数 列 也 的 前 项 和 为 S“且=,求 证：1一 上 an+1 十 1 y2 J（2）若 对 任 意 的 c N*,都 有 写 出 的 取 值 范 围 并 说 明 理 由.8.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 4 各 项 均 为 正 数，5,为 前 项 的 和，且 凡，S“,成 等 差 数 列.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式;（2）设=10-2%,T为 数 列 归|的 前 项 和，求 T.（3）

8、设 A,为 数 列 答 的 前 项 积，是 否 存 在 实 数 4,使 得 不 等 式 4,2%+1 a 对 一 切 eN,都 成 立？若 存 在，求 出 a 的 取 值 范 围，若 不 存 在，请 说 明 理 由.9.（2022上 海,高 三 专 题 练 习）已 知 4 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，其 前 8 项 和 为 64.是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列，=4也 一 大=48.（I）求%和 色 的 通 项 公 式；（II）记 c”=b2ll+1，ne N,证 明 代-%是 等 比 数 列；（ii）证 明 幺 仔 亚 2&（eN）*=1 V Q-C2k10.（202

9、2 上 海 高 三 专 题 练 习）数 列/满 足 4=0,（+1=ca：+l-c,w eN,.其 中 c为 实 数.（1）证 明：4 1 0,1 对 任 意 eN*成 立 的 充 分 必 要 条 件 是（2）设 0 c l-（3c），-l（ne W）；i 2（3）0 c+1-1 灸（N*）.11.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 无 穷 数 列 对 于 任 意 给 定 的 正 整 数 人 设 不 等 式 a,-a,f（n-t）对 任 意 e N*恒 成 立 时 t的 取 值 集 合 为 7.（1）4=/,求 集 合 7（2）；（2）若 4 为 等 差 数 列，公 差 为 d

10、,求 7（/）；（3）若 对 任 意 fN2,reN,7。）均 为 相 同 的 单 元 素 集 合，证 明：数 列,为 等 差 数 列.12.（2022上 海,高 三 专 题 练 习）在 数 列 4 中，若 存 在 常 数 3 使 得 任 意“e N”都 有 片 片=左，则 称 4 是 X 数 列.（1）若 数 列 也 是 X 数 列，且 4=1,&=3,写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 也 的 前 4 项；（2）已 知 数 列。,是 等 比 数 列，求 证：%是 X 数 列 的 充 要 条 件 是 其 公 比 为 1;（3）若 X 数 列 c,满 足 q=2,02=20,g 0（e

11、N）设 数 列 的 前”项 和 为 7.，是 否 存 在 正 整 数。、q,使 得 不 等 式?；,/*Q-1对 一 切“eN*都 成 立？若 存 在，求 出。、4 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.13.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 正 整 数 数 列。,满 足：4=，a2=b,a+20263=二-丁（*1）.%+1（1）已 知=2,%=1013,求。和 匕 的 值;（2）若。=1,求 证 I-4 2系:b（3）求 a+b 的 取 值 范 围.414.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）己 知 数 列 为 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列，a,=

12、,数 歹 女 2 是 等 比 数 列，且 4=4,儿=-%,4=4,数 列 2 的 前。项 和 为（1）求 数 列 也 的 通 项 公 式；b,n5,、设 N，求 匕 的 前 c 项 和 7.；8。“，2 6（3）若 4 5 一!4 3 对 恒 成 立，求 5 A 的 最 小 值.15.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 S.,为 数 列 4 的 前 项 和，其 中 S,=加+p,eN，k,p是 常 数.（1）求 证：数 列 4 为 等 差 数 列；（2）若。=1且 对 于 任 意 的 m e N*,4m成 等 比 数 列，求 女 的 值；（3）设 上=l,p=0,，=f+（-1）4

13、,若 对 一 切 正 数，不 等 式 向+（-1）向-2T恒 成 立，求 实 数 2 的 取 值 范 围.16.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）若 存 在 常 数 m e R,使 得 对 于 任 意“e N”,都 有 4用 2m4，则 称 数 列%为 Z（,”）数 列.（1）已 知 数 列 4 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，其 前 项 和 为 S“，若 S”为 Z 数 列，求 4 的 取 值 范 围；（2）已 知 数 列 也 的 各 项 均 为 正 数,记 也 的 前 项 和 为 R,数 列 优 的 前 项 和 为 T,且 37；=R,；+4R,n e N 若 数 列 化

14、,满 足 g=+5，且 0 为 Z（，）数 列，求?的 最 大 值；（3）已 知 正 项 数 列 4 满 足：tl（e N4）,且 数 列 为 z（r）数 列，数 列 J 为 z（s）数 列，若 与=%,求 证：数 列 4 中 必 存 在 无 穷 多 项 可 以 组 成 等 比 数 列.人+2 J%17.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）数 列/与 也 满 足 4=，bn=an+l-a,5 是 数 列 an 的 前 n 项 和（GN*）.（1）设 数 列 也,是 首 项 和 公 比 都 为-g 的 等 比 数 列，且 数 列%也 是 等 比 数 列，求 a 的 值；（2）设%=若”=3

15、且 对 eN，恒 成 立，求 生 的 取 值 范 围：c 2 J（3）设 a=4,b“=2.c.=-（r teN,.A-2）,若 存 在 整 数 k,I,且 使 得 或=令 成 立，求 义 的 所 有 可 能 值.18.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）己 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S“，把 满 足 条 件 a.”4S“（对 任 意 的 cN*）的 所 有 数 列 他,构 成 的 集 合 记 为（1）若 数 列 仅“的 通 项 为 判 断%是 否 属 于 并 说 明 理 由；（2）若 数 列“的 通 项 为 4=卷，判 断 4 是 否 属 于 M,并 说 明 理 由；（3）若

16、 数 列 伍 是 等 差 数 列，且 a“+e M,求 的 取 值 范 围.19.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列%对 任 意 连 续 三 项 均 有（a,-%2）（令+2-4+J，则 称 该 数 列 为 跳 跃 数 列（1）判 断 下 列 两 个 数 列 是 否 是 跳 跃 数 列：等 差 数 列：1,2,3,4,5,；等 比 数 列：1,-（,2 4 o 1 o（2）若 数 列%满 足 对 任 何 正 整 数，均 有。=。（4 0）.证 明：数 列%是 跳 跃 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 0 4 1.（3）跳 跃 数 列 4 满 足 对 任 意 正 整 数

17、 均 有 可”=与 4,求 首 项 4 的 取 值 范 围.20.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）设 数 列 叫 对 任 意”eN*都 有+a“）+/?=2（4+a2 H-Fa”）（其 中 k、b、。是 常 数）.（I）当 出=0,b=3,。=-4时，求 4+外+。“；（I I）当 左=1,b=0,p=0时，若 为=3,g=1 5,求 数 列.的 通 项 公 式；（III）若 数 列/中 任 意（不 同）两 项 之 和 仍 是 该 数 列 中 的 一 项，则 称 该 数 列 是 封 闭 数 列 当 k=l,b=0,P=0时，设 S”是 数 列 4 的 前 项 和，a2-a,=2,试

18、 问：是 否 存 在 这 样 的 封 闭 数 列，使 得 对 任 意 e N*,都 有 S“w O,且!+=+白+!1.若 存 在，求 数 列%的 首 项 外 的 所 有 取 值；若 不 存 在，说 明 理 由.21.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 数 列 4 的 前 项 和 为 5“，已 知 4=1,2Sn 1 2 2*-=an+n 一 九 一 彳，n N;n 3 3(1)求 证：数 列 是 等 差 数 列；(2)设 数 列 的 前 项 和 为 刀,，求 使 不 等 式 对 一 切 都 成 立 的 最 大 正 整 数 女 的 值.3 122.(2022上 海 高 三 专 题 练

19、 习)已 知 数 列 4 的 前 项 的 和 S“=1-5.(1)求%的 通 项 公 式 为;(2)当 2 2 时，向+4 之 义 恒 成 立，求 实 数 2 的 取 值 范 围.a23.(2022上 海,高 三 专 题 练 习)设 数 列 七 的 前 项 和 为 5,，且 4 4-S“-3=0(w N*)；(1)求 数 列“的 通 项 公 式；(2)若 数 列%满 足=%(w M),且 y=2,求 满 足 不 等 式 y“的 最 小 正 整 数 的 值.24.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 x)(x e。)，若 存 在 常 数 T(T 0),对 任 意 都 有/(x

20、+T)=T-f(x),则 称 函 数/(x)为 T倍 周 期 函 数.(1)判 断 入(X)=X是 否 是 T倍 周 期 函 数，并 说 明 理 由；(2)证 明 g(x)=(1 j 是 T倍 周 期 函 数，且 T的 值 是 唯 一 的；若 矶 w N)是 2 倍 周 期 函 数，/(1)=1,2)=7,S,表 示/()的 前 项 和，C=兽，若 C 1,且 6Sa=+2(cN*).求 的 通 项 公 式；a 为 偶 数 设 数 列 也 满 足 a=媪 也 为 将，力 2为 数 列 a 的 前 项 和，求 为；2，几 为 司*双 设 C L 畀，为 正 整 数)，问 是 否 存 在 正 整

21、数 N,使 得 当 任 意 正 整 数 N时 恒 有 C 2015成 立？若 存 在，请 求 出 正 整 数 N 的 取 值 范 围；若 不 存 在，请 说 明 理 由.26.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 F(x)=x)-g(x)=log“(x-l)-2 1 o g，C-l)(k为 常 数，0Ji|-l 0）,且 数 列/（%）是 首 项 为 4,公 差 为 2 的 等 差 数 列.（1）求 证：数 列 0“是 等 比 数 列;（2）若 包=%+4）,当 A 七 时，求 数 列 也 的 前 项 和 5”的 最 小 值；（3）若%=。“怆 氏，问 是 否 存 在 实

22、数%,使 得 匕,是 递 增 数 列？若 存 在，求 出 的 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由.27.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 5.是 数 列 q 的 前 项 和，对 任 意“e N”都 有 2 S-（kn+b）（al+an）+p,（其 中 2、2 P 都 是 常 数）.（1）当=0、5=3、2=-4 时，求 S”；（2）当 左=1、b=0、。=0时，若 6=3、4=1 5,求 数 列 4 的 通 项 公 式；（3）若 数 列%中 任 意（不 同）两 项 之 和 仍 是 该 数 列 中 的 一 项，则 称 该 数 列 是 封 闭 数 列。当 左=1、b=0、p=0时，

23、4-q=2.试 问：是 否 存 在 这 样 的 封 闭 数 列”4.使 得 对 任 意 eN*.都 有 S.w 0,且 不 不+不+不 石.若 存 在，求 数 列 a”的 首 项 6 的 所 有 取 值 12,D.I 3cL n1 o的 集 合；若 不 存 在，说 明 理 由.28.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，4=1,且 3”向+25“=3（为 正 整 数）.（1）求 数 列%的 通 项 公 式；（2）记 S=q+/+若 对 任 意 正 整 数，ZS4S“恒 成 立，求 实 数 火 的 最 大 值.29.（2022上 海,高 三 专

24、 题 练 习）设 S“是 等 比 数 列 4 的 前 项 和，满 足$3，邑，成 等 差 数 列，已 知 q+2%+%=4.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式；（II）设 数 列 也,满 足 2=,n w N*,记=她+好 3+b3b*+帅 向,“e M,若 对 于 任 意“e N*,都 有。看+4恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.30.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 数 列 叫 满 足 q=2,an+l=2an+n-4 n+,bn=a+n2-2 n.（1）求 证：数 列 为 等 比 数 列；（2）对 于 大 于 2 的 正 整 数?、r（其 中 4），若 5 4

25、、4 三 个 数 经 适 当 排 序 后 能 构 成 等 差 数 列，求 符 合 条 件 的 数 组（厂）；(3)若 数 列%满 足 或=(2勿)2+-(“c N*),是 否 存 在 实 数 3 使 得 数 列%是 单 调 递 增 数 列？若 存 在，求 出 入 的 取 值 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由.专 题 2 数 列 与 不 等 式 1.（2022上 海 市 市 北 中 学 高 三 期 中）对 于 数 列/,若 存 在 正 数 P,使 得 q+T P”,对 任 意 neN,都 成 立，则 称 数 列 4 为 拟 等 比 数 列 已 知”0 0,且 ab,若 数 歹 叫 和 也

26、满 足：4=货，4=而 且。e=与 之，%=a e N）；若 q=l,求 白 的 取 值 范 围；求 证：数 列 也-2（e N）是 拟 等 比 数 列；（2）已 知 等 差 数 列%的 首 项 为。，公 差 为 d,前”项 和 为 S,若。0,S4 M 30,54（M 4b”0,然 后 利 用 不 等 式 的 性 质 可 证 得 4用-），即 可 证 得 结 论 成 立；（2）由 题 中 条 件 仇 0,54043 0,54044 V 0,先 求 出?的 范 围；再 根 据%是“拟 等 比 数 列”，分 类 讨 论 0,b 0,且 a6,ay=1,0Jab 而=4，则=亨 一 麻=叵/0,即

27、，假 设 当=M Z e N）时，ak hk0,则 当=%+1时，_ _ 葭=3 _%=（-网 o,即 矶%0,所 以，对 任 意 的 wN，%年 U，所 以，V/:G N*,-口=一 如 汽 一 3=；一 切,即 存 在 p=g,使 得%+均(q-2),所 以，数 列%-噌(w N*)是 拟 等 比 数 列.(2)解：因 为 J 0,S4043A 0,S4044 V0,即=4 0 4 3(+*)24044(q+。4卅)=4043C2022 0，所 以=2022(0 0 2 2+。2023)C2 O 2 2+C2023。2即 G+2021d 01 日 有 J2 q+4043d q 0 2 3

28、0,则“0,所 以，-上 404上 3 3c-2 0 2 1,2 a又 因 为 数 列%是 拟 等 比 数 列，故 存 在 P。，使 得 C,*14P%，且 数 列。为 单 调 递 减 数 列.当 4 2 0 2 2时，此 时。0,广、q-9+d d 1所 以，c q+(-l)d C|+(n-l)J“一(_L)，4043 c,_ _ i c,4045因 为-2 0 2 1,则 2022 1 L-,-2 d d 21因 为 数 列 1+n-，在“K 2022时 单 调 递 减,故 d而 1+wq2020 404 n2021 4043 J；当“22023 时，%0,则 0(=，+(：一 1”=1+

29、由,-4-0-4-3-c.-2 0 2 1,n贝 i,j_2_0_2_2 1i 一 一 c,L-4-0-4-5,2 d d 2因 为 数 列 1+7 d 在 2 2023时 单 调 递 减，故。4 1.由 可 得 1+4 4。4 1,即 P 的 取 值 范 围 是 1+-,1.。L。【点 睛】结 论 点 睛：利 用 参 变 量 分 离 法 求 解 数 列 不 等 式 恒(能)成 立，可 根 据 以 下 原 则 进 行 求 解：(1)V/?e7V.(2)Y n e N*，m an(anm；(3)m nsN*，为 屋 皿,；3nwN*,w w(a)n.n.2.(2022上 海 市 奉 贤 中 学

30、高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列(的 前 n项 和 5满 足 条 件 35.+4=4a,其 中 e N.求 4 的 通 项 公 式；设 数 列 也 满 足 勿=log%4,又 始 3+b也+6也+2 V M 对 一 切”e N*恒 成 立，求 知 的 取 值 范 围.【答 案】4=4(eN*)3、(2)1+0 0)【解 析】【分 析】(1)由 已 知，根 据 题 意 给 的 勺 与 S0的 关 系，分 为”=1和 2 2,通 过 递 推 做 差 构 造 等 比 数 列，即 可 求 解 数 列 为 的 通 项 公 式；(2)由 第(1)问 求 解 出 的 数 列%的 通 项 公 式 带 入

31、 中，借 助 裂 项 相 消 的 求 和 方 法 去 求 解 尔 4+仇 仇+e+2的 和，在 结 合 题 意，求 解 对 应 的 最 大 值 即 可.因 为 数 列 4 的 前 项 和 3,3s“+4=4a“，当 7 2=1 时，3S|+4=4 q,解 得 q=4,当 2 2时，3S“_ I+4=4“_，一 得：3a“=4%-4%,即 可=4%,所 以 詈=4,Un-所 以 数 列 4 是 以 4=4为 首 项，公 比 为 4 的 等 比 数 列，由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得 4=4 4T=4(eN).所 以 数 列 4 的 通 项 公 式 为 4,=4(n e N*).由

32、 第(1)问 可 知，=4(e N),所 以=log,4=bgy 4=/lo g 4 4=：(e N,),今 人 c=b b 力=1-1-=-1-=1(/-)、.n n n+2 n(n+2)2 n n+2所 以 4 4+。包+么 么+2=m-“2 一 I 对 任 意 正 整 数 都 成 立 的 最 大 实 数 m 的 值;C C1 C/,_|Cn a 当 wN*时，求 证：TL+d+y J+尸 广 4 4 b2 n _ 0+1&+1【答 案】”“=(+1)2吟 见 解 析【解 析】【分 析】（1）根 据，与 S”的 关 系，证 明 会-翁 等 于 一 个 定 值，即 可 得 证，再 根 据 等

33、 差 数 列 的 通 项 公 式 求 得 数 列（5 卜 勺 通 项 公 式，从 而 可 求 出 数 列 见 的 通 项 公 式；（2）问 题 可 转 化 为 加 丁+乂,，五 二 T）对 于 任 意 的 正 整 数”都 成 立,求 出 右 边 函 J 2+1数 的 最 小 值，即 可 得 出 答 案；要 吟+导 一+号 各 点 只 需 吟+%+黑+晶 瑞 利 用 急+而 畀 可 枭 滞 百 与 事 即 可 得 证.解：当”=1 时，at=St=2at-4,所 以 4=4,当“N 2时，=S,_S,T，即 4-2aa=2,则 有 祟 一 畀=1，$2,所 以 云 是 以 1 为 公 差 2 为

34、 首 项 的 等 差 数 列,是 以 圻+1，是 以 a,=(“+1)2；(2)解：b=log,=log,2=n,n+(j A(1、(j A _则 1+1-1+,1+-m-b2ll+l,I JI 4 J I 2 n-l即 为(+1)(1+；)(1+2 n-l/小/2+1,即 为 遁 上 史+(!(1+2九+1记 J 对 于 任 意 的 正 整 数 都 成 立,、/()=J 2/+1(1+山+.1则/(+1)=侬+3故+1)=2+2j2n+J 2-+34n2+8/1+4V 4n2+8/?+31,是 以/（）/N+单 调 递 增,所 以）2 1）=，所 以 机 4 2 亘，3所 以 加 的 最 大

35、 值 为 2 叵；3 证 明：要 证?+亭+(詈，A 4 2n-b2nz 2 n+只 需 证 号+号+C：-+l-1-s z-2n-1 2n+1 2+1因 为 舟 时=枭 前 k 讨 所 以 士 r+C1+.1 3 2 n-l 2/7+11-x22+22H+1G+c：+=2 H+l2+l所 吟+会 一 号 人 之【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 与 S”的 关 系 及 构 造 法 求 数 列 的 通 项，考 查 了 数 列 不 等 式 恒 成 立 问 题 及 数 列 不 等 式 的 证 明 问 题，还 考 查 了 组 合 数 性 质 的 应 用，考 查 了 数 据 处 理 能 力 及 逻

36、辑 推 理 能 力,综 合 性 比 较 强，难 度 较 大.4.（2022上 海 市 建 平 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 实 数 列 q 满 足：4=七 点（%,。,山）在 曲 线）=2x+mx+4(x w-4)上.当 f=2且，?=-1时，求 实 数 列 4 的 通 项 公 式;(2)在(1)的 条 件 下，若 已 表 示 不 超 过 实 数/的 最 大 整 数，令=1g 鼻 S“是 数 列 也 的 前 项 和，求 5他 的 值;当 f=2,时，若 则 可=后 存 在，且 出 产&对 wN恒 成 立，求 证：a2+2%+1=7=-77-77=r,4+4(4+1)+3 a+l+l

37、an+1 3故 数 列，；是 公 差 为 4 的 等 差 数 列，又 一 丁=3=an+l 3 6+1 2+1 31 1 1/八 3则 丁 77=4+4(_|)=4，故 勺=一 1.(2)3 3由(1)可 知：氏=，T n=2=怆,lgl=lg2=.=lg9=0,lgl0=lg2=-=lg99=l,lgl00=lg2-lg999=2,lgl000=lgl00l=-.=lg2022=3,故$2022=9x0+90 x1+900 x2+1023x3=4959.(3)2a 4+2根 据 题 意 可 得 出=6=丁 贝 I%=8m+828+m又 4 4,即 黑 2,解 得 心 8或，”一 28；又 因

38、 为!吧 纥=&，由 数 列 极 限 定 义 可 知：！吧 与=!吧*=&，2a结 合”向=得 了 可 得:a“+4.2k+tnk=-Z+4故 关 于 我 的 一 元 二 次 方 程 公+24-m=0 有 实 数 根，故。=4+4/%之 0,解 得 帆 2-1,又 加 8或 加 一 2 8,故 机 8；由 k2+2左 一/%=0 可 解 得：k=-1+/%+1（、=-1-y/m+l-4舍）；2 出 C tn-8,-又?a+4=2+*，且 0%用 3+/-J，+1=0%，向+4 yJm+1+3所 以。2”+2 么=1+1:22aVl-+-m-m又 a=出“+4=(?+4)生“+6?3一 外 e+

39、4 2%+?+4 6a2+/72+16，“+4-6a；“-12%,+6加-6(/“+1-6(+1)故 ain 一 42，+2-a2n-7-；-7-：-72-oa2ll+/7+16 6a2“+，+16因 为%*。，且 加 8,故 6a2,i+5+16。，a,-(-1+y/m+l)=3H-Vw+1 3+一 1 8-J?+l=0,*+4 了?+1+3贝 i j a,k=-1+ym+,17r6(a2+l)2-6(/n+l)6(-1+V+l+1)2-6(/n+l)故 a2ll+2=-.7-=0 6a2“+m+l6 6a2n+m+16故 里%”+2，综 上 所 述：ka2+2a2(n e),即 证.【点

40、睛】本 题 考 察 构 造 数 列 法 求 数 列 的 通 项 公 式，涉 及 等 差 数 列 通 项 公 式 的 求 解，以 及 数 列 新 定 义，数 列 的 极 限，数 列 中 的 证 明 问 题，属 综 合 困 难 题.5.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)科 学 数 据 证 明，当 前 严 重 威 胁 人 类 生 存 与 发 展 的 气 候 变 化 主 要 是 工 业 革 命 以 来 人 类 活 动 造 成 的 二 氧 化 碳 排 放 所 致.应 对 气 候 变 化 的 关 键 在 于“控 碳，其 必 由 之 路 是 先 实 现 碳 达 峰，而 后 实 现 碳 中 和.202

41、0年 第 七 十 五 届 联 合 国 大 会 上，我 国 向 世界 郑 重 承 诺 力 争 在 2030年 前 实 现 碳 达 峰，努 力 争 取 在 2060年 前 实 现 碳 中 和.2021年 全 国 两 会 的 政 府 工 作 报 告 明 确 提 出 要 扎 实 做 好 碳 达 峰 和 碳 中 和 的 各 项 工 作，某 地 为 响 应 国 家 号 召,大 力 发 展 清 洁 电 能，根 据 规 划，2021年 度 火 电 发 电 量 为 8 亿 千 瓦 时，以 后 每 年 比 上 一 年 减 少 20%,2021年 度 清 洁 电 能 发 电 量 为 4 亿 千 瓦 时，以 后 每

42、年 比 上 一 年 增 长 25%.设 从 2021年 开 始 的(eN*)年 内 火 电 发 电 总 量 为 5“亿 千 瓦 时，清 洁 电 能 总 发 电 量 为 7；亿 千 瓦 时，求 S“，T(约 定=1时 为 2021年)；从 哪 一 年 开 始，清 洁 电 能 总 发 电 量 将 会 超 过 火 电 发 电 总 量？【答 案】S=40-40 x自;7；=16x(；)-16.2025【解 析】【分 析】(1)设 2021年 起,每 年 的 火 力 发 电 量 构 成 数 列。,，每 年 的 清 洁 电 能 发 电 量 构 成 数 列 也,则 根 据 题 意 得 数 列 4 是 等 比

43、 数 列，公 比 为 首 项 为 q=8,数 列 2 是 等 比 数 列，公 比 为:，首 项 为 2=4,再 根 据 等 比 数 列 求 和 即 可 得 答 案；4(2)根 据 题 意 解 C,S,即 可 得 答 案.解：设 2021年 度 火 电 发 电 量 为 q=8亿 千 瓦 时，以 后 每 年 度 的 火 力 发 电 量 为 外 因 为 根 据 规 划，2021年 度 以 后，火 电 发 电 量 每 年 比 上 一 年 减 少 20%,所 以 2021年 起，每 年 的 火 力 发 电 量 构 成 数 列 4,且 满 足 4=8,a=|a_,(W2),所 以 数 列 4 是 等 比

44、数 列，公 比 为 首 项 为 q=8,所 以 a“=8x(mj,则 s=-l 7=40 1-g)=40-40 x(1),1-5设 2021年 度 清 洁 电 能 发 电 量 为&=4 亿 千 瓦 时，以 后 每 年 度 的 清 洁 电 能 发 电 量 为 打 也,因 为 根 据 规 划，2021年 度 以 后 清 洁 电 能 发 电 量 每 年 比 上 一 年 增 长 25%,所 以 2021年 起，每 年 的 清 洁 电 能 发 电 量 构 成 数 列 他,且 满 足 4=4,4=：%(22),所 以 数 列,是 等 比 数 列，公 比 为，首 项 为 4=4,5所 以=4x(、)，则(=

45、5=16x图-16)解：根 据 题 意，假 设 第”年 清 洁 电 能 总 发 电 量 将 会 超 过 火 电 发 电 总 量，所 以 4 5“，即 16x(j)-1640-40 x(g),整 理 得 16义 仁)+4x(1)56,令(一)=f 1,则 16f+：-5 6,即 16 56f+40 0,解 得 或 t Sn,即 从 2025年 开 始，清 洁 电 能 总 发 电 量 将 会 超 过 火 电 发 电 总 量 6.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 无 穷 数 列 死 的 首 项 为 q,其 前”项 和 为 S.,且 凡 4=1(eN,),其 中 d 为 常 数 且 d

46、wO.(1)设 4=d=l,求 数 列%的 通 项 公 式，并 求 所。一 工)的 值；a(2)设 d=2,另=-7,是 否 存 在 正 整 数 k使 得 数 列 S J 中 的 项 无.项-,使 得 q=rnd.【答 案】(1)a=n(e案);l i m(l)=1：(2)存 在；&的 值 为 1,2,3,45,6,7,8；(3)，一 册 证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】(1)利 用 已 知 条 件 得 数 列%是 以 1 为 首 项、1为 公 差 的 等 差 数 列，求 出 通 项 公 式，取 极 限 即 可；(2)利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 先 得 到 乐，再

47、求 事 4,利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 得 至 即 人&=二-8/=公/-8)0,即 可 求 出 满 足 条 件&的 所 有 值；(3)先 证 必 要 性：存 在 S,=3-8 2,使 得 4+4=4,利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 到Oy=(k-s-t+l)d,故 存 在 m,使 得 机=无 一 s_f+l,使 得 根 w Z.运 用 反 证 法.证 明 即 可；再 证 充 分 性：当 4=乩 加-1,机 e Z,任 取 等 差 数 列 勺 中 不 同 的 两 项 应 和),利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 到 4+(s+f+加-2)d=4-

48、满 足 题 意.【详 解】(1)由。向-为=1,得 数 列 七 是 以 1为 首 项、1 为 公 差 的 等 差 数 列.故 a”=(eN*):lim(l-)=lim(l-)=1.8&n cc fi(2),是 等 差 数 列，邑=7%=-7,得 4=-1,又 因 为 d=2,所 以 4=-7.故 S.n2+(a)n=n2-8n,所 以”S“=38”2(eN*),k-Sk=k3-8k2=公(5_8)0,当 A=123,4,5,6,7,8 时，k-Sk 0y/2,不 等 式 成 立；当 人 29,%品&时，不 等 式 都 不 成 立.所 以 满 足 条 件 的 所 有 的&的 值 为 1,23,4

49、,5,6,7,8.(3)先 证 必 要 性：任 取 等 差 数 列 伍“中 不 同 的 两 项 凡 和 4(swt)存 在%,使 得 4+4=4,则 2q+(s+f 2)d=q+(k V)d,得 4=(%s r+l)d,故 存 在”？，使 得 加=A-f+l,使 得 q=，nzeZ.再 证 z N T：运 用 反 证 法.假 设 当 d w O 时，不 成 立，则?-1恒 成 立.对 于 不 同 的 两 项，%，应 存 在 4，使 得 4+4=外，g|l(2m+)d=md+(1-l)d,故/=加+2,又 因 为 加 是 小 于-1的 整 数，故”0.所 以 假 设 不 成 立，故 加 2-1.

50、再 证 充 分 性：当 四=md,m-,m e Z,任 取 等 差 数 列 4 中 不 同 的 两 项 4 和 丐(s工，)，as+可=2%+(5+/-2)d=a1+(s+f+，%-2)d,因 为 s+，+加 一 2之 0且 s+f+m-2 Z,所 以 q+(s+r+m-2)d=*皿 _|,综 上 可 得，等 差 数 列 4 中 不 同 的 两 项 之 和 仍 为 此 数 列 中 的 某 一 项 的 充 要 条 件 为 存 在 整 数 m且?2-1,使 得 q=侬/得 证.7.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 无 穷 数 列%满 足 4=。，。|=2。,一 7.(1)若 4=2